第十五讲 根式的理解与指数的运算知识总结与题型归纳 讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学中根式与指数运算的核心知识，系统梳理分数指数幂的定义与性质、根式的概念及其分类讨论（奇偶次方根的区别），并建立二者之间的互化关系，形成从具体到抽象、从特殊到一般的认知链条，为后续幂函数、对数运算等学习奠定坚实基础。 资料设计紧扣新课标核心素养，突出“抽象能力”“推理意识”和“应用意识”，通过多选题引导学生辨析概念本质，如例1考查根式符号的理解差异，强化逻辑推理；例9借助代数式变形训练运算能力，体现数学语言的简洁性；变式训练则贴近真实情境，帮助学生迁移运用。课中可作为教学支架提升课堂效率，课后便于学生查漏补缺，巩固易错点，实现精准练习与思维深化的双重目标。

第十五讲：根式的理解与指数的运算知识总结与题型归纳 知识再现 一、指数的运算 1、分数指数幂 ①（，且） ②（，且） 2、根式 ① ②当为奇数时，；当为偶数时， 3、指数幂的运算 ① ② ③ ④ 题型一：对根式的理解 例1：（多选）下列说法正确的是(　　) A.16的4次方根是2； B.的运算结果是±2； C.当n为大于1的奇数时，对任意a∈R都有意义； D.当n为大于1的偶数时，只有当a≥0时才有意义． 解析：对于A.16的4次方根应是±2；B.＝2，所以正确的应为CD. 例2:已知，则等于(　　) A. B． C. D． 解析：∵，∴是2的10次方根．∴＝，选D 例3：若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 解析：根据根式和指数幂的运算性质，因为， 可化为，即， 可得，所以，即． 故选：B. 变式训练 1．以下说法正确的是(　　) A．正数的n次方根是正数 B．负数的n次方根是负数 C．0的n次方根是0(n∈N*) D．a的n次方根是 解析：当n为偶数时，正数的n次方根为一正一负，故A错误；当n为偶数时，负数的n次方根无意义，故B错误；当n∈N*时，0的n次方根为0，故C正确；当n为偶数，a<0时，无意义，故D错误．[答案]　C 2.下列式子成立的是（ ） A. B. C. D. 解析：要使a有意义，则a≤0，故a＝－(－a)＝－＝－，故选C. 3．有意义，则实数x的取值范围为______． 【答案】 解析：∵根指数为6，∴，∴．故答案为：． 题型二：根式的性质化简或求值 例4：化简：（    ） A．0 B． C．或0 D． 解析：因为 所以， 故，故选：A 例5：求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4），． 【答案】（1）-2；（2）；（3）；（4） 解析：（1）（2）（3） （4）原式，当时，原式； 当时，原式． 因此，原式 例6：若，则__________. 解析：由题意有，故答案为1. 变式训练 1.____________． 解析：. 2.若，，则的值为（ ） A．1 B．5 C． D． 解析：依题意，，， 则，所以的值为1.故选：A 3.已知，化简：_____． 解析：，． 题型三：根式与分数指数幂的互化 例7：已知，则_________. 解析：，，故答案为9． 例8：化简__________ . 解析：，故答案为. 例9：若，求下列各式的值: （1）；（2）；（3）；（4） 【答案】（1）3；（2）4；（3）；（4）． 解析：（1），，． （2）． （3），． （4）， 即，由（2）得：，． 变式训练 1:已知，，求的值. 解析：因为，， 所以原式. 2：化简求值(式子中的字母都为正数)： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1） ； （2） . 3.已知，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 解析：由，所以A正确； 由，所以B正确； 由，因为，，所以，所以C错误； 由，所以D正确．故选：ABD． 题型四 根式与分数指数幂混合运算 例10.在① ；② ；③ ；④ ；⑤中，计算正确式子的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 解析：① 正确；② 错误；③ 正确 ④ ，故④错误⑤，故⑤错误故选：C 例11.设，则下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 解析：对于A，，A错误；对于B，，B错误； 对于C，，C错误；对于D，，D正确.故选：D. 例12.化简的结果为（     ） A．－ B．－ C．－ D．－6ab 解析：原式＝.故选：C. 变式训练 1.下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 解析：A、，故A错误；B、，故B错误； C、，故C错误；D、，故D正确.故选：D 2.化简(a>0，b>0)＝________. 解析：原式＝＝.故答案为： 3.化简（    ） A． B．2 C．1 D．0 解析：.故选：D. 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $第十五讲：根式的理解与指数的运算知识总结与题型归纳 知识再现 一、指数的运算 1、分数指数幂 1 ①g=a(a>0,m,neN,且n>1)②a" a”a (a>0,m,neN',且 n>1) 2、根式 ①(a)=a…②当n为奇数时，G=a；当n为偶数时，√aa a,a≥0 -a,a<0 3、指数幂的运算 ①a·a=a+(a>0,r,seQ) ②(a)'=a(a>0,r,s∈Q) ③(ab)y=ab'(a>0,b>0,r∈Q)④am÷a"=am-"(a>0,m,n∈Q) 题型一：对根式的理解 例1：（多选）下列说法正确的是( A.16的4次方根是2； B.16的运算结果是±2； C.当n为大于1的奇数时，Va对任意a∈R都有意义， D.当n为大于1的偶数时，a只有当a≥0时才有意义. 例2：已知a0=2,则a等于() A.92 B.-92 c.V20 D.±92 例3：若√4a2-4a+1=1-2a)3,则实数a的取值范围是（) A.+网B.(, C. D.R 第1页共7页 变式训练 1,以下说法正确的是() A.正数的n次方根是正数 B.负数的n次方根是负数 C.0的n次方根是0(n∈N内 D.a的n次方根是na 2.下列式子成立的是() A.ava=Va B.ava=-a c.a√a=√a D.aVa=-√a 3.若根式6-x有意义，则实数x的取值范围为 题型二：根式的性质化简或求值 例4：化简：Vπ-42+π-43=（) A.0 B.2π-8 C.2π-8或0 D.8-2π 第2页共7页 例5：求下列各式的值： (1)-23； (2)-3)2；(3)3-π)； (4)Vx2-2x+1-Vx2+6x+9,x∈-3,3). 例6：若x<0,则x-原+F 变式训练 1.V3-2√2= 2.若a=3-π3，b=2-π)，则a+b的值为（) A.1B.5C.-1 D.2π-5 3.已知x<y,化简：c-y)=一 第3页共7页 题型三：根式与分数指数幂的互化 5,~bs2 243 例7：已知 3，则 30.276 Vabab 例8：化简倚(11)411 .(a>0,b>0) a4b3 a 6b4 例9：若a-a=1,求下列各式的值： (1)a2+a2;(2)a3-a3;(3)a+a1;(4)a3 第4页共7页 变式训练 1吧和。=2，b万*6N 2:化简求值（式子中的字母都为正数）： Va bab (1) 11411; ab2 2》25xaWj-g)-6-0. 3.已知a+a1=3,下列结论正确的是() A.a2+a2=7B.d2+a3=18C.a+ai=士5 D.ava+-=2 avla 第5页共7页 题型四根式与分数指数幂混合运算 例10.在①a2ma”=a3m,②22.33=63；③32.32=81；④a2.a3=5°；⑤ (-a(-a=a中，计算正确式子的个数是（) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 例11.设a>0,则下列运算中正确的是（) A.dued B.d'taj-ai C.aid D.a 例12化简4.6仁2。b的结果为（） 21 3 A.、2a 3b n. C.、 6 D.-6ab 第6页共7页 变式训练 1.下列计算正确的是（) A.(3a+b)2=9a2+b2B.3a3+2a3=5a6C.a2.a4=a D.(2a2b°=8ab 2.化简 /12 (4ab) (a>0,b>0)= (0.101.(a23.b3)2 -05 3北商+7x9-1-=（) A.刀 B.2 C.1 D.0 第7页共7页