第2章 圆能力提升测试卷-2025-2026学年九年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（苏科版）

第2章 圆能力提升测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1． 单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．如图，的边经过圆心，与圆相切于点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 2．如图，过外一点P画的切线，图中画法的根据是（   ）    A．直径所对的圆周角是直角 B．切线长定理 C．切线的性质定理 D．切线的判定定理 3．如图，是的直径，点A，B在上．若，，则（   ） A． B． C． D． 4．如图，在上，弦相交于点，，则圆周角的度数为（   ） A． B． C． D． 5．已知的半径是，线段的长为，则点P（   ） A．在外 B．在上 C．在内 D．不能确定 6．一个圆锥的底面半径为5cm，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的母线长为（   ） A．8cm B．12cm C．16cm D．24cm 7．如图，是的外接圆，已知，则的大小为（   ） A． B． C． D． 8．如图，正六边形螺帽的边长为4，则这个螺帽的面积是（   ） A． B．6 C．24 D．12 9．如图，是正五边形的内切圆，分别切，于点是优弧上的一点，则的度数为（ ） A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，点在线段上，与轴交于、两点，当与该一次函数的图象相切时，的长度是（   ） A．3 B．4 C．2 D．6 11．如图，先以正方形的边为直径画圆，然后以A为圆心，为半径画，最后以的中点E为圆心，为半径画与交于点 F，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．4 D． 12．如图，的半径为1，点A是半圆上的一个三等分点，点B是弧的中点，P是直径MN上的一个动点，则的最小值为（　　） A． B． C．1 D． 2． 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13．如图，四边形是的外切四边形，，．则四边形的周长为 ． 14．如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点的直线折叠，点恰好落在上的点处，折痕交于点，则的长为 ． 15．如图，一铁球垂直于地面砸下一个球坑，球坑最大宽度为，最大深度为，则球体的半径为 ． 16．如图，在长方形中，，E点是的中点，点F是边上的一个动点，将沿所在的直线翻折，得，则长的最小值是 ． 3． 解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）如图，是的直径，弦于点E，点M在上，恰好经过圆心O，连接． (1)若，，求的直径； (2)若，求的度数． 18．（8分）如图，已知． (1)利用直尺和圆规作出的内切圆； (2)若的周长为，面积为，求它的内切圆的半径． 19．（8分）如图，在中，，D为上一点，以为直径的与相切于点E，交于点F，过F点做，垂足为G． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 20．（8分）数学活动课上老师提到我们身边很多事物都蕴含着数学知识，班上的数学兴趣小组决定趁着游玩之便对摩天轮进行实地调研．摩天轮位于儿童公园内，摩天轮上均匀分布60个吊舱，顺时针匀速旋转一周需要20分钟．小组成员使用秒表和手机的测距功能，记录某个吊舱从最低点旋转到不同位置距地面的高度（h）和所用的时间（t）的数据，并绘制图像如图1．请根据图1中信息回答： (1)在这个变化过程中，自变量是________，因变量是________； (2)摩天轮最高点距地面________米，摩天轮最低点距地面________米； (3)如图2，摩天轮某个吊舱从点A旋转到点B需4分钟，那么请你求出这个吊舱从点A顺时针旋转到点B所走的路径的长度．（结果保留） 21．（8分）如图1，某公园有一个圆形音乐喷泉，为了保障游客安全，管理部门打算在喷泉周围设置一圈防护栏，现在对喷泉进行测量和规划，其示意图如图2所示，相关信息如下： 信息一：点O为喷泉中心，是喷泉边缘的一条弦，米，D是弦的中点，连接并延长，交劣弧于点C，米． 信息二：已知防护栏要距离喷泉边缘1米，以O为圆心，R为半径作防护栏所在圆．请根据以上信息解答下列问题 (1)求喷泉的半径； (2)要在防护栏上每隔米安装一盏景观灯，大约需要安装多少盏景观灯？（取，结果保留整数） 22．（10分）图1是木马玩具底座水平放置的示意图．点O是所在圆的圆心，的半径为，已知点A，B之间的水平距离为，且两点距离地面的竖直高度一样高． (1)求点A的竖直高度； (2)将图1的木马玩具沿地面向右作无滑动的滚动，当与相切于点B时，如图2，点A的竖直高度升高了多少？（参考数据：） 23．（10分）音乐课上，老师带领同学们自制弹拨乐器，将空心不带盖的塑料圆管放置在水平台面上，底部用两个完全相同的长方体木块固定（图），图为其截面示意图，半径为的与水平台面相切于点，点在上，两木块之间的距离． (1)直接写出的度数； (2)求长方体木块的高； (3)如图，弦交于，且． 操作：将塑料圆管沿切割取下面的部分，得到图中的型塑料管，将拨弦线与型截面平行，并套在型塑料管上便得到自制弹拨乐器． 计算：求每一根拨弦线的长． 24．（12分）在平面直角坐标系中，给定Q点和直线l．对不在直线l上的点P给出如下定义：作出P关于直线l的对称点，当时，称点P是点Q关于直线l的“反射点”．在点Q关于直线l的所有“反射点”中，到点Q距离最小的点P称为点Q关于直线l的“反射极小值点”，到点Q距离最大的点P称为点Q关于直线l的“反射极大值点”． (1)已知直线． ①对于点，在点，，，中，点Q关于直线l的“反射极大值点”是______，“反射极小值点”是______； ②已知点Q在直线上，若点Q关于直线l的“反射极大值点”与“反射极小值点”的距离之比为，则点Q的坐标为______； (2)已知点，直线l恒过点．记点Q关于直线l的“反射极大值点”为，“反射极小值点”为．当直线l绕点旋转时，直接写出与的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 圆能力提升测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1． 单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．如图，的边经过圆心，与圆相切于点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是切线的性质、圆周角定理. 连接，根据圆周角定理求出，根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质计算，得到答案． 【详解】解：连接， ， ， 与圆相切于点， ， ， 故选：C． 2．如图，过外一点P画的切线，图中画法的根据是（   ）    A．直径所对的圆周角是直角 B．切线长定理 C．切线的性质定理 D．切线的判定定理 【答案】D 【分析】根据切线的判定定理解答即可． 本题考查了切线的判定定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 由为直径， 故， 根据切线的判定定理，可知为的切线， 故选：D．    3．如图，是的直径，点A，B在上．若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弧之间的关系以及圆周角定理，解题的关键是利用等弧对等圆心角求出相关圆心角的度数，再结合圆周角与圆心角的关系计算角度． 由等弧可得等圆心角，再根据圆周角定理，圆周角的度数等于它所对弧上圆心角度数的一半，求出的度数． 【详解】解：连接， ∵， ∴． ∵是所对的圆周角，是所对的圆心角， ∴，即． 故选：B． 4．如图，在上，弦相交于点，，则圆周角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理和三角形的外角性质．根据同弧所对的圆周角相等求得，再根据三角形的外角的性质可得， 即可求出的度数． 【详解】解：， ， ，， ． 故答案选：C． 5．已知的半径是，线段的长为，则点P（   ） A．在外 B．在上 C．在内 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点到圆心的距离和圆的半径之间的大小关系，即可判断点和圆的位置关系．点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外． 【详解】解：∵的半径是，线段的长为， ∴点P到圆心的距离小于圆的半径， ∴点P在内． 故选：C． 6．一个圆锥的底面半径为5cm，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的母线长为（   ） A．8cm B．12cm C．16cm D．24cm 【答案】B 【分析】设圆锥的母线长为，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，然后解方程即可． 【详解】解：设圆锥的母线长为， 根据题意得：， 解得．即圆锥的母线长为. 故选：B． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 7．如图，是的外接圆，已知，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和性质定理，等边对等角，圆周角定理，先根据三角形内角和性质，等边对等角，求出，根据，则，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴ 即， ∵， ∴， 故选：C 8．如图，正六边形螺帽的边长为4，则这个螺帽的面积是（   ） A． B．6 C．24 D．12 【答案】C 【分析】本题主要考查了正多边形， 先画出图形，可知，再作，即可求出，然后根据勾股定理求出，进而求出答案. 【详解】解：设正六边形的中心O，一边是，则，作于点G， 可知是等边三角形，且正六边形是由6个等边三角形组成. 如图，在中，， ∴， ∴， 所以这个正六边形的面积. 故选：C. 9．如图，是正五边形的内切圆，分别切，于点是优弧上的一点，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正多边形内角和问题，圆周角定理，切线的性质，解题的关键是掌握多边形内角和公式．据正五边形的性质求出，再根据切线的性质得出，由五边形的内角和求出，由圆周角定理即可得出答案． 【详解】解：∵是正五边形的内切圆，分别切，于点， 连接，， ∴， ∵五边形是正五边形， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，点在线段上，与轴交于、两点，当与该一次函数的图象相切时，的长度是（   ） A．3 B．4 C．2 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了切线的判定与性质、一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理、平行线分线段成比例定理，根据一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，求出和的长，根据勾股定理求出，设与轴相切于点，连接，，设，根据列出关于的方程，求出，即可求出答案． 【详解】解：当时，， 当时，， ， 一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点， ，， ，， 在中， ， 如图，设与直线轴相切于点，连接，， ，， 设， ． ， ， 解得， ． 故选：C． 11．如图，先以正方形的边为直径画圆，然后以A为圆心，为半径画，最后以的中点E为圆心，为半径画与交于点 F，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查圆面积的计算，正方形的性质，根据圆面积，扇形面积的计算方法以及图形中各个部分面积之间的和差关系进行计算即可． 【详解】解：如图， 空白①的面积为， 空白部分②的面积， 所以阴影部分的面积 ， 故选：A． 12．如图，的半径为1，点A是半圆上的一个三等分点，点B是弧的中点，P是直径MN上的一个动点，则的最小值为（　　） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦之间的关系、求线段和的最小值、勾股定理等，熟练掌握相关知识点，并作出适当的辅助线是解题的关键； 作点A关于的对称点，由轴对称的性质确定的最小值为的长，再利用圆的知识和勾股定理求出的长． 【详解】由题知，的半径为1，为的直径，故， 如图，作点A关于的对称点，连接，，， 则， 当三点共线时，取得最小值，为的长， 点A是半圆上的一个三等分点， ， 点B是弧的中点， ， 点与点关于直径对称， ， ， 又， 由勾股定理得，， 的最小值为． 故选：A． 2． 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13．如图，四边形是的外切四边形，，．则四边形的周长为 ． 【答案】48 【分析】本题考查了切线长定理，掌握从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等是解题的关键． 根据切线长定理得到，得到，根据四边形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：如图，令与边的切点分别为E，F，G，H， ∵四边形是的外切四边形， ∴， ∴ ∴， ∴四边形的周长为 ． 故答案为：48． 14．如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点的直线折叠，点恰好落在上的点处，折痕交于点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长的计算，翻折变换（折叠问题）．如图，连接．根据折叠的性质、圆的性质推知是等边三角形，则易求；然后根据弧长公式弧长的公式计算求解． 【详解】解：如图，连接，    根据折叠的性质知，， 又， ，即是等边三角形． ． ， ． ∴的长为． 故答案为：． 15．如图，一铁球垂直于地面砸下一个球坑，球坑最大宽度为，最大深度为，则球体的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理解应用题，涉及垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理与勾股定理综合求线段长的方法是解决问题的关键．读懂题意，连接，过点作于点，连接，如图所示，由垂径定理得到，设，则， 在中，由勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】解：连接，过点作于点，连接，如图所示： 由题意可知，，， ， 设，则， 在中，由勾股定理可得，则， 解得， 故答案为：． 16．如图，在长方形中，，E点是的中点，点F是边上的一个动点，将沿所在的直线翻折，得，则长的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查线段的最值问题，涉及隐圆，轴对称的性质，勾股定理等，找出点G的运动轨迹是解题的关键． 由轴对称的性质可得长度不变，因此点G在以点E为圆心，长为半径的圆上，进而可得当点G在线段上时，的长取最小值． 【详解】解：以点E为圆心，长度为半径作圆，连接，当点G在线段上时，的长取最小值，如图所示： 长方形中，，E点是的中点， ，，， ， ， 即长的最小值是， 故答案为：． 3． 解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）如图，是的直径，弦于点E，点M在上，恰好经过圆心O，连接． (1)若，，求的直径； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆的综合题：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角；垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧． （1）先根据，得出的长，进而得出的长，进而得出结论； （2）由，结合直角三角形可以求得结果； 【详解】（1）解：∵， ， 设， 又 ∵， ， ， 解得：， ∴的直径是 20 ． （2）解：， ， ， ∴， ， ． 18．（8分）如图，已知． (1)利用直尺和圆规作出的内切圆； (2)若的周长为，面积为，求它的内切圆的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图—复杂作图、三角形的内切圆与内心，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）先分别作和的平分线，相交于点，再过点作于点，以点为圆心，的长为半径画圆，即可得的内切圆． （2）设的内切圆分别与相切于点，连接，由已知条件可得，由此可得的长，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，先分别作和的平分线，相交于点，再过点作于点，以点为圆心，的长为半径画圆， 则即为所求． （2）解：设的内切圆分别与，相切于点，，连接，，， 的周长为， ． 的面积为，， ， ， 它的内切圆的半径为． 19．（8分）如图，在中，，D为上一点，以为直径的与相切于点E，交于点F，过F点做，垂足为G． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查切线的性质和判定、勾股定理、等腰三角形的性质、正方形的判定和性质等知识点，正确作出辅助线构造平行线和正方形是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质可证可证，易得即可证明结论； （2）由切线的性质可证四边形是正方形可得，设半径为r，由可得，利用勾股定理求出，再在直角三角形中运用勾股定理计算即可解答． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴∠C＝∠OFC， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵是半径， ∴是的切线． （2）解：如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∵与相切于点E， ∴， ∴四边形是长方形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， 设的半径为r，则， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ， ∴． 20．（8分）数学活动课上老师提到我们身边很多事物都蕴含着数学知识，班上的数学兴趣小组决定趁着游玩之便对摩天轮进行实地调研．摩天轮位于儿童公园内，摩天轮上均匀分布60个吊舱，顺时针匀速旋转一周需要20分钟．小组成员使用秒表和手机的测距功能，记录某个吊舱从最低点旋转到不同位置距地面的高度（h）和所用的时间（t）的数据，并绘制图像如图1．请根据图1中信息回答： (1)在这个变化过程中，自变量是________，因变量是________； (2)摩天轮最高点距地面________米，摩天轮最低点距地面________米； (3)如图2，摩天轮某个吊舱从点A旋转到点B需4分钟，那么请你求出这个吊舱从点A顺时针旋转到点B所走的路径的长度．（结果保留） 【答案】(1)t和h (2)108和3 (3) 【分析】本题考查了用图象表示变量之间的关系，正确识别函数图象中的信息是解题的关键． （1）根据这个变化过程中变化的量可得答案； （2）根据图象读取信息求解即可； （3）根据用圆的周长除以20分钟，得出每分钟走过的路径长，再乘以4分钟即可求解． 【详解】（1）解：在这个变化过程中，自变量是t， 因变量是h； 故答案为：t，h； （2）根据图形可知，摩天轮最高点距地面108（米），摩天轮最低点距地面3（米）； 故答案为：108，3； （3）∵摩天轮最高点距地面108米，最低点距离地面3米， ∴摩天轮的直径是105米， ∴（米） 答：所走的路径的长度是米． 21．（8分）如图1，某公园有一个圆形音乐喷泉，为了保障游客安全，管理部门打算在喷泉周围设置一圈防护栏，现在对喷泉进行测量和规划，其示意图如图2所示，相关信息如下： 信息一：点O为喷泉中心，是喷泉边缘的一条弦，米，D是弦的中点，连接并延长，交劣弧于点C，米． 信息二：已知防护栏要距离喷泉边缘1米，以O为圆心，R为半径作防护栏所在圆．请根据以上信息解答下列问题 (1)求喷泉的半径； (2)要在防护栏上每隔米安装一盏景观灯，大约需要安装多少盏景观灯？（取，结果保留整数） 【答案】(1)5米 (2)25盏 【分析】本题考查垂径定理，求圆的周长，熟练掌握垂径定理，是解题的关键． （1）连接，设喷泉的半径为，根据垂径定理和勾股定理进行求解即可； （2）根据喷泉的半径求出防护栏的半径，进而求出防护栏的周长，进行求解即可． 【详解】（1）解：连接，设喷泉的半径为，则：， ∴， ∵D是弦的中点， ∴平分弦，， ∴， ∴， ∴， 解得：米； 答：喷泉的半径为5米； （2）解：由题意，得：（米）， （盏）； 答：大约需要安装25盏景观灯． 22．（10分）图1是木马玩具底座水平放置的示意图．点O是所在圆的圆心，的半径为，已知点A，B之间的水平距离为，且两点距离地面的竖直高度一样高． (1)求点A的竖直高度； (2)将图1的木马玩具沿地面向右作无滑动的滚动，当与相切于点B时，如图2，点A的竖直高度升高了多少？（参考数据：） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作于点C交于点D，则为切点，根据勾股定理求出长即可解题； （2）过点作于点，根据列方程解题即可． 【详解】（1）解：过点作于点C交于点D，则为切点， ∵A，B两点距离地面的竖直高度一样高， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点A的竖直高度； （2）解：过点作于点， 则A点到地面的距离为长，设，则， ∴，即， 解得， ∴点A的高度升高为． 23．（10分）音乐课上，老师带领同学们自制弹拨乐器，将空心不带盖的塑料圆管放置在水平台面上，底部用两个完全相同的长方体木块固定（图），图为其截面示意图，半径为的与水平台面相切于点，点在上，两木块之间的距离． (1)直接写出的度数； (2)求长方体木块的高； (3)如图，弦交于，且． 操作：将塑料圆管沿切割取下面的部分，得到图中的型塑料管，将拨弦线与型截面平行，并套在型塑料管上便得到自制弹拨乐器． 计算：求每一根拨弦线的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）利用切线的性质解答即可； （）过点作于，连接，可证四边形是矩形，得到，进而可证明四边形是矩形，得到，即得点在同一直线上，得到四边形是矩形，即得到，，得到，最后利用勾股定理求出即可求解； （）由弦交于，可得，即得，，又由等腰三角形的性质可得，即得，进而求出线段和的长，再相加即可求解． 【详解】（1）解：∵是的切线，切点为， ∴， ∴； （2）解：过点作于，连接，如图， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴点在同一直线上， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：长方体木块的高为； （3）解：∵弦交于，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴, ∴， 又∵的长， ∴每一根拨弦线的长为． 【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，弧长公式，勾股定理，矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质等，掌握知识点的应用是解题的关键． 24．（12分）在平面直角坐标系中，给定Q点和直线l．对不在直线l上的点P给出如下定义：作出P关于直线l的对称点，当时，称点P是点Q关于直线l的“反射点”．在点Q关于直线l的所有“反射点”中，到点Q距离最小的点P称为点Q关于直线l的“反射极小值点”，到点Q距离最大的点P称为点Q关于直线l的“反射极大值点”． (1)已知直线． ①对于点，在点，，，中，点Q关于直线l的“反射极大值点”是______，“反射极小值点”是______； ②已知点Q在直线上，若点Q关于直线l的“反射极大值点”与“反射极小值点”的距离之比为，则点Q的坐标为______； (2)已知点，直线l恒过点．记点Q关于直线l的“反射极大值点”为，“反射极小值点”为．当直线l绕点旋转时，直接写出与的取值范围． 【答案】(1)①，；②或 (2)； 【分析】（1）①由定义知：在上或内，又P与关于直线l对称，则P在关于直线l对称的圆上或圆内．先将关于直线l对称得到，则，由图可知点，，都在上，最小为2，最大为4，故符合定义的点为，； ②由定义可知，连接交于点M、N，如图2所示，所以，，所以，，设，由两点间距离公式可得方程，解之即可得Q点坐标； （2）如图3所示，作关于过的动直线l对称的，即的圆心在以为圆心、2为半径的上，则此时的“反射极大值”点为点，“反射极小值”点为点，根据在转动过程中，会经过点Q，结合图形，分别得出和的取值范围即可． 【详解】（1）解：由定义知：在上或内，又P与关于直线l对称，则P在关于直线l对称的圆上或圆内； ①如图1所示，将关于直线l对称得到，则， ∵点P是点Q关于直线与的“反射极值点”， 则点P必在上，且的距离必须为所有符合条件中的P中的最大值或最小值， ∵，，都在上，最小为2，最大为4， 故符合定义的点为，， 故答案为：；； ②由定义可知，连接交于点M、N，如图2所示， 则由定义可知，为点Q关于直线与的“反射极大值点”N的距离， 为点Q关于直线与的“反射极小值点”的距离， 所以，， 所以，， 设，由两点间距离公式可得：， 解得或4， 故或， 故答案为：或； （2）解：如图3所示，作关于过的动直线l对称的对称， 即的圆心在以为圆心、2为半径的上， 则此时的“反射极大值”点为点，“反射极小值”点为点， ∵，， ∴， ∴的最大值为：，最小值为：， ∴的取值范围为：； ∵在转动过程中，会经过点Q， ∴的最小值为0， 最大值为：， ∴的取值范围为：． 【点睛】本题是一道为圆为背景的新定义型综合题，考查了轴对称的性质，一次函数的性质，勾股定理，点圆最值，其本质还是点圆最值，熟练掌握以上内容并理解新定义下的本质是解题关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $