第二章 对称图形—圆 重难点检测卷（提高卷）-2025-2026学年九年级数学上册重难点专题提升讲练（苏科版）

第二章 对称图形—圆 （提高卷） （满分130分，考试时间120分钟，共27题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：对称图形—圆全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（8小题，每小题3分，共24分） 1．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）已知的半径为3，若，则点P与的位置关系是（ ） A．点P在内 B．点P在上 C．点P在外 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查判断点与圆的位置关系，已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当时，点P在内，②当时，点P在上，③当时，点P在外，根据以上内容判断即可． 【详解】解：∵⊙O的半径为3，，且， ∴点P与的位置关系是点P在内， 故选：A． 2．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，点在上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理即可求解，掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：． 3．（2025·江苏南通·中考真题）如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：），则这个几何体的底面圆的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由三视图，解题的关键是通过三视图判定几何体． 由三视图可确定该几何体，根据图中数据计算底面周长即可． 【详解】解：由三视图可知，该几何体为圆锥， 由图中数据可知，圆锥的底面半径为, ∴根据圆的周长公式得，底面圆的周长 故选：． 4．（2025·江苏南京·二模）如图，在中，弦，相交于点.若的度数为，的度数为，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，弧与圆心角的关系，连接，根据题意得出，根据圆周角定理得出，进而根据三角形的外角的性质，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵的度数为，的度数为， ∴ ∴ ∴ 故选：C． 5．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，矩形纸片中，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，若，，则与的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查函数关系式，掌握圆的周长计算公式、以及理解圆锥的侧面展开的扇形的弧长等于圆锥的底面周长是解题的关键． 利用圆的周长公式，根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长得到关于和的等式，将表示成的函数即可． 【详解】解：根据题意，得，则， 与的函数关系式为． 故选：A． 6．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，四边形是的内接四边形，的半径为5，，则弦的长为（    ） A． B．10 C． D．8 【答案】A 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，勾股定理，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．连接、，，根据圆内接四边形的性质和已知条件求出，根据圆周角定理求出，再根据勾股定理求出答案即可． 【详解】解：连接、，， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的半径为5， ∴， 故选：A． 7．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，矩形中，，，以A为圆心，1为半径画圆A，E是圆A上一动点，P是上一动点，则最小值是（    ） A． B．2.5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，轴对称﹣最短路线问题，勾股定理的应用等，作出对称图形是本题的关键． 以为轴作矩形的对称图形以及对称圆，连接交于P，则就是最小值；根据勾股定理求得的长，即可求得最小值． 【详解】解：如图，以为轴作矩形的对称图形以及对称圆，连接交于P，则就是最小值； ∵矩形中，，，圆A的半径为1， ∴， ∴， ∴ ∴， 故选：C． 8．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在长为，宽为2，高为的长方体中挖去一个与三边相切的圆柱，沿着该几何体的表面从点A到点的所有路径中，最短路径的长是（  ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】设圆心为点O，与的切点为I，J，作切线，可得，四边形为正方形，证明四边形是正方形，得，，证明，得，证明，得，得，同理，得，得.得最短路径的长是． 【详解】解：如图为长方体表面展开的上面与正面部分，设圆心为O，与的切点为I，J， ∵， ∴， ∴四边形为正方形， ∵圆与上表面三边相切， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 作切线， 则，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∴， ∴， ∴沿着该几何体的表面从点A到点的所有路径中，最短路径的长是： ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查长方体表面最短路径问题．熟练掌握长方体表面展开图，矩形正方形的判定和性质，切线长定理，勾股定理，含30度的直角三角形判定和性质，弧长公式，是解题的关键． 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题3分，共24分） 9．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）圆内接四边形中，，则的度数为 【答案】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，先根据在圆内接四边形中，设，则，，再根据圆内接四边形的对角互补求出的值，进而计算得出结果． 【详解】解：圆内接四边形中， 设，则，， ，即， 解得：， ． 即， ， ． 故答案为：． 10．（2025·江苏徐州·模拟预测）在“制作几何体模型”的数学活动课上，小徐用圆心角为，面积为的扇形制作几何体模型，则该扇形的半径是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了扇形的半径，掌握扇形面积公式是关键，根据扇形面积公式即可求解． 【详解】解：根据题意得到，， 解得，（负值舍去）， ∴扇形的半径为， 故答案为：6 ． 11．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，以的边为直径的分别交于点、，连结、，若，则 【答案】 【分析】连接由圆周角定理和三角形内角和定理求得，再由“同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”进行答题． 本题考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键． 【详解】解：如图，连接． 为的直径， ， ， ， ， 故答案为：． 12．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，的半径为6，作正六边形，点，在上，若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥高为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的外角和、弧长公式、圆锥的侧面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键 根据正六边形的外角和，即可求得内角的度数，进而根据边长等于圆的半径，根据弧长公式求得弧的长，再根据底面圆的周长求得底面圆的半径，进而根据母线、底面圆的半径和圆锥的高构成直角三角形，求解． 【详解】解：∵正六边形的边长为6， ∴，， ∴弧的长为： ， ∵图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图， ∴弧的长即为圆锥底面的周长， 设圆锥底面圆的半径为，则， 解得：， ∴圆锥的高 ． 故答案为：． 13．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知的半径是4，点到圆心的距离为方程的一个根，则点与的位置关系是 ． 【答案】在外 【分析】本题考查了解一元二次方程，点与圆的位置关系的应用．注意：已知圆的半径为，点到圆心的距离是，①当时，点在内，②当时，点在上，③当时，点在外．先解一元二次方程，根据点与圆的位置关系求解即可． 【详解】解： ， ， 解得， 点到圆心的距离， 的半径是4， 在外， 故答案为：在外． 14．（24-25八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，在中，，是的内切，三个切点分别为点D，E，F．若，．则的面积为 【答案】30 【分析】本题考查切线长定理、三角形的内切圆及勾股定理，掌握其性质定理是解决此题的关键． 设半径为，根据切线长定理得到，，，在中，，代入求解即可得到答案，解题的关键是理解切线长定理、三角形的内切圆的性质． 【详解】解：设半径为， ∵在中，，是的内切圆， ∴在四边形中，， 四边形为矩形． 又∵， 四边形为正方形． 则， 由切线长定理知：，， ，， 在中，， ． 整理，得：， 解得，负值舍去， ，． ∴． 故答案为：30． 15．（2025·江苏淮安·二模）如图，有一块长、宽的矩形木板在桌面上按顺时针方向无滑动地翻滚，木板上顶点A的位置变化为．其中，第二次翻滚时被桌面上一个小木块挡住，使木板边沿与桌面成角，则点A翻滚到点的位置经过的路径长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是弧长的计算及矩形的性质，解答本题的关键是找准所旋转的弧的圆心和半径及圆心角的度数．第一次是点A以C为旋转中心，顺时针旋转得到，矩形的对角线长为，此次A点走过的路径为弧，第二次是点以E为旋转中心，顺时针旋转得到，此次A点走过的路径为弧，走过的总路径为两段弧长之和． 【详解】解：连接， 第一次是点A以C为旋转中心，顺时针旋转得到， 矩形的对角线长为， 此次A点走过的路径为弧，弧长； 第二次是点以E为旋转中心，顺时针旋转得到， ∵的长为，与桌面成角， ∴， ∴此次A点走过的路径为弧，弧长 ， ∴点A翻滚到点的位置路径为， 故答案为：． 16．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）如图，四边形内接于，，，，则的半径为 ． 【答案】 【分析】延长至点E，使，连接，连接并延长交于点F，连接，即可证得，进而可求得，再利用圆周角定理得到，运用含30度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：延长至点E，使，连接，连接并延长交于点F，连接， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴是的直径，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∵是直径， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，圆周角定理，等腰三角形的性质与判定等知识点，熟练掌握圆周角定理以及全等三角形的性质与判定是解题的关键． 三、解答题（11小题，共82分） 17．（24-25九年级上·江苏淮安·期末）如图，在中，弦，相交于点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，理解在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等是解题关键，证明即可证明结论． 【详解】证明：， ， ， ． 18．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，是的弦，是的直径，过点C的切线交的延长线于点D，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查切线的性质，三角形的外角性质．连接，根据为的切线，得出，又因为，得出，再利用三角形的外角性质求得的度数，据此求解即可． 【详解】解：连接，   为的切线， ， ， 又， ， ， ∴． 19．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，，．经过三点． (1)在网格图中画出圆M（包括圆心），并且点的坐标： ； (2)判断与轴的位置关系： ． 【答案】(1)见解析， (2)相交 【分析】本题考查了过三点的圆，圆与直线的位置关系，解题的关键是掌握三点定圆的方法； （1）作、的垂直平分线交于点，则为圆心，的长为半径的圆即为所求； （2）确定圆的半径及圆心到轴的距离即可判断； 【详解】（1）解：连接、，分别作、的垂直平分线交于点，以为圆心，的长为半径的圆即为所求，如图所示： 点坐标为： 故答案为：； （2）∵， 即：的半径， 点到轴的距离， ∵， ∴与轴相交， 故答案为：相交． 20．（24-25九年级上·广东阳江·阶段练习）张师傅要将一张残缺的圆形轮片恢复原貌（如图），他在该轮片上画了三个点． (1)请你帮张师傅找出此残片所在圆的圆心．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，若圆形轮片的直径为，圆心角，求弧的长． 【答案】(1)作图见详解 (2)弧的长为 【分析】本题主要考查垂直平分线的性质，弧长的计算方法，掌握垂直平分线的画法，弧长公式的计算方法是解题的关键． （1）线段的垂直平分线的交点即为圆心，根据画线段垂直平分线的方法即可求解； （2）根据弧长的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接； 分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接； 线段交于点，如图所示， ∴点即为所求圆心． （2）解：根据题意，如图所示，连接，圆形轮片的直径为，圆心角， ∴， ∴， ∴弧的长为． 21．（24-25九年级上·山东临沂·阶段练习）如图，是的直径，弦于点E，点M在上，恰好经过圆心O，连接． (1)若，，求的直径； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆的综合题：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角；垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧． （1）先根据，得出的长，进而得出的长，进而得出结论； （2）由，结合直角三角形可以求得结果； 【详解】（1）解：∵， ， 设， 又 ∵， ， ， 解得：， ∴的直径是 20 ． （2）解：， ， ， ∴， ， ． 22．（2024·湖北襄阳·模拟预测）如图，是的直径，点C在上，，与相交于点E，与相交于点F，平分． (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，根据平行线的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据切线的判定定理得到结论； （2）根据等腰三角形的性质得到，求得，求得，根据等边三角形的性质得到，， ， ，得到，推出，根据扇形和三角形的面积公式可得到结论． 【详解】（1）证明：连接．    是的直径， ．     ， ． ．     ， ． 平分， ． ． ．     是的半径，               是的切线． （2）解：， ． ，即OD⊥BC， ∴CF＝BF．     ， ． ，． 是等边三角形．     ，，． ， ． ． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形性质，扇形面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键∶ 23．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，为的直径，为上一点，弦的延长线与过点的直线互相垂直，垂足为，且，连接． (1)求证是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，则，所以，而，则，由为的直径，得，可推导出，即可证明是的切线； （2）连接，由，，求得，，而，所以，则，即可根据弧长公式求得的长是． 【详解】（1）证明：连接． 是的直径， ．         ， ， ， ， 又， ，即，              为上一点， 是的切线． （2）解：如上图，连接． ， ， ，     ，， ， ， ， ， ， ，         ， 的半径为1，         的长为． 【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、切线的判定、直角三角形的两个锐角互余、圆周角定理、弧长公式等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 24．（2023·山东济南·一模）如图，在中，以为直径的与相交于点是的切线，于E． (1)求证：； (2)若的半径为4，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查切线的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的边角关系，掌握切线的性质是解决问题的关键． （1）连接，利用切线性质可得，结合，可得，再运用平行线性质和等腰三角形的判定和性质即可证得结论； （2）由是的直径，可得，，利用等腰三角形性质可得，推出，再根据直角三角形性质得出． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵的半径为4，是的直径， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴． 25．（2024·江苏南通·模拟预测）如图，在中，，以为直径的圆O交于点D，交于点E，过点D作，垂足为F． (1)求证：为的切线； (2)若过A点且与平行的直线交的延长线于G点，连接．当是等边三角形时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，等边三角形的判定和性质等： （1）连接，根据题意可得是的中位线，从而得到，即可求证； （2）证明是的垂直平分线，可得，进而得到是等边三角形，即可解答． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的直径， ． 是等腰三角形， ， 又， ∴是的中位线， ． ， ， ∴是的切线． （2）解：∵是的直径， ． 是等边三角形， ∴是的垂直平分线， ． 又， ． 是等边三角形． ． 26．（2025·江苏泰州·三模）已知：在菱形中，对角线相交于点E，是外接圆． (1)如图1，当与相切时，求的度数； (2)若的度数发生变化且点B在外，与射线交于点F，与交于点G，如图2，当，，求菱形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可推出，，根据得出，进一步得出结果； （2）连接，作，交于W，可推出，，从而，从而得出，从而得出，，进而得出，从而得出，设，从而，在中，根据勾股定理得出，进而得出结果． 本题考查了圆的切线的性质，菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理及其逆定理等知识，解决问题的关键是作辅助线，得出等腰三角形． 【详解】（1）解：如图1， 连接， 与相切， ， ， ， ， 四边形是菱形， ，， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图2， 连接，作，交于W， ， 四边形是菱形， ∴， ， ， ， ， ， ，， ， ， 四边形是菱形， ∴ ， ， ， ， 设， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 即 ， 27．（24-25九年级下·江苏宿迁·阶段练习）【阅读】平面上两点间距离公式是解析几何中重要的公式之一，若 ，则． 【理解】请用所学知识解决问题：已知的半径为3． (1)如图1，为圆上任意一点，请探究x，y的关系式； (2)如图2，已知为切线，，且，求b与a的函数关系式； 【运用】如图3，点P在圆心为，半径为1的圆上运动，点A的坐标为，点B的坐标为，求当面积最大值时P点的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3）； 【分析】（1）根据两点间距离公式可得答案； （2）连，根据切线的性质，得方程，化简即可得到答案； （3）过上一点作，则与相切，与轴交于点，此时的面积最大为，过点作，延长与交于点，求得直线的表达式为；再计算得；可证，即，可得，根据，得横坐标为 ，设直线的表达式为：过点，代入即可求得纵坐标，即为所求坐标. 【详解】解：（1）由题可得， 即； （2）如图；连， ∵为切线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ ， 整理得：． （3）如图，过上一点作，则与相切，与轴交于点，此时的面积最大为，作点作延长与交于点， ∴， ∵的半径为， ∴， ∵， ∴设直线的表达式为：； 解得：， ∴直线的表达式为 ； ∴， ∴在， ∴， ∵在中，， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴即， 则， 在中，， 过点 作轴于点， ∵ ， ∴，解得：； ∴横坐标为 ； ∵，设直线的表达式为：过点， ∴， 将横坐标为 代入得 ， ∴， 即. 【点睛】本题考查了新定义两点间的距离公式，一次函数，三角函数，勾股定理，相似三角形，圆的综合，辅助线的画法等以及对各个知识点的综合运用，题目难度较大，熟练掌握各个知识点时解题的关键. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 对称图形—圆 （提高卷） （满分130分，考试时间120分钟，共27题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：对称图形—圆全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（8小题，每小题3分，共24分） 1．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）已知的半径为3，若，则点P与的位置关系是（ ） A．点P在内 B．点P在上 C．点P在外 D．无法判断 2．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，点在上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏南通·中考真题）如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：），则这个几何体的底面圆的周长为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·江苏南京·二模）如图，在中，弦，相交于点.若的度数为，的度数为，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，矩形纸片中，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，若，，则与的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，四边形是的内接四边形，的半径为5，，则弦的长为（    ） A． B．10 C． D．8 7．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，矩形中，，，以A为圆心，1为半径画圆A，E是圆A上一动点，P是上一动点，则最小值是（    ） A． B．2.5 C．4 D．3 8．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在长为，宽为2，高为的长方体中挖去一个与三边相切的圆柱，沿着该几何体的表面从点A到点的所有路径中，最短路径的长是（  ） A． B． C． D．4 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题3分，共24分） 9．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）圆内接四边形中，，则的度数为 10．（2025·江苏徐州·模拟预测）在“制作几何体模型”的数学活动课上，小徐用圆心角为，面积为的扇形制作几何体模型，则该扇形的半径是 ． 11．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，以的边为直径的分别交于点、，连结、，若，则 12．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，的半径为6，作正六边形，点，在上，若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥高为 ． 13．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知的半径是4，点到圆心的距离为方程的一个根，则点与的位置关系是 ． 14．（24-25八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，在中，，是的内切，三个切点分别为点D，E，F．若，．则的面积为 15．（2025·江苏淮安·二模）如图，有一块长、宽的矩形木板在桌面上按顺时针方向无滑动地翻滚，木板上顶点A的位置变化为．其中，第二次翻滚时被桌面上一个小木块挡住，使木板边沿与桌面成角，则点A翻滚到点的位置经过的路径长为 ． 16．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）如图，四边形内接于，，，，则的半径为 ． 三、解答题（11小题，共82分） 17．（24-25九年级上·江苏淮安·期末）如图，在中，弦，相交于点，．求证：． 18．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，是的弦，是的直径，过点C的切线交的延长线于点D，若，求的度数． 19．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，，．经过三点． (1)在网格图中画出圆M（包括圆心），并且点的坐标： ； (2)判断与轴的位置关系： ． 20．（24-25九年级上·广东阳江·阶段练习）张师傅要将一张残缺的圆形轮片恢复原貌（如图），他在该轮片上画了三个点． (1)请你帮张师傅找出此残片所在圆的圆心．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，若圆形轮片的直径为，圆心角，求弧的长． 21．（24-25九年级上·山东临沂·阶段练习）如图，是的直径，弦于点E，点M在上，恰好经过圆心O，连接． (1)若，，求的直径； (2)若，求的度数． 22．（2024·湖北襄阳·模拟预测）如图，是的直径，点C在上，，与相交于点E，与相交于点F，平分． (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积． 23．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，为的直径，为上一点，弦的延长线与过点的直线互相垂直，垂足为，且，连接． (1)求证是的切线； (2)若，，求的长． 24．（2023·山东济南·一模）如图，在中，以为直径的与相交于点是的切线，于E． (1)求证：； (2)若的半径为4，，求的长． 25．（2024·江苏南通·模拟预测）如图，在中，，以为直径的圆O交于点D，交于点E，过点D作，垂足为F． (1)求证：为的切线； (2)若过A点且与平行的直线交的延长线于G点，连接．当是等边三角形时，求的度数． 26．（2025·江苏泰州·三模）已知：在菱形中，对角线相交于点E，是外接圆． (1)如图1，当与相切时，求的度数； (2)若的度数发生变化且点B在外，与射线交于点F，与交于点G，如图2，当，，求菱形的面积． 27．（24-25九年级下·江苏宿迁·阶段练习）【阅读】平面上两点间距离公式是解析几何中重要的公式之一，若 ，则． 【理解】请用所学知识解决问题：已知的半径为3． (1)如图1，为圆上任意一点，请探究x，y的关系式； (2)如图2，已知为切线，，且，求b与a的函数关系式； 【运用】如图3，点P在圆心为，半径为1的圆上运动，点A的坐标为，点B的坐标为，求当面积最大值时P点的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $