第二章 对称图形—圆 重难点检测卷（压轴卷）-2025-2026学年九年级数学上册重难点专题提升讲练（苏科版）

第二章 对称图形—圆 （压轴卷） （满分120分，考试时间120分钟，共28题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：对称图形—圆全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（8小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25八年级下·江苏盐城·阶段练习）下列说法中，正确的是（　　） A．在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等； B．优弧一定比劣弧长； C．弧长相等的弧则所对的圆心角相等； D．在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等． 2．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）若的直径为，点到圆心的距离为，那么点与的位置关系是（ ） A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．不能确定 3．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，点，，在上，若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，为的直径，点C、D在圆上，若，则等于（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级下·贵州铜仁·阶段练习）中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分，与竹文化、道教文化有着密切关系．中国历来有“制扇王国”之称．如图1，是一把打开的扇子，转化为数学模型如图2所示，它是以O为圆心．、长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在以点为圆心的半圆中，是直径，，连接，交于点，连接交于点，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，，与的两边都相切且半径为1，Q为上一动点，以Q为圆心，长为半径的交两边于E、F两点，连接，则线段长度的最大值为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，是等边三角形，为的外接圆，点D在劣弧上，连结并在上取点E，使得，连结．若，，则的半径为（    ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题3分，共24分） 9．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在平面直角坐标系中，点，以A为圆心，4为半径作圆，则与y轴的位置关系是 ． 10．（2025·江苏南京·三模）如图，内接于，若，，则的半径是 ． 11．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，正五边形内接于，连接，则的度数为 ． 12．（2025·吉林·模拟预测）如图，内接于圆，为圆的直径，过点的切线交的延长线于点．若，则的度数是 13．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）在中，，，以C为圆心，r为半径作．若与边只有一个交点，则r的取值范围是 14．（24-25九年级下·江苏淮安·阶段练习）已知是的直径，点C、D在上，已知C与点A、B不重合，弧弧，直线交直线于E，若，则的度数为 ． 15．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）在中直径，，点D是弦上动点，连接，则最小值 ． 16．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，，半径为3的与的两边相切，点P是上任意一点，过点P向的两边作垂线，垂足分别是E、F．设，则p的取值范围是 ． 三、解答题（11小题，共82分） 17．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，中，，以为直径的交边于，于．求证：是的切线． 18．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，是的弦，是的直径，过点的切线交的延长线于点，若，求的度数． 19．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在同一平面直角坐标系中有5个点：、、、、． (1)的外接圆圆心点的坐标______，图中点与的位置关系是______； (2)的外接圆的半径______，的内切圆的半径______． 20．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，已知． (1)利用直尺和圆规作出的内切圆； (2)若的周长为，面积为，求它的内切圆的半径． 21．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，， 交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：． (2)若，求的半径． 22．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，是的直径，C为上一点（C不与点A，B重合）连接，，过点C作，垂足为点．将沿翻折，点D落在点E处得，交于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分面积． 23．（2025·江苏泰州·三模）如图，点是的内心，点是的外心． (1)请仅用没有刻度的直尺在上一个点，使得． (2)试判断点是图中哪三个点构成的三角形的外心，并说明理由．（如需画草图，请使用图2） 24．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）数学小组在学完“圆内接四边形的对角互补”这个结论后进行了如下的探究活动： (1)如图1，点A、B、C在上，点D在外，线段与交于点E、F，试猜想_____（请填“>”、“<”或“=”），并证明你的猜想； (2)如图2，点A、B、C在上，点D在内，此时（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，请予以证明；若不成立，请写出你的结论并予以证明； (3)如图3，四边形是的内接四边形，，，，，求的长度． 25．（2024·山东济宁·二模）【初步感知】如图1，点A，B，P均在上，若，则锐角的大小为 度； 【深入探究】如图2，小明遇到这样一个问题：是等边三角形的外接圆，点P在上（点P不与点A，C重合），连接．求证：；小明发现，延长至点E，使，连接，通过证明．可推得是等边三角形，进而得证．请根据小明的分析思路完成证明过程． 【启发应用】如图3，是的外接圆，，点P在上，且点P与点B在的两侧，连接，若，则的值为 ． 26．（2025·江苏扬州·中考真题）材料的疏水性 扬州宝应是荷藕之乡．“微风忽起吹莲叶，青玉盘中泻水银”，莲叶上的水滴来回滚动，不易渗入莲叶内部，这说明莲叶具有较强的疏水性．疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质． 【概念理解】 材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述．材料上的水滴可以近似的看成球或球的一部分，经过球心的纵截面如图1所示，接触角是过固、液、气三相接触点（点或点）所作的气−液界线的切线与固−液界线的夹角，图1中的就是水滴的一个接触角． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出图2中水滴的一个接触角，并用三个大写字母表示接触角；（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （2）材料的疏水性随着接触角的变大而______（选填“变强”“不变”“变弱”）． 【实践探索】 实践中，可以通过测量水滴经过球心的高度和底面圆的半径，求出的度数，进而求出接触角的度数（如图3）． （3）请探索图3中接触角与之间的数量关系（用等式表示），并说明理由． 【创新思考】 （4）材料的疏水性除了用接触角以及图3中与相关的量描述外，还可以用什么量来描述，请你提出一个合理的设想，并说明疏水性随着此量的变化而如何变化． 27．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）我们知道：同弧或等弧所对的圆周角都相等，且等于这条弧所对的圆心角的一半．那在一个圆内同一条弦所对的圆周角与圆心角之间又有什么关系呢？ 【初步思考】 （1）如图，是的弦，，点分别是优弧和劣弧上的点，则_________，________． （2）如图，是的弦，圆心角，点是上不与重合的一点，求弦所对的圆周角的度数________．（用含的代数式表示） 【操作实践】 （3）如图，在四边形中，若点是边上任意一点，且满足． 用直尺和圆规在边上作出满足条件的所有点，保留作图痕迹，不写作法； 若，，且，，求的长度． 【灵活应用】 （4）如图，在矩形中，，，为矩形内一点，且，连接，则的最小值为_______． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 对称图形—圆 （压轴卷） （满分120分，考试时间120分钟，共28题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：对称图形—圆全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（8小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25八年级下·江苏盐城·阶段练习）下列说法中，正确的是（　　） A．在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等； B．优弧一定比劣弧长； C．弧长相等的弧则所对的圆心角相等； D．在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等． 【答案】D 【分析】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，解题的关键是掌握圆心角，弧，弦之间的关系．根据圆心角，弧，弦之间的关系一一判断即可． 【详解】解：A.在同圆或等圆中，弦所对的弧有优弧或劣弧，故弦相等则所对的弧相等错误． B.优弧一定比劣弧长，错误，条件是同圆或等圆中； C.弧长相等则所对的圆心角相等，错误，条件是同圆或等圆中； D.在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等，故正确； 故选：D． 2．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）若的直径为，点到圆心的距离为，那么点与的位置关系是（ ） A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解题的关键． 先求出的半径，再根据点与圆的位置关系求解即可． 【详解】解：的直径为， 的半径为， 点到圆心的距离为， 点在上． 故选：B． 3．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，点，，在上，若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是圆周角定理，三角形内角和定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题意作出辅助线，构造出三角形是解题的关键．连接，先根据三角形内角和定理求出的度数，再由圆周角定理求出的度数，根据三角形内角和定理求出的度数，进而可得出结论． 【详解】解：连接， ， ，， ， ，即原图中的度数是． 故选：B． 4．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，为的直径，点C、D在圆上，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆周角定理、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 由圆周角定理得出、，再根据直角三角形两锐角互余即可解答． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵ ∴， ∴． 故选：A． 5．（24-25九年级下·贵州铜仁·阶段练习）中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分，与竹文化、道教文化有着密切关系．中国历来有“制扇王国”之称．如图1，是一把打开的扇子，转化为数学模型如图2所示，它是以O为圆心．、长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求扇形面积，根据扇形面积公式，求出大扇形和小扇形的面积，最后根据即可求解．解题的关键是掌握扇形面积公式． 【详解】解：根据题意可得： ∵，，， ∴，， ∴， 故选：C． 6．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在以点为圆心的半圆中，是直径，，连接，交于点，连接交于点，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，连接，证明是等腰直角三角形，得到，勾股定理得到，即可得出结论． 【详解】解：连接，如下图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴，即为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 7．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，，与的两边都相切且半径为1，Q为上一动点，以Q为圆心，长为半径的交两边于E、F两点，连接，则线段长度的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆周角定理、切线的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，找到线段长度的最大值的条件成为解题的关键． 如图：连接，由圆周角定理可得，如图：过Q作，由垂径定理可得、，则可得；再根据勾股定理可得，则，即当最大时，取最大值；如图：设与的两边都相切于G、H，连接， 再根据切线的性质证明可得，则，进而得到当三点共线时，的最大值为，进而确定线段长度的最大值即可． 【详解】解：如图：连接， ∵在中，， ∴， 如图：过Q作， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴当最大时，取最大值； 如图：设与的两边都相切于G、H，连接， ∵与的两边都相切且半径为1， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的最大值为． ∴取最大值为． 故选D． 8．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，是等边三角形，为的外接圆，点D在劣弧上，连结并在上取点E，使得，连结．若，，则的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据是等边三角形，以及圆周角定理得出，从而证明是等边三角形，求出，再证明，证出，过点作，算出，，连接，过点作，得出，再用勾股定理即可解答； 【详解】∵是等边三角形， ， ， ， ∴是等边三角形， ， ， ， ∴， ， 过点作， 则， ， ， 连接，过点作， 则， ， ， 解得：． 故选：B． 【点睛】该题主要考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质判定，特殊直角三角形，圆周角定理，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题3分，共24分） 9．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在平面直角坐标系中，点，以A为圆心，4为半径作圆，则与y轴的位置关系是 ． 【答案】相交 【分析】本题考查直线与圆的位置关系．求出圆心到y轴的距离，再根据圆心到直线的距离与半径的大小关系得出答案． 【详解】解：如图，作轴于点C，作轴于点B， ∵点， ∴，， ∵的半径为4， ∴与y轴相交， 故答案为：相交． 10．（2025·江苏南京·三模）如图，内接于，若，，则的半径是 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，垂径定理，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合，，得所在的直线是的垂直平分线，则三点共线，运用垂径定理和勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解： 过点作，连接 ∵，， ∴所在的直线是的垂直平分线， ∴三点共线， ∴， 在中，， 设的半径是， 则， 在中，， ∴， 解得， 故答案为：． 11．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，正五边形内接于，连接，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆与正多边形，正多边形的内角问题，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握相关计算公式是解题的关键． 先根据正五边形的内角公式求出，再由等边对等角结合三角形内角和定理求出，最后由即可求解． 【详解】解：∵正五边形内接于， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（2025·吉林·模拟预测）如图，内接于圆，为圆的直径，过点的切线交的延长线于点．若，则的度数是 【答案】/29度 【分析】本题主要考查圆的切线性质及圆周角定理．连接，由切线的性质可得，再利用余角的性质可得，然后根据圆周角定理即可求得． 【详解】解：如图，连接， ∵过点的切线交的延长线于点， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）在中，，，以C为圆心，r为半径作．若与边只有一个交点，则r的取值范围是 【答案】或 【分析】本题主要考查的是直线与圆的位置关系，掌握垂线段最短、直线与圆相切以及直线与圆的位置关系是解题的关键．作于，由勾股定理求出，由三角形的面积求出，得出以为圆心，为半径所作圆，则此时圆与斜边相切，只有一个交点；由，可得以为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点． 【详解】解：作于，如图所示： ∵，， ∴， ∵的面积， ∴， 即圆心到的距离， ∴以为圆心，为半径所作的圆，则此时圆与斜边相切，只有一个交点； ∵， ∴以为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点， 综上分析可知：若与边只有一个交点，则r的取值范围是或． 故答案为：或． 14．（24-25九年级下·江苏淮安·阶段练习）已知是的直径，点C、D在上，已知C与点A、B不重合，弧弧，直线交直线于E，若，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查垂径定理的推论，三角形形的外角，等边三角形的判定和性质，分为弧是劣弧或弧是优弧，作射线交于点F，即可得到，进而求出的度数，利用三角形的外角解答即可． 【详解】解：如图，当弧是劣弧时，连接交于点F， ∵弧弧， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 如图，当弧是优弧时，连接并延长交于点， ∵∵弧弧， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 故答案为：或． 15．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）在中直径，，点D是弦上动点，连接，则最小值 ． 【答案】3 【分析】作，于点M，于点N，连接，则，，由垂线段最短知，，求出的长度即可． 【详解】解：如图，作，于点M，于点N，连接， ，， ， 又， ， ， 由垂线段最短知，， ， 直径， ． ， ， ， 又， ， ， ， 最小值为3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查含30度角的直角三角形的性质，垂线段的性质，平行线的性质，圆的基本知识，勾股定理等，将转化成是解题的关键． 16．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，，半径为3的与的两边相切，点P是上任意一点，过点P向的两边作垂线，垂足分别是E、F．设，则p的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用切线的性质以及等腰直角三角形的性质求得，再求得，分两种情况讨论，画出图形，利用等腰直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：设与两边的切点分别为、，连接、，延长交于点， 由切线的性质可得， ， ， 和是等腰直角三角形， ，， ， ，， 如图，延长交于点， 同理可得，是等腰直角三角形， ， ， ， 当与相切时，有最值，连接， 、都是切点， ， ， ，， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， 的最大值为； 如图， 同理可证，，四边形是正方形， 的最值为； 综上，的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，等腰三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理，估算无理数的大小等知识，证明，并且当与相切时，有最大或最小值是解题的关键． 三、解答题（11小题，共82分） 17．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，中，，以为直径的交边于，于．求证：是的切线． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的性质、切线的性质，能综合运用这些性质进行推理是解答本题的关键． 连接，由等边对等角可得，可知，由，进而可推出，即可证明结论． 【详解】证明：连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 为的切线． 18．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，是的弦，是的直径，过点的切线交的延长线于点，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质等，连接，可得，得到，又由等腰三角形的性质可得，即可由三角形外角性质得，最后根据直角三角形两锐角互余即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接，如图， ∵为的切线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 19．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在同一平面直角坐标系中有5个点：、、、、． (1)的外接圆圆心点的坐标______，图中点与的位置关系是______； (2)的外接圆的半径______，的内切圆的半径______． 【答案】(1)，在圆上 (2)， 【分析】（1）分别找出与的垂直平分线，交于点，即为圆心，画出圆，如图所示，即可得到圆心坐标及判断点与的位置关系； （2）先由直角三角形外接圆的圆心为斜边中点，求出的长即可得到圆的半径；再由等面积法即可求出内切圆半径． 【详解】（1）解：画出的外接圆，如图所示： 的外接圆圆心点的坐标为；点与的位置关系是点在上； 故答案为：，在圆上； （2）解：如图所示： ； 的外接圆的半径为， 设的内切圆的半径为，圆心为， 则根据内切圆定义，由等面积法可得， ， 解得； 故答案为：，． 【点睛】本题属于圆的综合题，涉及三角形外接圆作法、写出平面直角坐标系中点的坐标、点与圆的位置关系、勾股定理、三角形内切圆定义、等面积法求内切圆半径、分母有理化等知识，先在平面直角坐标系中描出各点，熟记三角形外接圆、内切圆定义及性质，数形结合是解决本题的关键． 20．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，已知． (1)利用直尺和圆规作出的内切圆； (2)若的周长为，面积为，求它的内切圆的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图—复杂作图、三角形的内切圆与内心，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）先分别作和的平分线，相交于点，再过点作于点，以点为圆心，的长为半径画圆，即可得的内切圆． （2）设的内切圆分别与相切于点，连接，由已知条件可得，由此可得的长，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，先分别作和的平分线，相交于点，再过点作于点，以点为圆心，的长为半径画圆， 则即为所求． （2）解：设的内切圆分别与，相切于点，，连接，，， 的周长为， ． 的面积为，， ， ， 它的内切圆的半径为． 21．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，， 交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：． (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理等,掌握定理及性质，能用勾股定理求解是解题的关键． （1）由垂径定理得，由等腰三角形的性质得，即可求证； （2）由勾股定理得，即可求解； 【详解】（1）证明：∵，是半径， ∴， ∴ ∴ （2）解：设的半径是，如图，连接 ， ∵ 由垂径定理得：， ∵ ∴ ∴ ∴的半径是5. 22．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，是的直径，C为上一点（C不与点A，B重合）连接，，过点C作，垂足为点．将沿翻折，点D落在点E处得，交于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查翻折的性质、切线的判定与性质和垂径定理，熟记梯形和扇形的面积公式是解题的关键． （1）连接OC，求得，推出，再由平行线的性质求出，即可得证； （2）连接，过点O作于点G，求出、、、、、的长，再根据计算即可得解． 【详解】（1）证明：连接OC， ∵， ∴， ∵沿翻折得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴是的切线； （2）解：如图，连接，过点O作于点G， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴． 23．（2025·江苏泰州·三模）如图，点是的内心，点是的外心． (1)请仅用没有刻度的直尺在上一个点，使得． (2)试判断点是图中哪三个点构成的三角形的外心，并说明理由．（如需画草图，请使用图2） 【答案】(1)见解析 (2)点是图中的外心，理由见解析 【分析】本题考查了三角形外心与内心，弧与弦的关系，圆周角定理．熟记三角形外心与内心的性质是解题的关键． （1）连接，并延长交于点，连接，由三角形内心的性质可得平分，平分，得到，根据圆周角定理可得，推出，进而求出，即可得到； （2）如图，连接，由（1）知，圆周角定理可得，推出，进而得到点在以点D为圆心，为半径的圆上，即是的外心． 【详解】（1）解：如图所示，点D为所求： ∵点是的外心， ∴是的外接圆， ∵点是的内心， ∴平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：点是图中的外心，理由如下： 如图，连接， 由（1）知， ∴，即， ∴， ∴点在以点D为圆心，为半径的圆上，即是的外心． 24．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）数学小组在学完“圆内接四边形的对角互补”这个结论后进行了如下的探究活动： (1)如图1，点A、B、C在上，点D在外，线段与交于点E、F，试猜想_____（请填“>”、“<”或“=”），并证明你的猜想； (2)如图2，点A、B、C在上，点D在内，此时（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，请予以证明；若不成立，请写出你的结论并予以证明； (3)如图3，四边形是的内接四边形，，，，，求的长度． 【答案】(1)＜；证明见解析 (2)不成立；；证明见解析 (3) 【分析】（1）四边形为圆O的内接四边形，则，在中，，即可求解； （2）延长交圆O于点E，则，在中，，即可求解； （3）延长交于E，求得，在和中，利用直角三角形的性质结合勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：连接， ∵四边形为圆O的内接四边形， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：； （2）解：（1）的结论不成立，，理由： 延长交圆O于点E，连接， 则， 在中，， ∴， 即； （3）解：延长交于E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 在中，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆的有关知识，直角三角形的性质，勾股定理，圆内接四边形的对角互补等知识，理解准圆内接四边形的定义是本题的关键，添加恰当辅助线是本题的难点． 25．（2024·山东济宁·二模）【初步感知】如图1，点A，B，P均在上，若，则锐角的大小为 度； 【深入探究】如图2，小明遇到这样一个问题：是等边三角形的外接圆，点P在上（点P不与点A，C重合），连接．求证：；小明发现，延长至点E，使，连接，通过证明．可推得是等边三角形，进而得证．请根据小明的分析思路完成证明过程． 【启发应用】如图3，是的外接圆，，点P在上，且点P与点B在的两侧，连接，若，则的值为 ． 【答案】【初步感知】45；【深入探究】见解析；【启发应用】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． 初步感知：根据圆周角定理即可得出答案； 深入探究：先构造出，得出，进而得出是等边三角形，即可得出结论； 启发应用：先构造出，进而判断出，进而得出是等腰直角三角形，即可得出结论． 【详解】解：初步感知：∵， ∴， 故答案为：45； 深入探究：证明：如图，延长至点E，使，连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴； 启发应用：如图，延长至点G，使，连接． ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 26．（2025·江苏扬州·中考真题）材料的疏水性 扬州宝应是荷藕之乡．“微风忽起吹莲叶，青玉盘中泻水银”，莲叶上的水滴来回滚动，不易渗入莲叶内部，这说明莲叶具有较强的疏水性．疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质． 【概念理解】 材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述．材料上的水滴可以近似的看成球或球的一部分，经过球心的纵截面如图1所示，接触角是过固、液、气三相接触点（点或点）所作的气−液界线的切线与固−液界线的夹角，图1中的就是水滴的一个接触角． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出图2中水滴的一个接触角，并用三个大写字母表示接触角；（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （2）材料的疏水性随着接触角的变大而______（选填“变强”“不变”“变弱”）． 【实践探索】 实践中，可以通过测量水滴经过球心的高度和底面圆的半径，求出的度数，进而求出接触角的度数（如图3）． （3）请探索图3中接触角与之间的数量关系（用等式表示），并说明理由． 【创新思考】 （4）材料的疏水性除了用接触角以及图3中与相关的量描述外，还可以用什么量来描述，请你提出一个合理的设想，并说明疏水性随着此量的变化而如何变化． 【答案】（1）图见解析（2）变强（3），理由见解析（4）见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查尺规作图—复杂作图，切线的判定和性质，熟练掌握新定义，切线的判定和性质，是解题的关键． （1）圆弧上取一点，交界面与圆弧的交点为，连接，分别作的中垂线，交于点，则点为圆弧的圆心，连接，过点作，则为圆的切线，即为所求； （2）根据题意，可知，接触角越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强，进行作答即可； （3）连接，等边对等角，得到，切线的性质，结合等角的余角相等，得到，进而得到即可； （4）可以根据，进行判断，根据越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强进行作答即可． 【详解】解：（1）①圆弧上取一点，交界面与圆弧的交点为，连接； ②分别作的中垂线，交于点，则点为圆弧的圆心； ③连接，过点作，则为圆的切线，故即为所求； （2）由题意和图，可知，接触角越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强， 故材料的疏水性随着接触角的变大而变强； 故答案为：变强； （3），理由如下： 连接，则：， ∴， ∵为切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （4）∵水滴弧的长度为：， ∴， ∴可以根据的大小，进行判断，越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强（答案不唯一）． 27．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）我们知道：同弧或等弧所对的圆周角都相等，且等于这条弧所对的圆心角的一半．那在一个圆内同一条弦所对的圆周角与圆心角之间又有什么关系呢？ 【初步思考】 （1）如图，是的弦，，点分别是优弧和劣弧上的点，则_________，________． （2）如图，是的弦，圆心角，点是上不与重合的一点，求弦所对的圆周角的度数________．（用含的代数式表示） 【操作实践】 （3）如图，在四边形中，若点是边上任意一点，且满足． 用直尺和圆规在边上作出满足条件的所有点，保留作图痕迹，不写作法； 若，，且，，求的长度． 【灵活应用】 （4）如图，在矩形中，，，为矩形内一点，且，连接，则的最小值为_______． 【答案】（），；（）或；（）见解析； 或；（）． 【分析】（）根据圆周角定理和圆内接四边形即可求解； （）根据圆周角定理和圆内接四边形即可求解； （）用尺规作图即可； 连接并延长交于点，由三点都在以点为圆心，为半径的圆上，则，可得四边形是矩形，则，，，又点在以点为圆心，为半径作圆上，连接，所以，由勾股定理得，，则有当点在点左侧时，，当点在点右侧时，； （）由，则作使，连接，，由四边形是矩形，则，，过作于点，延长交于点，所以，，可知四边形是矩形，则有，，由勾股定理得，，当三点共线时，有最小值，为． 【详解】解：（）如图，， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， 故答案为：，； （）如图， 由圆周角定理可得：， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∴弦所对的圆周角的度数或， 故答案为：或； （）如图， ∴点和即为所求； 如图，连接并延长交于点， ∵三点都在以点为圆心，为半径的圆上， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵点在以点为圆心，为半径作圆上，连接， ∴， 在中，，，， ∴， 同理可得：， ∵， ∴当点在点左侧时，，当点在点右侧时，； （）如图，由，则作使，连接，， ∵四边形是矩形， ∴，， 过作于点，延长交于点， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴，， 如图，当三点共线时，有最小值，为． ． 【点睛】本题考查了尺规作图，圆周角定理，圆内接四边形，勾股定理，矩形的判定与性质，两点之间线段最短，垂径定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $