2.1.2 两条直线平行和垂直的判定课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.1 直线的倾斜角与斜率 2.1.2 两条直线平行和垂直 学习目标 1.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件.(重点) 2.会运用条件判定两直线是否平行或垂直. 3.运用两直线平行和垂直时的斜率关系解决相应的几何问题.(难点) 刘雨萌 导语 为了在平面直角坐标系中用代数方法表示直线，我们从确定直线位置的几何要素出发，引入直线的倾斜角，再利用倾斜角与直线上点的坐标关系引入直线的斜率，从数的角度刻画了直线相对于x轴的倾斜程度，并导出了用直线上任意两点的坐标计算斜率的公式，从而把几何问题转化为代数问题.下面，我们通过直线的斜率判断两条直线的位置关系. 刘雨萌 新知探究 问题1 我们知道，平面中两条直线有两种位置关系：相交、平行.当两条直线l1与直线l2平行时，它们的斜率k1与k2满足什么关系？ 提示 平面中的两条平行直线被x轴所截，形成同位角相等，而倾斜角是一对同位角，两直线平行，倾斜角相等,斜率相等. 刘雨萌 知识梳理 对于斜率分别为k1，k2的两条直线l1，l2，有l1∥l2⇔ . k1=k2 (1)若没有特别说明，说“两条直线l1，l2”时，指两条不重合的直线. (2)l1∥l2⇔k1=k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合. (3)k1=k2⇒l1∥l2或l1与l2重合(斜率存在). (4)l1∥l2⇒k1=k2或两条直线的斜率都不存在. 刘雨萌 典例分析 例1 (课本56页例2)　已知A(2，3)，B(-4，0)，P(-3，1)，Q(-1，2)，试判断直线AB与PQ的位置关系，并证明你的结论. 如图，由已知可得直线BA的斜率kBA== 直线PQ的斜率kPQ==. 因为kBA=kPQ， 所以直线AB∥PQ. 一、两条直线平行的判定 刘雨萌 典例分析 例2 (课本57例3)　已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0，0)，B(2，-1)，C(4，2)，D(2，3)，试判断四边形ABCD的形状，并给出证明. 如图，由已知可得AB边所在直线的斜率kAB=- CD边所在直线的斜率kCD=- BC边所在直线的斜率kBC= DA边所在直线的斜率kDA=. 因为kAB=kCD，kBC=kDA，所以AB∥CD，BC∥DA. 因此四边形ABCD是平行四边形. 刘雨萌 反思与感悟 刘雨萌 典例分析 学习笔记39页例1 判断下列各题中的直线l1与l2是否平行： (1)l1经过点A(-1，-2)，B(2，1)，l2经过点M(3，4)，N(-1，-1)； k1==1，k2==k1≠k2，l1与l2不平行. (2)l1的斜率为1，l2经过点A(1，1)，B(2，2)； k1=1，k2==1，k1=k2，故l1∥l2或l1与l2重合. (3)l1经过点A(0，1)，B(1，0)，l2经过点M(-1，3)，N(2，0)； k1==-1，k2==-1，则有k1=k2. 又kAM==-2≠-1，则A，B，M三点不共线.故l1∥l2. (4)l1经过点A(-3，2)，B(-3，10)，l2经过点M(5，-2)，N(5，5). 由已知点的坐标，得l1与l2均与x轴垂直且不重合，故有l1∥l2. 刘雨萌 延伸探究 延伸探究 已知A(-2，m)，B(m，4)，M(m+2，3)，N(1，1)，若AB∥MN，则m的值为　　　 .   0或1 当m=-2时，直线AB的斜率不存在，而直线MN的斜率存在，MN与AB不平行，不符合题意；当m=-1时，直线MN的斜率不存在， 而直线AB的斜率存在，MN与AB不平行，不符合题意； 当m≠-2，且m≠-1时，kAB==kMN==. 因为AB∥MN，所以kAB=kMN，即=解得m=0或m=1. 当m=0或1时，经检验，两直线不重合.综上，m的值为0或1. 刘雨萌 反思与感悟 判断两条不重合的直线是否平行的方法 刘雨萌 问题2 平面中，两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则两条直线的方向向量分别为a=(1，k1)，b=(1，k2)，当两条直线互相垂直时，可以得出什么结论？ 新知探究 对应 关系 l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2=-1 l1与l2中的一条斜率 ，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2 图示     不存在 刘雨萌 注意点 (1)l1⊥l2⇔k1k2=-1成立的条件是两条直线的斜率都存在. (2)当直线l1⊥l2时，有k1k2=-1或其中一条直线垂直于x轴，另一条直线垂直于y轴；而若k1k2=-1，则一定有l1⊥l2. (3)当两条直线的斜率都存在时，若这两条直线有垂直关系，则可以用一条直线的斜率表示另一条直线的斜率，即k1=-. 刘雨萌 (教材57页 课本例4)　已知A(-6，0)，B(3，6)，P(0，3)，Q(6，-6)，试判断直线AB与PQ的位置关系. 典例分析 直线AB的斜率kAB=直线PQ的斜率kPQ=-. 因为kABkPQ=×=-1，所以直线AB⊥PQ. (教材57页 课本例5)　已知A(5，-1)，B(1，1)，C(2，3)三点，试判断△ABC的形状. 边AB所在直线的斜率kAB=-边BC所在直线的斜率kBC=2. 由kABkBC=-1，得AB⊥BC，即∠ABC=90°. 所以△ABC是直角三角形. 刘雨萌 典例分析 学习笔记40页例2 已知△ABC的顶点为A(5，-1)，B(1，1)，C(2，m)，若△ABC为直角三角形，求m的值. 若∠A为直角，则AC⊥AB，∴kAC·kAB=-1， 即·=-1，解得m=-7； 若∠B为直角，则AB⊥BC，∴kAB·kBC=-1，即·=-1，解得m=3； 若∠C为直角，则AC⊥BC， ∴kAC·kBC=-1，即·=-1，解得m=±2. 综上所述，m=-7或m=3或m=±2. 刘雨萌 跟踪训练 学习笔记41页跟踪训练1　(多选)下列各对直线互相垂直的是 A.l1过点M(1，1)，N(1，2)，l2过点P(1，5)，Q(3，5) B.l1的斜率为-l2过点P(1，1)，Q C.l1的倾斜角为30°，l2过点P(3)，Q(4，2) D.l1过点M(1，0)，N(4，-5)，l2过点P(-6，0)，Q(-1，3) √ √ √ 刘雨萌 课堂小结 刘雨萌 随堂演练 1.若过点P(3，2m)和点Q(-m，2)的直线与过点M(2，-1)和点N(-3，4)的直线平行，则m的值是 A. B.- C.2 D.-2 √ 2.(多选)已知直线l1的斜率为a，l1⊥l2，则l2的斜率可以为 A. B.- C.a D.不存在 √ √ 3.已知两点M(2，2)和N(5，-2)，点P在x轴上，且∠MPN为直角，则点P的坐标为 A.(1，0) B.(6，0) C.(1，0)或(6，0) D.不存在 √ 4.若直线l1的倾斜角为135°，直线l2经过点P(-2，-1)，Q(3，-6)，则直线l1与l2的位置关系是　 　　.  平行或重合 刘雨萌 课后作业 步步高练透147页 作业15 1-10（必写） 11-14（学有余力的写） 15-16（对数学有追求的写） 刘雨萌 本节内容结束 $