课时分层训练(13) 3.4直线与圆的位置关系-【学霸笔记·初中同步练习分层卷】2025-2026学年九年级上册数学同步练习分层卷（青岛版）

课时分层训练(十三)　直线与圆的位置关系 知识点一　直线与圆的位置关系 1．圆的直径为10 cm，如果圆心到直线的距离是d，那么(　C　) A．当d＝8 cm时，直线与圆相交 B．当d＝4.5 cm时，直线与圆相离 C．当d＝5 cm时，直线与圆相切 D．当d＝10 cm时，直线与圆相切 2．如图，⊙O的半径OC＝5 cm，直线l⊥OC，垂足为点H，且l交⊙O于A，B两点，AB＝8 cm，则l沿OC所在直线向下平移 2 cm时与⊙O相切． 知识点二　切线的判定 3．如图，AB为⊙O的直径，如果圆上的点D恰使∠ADC＝∠B，求证：直线CD与⊙O相切． 证明：如图，连接OD． ∵OA＝OD，∴∠A＝∠ODA． ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°．∴∠A＋∠B＝90°． ∵∠ADC＝∠B， ∴∠ODA＋∠ADC＝90°， 即∠CDO＝90°．∴CD⊥OD． ∵OD是⊙O的半径， ∴直线CD与⊙O相切． 4．如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O与边AC相交于点D，BC是⊙O的切线，E为BC的中点，连接BD，DE． (1)求证：DE是⊙O的切线； (2)设△CDE的面积为S1，四边形ABED的面积为S2．若S2＝5S1，求tan ∠BAC 的值． (1)证明：如图，连接OD． ∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD． ∵AB是直径，∴∠ADB＝90°．∴∠CDB＝90°． ∵E为BC的中点，∴DE＝BE． ∴∠EDB＝∠EBD． ∴∠ODB＋∠EDB＝∠OBD＋∠EBD， 即∠EDO＝∠EBO． ∵BC是以AB为直径的⊙O的切线， ∴AB⊥BC．∴∠EBO＝90°．∴∠ODE＝90°． ∵OD是圆的半径，∴DE是⊙O的切线． (2)解：∵E为BC的中点， ∴S△CDE＝S△DEB＝S1．∴S△CDB＝2S1． ∴S△ADB＝5S1－S1＝4S1． 根据条件，易得△CDB∽△BDA． ∵面积比为2S1∶4S1＝1∶2， ∴其相似比为1∶． ∴＝＝，即tan ∠BAC＝． 知识点三　切线的性质 5．如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C，连接BC．若∠P＝36°，则∠B的大小为(　A　) A．27° B．32° C．36° D．54° 6．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点C．连接AC，BC，求证：∠A＝∠BCD． 证明：如图，连接OC． ∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO． ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°． ∴∠ACO＋∠BCO＝90°． ∵CD与⊙O相切于点C， ∴∠OCD＝90°．∴∠BCO＋∠BCD＝90°． ∴∠ACO＝∠BCD．∴∠A＝∠BCD． 知识点四　切线长定理 7．如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，且PA＝8，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D两点，则△PCD的周长为(　C　) A．32 B．24 C．16 D．8 8．如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝15，则四边形ABCD的周长为 50 ． 9．王老师将汽车停放在地面台阶直角处，如图是其中一个轮胎与台阶的平面示意图．他测量了台阶高AB为16 cm，汽车轮胎的直径为80 cm，则轮胎与地面接触点C到台阶的距离BC是(　C　) 第9题图 A．35 cm B．33 cm C．32 cm D．30 cm 10．如图，在平面直角坐标系中，⊙P与x轴相切于原点O，平行于y轴的直线交⊙P于E，F两点．若点E的坐标是(－3，－1)，则点F的坐标是 (－3，－9) ． 第10题图 11．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在边BC上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD，CD，过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P．求证： (1)PD是⊙O的切线； (2)△PBD∽△DCA． 证明：(1)∵圆心O在BC上， ∴BC是⊙O的直径．∴∠BAC＝90°． 如图，连接OD． ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAC＝2∠DAC． ∵∠DOC＝2∠DAC， ∴∠DOC＝∠BAC＝90°，即OD⊥BC． ∵PD∥BC，∴OD⊥PD． ∵OD为⊙O的半径，∴PD是⊙O的切线． (2)∵PD∥BC，∴∠P＝∠ABC． ∵∠ABC＝∠ADC，∴∠P＝∠ADC． ∵∠PBD＋∠ABD＝180°，∠ACD＋∠ABD＝180°，∴∠PBD＝∠ACD． ∴△PBD∽△DCA． 12．如图，PA是以AC为直径的⊙O的切线，切点为A，过点A作AB⊥OP，交⊙O于点B． (1)求证：PB是⊙O的切线； (2)若AB＝6，cos ∠PAB＝，求PO的长． (1)证明：如图，连接OB． ∵PA是以AC为直径的⊙O的切线，切点为A，∴∠PAO＝90°． ∵OA＝OB，AB⊥OP， ∴∠POA＝∠POB． 在△PAO和△PBO中， ∴△PAO≌△PBO(SAS)． ∴∠PBO＝∠PAO＝90°，即OB⊥PB． ∴PB是⊙O的切线． (2)解：如图，设OP与AB交于点D． ∵AB⊥OP，AB＝6， ∴DA＝DB＝3，∠PDA＝∠PDB＝90°． ∵cos ∠PAB＝＝＝， ∴PA＝5． ∴PD＝＝＝4． 在Rt△APD和Rt△APO中， cos ∠APD＝，cos ∠APD＝， ∴＝．∴PO＝＝． 【创新运用】 13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，∠ADC的平分线DE交AC于点E．以AD上的点O为圆心，OD为半径作⊙O，恰好过点E． (1)求证：AC是⊙O的切线； (2)若CD＝12，tan ∠ABC＝，求⊙O的半径． (1)证明：如图，连接OE． ∵OD＝OE，∴∠OED＝∠ODE． ∵DE平分∠ADC， ∴∠CDE＝∠ODE． ∴∠OED＝∠CDE．∴OE∥CD． ∵∠ACB＝90°，∴∠AEO＝90°． ∴OE⊥AC．∴AC是⊙O的切线． (2)解：如图，过点D作DF⊥AB于点F． ∵AD平分∠BAC，DF⊥AB，∠ACB＝90°， ∴CD＝DF． ∵CD＝12，tan ∠ABC＝， ∴BF＝＝16． ∴BD＝＝20． ∴BC＝CD＋BD＝32． ∴AC＝BC·tan ∠ABC＝24． ∴AD＝＝12． ∵OE∥CD，∴△AEO∽△ACD． ∴＝．∴＝＝， 解得EO＝15－3． ∴⊙O的半径为15－3． 8/8 学科网（北京）股份有限公司 $