课时分层训练(20) 4.4用因式分解法解一元二次方程-【学霸笔记·初中同步练习分层卷】2025-2026学年九年级上册数学同步练习分层卷（青岛版）

课时分层训练(二十)　用因式分解法解一元二次方程 知识点一　用因式分解法解一元二次方程 1．一元二次方程x(x－2)＝x－2的根是(　D　) A．x1＝x2＝0 B．x1＝x2＝1 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝1，x2＝2 2．阳阳在解方程x2＋3x＝0时，只得一个根x＝－3，阳阳漏掉的那个根是(　C　) A．x＝3 B．x＝1 C．x＝0 D．x＝2 3．一个三角形的两边长为3和8，第三边的边长是x(x－9)－13(x－9)＝0的根，则这个三角形的周长是 20 ． 4．用因式分解法解一元二次方程： (1)2(x＋2)2＝x2－4； (2)(2x－1)2＝3－6x． 解：(1)将2(x＋2)2＝x2－4变形， 得2(x＋2)2－(x－2)(x＋2)＝0， 提取公因式，得(x＋2)(2x＋4－x＋2)＝0， ∴(x＋2)(x＋6)＝0． ∴x＋2＝0或x＋6＝0，解得x1＝－2，x2＝－6． (2)(2x－1)2＝3－6x， 移项，得(2x－1)2＋6x－3＝0， 提取公因式，得(2x－1)2＋3(2x－1)＝0， (2x－1)(2x－1＋3)＝0， ∴2x－1＝0或2x－1＋3＝0， 解得x1＝，x2＝－1． 知识点二　用适当的方法解一元二次方程 5．解方程x2－10x＝75，较简便的解法是(　D　) A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法 6．解方程(x－3)2＝4，最合适的方法是(　A　) A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法 7．使式子的值为0的x的值为(　C　) A．3或1 B．3 C．1 D．－3或－1 8．已知代数式3－x与－x2＋3x的值互为相反数，则x的值是(　A　) A．－1或3 B．1或－3 C．1或3 D．－1和－3 9．已知一元二次方程x2－10x＋24＝0的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为(　C　) A．6 B．10 C．12 D．24 10．若实数k，b是一元二次方程(x＋3)(x－1)＝0的两个根，且k＜b，则一次函数y＝kx＋b 的图象不经过(　C　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 11．若直角三角形的两边长分别是方程x2－7x＋12＝0的两根，则该直角三角形的面积是(　D　) A．6 B．12 C．12或 D．6或 12．一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2－8x＋15＝0的一个根，则此三角形的周长是(　A　) A．16 B．12 C．14 D．12或16 13．若实数x，y满足(x2＋y2＋5)(x2＋y2－8)＝0，则x2＋y2的值为(　D　) A．8或－5 B．5 C．－5 D．8 14．现定义运算“”，对于任意实数a，b，都有ab＝a2－3a＋b．如：35＝32－3×3＋5．若x2＝6，则实数x的值是 4或－1 ． 15．如图，已知A，B，C是数轴上异于点O的三个点，且点O为AB的中点，点B为AC的中点．若点B对应的数是x，点C对应的数是x2－3x，则x＝ 6 ． 16．解方程： (1)x2－2x－5＝0；(用配方法) (2)x2－2x－4＝0；(用公式法) (3)(x＋1)2＝3(x＋1)；(用因式分解法) (4)2x2＋3x＝1．(选择适当的方法) 解：(1)x2－2x－5＝0． x2－2x＝5，x2－2x＋1＝5＋1，(x－1)2＝6， x－1＝±， ∴x1＝1＋，x2＝1－． (2)x2－2x－4＝0， 这里a＝1，b＝－2，c＝－4， b2－4ac＝(－2)2－4×1×(－4)＝36＞0， ∴x＝＝＝±3． ∴x1＝＋3，x2＝－3． (3)(x＋1)2＝3(x＋1)， (x＋1)2－3(x＋1)＝0， (x＋1)(x＋1－3)＝0， (x＋1)(x－2)＝0， ∴x＋1＝0或x－2＝0． ∴x1＝－1，x2＝2． (4)2x2＋3x＝1，2x2＋3x－1＝0， 这里a＝2，b＝3，c＝－1， b2－4ac＝32－4×2×(－1)＝17＞0， ∴x＝＝． ∴x1＝，x2＝． 17．小丽与小霞两位同学解方程3(x－3)＝(x－3)2的过程如下： 小丽： 两边同时除以(x－3)，得 3＝x－3， 解得x＝6． 小霞： 移项，得3(x－3)－(x－3)2＝0， 提取公因式，得(x－3)(3－x－3)＝0． 所以x－3＝0或3－x－3＝0， 解得x1＝3，x2＝0 (1)你认为她们的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出正确的解答过程． (2)请结合上述题目总结：形如ax2＝bx(a≠0)的一元二次方程的一般解法． 解：(1)她们的解法都不正确．正确的解答过程如下： 移项，得3(x－3)－(x－3)2＝0， 提取公因式，得(x－3)(3－x＋3)＝0， ∴x－3＝0或6－x＝0，解得x1＝3，x2＝6． (2)ax2＝bx(a≠0)的一般解法： 移项，得ax2－bx＝0， 提取公因式，得x(ax－b)＝0， ∴x＝0或ax－b＝0，解得x1＝0，x2＝． 【创新运用】 18．阅读材料，解答问题． 解方程：(4x－1)2－10(4x－1)＋24＝0． 解：把4x－1视为一个整体， 设4x－1＝y， 则原方程可化为y2－10y＋24＝0． 解得y1＝6，y2＝4． ∴4x－1＝6或4x－1＝4． ∴x1＝，x2＝． 以上方法为换元法．换元法能达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： (1)x4－x2－6＝0； (2)(x2－2x)2－5x2＋10x－6＝0． 解：(1)设x2＝y， 则原方程可化为y2－y－6＝0， 整理，得(y－3)(y＋2)＝0， 解得y1＝3，y2＝－2． 当y＝3时，即x2＝3，∴x＝±． 当y＝－2时，x2＝－2无解． ∴原方程的解为x1＝，x2＝－． (2)设x2－2x＝y， 则原方程可化为y2－5y－6＝0， 整理，得(y－6)(y＋1)＝0， 解得y1＝6，y2＝－1． 当y＝6时，即x2－2x＝6， 解得x1＝1＋，x2＝1－． 当y＝－1时，即x2－2x＝－1， 解得x3＝x4＝1． 综上所述，原方程的解为x1＝1＋，x2＝1－，x3＝1． 5/5 学科网（北京）股份有限公司 $