课时分层训练(8) 2.4解直角三角形-【学霸笔记·初中同步练习分层卷】2025-2026学年九年级上册数学同步练习分层卷（青岛版）

课时分层训练(八)　解直角三角形 知识点一　已知两边解直角三角形 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则cos A的值为 ． 2．解直角三角形： (1)∠C＝90°，AB＝5，BC＝5； (2)∠C＝90°，AC＝，BC＝． 解：(1)∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝5， ∴AC＝＝＝5， sin A＝＝＝． ∴∠A＝45°．∴∠B＝90°－∠A＝45°． (2)∵∠C＝90°，AC＝，BC＝， ∴AB＝＝＝2，tan A＝＝＝． ∴∠A＝60°．∴∠B＝90°－∠A＝30°． 知识点二　已知一边及一锐角解直角三角形 3．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝12，∠A＝42°，则BC的长约为 8.0 ．(结果精确到0.1．参考数据：sin 42°≈0.67，cos 42°≈0.74，tan 42°≈0.90) 4．如图，在△ABC中，BD⊥AC，BD＝3，CD＝2，∠A＝30°．求： (1)AB和AD的长； (2)cos C的值． 解：(1)在△ABC中，BD⊥AC， ∴∠ADB＝90°． 在Rt△ADB中，BD＝3，∠A＝30°， ∴AB＝2BD＝6． ∴AD＝＝＝3． (2)在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，BD＝3，CD＝2， 由勾股定理，得BC＝＝． ∴cos C＝＝＝． 知识点三　已知一边及一锐角的三角比解直角三角形 5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，AB＝10，则BC的长为(　D　) A．3 B．4 C．6 D．8 6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，sin B＝．求AC的长及∠A的正切值． 解：在Rt△ABC中，sin B＝＝，AB＝13， ∴AC＝5． ∴BC＝＝＝12． ∴tan A＝＝． 知识点四　解非直角三角形 7．如图，在△ABC中，sin B＝，tan C＝2，AB＝3，则AC的长为(　B　) 第7题图 A． C． D．2 8．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝10，AC＝5，则sin ∠ACB＝ ． 第8题图 知识点五　解非直角三角形与相似三角形的综合应用 9．如图，在Rt△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC＝BD，连接AC．若tan ∠ADB＝，则tan ∠CAD的值为(　B　) A． C． 10．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，D是CB延长线上的一点，且AB＝BD，则tan D的值为(　D　) A．2 B．3 C．2＋ D．2－ 11．如图为一节楼梯的示意图，BC⊥AC，∠BAC＝α，AC＝6 m．现要在楼梯上铺一块地毯，楼梯宽度为1 m，则地毯的面积至少需要(　B　) A．m2 B．(6tan α＋6)m2 C． m2 D． m2 12．如图，在6×7的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则sin B的值为(　A　) A． C． 13．在△ABC中，AB＝，AC＝，tan C＝，则∠B的度数为 45°或135° ． 14．如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为2 cm．若按相同的方式将22.5°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数为 (2＋2) cm． 15．如图，在四边形ABCD中，AD⊥AB，CD⊥BC，∠ADC＝120°，BC＝14，AD＝3，求DC的长． 解：如图，延长BA，CD交于点E． ∵在四边形ABCD中，AD⊥AB，CD⊥BC，∠ADC＝120°，BC＝14，AD＝3， ∴∠B＝60°．∴∠BEC＝90°－∠B＝30°． ∴BE＝2BC＝28，DE＝2AD＝6． ∴CE＝＝＝14． ∴CD＝CE－DE＝14－6， 即DC的长为14－6． 16．如图，AD是△ABC的中线，tan B＝，cos C＝，AC＝2，求： (1)BC的长； (2)sin ∠ADC的值． 解：(1)如图，过点A作AE⊥DC，垂足为点E． 在Rt△AEC中，cos C＝，AC＝2， ∴EC＝AC·cos C＝2＝2． ∴AE＝＝＝2． 在Rt△ABE中，tan B＝， ∴BE＝＝＝4． ∴BC＝BE＋EC＝4＋2＝6． (2)∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝BC＝3． ∴DE＝BE－BD＝4－3＝1． 在Rt△AED中，AE＝2， ∴AD＝＝＝． ∴sin ∠ADC＝＝＝． 【创新运用】 17．阅读理解：通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．同理，可以在等腰三角形中，建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫作顶角正对(sad)．如图1，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作“sad A”，这时sad A＝底边÷腰＝．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解答下列问题： (1)如图2，利用等腰直角三角形计算：sad 90°＝ ； (2)如图3，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝5，若sin A＝，求sad A的值． 解：(2)如图，过点B作AC的垂线，垂足为点M． ∵AB＝5，sin A＝， ∴＝．∴BM＝4． 在Rt△ABM中，AM＝＝3， ∴CM＝5－3＝2． 在Rt△BCM中，BC＝＝2， ∴sad A＝＝． 6/6 学科网（北京）股份有限公司 $