第二章成果展示 一元二次方程-【学霸笔记·初中同步练习分层卷】2025-2026学年九年级上册数学同步练习分层卷（北师大版）

第二章成果展示 一元二次方程 (时间：120分钟　满分：120分) 第Ⅰ卷(选择题　共40分) 一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求) 1．若方程(m－1)xm2＋1－(m＋1)x－2＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为(　D　) A．0 B．±1 C．1 D．－1 2．将关于x的一元二次方程x(x＋2)＝5化成一般形式后，a，b，c的值分别是(　D　) A．1，2，5 B．1，－2，－5 C．1，－2，5 D．1，2，－5 3．方程2x2－8x－1＝0的根的情况是(　A　) A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根　 C．有两个相等的实数根 D．有一个实数根 4．若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个根是x＝1，则a＋b＋c 的值是(　A　) A．0 B．－1 C．1 D．不能确定 5．某超市1月的营业额为36万元，3月的营业额为48万元，设从1月到3月平均每月营业额的增长率为x，则下面所列方程正确的是(　B　) A．36(1－x)2＝48 B．36(1＋x)2＝48 C．36(1－x)2＝48－36 D．48(1－x)2＝36 6．如图，在一个长为16 m、宽为9 m的矩形地面上，修等宽的三条互相垂直的道路，余下部分种草，种草面积为112 m2，设小路的宽为x m，那么x满足的方程是(　B　) A．(9－2x)(16－2x)＝112 B．(9－x)(16－2x)＝112 C．(9－x)(16－x)＝112 D．(9－2x)(16－x)＝112 7．已知代数式3－x与－x2＋3x的值互为相反数，则x的值是(　A　) A．－1或3 B．1或－3 C．1或3 D．－1和－3 8．一块矩形菜地的面积是120 m2，如果它的长减少2 m，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是(　B　) A．10 m B．12 m C．13 m D．14 m 9．若关于x的一元二次方程(m－1)x2－4x－1＝0总有实数根，则m的取值范围为(　B　) A．m≤5且m≠1 B．m≥－3且m≠1 C．m≥－3 D．m＞－3且m≠1 10．定义运算：a*b＝a(1－b)．若a，b是关于x的方程x2－x＋m＝0(m＜0)的两根，则b*b－a*a的值为(　A　) A．0 B．1 C．2 D．与m有关 第Ⅱ卷(非选择题　共80分) 二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分) 11．一个两位数，个位数字比十位数字的平方大3，而这个两位数等于其数字之和的3倍．如果这个两位数的十位数字为x，那么可列方程为 10x＋(x2＋3)＝3(x＋x2＋3) ． 12．设a，b分别是方程x2＋x－2 025＝0的两个实数根，则a2＋2a＋b的值是 2 024 ． 13．规定：在实数范围内定义一种运算“◎”，其规则为a◎b＝a(a＋b)，则方程(x－2)◎7＝0的根为 x1＝2，x2＝－5 ． 14．方程x(x－3)－5(x－3)＝0的根是 x1＝3，x2＝5 ． 15．若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于x的方程x2－6x＋n＝0的两个根，则n的值为 8或9 ． 16．有三个连续偶数，第三个数的平方等于前两个数的平方和，则这三个数分别为 6，8，10或－2，0，2 ． 三、解答题(本大题共6个小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(8分)用适当的方法解下列方程： (1)x2－1＝4(x＋1)；(2)3x2－6x＋2＝0； (3)5x2＋3x＝0；(4)(2x＋3)2－25＝0． 解：(1)∵x2－1＝4(x＋1)， ∴(x＋1)(x－1)－4(x＋1)＝0． ∴(x＋1)(x－5)＝0． ∴x＋1＝0或x－5＝0， 解得x＝－1或x＝5， 即x1＝－1，x2＝5． (2)∵3x2－6x＋2＝0， ∴a＝3，b＝－6，c＝2． ∴Δ＝(－6)2－4×3×2＝12＞0． ∴x＝＝， 即x1＝，x2＝． (3)∵5x2＋3x＝0，∴x(5x＋3)＝0． ∴x＝0或5x＋3＝0， 解得x＝0或x＝－0.6， 即x1＝0，x2＝－0.6． (4)∵(2x＋3)2－25＝0， ∴2x＋3＝5或2x＋3＝－5， 解得x＝1或x＝－4，即x1＝1，x2＝－4． 18．(8分)一面墙长为22 m，一养殖户要利用长为41 m的篱笆和这面墙圈成一个面积为216 m2的矩形养殖场，其中，养殖场不靠墙的长边上要设一道宽为1 m的门，如图．求这个矩形养殖场的长、宽各是多少． 解：设这个矩形养殖场的长为x m，则宽为 m． 根据题意，得x·＝216， 解得 x1＝18，x2＝24(不符合题意，舍去)． 宽为＝12(m)． 答：这个矩形养殖场的长、宽分别是18 m，12 m． 19．(8分)已知关于x的一元二次方程x2－2x＋m－1＝0． (1)若此方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围； (2)当Rt△ABC的斜边长c＝，且两直角边长a和b恰好是这个方程的两个根时，求Rt△ABC的面积． 解：(1)由题意，得Δ＝4－4(m－1)＞0， 解得m＜2． (2)由题意可知a＋b＝2，ab＝m－1． 由勾股定理，得a2＋b2＝3， ∴(a＋b)2－2ab＝3，即4－2(m－1)＝3． ∴m＝．∴ab＝． ∴SRt△ABC＝ab＝． 20．(10分)某商店销售一批头盔，平均每天可售出20顶，每顶盈利44元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商店决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每顶每降1元，商店平均每天可多售出5顶头盔．若商店平均每天要盈利1 600元，则每顶头盔应降价多少元？ 解：设每顶头盔降价x元，则每顶头盔的销售利润为(44－x)元，平均每天可售出(20＋5x)顶． 依题意，得(44－x)(20＋5x)＝1 600， 整理，得x2－40x＋144＝0， 解得x1＝36，x2＝4． ∵要扩大销售，增加盈利，尽快减少库存， ∴x＝36． 答：每顶头盔应降价36元． 21．(10分)阅读材料：把形如ax2＋bx＋c的二次三项式(或其一部分)配成完全平方式的方法称为配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab＋b2＝(a±b)2．请根据阅读材料解决下列问题． (1)因式分解：a2－4a＋4＝ (a－2)2 ； (2)若|a＋1|＋b2－6b＋9＝0，求a＋b的值； (3)若a，b，c分别是△ABC的三边长，且a2＋4b2＋c2－2ab－6b－2c＋4＝0．试判断△ABC的形状，并说明理由． 解：(2)∵|a＋1|＋b2－6b＋9＝0， ∴|a＋1|＋(b－3)2＝0． ∴a＋1＝0，b－3＝0． ∴a＝－1，b＝3． ∴a＋b＝－1＋3＝2． (3)△ABC是等边三角形．理由如下： ∵a2＋4b2＋c2－2ab－6b－2c＋4＝0， ∴(a2－2ab＋b2)＋(c2－2c＋1)＋(3b2－6b＋3)＝0，即(a2－2ab＋b2)＋(c2－2c＋1)＋3(b2－2b＋1)＝0． ∴(a－b)2 ＋(c－1)2 ＋3(b－1)2＝0． ∴a－b＝0，c－1＝0，b－1＝0． ∴a＝b，c＝1，b＝1． ∴a＝b＝c． ∵a，b，c分别是△ABC的三边长， ∴△ABC是等边三角形． 22．(12分)我们规定：对于任意实数a，b，c，d有[a，b]*[c，d]＝ac－bd，其中等式右边是乘法和减法运算，例如，[3，2]*[5，1]＝3×5－2×1＝13． (1)求[－4，3]*[2，－6]的值； (2)已知关于x的方程[x，2x－1]*[mx＋1，m]＝0有两个实数根，求m的取值范围． 解：(1)∵[a，b]*[c，d]＝ac－bd， ∴[－4，3]*[2，－6]＝－4×2－3×(－6)＝－8＋18＝10． (2)∵[x，2x－1]*[mx＋1，m]＝0， ∴x·(mx＋1)－(2x－1)·m＝0． 整理，得mx2＋(1－2m)x＋m＝0． ∵关于x的方程[x，2x－1]*[mx＋1，m]＝0有两个实数根， ∴Δ＝b2－4ac＝(1－2m)2－4m2≥0，且m≠0， 解得m≤且m≠0． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $