专题02 圆重难点题型汇编（十三大题型）-2025-2026学年九年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（苏科版）

专题02圆重难点题型汇编 【题型01 ：垂径定理及应用】................................................................................................1 【题型02 ：点与圆上一点最值问题】....................................................................................3 【题型03 ：直线与圆的位置关系的判定】.............................................................................5 【题型04：切线判定与性质综合】.........................................................................................6 【题型05 ：圆周角定理】.......................................................................................................8 【题型06：圆内接四边形】......................................................................................................10 【题型07：三角形的内切圆】..................................................................................................11 【题型08：三角形的外接圆】..................................................................................................12 【题型09 ：正多边形与圆的综合】.......................................................................................13 【题型10 ：弧长和扇形的面积】..........................................................................................14 【题型11 ：圆锥的侧面积】..................................................................................................16 【题型12 ：不规则图形的阴影面积】...................................................................................18 【题型13 ：圆锥侧面最短路径问题】..................................................................................18 【题型01 ：垂径定理及应用】 1．如图，是的弦，若的半径，圆心O到弦的距离，则弦的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？用数学语言可表述为：如图，为的直径，弦于寸，寸，求半径的长（    ） A．12寸 B．15寸 C．14寸 D．13寸 3．如图1是一个底部呈球形的烧瓶，图2为底部球形的横截面，阴影部分为液体部分，若横截面的半径为，瓶内液体的宽度，则瓶内液体的最大深度 ． 4．如图，是的外接圆，圆心在这个三角形的高上，，，则的半径长为 ． 5．“天下名瓷出醴陵”，湖南省醴陵是釉下五彩瓷的原产地，生产的瓷器闻名四方，远销世界各地．如图是醴陵生产的某种瓷碗的正面的形状示意图．是的一部分，D是的中点，连接，与弦交于点C，连接．已知，碗深，则的半径为 ． 6．阅读材料，回答问题． 材料背景 遇龙桥（如图①）为虹式单拱石桥，是广西历史上的名桥．若某一时刻，将主桥拱抽象成如图②所示的图形，且测得水面宽度为，拱高（孤的中点到水面的距离）为． 问题解决 (1)确定主桥拱半径。求主桥拱所在圆的半径． (2)确定水面宽度。若大雨过后，桥下水面上升，求此时水面的宽度． 7．如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度为，拱高为，当洪水泛滥到跨度只有时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有，即时，试求： (1)拱桥所在的圆的半径； (2)通过计算说明是否需要采取紧急措施． 【题型02 ：点与圆上一点最值问题】 1．如图，为的直径，A、B是上的两点，过A作于点C，过B作于点D， P为上的任意一点，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．如图，矩形中，，以A为圆心，2为半径作．若点E在上，点P在上，则的最小值是（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 3．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，D是以点为圆心，1为半径的圆上的动点，E是线段AD的中点，连接OE，BD，则线段OE的最小值是（    ） A． B．2 C． D． 4．如图，抛物线与轴交于，两点，是以点为圆心，为半径的圆上的动点，是线段的中点，连结、则线段的最大值是（    ） A． B．3 C． D． 5．如图，在菱形中，，，、的半径分别为2和1，点、、分别是边、和上的动点，则的最小值是 ．    6．如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的一动点，过P作PA⊥PB， A、B都在x轴上，且关于原点O对称，则AB的最小值为 ． 【题型03 ：直线与圆的位置关系的判定】 1．已知的半径为，圆心到直线l的距离为，则直线与的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切 2．如图，在平面直角坐标系中， ⊙O的半径是1，直线AB与x轴交于点P(x，0)，且与x轴的正半轴夹角为45°，若直线AB与⊙O有公共点，则x值的范围是(　　) A． B． C． D． 3．如图，已知的半径是1，圆心P在抛物线上运动．当与x轴相切时，圆心P的坐标为 ． 4．如图，直线，垂足为H，点P在直线b上，，点O在线段上，若以点O为圆心，长为半径的圆与直线a相交，则的取值范围为 ． 5.如图，直线l与x轴、y轴分别相交于点A、B，已知B（0，），，点P的坐标为，与y轴相切于点O，若将沿x轴向左移动，当与该直线相交时，横坐标为整数的点P的坐标 ． 【题型04：切线判定与性质综合】 1．如图，与的边相切于点D，与边交于点B，D为的中点，连接，，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的面积． 2．如图，为等腰三角形，O是底边的中点，腰与相切于点D． (1)求证：是的切线． (2)已知：，，求的半径是多少？ 3．如图，为的直径，P在的延长线上，C为圆上一点，且．    (1)求证：与相切； (2)若，，求的半径． 4．如图，是的直径，为上的一点，的平分线交于点，过点的直线交的延长线于点，交的延长线于点．且．    (1)求证：为的切线； (2)若，，直接写出半径的长． 5．如图，在中，，以为直径作交于点D，交的延长线于点E，连接，过点D作，垂足为点F． (1)求证：是的切线； (2)如果，，求的半径． 6．如图，在中，平分交于点，以点为圆心、的长为半径的与相切于点A，与相交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求和的长． 【题型05 ：圆周角定理】 1．如图，在半圆中，弦等于半径，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2.如图，是的直径，点C，D在上．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，，为的弦，为的直径，，相交于点E，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，是的直径，是的弦，且，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．如图，是的一条弦，，垂足为C，交于点D，点E在优弧上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，是的直径，点C，D在上，连接若，则的度数为（   ）. A． B． C． D． 【题型06：圆内接四边形】 1．如图，已知四边形是的内接四边形，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，E 在上 ， 若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，点、、、在上，点是延长线上一点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，四边形内接于，，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，点在优弧上，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【题型07：三角形的内切圆】 1．如图，边长为a的正三角形的内切圆半径是（    ） A． B． C． D． 2．如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，且，的周长为14，则的长为 ． 3．如图所示的是周长为的三角形纸片，小刚想用剪刀剪出它的内切圆，他先沿着与相切的剪下了一个三角形纸片．若，则三角形纸片的周长为 ． 【题型08：三角形的外接圆】 1．三角形的外心就是三角形外接圆圆心，是三角形（   ） A．三边上的高线的交点 B．三边中线的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三个内角平分线的交点 2．如图，直角坐标系中，经过A，B，C三点的圆，圆心为M，则点M的坐标为（　　） A． B． C． D． 3．如图，已知．    (1)用直尺和圆规作的外接圆（保留作图的痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若的半径为5，点到的距离为3，求的长． 【题型09 ：正多边形与圆的综合】 1．如图，正六边形内接于，若的半径等于3，则正六边形的边长的长为（   ） A． B．3 C．6 D．9 2．如图，正五边形内接于⊙O，点F是劣弧上一点(点F不与点D，E重合)，连接，，则（   ） A． B． C． D． 3．如图，小辉用了14个全等的正七边形排列（图形不重叠，且每相邻的两个正七边形有一边重合），形成一个圆环状，图中所示的是其中3个正七边形的位置．如果我们用个全等的正九边形也按照同样的方式排列，形成一个圆环状，则的取值可以是（   ） A．6，16 B．6，18 C．8，16 D．8，18 4．刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率．如图，内部多边形为的内接正十二边形，若的半径为2，则这个圆内接正十二边形的面积为（   ） A．1 B． C．12 D． 5．如图，A，B，C，D为·一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 6．如图，正五边形内接于，点F为劣弧上一点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【题型10 ：弧长和扇形的面积】 1．如图，将绕着点O顺时针旋转后得到，若，则的长度为（　　） A． B． C． D． 2．动滑轮是日常生活中常用的简单机械，它既方便又省力.如图，用一个直径为12的动滑轮带动重物上升，滑轮上一点绕滑轮中心旋转了，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（   ） A． B． C． D． 3．如图，正五边形内接于，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．圆心角为，半径为的扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 5．习近平总书记强调，中华优秀传统文化是中华民族的根和魂，乐陵市某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角，现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为（   ）． A． B． C． D． 6．如图是型号为26英寸（车轮的直径为26英寸，约66cm）的自行车，现要在自行车两轮的阴影部分（分别以C，D为圆心的两个扇形）装上挡水的铁皮，量出四边形ABCD中，，那么安装单侧（阴影部分）需要的铁皮面积约是（   ） A． B． C． D． 【题型11 ：圆锥的侧面积】 1．圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为（    ）． A． B． C． D． 2．已知圆锥的侧面积为，母线长为5，则圆锥的底面半径是 ． 3．如图，圆锥的底面圆心为，顶点为，母线长为，母线与高的夹角为，那么圆锥侧面展开图的面积为 ． 4．如图1所示的蛋筒冰淇淋由上下两个圆锥组成，图2为其主视图，其中，，若上圆锥的侧面积为2，则下圆锥的侧面积为 ． 【题型12 ：不规则图形的阴影面积】 1．如图，为的直径，点在上，连接．若，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 2．如图，正方形的边长为2，O为对角线的交点，点E，F分别为，的中点．以C为圆心，为半径作圆弧，再分别以E，F为圆心，为半径作圆弧，，则图中阴影部分的面积为（    ）      A． B． C． D． 3．如图，扇形中，，，点C为上一点，将扇形沿折叠，使点B的对应点落在射线上，则图中阴影部分的面积为 ． 4．如图，将半径的半圆绕点按顺时针方向旋转，此时点到了点，则图中涂色部分的面积为 ． 5．如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转后得到，点经过的路径为，将线段绕点顺时针旋转后，点恰好落在上的点处，点经过的路径为，则图中阴影部分的面积是 （结果保留） 【题型13 ：圆锥侧面最短路径问题】 1．如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是1，母线长是4． （1）求这个圆锥的侧面展开图中∠ABC的度数． （2）如果A是底面圆周上一点，一只蚂蚁从点A出发，绕圆锥侧面一圈再回到A点，求这只蚂蚁爬过的最短距离． 2．综合与实践 【主题】制作圆锥形生日帽 【素材】①一张圆形纸板；②一条装饰彩带． 【实践操作】 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 【实践探索】在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 3．综合与实践 问题情境：如图1，将一个圆心角为、半径为R 的扇形，可制作成圆锥（如图2），圆锥的底面半径为r，点A与点重合，工人在制作圆锥形物品时，通常要先确定扇形圆心角度数，再度量裁剪材料． (1)探索尝试：图1中，圆锥侧面扇形的弧长与圆锥底面周长_____（填“相等”或“不相等”）． (2)解决问题：为操作简便，工人希望能简洁求 n的值，请用含 r， R的式子表示 n； (3)拓展延伸： 图 3是一种纸质圆锥形生日帽，，C是中点，现要从点A到点 C再到点A之间拉一装饰彩带（如图4），求彩带长度的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02圆重难点题型汇编 【题型01 ：垂径定理及应用】................................................................................................1 【题型02 ：点与圆上一点最值问题】....................................................................................6 【题型03 ：直线与圆的位置关系的判定】.............................................................................13 【题型04：切线判定与性质综合】.........................................................................................19 【题型05 ：圆周角定理】.......................................................................................................30 【题型06：圆内接四边形】......................................................................................................34 【题型07：三角形的内切圆】..................................................................................................38 【题型08：三角形的外接圆】..................................................................................................40 【题型09 ：正多边形与圆的综合】.......................................................................................42 【题型10 ：弧长和扇形的面积】..........................................................................................47 【题型11 ：圆锥的侧面积】..................................................................................................52 【题型12 ：不规则图形的阴影面积】...................................................................................54 【题型13 ：圆锥侧面最短路径问题】..................................................................................59 【题型01 ：垂径定理及应用】 1．如图，是的弦，若的半径，圆心O到弦的距离，则弦的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，利用点到直线的距离的定义得到，则根据垂径定理得到，然后利用勾股定理计算出，从而得到的长，也考查了勾股定理． 【详解】解：∵圆心O到弦的距离， ， ， 在中，，， ∴， ． 故选：C． 2．《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？用数学语言可表述为：如图，为的直径，弦于寸，寸，求半径的长（    ） A．12寸 B．15寸 C．14寸 D．13寸 【答案】D 【分析】连接，设的半径为寸，则寸，寸，先根据垂径定理得到寸，再利用勾股定理得到，然后解方程求出．本题考查了垂径定理的应用：把垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 【详解】连接， 设的半径为寸，则寸，寸， 寸， 在中，， 解得， 故选：D． 3．如图1是一个底部呈球形的烧瓶，图2为底部球形的横截面，阴影部分为液体部分，若横截面的半径为，瓶内液体的宽度，则瓶内液体的最大深度 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查的是垂径定理的应用及勾股定理． 根据题意可得出，由垂径定理得，由勾股定理得出，则液体的最大深度． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∴， ∴液体的最大深度， 故答案为：． 4．如图，是的外接圆，圆心在这个三角形的高上，，，则的半径长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据垂径定理求出,根据勾股定理求出,设的半径为，则，，再根据勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接, 是的外接圆，圆心在这个三角形的高上， ,, 在中，， 设的半径为，则，， 在中，, ， 解得， 故答案为：． 5．“天下名瓷出醴陵”，湖南省醴陵是釉下五彩瓷的原产地，生产的瓷器闻名四方，远销世界各地．如图是醴陵生产的某种瓷碗的正面的形状示意图．是的一部分，D是的中点，连接，与弦交于点C，连接．已知，碗深，则的半径为 ． 【答案】13 【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，三线合一，勾股定理，根据D是的中点，得到，三线合一，得到，，设半径为，在中，利用勾股定理，进行求解即可． 【详解】解：∵是的一部分，D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，， 设的半径为，则：，， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； 故答案为：13． 6．阅读材料，回答问题． 材料背景 遇龙桥（如图①）为虹式单拱石桥，是广西历史上的名桥．若某一时刻，将主桥拱抽象成如图②所示的图形，且测得水面宽度为，拱高（孤的中点到水面的距离）为． 问题解决 (1)确定主桥拱半径。求主桥拱所在圆的半径． (2)确定水面宽度。若大雨过后，桥下水面上升，求此时水面的宽度． 【答案】(1)主桥拱所在圆的半径为 (2)此时水面的宽度为 【分析】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理的应用，熟练掌握以上两个应用是关键. （1）连接，设半径，在中，利用勾股定理列方程求解. （2）先求OG，再利用勾股定理求GF，最后利用垂径定理求EF. 【详解】（1）解：如图①，设主桥拱所在圆的圆心为O，连接． 是的中点，， 三点在一条直线上， ． 设，则． 在中，由勾股定理，得， 即，解得． 故主桥拱所在圆的半径为． （2）解：如图②，记桥下水面上升所在水面为，交于点G，连接． 由题意，得 , ． 在中，由勾股定理， 得, ． 故此时水面的宽度为． 7．如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度为，拱高为，当洪水泛滥到跨度只有时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有，即时，试求： (1)拱桥所在的圆的半径； (2)通过计算说明是否需要采取紧急措施． 【答案】(1) (2)不需要，见解析 【分析】本题主要考查垂径定理的应用以及勾股定理的应用，利用勾股定理求得圆弧所在的半径是解题的关键，注意方程思想的应用． （1）由垂径定理可知、，再在中，由勾股定理得出方程，即可求出半径； （2）求出，再由勾股定理可得，则，即可得出结论． 【详解】（1）解：设圆弧所在圆的圆心为，连接、，则O、P、M三点共线， 设半径为， 则， 由垂径定理可知，， ， ， 在中，， 由勾股定理可得：， 即， 解得：， 即拱桥所在的圆的半径为； （2）解：， ， 在中，由勾股定理可得， ， 不需要采取紧急措施． 【题型02 ：点与圆上一点最值问题】 1．如图，为的直径，A、B是上的两点，过A作于点C，过B作于点D， P为上的任意一点，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据，，用勾股定理计算得到；延长与⊙O相交于点G，推导得当点P在直线上时，取最小值；过G作于点H，经证明四边形是矩形，并经勾股定理计算即可得到的值，即可完成求解． 【详解】解：如图，连接， ∵过A作于点C，过B作于点D， ∴，， ∵，A、B是上的两点， ∴ ， ∴，， ∴，， ∴ ， 延长与⊙O相交于点G， ∵MN为的直径，， ∴，， ∴ ， 当点P在直线上时，取最小值，且最小值， 过G作于点H， 又∵， ∴，， ， ∴四边形是矩形， ∴， ， ∴ ， ∴ ， ∴的最小值是：， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理、垂径定理、矩形、两点之间线段最短的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理、垂径定理、矩形、两点之间线段最短的性质，从而完成求解． 2．如图，矩形中，，以A为圆心，2为半径作．若点E在上，点P在上，则的最小值是（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】延长到点M，使得，连接交于点O，交于点N， 当点E与点O重合，点P与点N重合时，此时取得最小值，利用矩形的性质和勾股定理解答即可． 【详解】解：延长到点M，使得，连接交于点O，交于点N， ∵， ∴当点E，P，M三点共线时，取得最小值，此时为， ∵点E是上动点， ∴当E与点O重合时，最小，此时为， ∴当点E与点O重合，点P与点N重合时，此时取得最小值， ∵矩形中，，以A为圆心，2为半径作． ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，圆的基本性质，两点之间线段最短，熟练掌握矩形的性质，勾股定理，圆的基本性质是解题的关键． 3．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，D是以点为圆心，1为半径的圆上的动点，E是线段AD的中点，连接OE，BD，则线段OE的最小值是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线解析式即可得出A点与B点坐标，结合题意进一步可以得出BC长为5，利用三角形中位线性质可知OE=BD，而BD最小值即为BC长减去圆的半径，据此进一步求解即可. 【详解】∵， ∴当时，， 解得：， ∴A点与B点坐标分别为：(，0)，(3，0)， 即：AO=BO=3， ∴O点为AB的中点，   又∵圆心C坐标为(0，4)， ∴OC=4， ∴BC长度=， ∵O点为AB的中点，E点为AD的中点， ∴OE为△ABD的中位线， 即：OE=BD， ∵D点是圆上的动点， 由图可知，BD最小值即为BC长减去圆的半径， ∴BD的最小值为4， ∴OE=BD=2， 即OE的最小值为2， 故选：B. 【点睛】本题主要考查了抛物线性质与三角形中位线性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键. 4．如图，抛物线与轴交于，两点，是以点为圆心，为半径的圆上的动点，是线段的中点，连结、则线段的最大值是（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线解析式可求得点A（-4,0），B（4,0），故O点为AB的中点，又Q是AP上的中点可知OQ=BP，故OQ最大即为BP最大，即连接BC并延长BC交圆于点P时BP最大，进而即可求得OQ的最大值. 【详解】∵抛物线与轴交于、两点 ∴A（-4,0），B（4,0），即OA=4. 在直角三角形COB中 BC= ∵Q是AP上的中点，O是AB的中点 ∴OQ为△ABP中位线，即OQ=BP 又∵P在圆C上，且半径为， ∴当B、C、P共线时BP最大，即OQ最大 此时BP=BC+CP= OQ=BP=. 故选：C. 【点睛】本题考查了勾股定理求长度，二次函数解析式求点的坐标及线段长度，中位线，与圆相离的点到圆上最长的距离，解本题的关键是将求OQ最大转化为求BP最长时的情况. 5．如图，在菱形中，，，、的半径分别为2和1，点、、分别是边、和上的动点，则的最小值是 ．    【答案】3 【分析】作点关于直线的对称点，连接，延长交于点，连接，，利用菱形的性质以及圆的性质得出与重合时的最小值，进而求出即可． 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接，延长交于点，连接，，   四边形是菱形，，， ，， 、是等边三角形 ， ∴， ， ， ， ，，在一条直线上， 由题意可得出：当与重合，点在上，在上时，最小， ∵，、的半径分别为2和1， ，， 的最小值是3． 故答案为：3． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，轴对称的性质以及圆的性质等相关知识，根据题意得出点位置是解题关键． 6．如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的一动点，过P作PA⊥PB， A、B都在x轴上，且关于原点O对称，则AB的最小值为 ． 【答案】6 【分析】连接OP，由直角三角形的性质可知AB=2OP，则求AB的最小值即为求OP的最小值，当O、P、M三点共线时，OP长度最小. 【详解】解：连接OP，由于PA⊥PB，故由直角三角形的性质可知AB=2OP，则OP最短时，AB最短；由图可知，O、P、M三点共线时，OP长度最小，OP=OM-MP=，则AB的最小长度为6， 故答案为6. 【点睛】将求AB最短问题转化为求OP最短是解题关键. 【题型03 ：直线与圆的位置关系的判定】 1．已知的半径为，圆心到直线l的距离为，则直线与的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切 【答案】A 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，根据圆心到直线的距离与半径的大小关系进行判断：当时，直线与圆相交；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相离，即可判断求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵的半径为，圆心到直线l的距离为，， ∴直线与相离， 故选：． 2．如图，在平面直角坐标系中， ⊙O的半径是1，直线AB与x轴交于点P(x，0)，且与x轴的正半轴夹角为45°，若直线AB与⊙O有公共点，则x值的范围是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设直线AB的解析式为y=x+b，当直线与圆相切时切点为C，连接OC，则OC=1，由于直线AB与x轴正方向夹角为45°，所以△AOC是等腰直角三角形，故OC=PC=1再根据勾股定理求出OA的长即可． 【详解】∵直线AB与x轴正方向夹角为45°， ∴设直线AB的解析式为y=x+b，切点为C，连接OC， ∴， ∵⊙O的半径为1， ∴△AOC是等腰直角三角形， ∴OC=PC=1， ∴OA==， ∴P（，0）， 同理可得，当直线与x轴负半轴相交时，P（，0）， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知直线和圆的三种位置关系是解答此题的关键． 3．如图，已知的半径是1，圆心P在抛物线上运动．当与x轴相切时，圆心P的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了切线的性质、抛物线的性质，由题意可得圆心的纵坐标为，代入抛物线方程，分别求出圆心的横坐标，则答案可求．解决本题的关键在于当与轴相切时，确定点的纵坐标. 【详解】解:设点的坐标为． 与轴相切，，． 当时，，解得，，点的坐标为或； 当时，，解得，点的坐标为． 综上所述，圆心的坐标为或或． 故答案为:或或． 4．如图，直线，垂足为H，点P在直线b上，，点O在线段上，若以点O为圆心，长为半径的圆与直线a相交，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系“直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交；直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切；直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离”，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题关键．设，则，根据圆与直线相交可得，再根据求解即可得． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵直线，以点为圆心，长为半径的圆与直线相交， ∴，即， 解得， 又∵点在线段上， ∴， 解得， ∴的取值范围为， 故答案为：． 5.如图，直线l与x轴、y轴分别相交于点A、B，已知B（0，），，点P的坐标为，与y轴相切于点O，若将沿x轴向左移动，当与该直线相交时，横坐标为整数的点P的坐标 ． 【答案】（-2,0）（-3,0）（-4,0） 【分析】先分别求得与直线l相切时点P的坐标，然后再判断与直线l相交时点P的横坐标x的取值范围，即可求得坐标为整数的点P的坐标． 【详解】如图，与分别切AB于D、E． 由，，易得，则A点坐标为． 连接、，则、，则在中，， 同理可得，，则的横坐标为，的横坐标为， 当与直线l相交时，点P的横坐标x的取值范围为， 横坐标为整数的点P的坐标为、、． 故答案为：(-2，0)、(-3，0)、(-4，0)． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，分别求得与直线l相切时点P的坐标是解题的关键． 【题型04：切线判定与性质综合】 1．如图，与的边相切于点D，与边交于点B，D为的中点，连接，，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据切线的性质可得，然后利用三线合一得出，证明，求出即可； （2）先根据直角三角形斜边中线的性质求出，再根据垂径定理和勾股定理求出，然后计算即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的切线， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴是的切线； （2）解：如图，设与交于点E， ∵，D为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，垂径定理和勾股定理等知识点，灵活运用相关判定定理和性质定理是解题的关键． 2．如图，为等腰三角形，O是底边的中点，腰与相切于点D． (1)求证：是的切线． (2)已知：，，求的半径是多少？ 【答案】(1)见解析 (2)的半径是 【分析】（1）过点O作于点E，连接，根据等腰三角形“三线合一”的性质结合角平分线的性质定理，得出，即是的半径，即证是的切线； （2）根据等腰三角形“三线合一”的性质可求出，，再根据含30度角的直角三角形的性质得出，即得出答案． 【详解】（1）证明：过点O作于点E，连接， 为等腰三角形，O是底边的中点， 是的平分线． 与O相切于点D， ∴， ，即是的半径， 是的切线； （2）解：∵为等腰三角形，O是底边的中点， ∴是的平分线，，， ∴． ∴． ∵， ， 的半径是． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，切线的性质和判定，角平分线的性质定理，含30度角的直角三角形的性质，连接常用辅助线是解题关键． 3．如图，为的直径，P在的延长线上，C为圆上一点，且．    (1)求证：与相切； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）连接，为的直径，所以，则，即可证明与相切； （2）由，得，则，所以，再根据等角的余角相等证明，则． 【详解】（1）连接，则， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵经过的半径的外端，且， ∴与相切．    （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了圆的切线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等角的余角相等等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 4．如图，是的直径，为上的一点，的平分线交于点，过点的直线交的延长线于点，交的延长线于点．且．    (1)求证：为的切线； (2)若，，直接写出半径的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据角平分线求得，由等边对等角可得，由是直径和等量代换可得，即可得证； （2）连接，设，证明，可得，推出，即可求解． 【详解】（1）证明：连接，    平分， ， ， ， ， ， 是直径， ， ， ， ， ， 是半径， 是的切线； （2）解：连接，如图，    设 ， ， ， ， ， ， ， 【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题． 5．如图，在中，，以为直径作交于点D，交的延长线于点E，连接，过点D作，垂足为点F． (1)求证：是的切线； (2)如果，，求的半径． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）连结，，根据圆的基本性质知，，结合题意知，是的中位线，所以，再根据题意及切线性质，进行作答； （2）证明，得到，根据中位线的性质得到，根据勾股定理计算出的值，最后得到的半径． 【详解】（1）证明：连结，， ∵以为直径的交于点D， ∴， ∵， ∴， 又∵O是中点， ∴是的中位线 ∴， ∵， ∴, ∴是的切线； （2）解：∵为直径 ∴. ∵，， ∴， ∵，   ∴， ∵ ∴, ∵， ∴ ∴的半径为. 【点睛】本题考查了圆的基本性质、与直线与圆的位置关系和中位线的性质，熟练掌握圆的基本性质、与直线与圆的位置关系、中位线性质运用是本题解题关键. 6．如图，在中，平分交于点，以点为圆心、的长为半径的与相切于点A，与相交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求和的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)，． 【分析】（1）过点作，根据切线的性质得到，再根据角平分线的性质，得到，即可证明结论； （2）由勾股定理得，利用“”证明，得到，进而得到，设，则，，利用勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：过点作于点， 是的切线， ， 平分，，， ， ， 是的切线； （2）解：，， 在中，， 在和中， ， ， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得：， ． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定和性质与全等的判定和性质是解题关键． 【题型05 ：圆周角定理】 1．如图，在半圆中，弦等于半径，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．连接，则得是等边三角形，得，再由圆周角定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵弦等于半径，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选：A． 2.如图，是的直径，点C，D在上．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理，连接，根据圆周角定理求出的度数，根据平角的定义求出的度数，再根据圆周角定理求出的度数即可． 【详解】解：连接，如图所示， ， ， ， ， ， 故选：C． 3．如图，，为的弦，为的直径，，相交于点E，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理及推论，三角形内角和定理．根据圆周角定理得，根据得，可得，据此计算即可得． 【详解】解：∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 4．如图，是的直径，是的弦，且，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆周角定理．利用邻补角互补求得，再由同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 5．如图，是的一条弦，，垂足为C，交于点D，点E在优弧上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理和垂径定理，熟练掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键． 根据题意得出，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 6．如图，是的直径，点C，D在上，连接若，则的度数为（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，先结合得出，再根据是的直径，得出，最后由直角三角形的两个锐角互余，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故选：A． 【题型06：圆内接四边形】 1．如图，已知四边形是的内接四边形，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查圆内接四边形的性质，即圆内接四边形的对角和为．根据已知条件，通过圆内接四边形对角互补即可计算出未知角的度数． 【详解】四边形是的内接四边形， ， ， ， 故选：D． 2．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，E 在上 ， 若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角定理，圆内接四边形的性质是解题的关键． 根据是的直径，，可得，从而得到，再根据圆内接四边形的性质，即可求解． 【详解】解：连接，如图 ∵是的直径，， ∴， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴． 故选C． 3．如图，点、、、在上，点是延长线上一点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形对角互补得到，由，等量代换得到，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， 故选：D ． 4．如图，四边形内接于，，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查圆内接四边形的性质、圆周角定理，根据圆内接四边形的性质得到，根据得到，即可得到的度数．关键是根据圆内接四边形的性质得到解答． 【详解】解：由圆内接四边形的性质可知：， ， ， ∵， ． 故选：C． 5．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，点在优弧上，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是圆周角定理，圆内接四边形的性质，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解题的关键．连接，由圆周角定理得出，进而得出，再根据圆内接四边形的性质即可求出的度数． 【详解】解：连接，如图： ， ， 是的直径， ， ， 四边形是的内接四边形， ． 故选：D． 【题型07：三角形的内切圆】 1．如图，边长为a的正三角形的内切圆半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求三角形内切圆半径，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，角平分线的判定定理，等边三角形的性质，设等边的内切圆圆心为O，与分别相切于D、E，连接，由切线的性质可得，再由可得平分，则，同理可得，则可证明，可得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，设等边的内切圆圆心为O，与分别相切于D、E，连接， 由切线的性质可得， ∵， ∴平分， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴边长为a的正三角形的内切圆半径是， 故选：A． 2．如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，且，的周长为14，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，，，由的周长为14，可求的长． 【详解】解：与 ，，分别相切于点，，， ，，， 的周长为14， ， ， ． 故答案为：5． 3．如图所示的是周长为的三角形纸片，小刚想用剪刀剪出它的内切圆，他先沿着与相切的剪下了一个三角形纸片．若，则三角形纸片的周长为 ． 【答案】7 【分析】本题考查三角形的内切圆与内心，切线的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型. 设三角形与相切于，与相切于，根据切线长定理和三角形的周长公式即可得到结论． 【详解】解：设三角形与相切于点，与相切于点． 由题意，得． 三角形纸片的周长为，，， ∴三角形纸片的周长． 故答案为：． 【题型08：三角形的外接圆】 1．三角形的外心就是三角形外接圆圆心，是三角形（   ） A．三边上的高线的交点 B．三边中线的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三个内角平分线的交点 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外心，三角形的外心就是三角形外接圆的圆心，就是三角形的三边的垂直平分线的交点． 【详解】解：三角形的外心就是三角形外接圆圆心， 角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等， 到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上， 三角形的外心就是三角形的三边的垂直平分线的交点． 故选： C． 2．如图，直角坐标系中，经过A，B，C三点的圆，圆心为M，则点M的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理、坐标与图形． 由网络可得出线段和的垂直平分线的交点，这个交点即为圆心M，进而可得点M的坐标． 【详解】解：如图，作线段和的垂直平分线，它们的交点为圆心M，则点M坐标为， 故选：C 3．如图，已知．    (1)用直尺和圆规作的外接圆（保留作图的痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若的半径为5，点到的距离为3，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题考查尺规作图，垂径定理，勾股定理三角形的外接圆与外心等知识， （1）作线段，的垂直平分线交点为，点即为的外接圆的圆心； （2）作于利用勾股定理求出，再利用垂径定理可得，求出即可． 【详解】（1）解：如图，作线段，的垂直平分线交点为，点即为的外接圆的圆心；    （2）解：作于． 在中，，， ， ， ， ． 【题型09 ：正多边形与圆的综合】 1．如图，正六边形内接于，若的半径等于3，则正六边形的边长的长为（   ） A． B．3 C．6 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形与圆、等边三角形的判定与性质，连接、，由题意证明为等边三角形，得出，即可得解． 【详解】解：如图，连接、， ∵，， ∴为等边三角形， ∵的半径等于3，即， ∴，即正六边形的边长为， 故选：B． 2．如图，正五边形内接于⊙O，点F是劣弧上一点(点F不与点D，E重合)，连接，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形和圆以及圆周角定理等知识，解题的关键是根据正多边形的边数求出圆心角的度数． 先由正多边形的边数求出圆心角的度数，再结合圆周角定理即可求解． 【详解】解：如图，连接，，. ∵正五边形 内接于⊙O， ∴ ， ． 故选： B． 3．如图，小辉用了14个全等的正七边形排列（图形不重叠，且每相邻的两个正七边形有一边重合），形成一个圆环状，图中所示的是其中3个正七边形的位置．如果我们用个全等的正九边形也按照同样的方式排列，形成一个圆环状，则的取值可以是（   ） A．6，16 B．6，18 C．8，16 D．8，18 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形与圆，掌握多边形的内角和定理是解题的关键．根据题意分三种情况讨论，先求出正九边形的一个内角的度数为，再根据圆周角与是否成整数倍来判断，即可得边数． 【详解】解：如图， ∵， ∴正九边形的每一个内角都为，每一个内角都为， 当以为重合边时，延长交于点O， 则， ∴， ∵，不是整数倍， ∴不能形成一个圆环状； 当以为重合边时，延长交于点， 同理得到， ∴， ∵， ∴， ∵，是整数倍， ∴能形成一个圆环状，此时，； 当以为重合边时，延长交于点，延长交延长线于点N， 同理得到， ∴， ∵， ∴， ∵，是整数倍， ∴能形成一个圆环状，此时，； 综上，的取值可以是，， 故选：B． 4．刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率．如图，内部多边形为的内接正十二边形，若的半径为2，则这个圆内接正十二边形的面积为（   ） A．1 B． C．12 D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形与圆，含角的直角三角形的性质等知识点，解决此题的关键是熟练运用这些知识点． 如图，过点A作于，得到圆的内接正十二边的圆心角为，根据三角形的面积公式即可求出结论． 【详解】解：由题意可作图如下，过点A作于， ∵圆的内接正十二边形的圆心角为， ∴， ∴， 即这个圆的内接正十二边形的面积为， 故选：C 5．如图，A，B，C，D为·一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】A 【分析】本题主要考查了正多边形与圆、圆周角定理等知识点，掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理可得正多边形的边所对的圆心角，再根据正多边形的一条边所对的圆心角的度数与边数之间的关系即可解答． 【详解】解：如图，连接，，作出外接圆， ∵，， ， ∵， ∴这个正多边形为正十二边形． 故选A． 6．如图，正五边形内接于，点F为劣弧上一点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，熟练掌握正多边形和圆、圆周角定理是解决此题的关键．连接求出的度数，再根据圆周角定理即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， 多边形是正五边形， ， ， 故选：． 【题型10 ：弧长和扇形的面积】 1．如图，将绕着点O顺时针旋转后得到，若，则的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查弧长公式，掌握相关知识是解决问题的关键．利用弧长公式求解即可． 【详解】解：的长度． 故选：B． 2．动滑轮是日常生活中常用的简单机械，它既方便又省力.如图，用一个直径为12的动滑轮带动重物上升，滑轮上一点绕滑轮中心旋转了，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧长的计算，熟练掌握弧长的计算公式是解题的关键． 先根据弧长公式计算出点P绕滑轮中心旋转了的路径，即半径为12厘米圆心角为的弧长，然后根据动滑轮省一半的力，则重物上升的高度为弧长的一半，计算即可． 【详解】解：点的路径长为（厘米）， 重物上升的高度为（厘米）． 故选：B． 3．如图，正五边形内接于，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正多边形和圆、弧长公式．连接，根据正五边形内接于，可以求出，根据弧长公式即可求出的长度． 【详解】解：连接， 正五边形内接于， ， 的长， 故选：A． 4．圆心角为，半径为的扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了扇形的面积，根据扇形面积公式直接计算即可求解，掌握扇形面积计算公式是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 故选：． 5．习近平总书记强调，中华优秀传统文化是中华民族的根和魂，乐陵市某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角，现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形面积的计算公式是解题的关键． 将山水画所在纸面的面积转化为大小两个扇形的面积之差即可解决问题． 【详解】解：由题意得：，， ∴山水画所在纸面的面积为， 故选：． 6．如图是型号为26英寸（车轮的直径为26英寸，约66cm）的自行车，现要在自行车两轮的阴影部分（分别以C，D为圆心的两个扇形）装上挡水的铁皮，量出四边形ABCD中，，那么安装单侧（阴影部分）需要的铁皮面积约是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了扇形的面积公式，平行线的性质，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．求出圆心角，再运用扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵四边形中，，， ∴，， ∵车轮的直径为26英寸，约66cm， ∴车轮的半径约， ∴需要的铁皮面积约是， 故选：A 【题型11 ：圆锥的侧面积】 1．圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面积公式计算即可，掌握圆锥的侧面积计算公式是解题的关键． 【详解】解：∵圆锥的底面半径为，母线长为， ∴圆锥的侧面积为， 故选：． 2．已知圆锥的侧面积为，母线长为5，则圆锥的底面半径是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥侧面积公式，根据，代入数据即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图，圆锥的底面圆心为，顶点为，母线长为，母线与高的夹角为，那么圆锥侧面展开图的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，圆锥侧面积，先利用直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半计算出，然后利用圆锥的侧面展开图为一扇形，扇形的面积公式计算圆锥的侧面积即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， 由题意得，，， ∴， ∴圆锥侧面展开图的面积为， 故答案为：． 4．如图1所示的蛋筒冰淇淋由上下两个圆锥组成，图2为其主视图，其中，，若上圆锥的侧面积为2，则下圆锥的侧面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算，先证明为等腰直角三角形得到，再证明为等边三角形得到，利用圆锥的侧面积的计算方法得到上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于，从而得到下圆锥的侧面积． 【详解】解：∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 而， ∴为等边三角形， ∴， ∵上面圆锥与下面圆锥的底面相同， ∴上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于， ∴下面圆锥的侧面积． 故答案为：． 【题型12 ：不规则图形的阴影面积】 1．如图，为的直径，点在上，连接．若，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查扇形的面积，等边三角形的判定和性质，关键是判定是等边三角形，掌握扇形面积的计算公式．过作于，判定是等边三角形，得到，求出，于是扇形的面积，由等边三角形的性质得到的长，由勾股定理求出，进而求出的面积，根据阴影部分的面积扇形的面积的面积，即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：如图，过作于， 直径，， ， 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形，， ， ， 故选：D． 2．如图，正方形的边长为2，O为对角线的交点，点E，F分别为，的中点．以C为圆心，为半径作圆弧，再分别以E，F为圆心，为半径作圆弧，，则图中阴影部分的面积为（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，扇形面积的计算，不规则图形面积的计算，理解图示，掌握不规则图形面积的转换，扇形面积的计算是解题的关键． 根据正方形的性质可得弓形弓形，由阴影部分的面积，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，三点共线    ∵四边形是正方形，点分别为的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴弓形弓形， ∴阴影部分的面积， 故选：B． 3．如图，扇形中，，，点C为上一点，将扇形沿折叠，使点B的对应点落在射线上，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理，扇形的面积，根据题意和图形，可以计算出的长，然后根据勾股定理可以求得的值，然后根据图形可知，阴影部分的面积扇形的面积的面积的二倍，代入数据计算即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∴， 设，则，， 则， 解得， ∴阴影部分的面积是：， 故答案为：． 4．如图，将半径的半圆绕点按顺时针方向旋转，此时点到了点，则图中涂色部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求不规则图形的面积、旋转的性质、求扇形面积等知识点，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键． 由旋转的性质可得、，根据，再运用扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵将半径的半圆绕点按顺时针方向旋转， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 5．如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转后得到，点经过的路径为，将线段绕点顺时针旋转后，点恰好落在上的点处，点经过的路径为，则图中阴影部分的面积是 （结果保留） 【答案】 【分析】本题考查扇形的面积公式，旋转变换等知识，含角的直角三角形特征，勾股定理，根据计算即可，解题的关键是学会用分割法求阴影部分的面积． 【详解】解：∵旋转， ∴， ，，， ， ， ， ， 故答案为：． 【题型13 ：圆锥侧面最短路径问题】 1．如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是1，母线长是4． （1）求这个圆锥的侧面展开图中∠ABC的度数． （2）如果A是底面圆周上一点，一只蚂蚁从点A出发，绕圆锥侧面一圈再回到A点，求这只蚂蚁爬过的最短距离． 【答案】（1）90°；（2）4 【分析】（1）利用侧面展开图是以4为半径，2π为弧长的扇形，由弧长公式求圆心角，进而即可求解； （2）在侧面展开图中，由两点之间线段最短得蚂蚁爬行的最短距离为AC的距离，进而即可求解． 【详解】解：（1）设∠ABC的度数为n，底面圆的周长等于2π×1＝，解得n＝90°； （2）连接AC，过B作BD⊥AC于D，则∠ABD＝45°． ∴是等腰直角三角形， ∵AB＝4， ∴AD＝BD＝4÷=2， ∴AC＝2AD＝4， 即这只蚂蚁爬过的最短距离4． 【点睛】此题考查了圆锥的侧面展开图弧长的计算；得到圆锥的底面圆的周长和扇形弧长相等是解决本题的关键． 2．综合与实践 【主题】制作圆锥形生日帽 【素材】①一张圆形纸板；②一条装饰彩带． 【实践操作】 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 【实践探索】在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理求最值问题，掌握以上知识是解题的关键．根据条件得出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，进而根据勾股定理即可求解． 【详解】解：， ． ， ． 将圆锥侧面展开后得到圆心角为的扇形，如下图所示： 由图可知，． ， ． 在中，由勾股定理，得 彩带长度的最小值为． 3．综合与实践 问题情境：如图1，将一个圆心角为、半径为R 的扇形，可制作成圆锥（如图2），圆锥的底面半径为r，点A与点重合，工人在制作圆锥形物品时，通常要先确定扇形圆心角度数，再度量裁剪材料． (1)探索尝试：图1中，圆锥侧面扇形的弧长与圆锥底面周长_____（填“相等”或“不相等”）． (2)解决问题：为操作简便，工人希望能简洁求 n的值，请用含 r， R的式子表示 n； (3)拓展延伸： 图 3是一种纸质圆锥形生日帽，，C是中点，现要从点A到点 C再到点A之间拉一装饰彩带（如图4），求彩带长度的最小值． 【答案】(1)相等； (2)； (3) 【分析】本题主要考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数、勾股定理求最值等知识点，掌握圆锥的相关计算是解题的关键． （1）根据圆锥底面周长与其侧面展开图的弧长相等即可求解； （2）根据求解即可； （3）根据条件得出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，进而根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：由于圆锥的侧面的扇形的弧和底面圆的圆周重合，即圆锥侧面扇形的弧长与圆锥底面周长相等． 故答案为：相等． （2）解：由圆锥的底面周长等于侧面扇形的弧长，可得： 则：，即：． （3）解：如图： ∵， ∴， ∴， ∴圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为， ∴， ∵，C是中点， ∴， ∴在中，， ∴彩带长度的最小值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $