课时分层训练(5) 2.1锐角三角比-【学霸笔记·初中同步练习分层卷】2025-2026学年九年级上册数学同步练习分层卷（青岛版）

课时分层训练(五)　锐角三角比 知识点一　正弦的定义 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，则sin A的值是(　A　) A． C． 2．把△ABC三边的长度都缩小为原来的，则锐角A的正弦值(　A　) A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的3倍 D．不能确定 3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，BC＝2，则AC＝ 4 ． 知识点二　余弦的定义 4．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．已知a＝6，b＝8，c＝10，则cos A的值为(　D　) A． C． 5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，cos A＝，那么AB的长为 8 ． 知识点三　正切的定义 6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，则∠B的正切值为(　B　) A．3 B． C． 7．如图，P是∠β的边OA上一点，且点P的坐标为(，1)，则tan β等于(　C　) 第7题图 A． C． 8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，AB＝3，那么tan A＝ ． 9．如图，△ABC的顶点均在正方形网格的格点处，则tan B的值为 1 ． 第9题图 知识点四　锐角三角比 10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则下面四个等式一定成立的是(　B　) A．c＝b·sin B B．a＝c·cos B C．a＝b·tan B D．b＝c·tan B 11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，BC＝9，求AC的长和sin A的值． 解：在Rt△ACB中，BC＝9， ∴tan A＝＝．∴AC＝12． ∴AB＝＝＝15． ∴sin A＝＝． 12．如图，A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示tan α的值，错误的是(　C　) 第12题图 A．　 B．　 C．　 D． 13．如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点．△ABC的顶点均在格点上，点D也在格点上，连接AD，则下列四个选项中，错误的是(　D　) 第13题图 A．sin C＝cos C B．tan B＝2 C．sin ∠BAD＝cos B D．tan C＝ 14．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D在边AB上，连接CD．若BD＝CD，＝，则tan B＝ ． 15．如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，tan B＝cos ∠DAC． (1)求证：AC＝BD； (2)若sin C＝，BC＝12，求△ABC的面积． (1)证明：∵AD是边BC上的高， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°． ∵tan B＝cos ∠DAC， ∴＝．∴AC＝BD． (2)解：设AC＝BD＝x， ∴CD＝BC－BD＝12－x． ∵sin C＝，∴cos C＝，tan C＝． ∴＝，＝，即＝， 解得x＝．∴CD＝12－x＝． ∴AD＝CD＝＝8． ∴S△ABC＝BC·AD＝×12×8＝48． 【创新运用】 16．[实践探究] (1)如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，求tan ∠BAC的值．小邕想构造包含∠BAC的直角三角形，他的思路是延长CA到点D，使DA＝AB，连接BD，可得∠D＝∠BAC，问题即转化为求∠D的正切值．请按小邕的思路求tan ∠BAC 的值． [拓展延伸] (2)如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，tan A＝，求tan 2∠A的值． 解：(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1， ∴AB＝＝＝． 由作图可知AD＝AB＝， ∴∠D＝∠ABD．∴∠BAC＝2∠D，CD＝AD＋AC＝＋2． ∴tan ∠BAC＝tan D＝＝－2． (2)如图，作AB的垂直平分线交AC于点E，连接BE，则AE＝BE，∠A＝∠ABE，∠BEC＝2∠A． 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，tan A＝， ∴BC＝1，AB＝＝． 设AE＝BE＝x，则EC＝3－x． 在Rt△EBC中，x2＝(3－x)2＋1， 解得x＝， 即AE＝BE＝，EC＝． ∴tan 2∠A＝tan ∠BEC＝＝． 5/5 学科网（北京）股份有限公司 $