课时分层训练(7) 2.4用因式分解法求解一元二次方程-【学霸笔记·初中同步练习分层卷】2025-2026学年九年级上册数学同步练习分层卷（北师大版）

课时分层训练(七)　用因式分解法求解一元二次方程 知识点一　因式分解之提公因式法 1．一元二次方程x2－7x＝0的根是(　C　) A．x1＝x2＝7 B．x1＝x2＝－7 C．x1＝0，x2＝7 D．x1＝0，x2＝－7 2．方程x2－2x＝0的根是(　D　) A．x＝2 B．x＝0 C．x＝2或x＝1 D．x＝2或x＝0 3．方程2x2＋x＝0的根是 x1＝0，x2＝－ ． 4．解方程：x(2－3x)＋(3x－2)＝0． 解：∵x(2－3x)＋(3x－2)＝0， ∴x(2－3x)－(2－3x)＝0， 即(2－3x)(x－1)＝0． ∴2－3x＝0或x－1＝0， 解得x1＝，x2＝1． 知识点二　因式分解之公式法 5．解方程： (1)(2x－1)2＝(2－3x)2； (2)(2x－1)2－(x＋3)2＝0． 解：(1)∵(2x－1)2＝(2－3x)2， ∴(2x－1)2－(2－3x)2＝0． ∴[(2x－1)＋(2－3x)][(2x－1)－(2－3x)]＝0， 即(1－x)(5x－3)＝0． ∴1－x＝0或5x－3＝0， 解得x1＝1，x2＝． (2)∵(2x－1)2－(x＋3)2＝0， ∴(2x－1＋x＋3)(2x－1－x－3)＝0， 即(3x＋2)(x－4)＝0． ∴3x＋2＝0或x－4＝0， 解得x1＝－，x2＝4． 知识点三　因式分解之十字相乘法 6．阅读下列材料： (1)将x2＋2x－35因式分解，我们可以按下面的方法解答： ①分解二次项与常数项：x2＝x·x，－35＝(－5)×(＋7)； ②交叉相乘求和，验中项：7x＋(－5x)＝2x； ③横向写出两因式：x2＋2x－35＝(x－5)·(x＋7)． 我们将这种用十字交叉相乘因式分解的方法叫作十字相乘法． (2)根据乘法原理：若ab＝0，则a＝0或b＝0． 试用上述方法和原理解答下列方程： ①m2－m－72＝0； ②x2＋40＝13x； ③x2－3x－28＝0． 解：①∵m2－m－72＝0， ∴(m－9)(m＋8)＝0． ∴m1＝9，m2＝－8． ②∵x2＋40＝13x，∴x2－13x＋40＝0． ∴(x－5)(x－8)＝0．∴x1＝5，x2＝8． ③∵x2－3x－28＝0， ∴(x－7)(x＋4)＝0． ∴x1＝7，x2＝－4． 7．方程(x－3)(x＋2)＝0的根是(　C　) A．x1＝－3，x2＝－2 B．x1＝－3，x2＝2 C．x1＝3，x2＝－2 D．x1＝3，x2＝2 8．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边的边长是方程x2－6x＋8＝0的根，则这个三角形的周长是(　C　) A．11 B．11或13 C．13 D．以上选项都不正确 9．用因式分解法解方程，下列方法中正确的是(　A　) A．(2x－2)(3x－4)＝0， ∴2x－2＝0或3x－4＝0 B．(x＋3)(x－1)＝1， ∴x＋3＝0或x－1＝1 C．(x－2)(x－3)＝2×3， ∴x－2＝2或x－3＝3 D．x(x＋2)＝0，∴x＋2＝0 10．一元二次方程4x2＝x的根为 x1＝0，x2＝ ． 11．若菱形的一条对角线长为6，边长是方程x2－7x＋12＝0的一个根，则该菱形的周长为 16 ． 12．方程x2－6x＋8＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长是 10 ． 13．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AE＝EB＝EC＝a，且a是一元二次方程x2＋2x－3＝0的根，则▱ABCD的周长是 2＋4 ． 14．用适当的方法解下列方程： (1)x2－4x＋3＝0； (2)(2x＋1)2＝3(2x＋1)． 解：(1)∵x2－4x＋3＝0， ∴(x－3)(x－1)＝0， 即x－3＝0或x－1＝0． ∴x1＝3，x2＝1． (2)∵(2x＋1)2＝3(2x＋1)， ∴(2x＋1)2－3(2x＋1)＝0． ∴(2x＋1)(2x＋1－3)＝0， 即2x＋1＝0或2x＋1－3＝0． ∴x1＝－，x2＝1． 【创新运用】 15．阅读下列解一元二次方程的方法，并解决问题： 解方程：x(x－2)＝3． 解：原方程变形，得[(x－1)＋1]·[(x－1)－1]＝3， ∴(x－1)2－12＝3， (x－1)2＝4． 方程两边同时开平方， 得x－1＝±2， 解得x1＝3，x2＝－1． 我们把这种解法称为“和差数法”． 应用： 用“和差数法”解方程(x＋1)(x＋5)＝12． 解：原方程变形，得[(x＋3)－2][(x＋3)＋2]＝12， ∴(x＋3)2－22＝12，(x＋3)2＝16． 方程两边同时开平方， 得x＋3＝±4， 解得x1＝1，x2＝－7． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $