专项突破提升(四) 一元二次方程的解法与应用-【学霸笔记·初中同步练习分层卷】2025-2026学年九年级上册数学同步练习分层卷（青岛版）

专项突破提升(四)　一元二次方程的解法与应用 一、一元二次方程的解法 方法一　直接开平方法 1．(4分)方程(x－2)2－9＝0的解是 x1＝5，x2＝－1 ． 2．(8分)解方程： (1)9x2＝25； (2)6(x＋2)2＝48． 解：(1)9x2＝25，x2＝， 解得x1＝，x2＝－． (2)6(x＋2)2＝48，(x＋2)2＝8，x＋2＝±2， 解得x1＝－2＋2，x2＝－2－2． 方法二　配方法 3．(4分)一元二次方程x2－8x－2＝0，配方后可变形为 (x－4)2＝18 ． 4．(8分)解方程： (1)x2－6x＋8＝0； (2)x2－4x－1＝0． 解：(1)x2－6x＋8＝0， x2－6x＋9＝1，(x－3)2＝1，x－3＝±1． x1＝2，x2＝4． (2)x2－4x－1＝0，x2－4x＋4＝5，(x－2)2＝5， x－2＝±，x＝±＋2， x1＝2＋，x2＝2－． 方法三　公式法 5．(4分)关于x的一元二次方程2x2＋4x＋m＝0有两个相等的实数根，则m的值是 2 ． 6．(8分)解方程： (1)x2－7x＋11＝0； (2)2x2＋5x＝x＋3． 解：(1)x2－7x＋11＝0， ∴a＝1，b＝－7，c＝11． ∴Δ＝(－7)2－4×1×11＝5＞0．∴x＝． ∴x1＝，x2＝． (2)2x2＋5x＝x＋3，2x2＋4x－3＝0， ∴a＝2，b＝4，c＝－3． ∴Δ＝42－4×2×(－3)＝40>0． ∴x＝． ∴x1＝，x2＝． 方法四　因式分解法 7．(4分)方程x(x－3)＝x－3的根是(　D　) A．x＝3 B．x＝0 C．x1＝3，x2＝0 D．x1＝3，x2＝1 8．(4分)一元二次方程x2＋8x－9＝0的解为 x1＝1，x2＝－9 ． 9．(12分)解方程： (1)x(x－5)＝8(5－x)； (2)(2x－1)2＝(x－1)2； (3)x2－3x＋2＝0． 解：(1)x(x－5)＝8(5－x)， 移项，得x(x－5)＋8(x－5)＝0， 因式分解，得(x－5)(x＋8)＝0， ∴x－5＝0或x＋8＝0， 解得x1＝5，x2＝－8． (2)(2x－1)2＝(x－1)2， 移项，得(2x－1)2－(x－1)2＝0， 因式分解，得(2x－1－x＋1)(2x－1＋x－1)＝0， 即x(3x－2)＝0， ∴x＝0或3x－2＝0，解得x1＝0，x2＝． (3)x2－3x＋2＝0， 因式分解，得(x－2)(x－1)＝0， ∴x－1＝0或x－2＝0，解得x1＝1，x2＝2． 方法五　换元法 10．(12分)解方程(x2－1)2－5(x2－1)＋4＝0时，我们可以将x2－1视为一个整体，设x2－1＝y，则y2＝(x2－1)2，原方程转化为y2－5y＋4＝0，解此方程，得y1＝1，y2＝4． 当y＝1时，x2－1＝1，x2＝2，∴x＝±． 当y＝4时，x2－1＝4，x2＝5，∴x＝±． ∴原方程的解为x1＝－，x2＝，x3＝－，x4＝． 以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 运用上述方法解下列方程： (1)x4－3x2－4＝0； (2)(x2＋2x)2－(x2＋2x)－6＝0； (3)x2＋2x＋4－5＝0． 解：(1)设y＝x2，则原方程转化为y2－3y－4＝0， 因式分解，得(y－4)(y＋1)＝0， ∴y－4＝0或y＋1＝0， 解得y1＝4，y2＝－1(不合题意，舍去)． ∴x2＝4，解得x1＝2，x2＝－2． 故原方程的解为x1＝2，x2＝－2． (2)设y＝x2＋2x，则原方程转化为y2－y－6＝0， 因式分解，得(y－3)(y＋2)＝0， ∴y－3＝0或y＋2＝0， 解得y1＝3，y2＝－2． 当y＝3时，x2＋2x－3＝0， 解得x1＝－3，x2＝1． 当y＝－2时，x2＋2x＋2＝0，无解． 故原方程的解为x1＝－3，x2＝1． (3)设＝t(t≥0)，则有x2＋2x＝t2， 原方程可转化为t2＋4t－5＝0， 因式分解，得(t＋5)(t－1)＝0， ∴t＋5＝0或t－1＝0，解得t1＝－5，t2＝1． 当t＝－5时，＝－5，此方程无解． 当t＝1时，＝1， 则x2＋2x＝1，配方，得(x＋1)2＝2， 解得x1＝－1＋，x2＝－1－． 故原方程的解为x1＝－1＋，x2＝－1－． 二、一元二次方程的应用 应用一　几何图形面积问题 11．(10分)如图，用一段80 m的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的矩形羊圈，左右两个矩形都有一个1 m的门通往中间矩形，中间的矩形有一个1 m的门通往外面，墙的最大可用长度为50 m． (1)如果羊圈的总面积为345 m2，求边AB的长． (2)问：羊圈的总面积能为480 m2吗？若能，请求出边AB的长；若不能，请说明理由． 解：(1)设边AB的长为x m，则AD＝80－4x＋3＝(83－4x)m． 根据题意，得x(83－4x)＝345， 解得x1＝，x2＝15． ∵墙的最大可用长度为50 m，且当x＝时，AD＝83－4×＝60(m)，不合题意， ∴x＝15，即边AB的长为15 m． (2)不能．理由如下： 若羊圈的总面积能为480 m2， 则 x(83－4x)＝480， 整理，得 4x2－83x＋480＝0． ∵Δ＝(－83)2－4×4×480＝－791＜0，此方程无解， ∴羊圈的总面积不能为480 m2． 应用二　销售利润问题 12．(12分)某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3月、4月共生产再生纸800 t，其中4月再生纸产量比3月的2倍少100 t． (1)求4月再生纸的产量． (2)若4月每吨再生纸的利润为1 000元，5月再生纸产量比上月增加m%，5月每吨再生纸的利润比上月增加%，则5月再生纸项目月利润达到66万元．求m的值． (3)若4月每吨再生纸的利润为1 200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月再生纸项目月利润比上月增加了25%．求6月每吨再生纸的利润是多少元． 解：(1)设3月再生纸的产量为x t，则4月再生纸的产量为(2x－100)t． 依题意，得x＋2x－100＝800，解得x＝300． 2x－100＝2×300－100＝500， 即4月再生纸的产量为500 t． (2)依题意，得1 000×500(1＋m%)＝660 000， 整理，得m2＋300m－6 400＝0， 解得m1＝20，m2＝－320(不合题意，舍去)． 故m的值为20． (3)设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为y，5月再生纸的产量为a t． 依题意，得1 200(1＋y)2·a(1＋y)＝(1＋25%)×1 200(1＋y)·a， ∴1 200(1＋y)2＝15 00， 即6月每吨再生纸的利润是1 500元． 应用三　数字问题 13．(6分)一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小2，个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小1，求这个两位数． 解：设个位数字为x． 由题意，得x2＋(x－2)2＝10(x－2)＋x－1， 解得x1＝5，x2＝(不合题意，舍去)． ∴这个两位数是35． 应用四　传播问题 14．(8分)冬春季是传染病高发季节，据统计，去年冬春之交，有一人患了流感，在没有采取医疗手段的情况下，经过两轮传染后共有64人患流感． (1)求每轮传染中平均一个人传染了多少人； (2)若不及时控制，则第三轮感染后，患流感的共有多少人？ 解：(1)设每轮传染中平均一个人传染了x人． 由题意，得1＋x＋(1＋x)x＝64， 解得x1＝7，x2＝－9(不合题意，舍去)． 故每轮传染中平均一个人传染了7人． (2)第三轮感染的人数为64×7＝448(人)， ∴第三轮感染后，患流感的总人数为448＋64＝512(人)． 应用五　存款利息问题 15．(6分)某人将2 000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1 000元用于购物，剩下的1 000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若银行存款的利率不变，到期后得本金和利息共1 155元，求这种存款方式的年利率． 解：设这种存款方式的年利率为x． 由题意，得[2 000(1＋x)－1 000](1＋x)＝1 155，解得x1＝－1.55(不符合题意，舍去)，x2＝0.05＝5%． 故这种存款方式的年利率为5%． 6/6 学科网（北京）股份有限公司 $