第二次月考综合监测卷-2025-2026学年人教版数学九年级上册（章节基础过关卷+单元提优验收卷+重难点易错题突破卷+月考期中期末仿真卷）

第二次月考综合监测卷 （时间：120分钟 满分：120分 ） 考试范围：一元二次方程、二次函数旋转、圆 姓名 得分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C C C D C D B A B 一．选择题（共有10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1．（2023秋•西岗区期末）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC，BC．若∠A＝70°，则∠B的度数是（　　） A．50° B．40° C．35° D．20° 【分析】先根据圆周角定理得到∠BAC＝90°，然后利用直角三角形的两锐角互余计算∠B的度数． 【详解】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∵∠A＝70°， ∴∠B＝20°． 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 2．（2024•广州）下列图案中，点O为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点O对称的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据中心对称的性质解答即可． 【详解】解：由题可知，A、B、D不是中心对称图形，C是中心对称图形图形． 故选：C． 【点睛】本题考查的是中心对称，正方形的性质及全等三角形的性质，熟知把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点是解题的关键． 3．（2025•兰考县一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣1＝0，其中m是实数，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（　　） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【分析】根据一元二次方程根的判别式即可得到答案． 【详解】解：关于x的一元二次方程的Δ＝（﹣m）2﹣4×1×（﹣1）＝m2+4， ∴m2+4＞0， ∴方程x2﹣mx﹣1＝0有两个不相等的实数根， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数且a≠0）根的判别式Δ＝b2﹣4ac，当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 4．（2024秋•越秀区校级月考）某同学在用描点法画二次函数的图象时，列出了下面的表格： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 m … 那么m的值为（　　） A．﹣3 B．﹣4 C．0 D．5 【分析】根据题目提供的满足二次函数解析式的x、y的值，确定二次函数的对称轴，利用对称轴找到一个点的对称点的纵坐标即可． 【详解】解：由上表可知函数图象经过点（0，﹣3）和点（2，﹣3）， ∴对称轴为， ∴当x＝﹣1时的函数值等于当x＝3时的函数值， ∵当x＝﹣1时，y＝0， ∴当x＝3时，m＝0． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象的性质．掌握其性质是解题关键． 5．（2024•龙口市一模）如图，在正方形方格中，A，B，C，D，E，P均在格点处，则点P是下列哪个三角形的外心（　　） A．△ACE B．△ABD C．△ACD D．△BCE 【分析】由三角形外心的性质：三角形的外心到三角形三顶点的距离相等，即可判断． 【详解】解：由勾股定理得：PC＝PE＝PB， ∴P到B、C、E的距离相等， ∴P是△BCE的外心． 故选：D． 【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心，关键是掌握三角形外心的性质． 6．（2023•辉县市二模）已知在平面直角坐标系中，点A（m﹣3，1﹣m） 关于坐标原点对称的点位于第一象限，则m的取值范围是（　　） A．m＞﹣1 B．m＜1 C．1＜m＜3 D．m＜3 【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出A点位置，再结合第三象限内点的坐标特点得出答案． 【详解】解：∵点A（m﹣3，1﹣m）关于坐标原点对称的点位于第一象限， ∴点A在第三象限，由第三象限内点的坐标特点，横坐标、纵坐标都为负数， ∴， 解得：1＜m＜3． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质以及解不等式组，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键． 7．（2022秋•颍州区校级期中）如图，晓波家的院墙一边靠墙处，用60米长的铁栅栏围成了三个相连的养殖小院子，总面积为y平方米，为方便喂养这些不同类的动物，在各个养殖院子之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门．若设AB＝x米，则y关于x的函数关系式为（　　） A．y＝x（60﹣4x） B．y＝x（63﹣2x） C．y＝x（60﹣2x） D．y＝x（63﹣4x） 【分析】如图所示（见详解），设AB＝x米，则可求出BC的长，根据矩形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图所示， 设AB＝x米，则BC＝60﹣2x﹣2（x﹣1）+1＝63﹣4x， 又小院子的总面积为y， ∴y＝x（63﹣4x）， 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次函数的运用，理解图形面积的计算方法，掌握数量关系，准确列出函数关系式是解题的关键． 8．（2024秋•万全区期末）如图是一个钟表表盘，连接整点2时与整点10时的B，D两点并延长，交过整点8时的切线于点P，若表盘的半径长为，则切线长PC为（　　） A．3 B．2 C． D． 【分析】设钟表的中心为点O，连接BC，OD，根据题意可得：点O在BC上，∠DOC＝60°，然后利用圆周角定理可得∠DBC＝30°，再利用切线的性质可得∠BCP＝90°，最后在Rt△BCP中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：设钟表的中心为点O，连接BC，OD， 由题意得：点O在BC上，∠DOC＝2×30°＝60°， ∴， ∵PC与⊙O相切于点C， ∴∠BCP＝90°， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了切线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 9．（2024•同心县模拟）把一副三角板如图甲放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边AB＝6，DC＝6，把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图乙），此时AB与CD1交于点O，则线段AD1的长为（　　） A． B．5 C．4 D． 【分析】先求出∠ACD＝30°，再根据旋转角求出∠ACD1＝45°，然后判断出△ACO是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求出AO、CO，AB⊥CO，再求出OD1然后利用勾股定理列式计算即可得解． 【详解】解：∵∠ACB＝∠DEC＝90°，∠D＝30°， ∴∠DCE＝90°﹣30°＝60°， ∴∠ACD＝90°﹣60°＝30°， ∵旋转角为15°， ∴∠ACD1＝30°+15°＝45°， 又∵∠CAB＝45°， ∴△ACO是等腰直角三角形， ∴∠ACO＝∠BCO＝45°， ∵CA＝CB， ∴AO＝COAB6＝3， ∵DC＝6， ∴D1C＝DC＝6， ∴D1O＝6﹣3＝3， 在Rt△AOD1中，AD13． 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，根据等腰直角三角形的性质判断出AB⊥CO是解题的关键，也是本题的难点． 10．（2023秋•鄞州区期中）如图，Rt△ABC中，斜边BC＝10，AC＝6，内切圆I切各边为D，E，F，连结EF，作DG⊥EF交AB于G，则GD长为（　　） A．7 B． C． D． 【分析】连结ID、IE、IF、IB，则CD＝CF，AE＝AD，BE＝BF，AC⊥ID，AB⊥IE，由∠A＝90°，BC＝10，AC＝6，根据勾股定理求得AB8，再证明四边形ADIE是正方形，由AE+AD＝AB+AC﹣（BE+CD）＝AB+AC﹣BC＝4，求得IE＝AE＝AD＝2，则BE＝6，所以IB2，因为IB⊥EF，DG⊥EF，所以IB∥DG，而ID∥BG，则四边形BIDG是平行四边形，所以GD＝IB＝2，于是得到问题的答案． 【详解】解：连结ID、IE、IF、IB， ∵⊙I与AC、AB、BC分别相切于点D，E，F， ∴CD＝CF，AE＝AD，BE＝BF，AC⊥ID，AB⊥IE， ∴∠ADI＝∠AEI＝∠BEI＝90°，BE+CD＝BF+CF＝BC， ∵∠A＝90°，BC＝10，AC＝6， ∴AB8， ∵∠ADI＝∠AEI＝∠A＝90°，ID＝IE， ∴四边形ADIE是正方形， ∵AE+AD＝AB+AC﹣（BE+CD）＝AB+AC﹣BC＝8+6﹣10＝4， ∴IE＝AE＝AD＝2， ∴BE＝8﹣2＝6， ∴IB2， ∵BE＝BF，IE＝IF， ∴点B、I都在EF的垂直平分线上， ∴IB垂直平分EF， ∵IB⊥EF，DG⊥EF， ∴IB∥DG， ∵ID∥BG， ∴四边形BIDG是平行四边形， ∴GD＝IB＝2， 故选：B． 【点睛】此题重点考查切线的性质定理、切线长定理、勾股定理、正方形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质、平行四边形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 二．填空题（共有6小题，每小题4分，共24分） 11．（2024秋•綦江区校级期中）请任写一个成中心对称图形的汉字、字母或数字　田，N，0等　 ． 【分析】直接利用中心对称图形的概念求解． 【详解】解：成中心对称图形的汉字、字母或数字可以为：田，N，0等． 故答案为：田，N，0等． 【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 12．（2024秋•朝阳区期中）若点A（1，y1），B（2，y2）在抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣1上，则y1　＞　 y2.（填＞、＝、或＜） 【分析】利用二次函数的性质可得出当x＞﹣1时y随x的增大而减小，再结合1＜2，即可得出y1＞y2． 【详解】解：∵a＝﹣2＜0，且抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， ∴当x＞﹣1时，y随x的增大而减小， 又∵点A（1，y1），B（2，y2）在抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣1上，且1＜2， ∴y1＞y2． 故答案为：＞． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，利用二次函数的性质，找出当x＞﹣1时y随x的增大而减小是解题的关键． 13．（2021秋•静海区校级月考）如图，在3×3的正方形网格中，图中的两条弦AB＝CD，则∠ABD＝　45°　 ． 【分析】根据圆心角，弦，弧的关系可得，即可得∠ABD＝∠CDB，结合网格的特点可求解∠ABD的度数． 【详解】解：∵AB＝CD， ∴， ∴， ∴∠ABD＝∠CDB， ∵AB⊥CD， ∴∠ABD＝45°． 故答案为：45°． 【点睛】本题主要考查圆心角，弦，弧的关系，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，证得∠ABD＝∠CDB是解题的关键． 14．（2024春•拱墅区期末）已知a，b为常数，若方程（x﹣1）2＝a的两个根与方程（x﹣3）（x﹣b）＝0的两个根相同，则b＝　﹣1　 ． 【分析】先求出方程（x﹣3）（x﹣b）＝0的解，进而可求出a的值，据此可解决问题． 【详解】解：由方程（x﹣3）（x﹣b）＝0得， x1＝3，x2＝b． 因为方程（x﹣1）2＝a的两个根与方程（x﹣3）（x﹣b）＝0的两个根相同， 则将x＝3代入（x﹣1）2＝a得， a＝4， 解方程（x﹣1）2＝4得， x3＝3，x4＝﹣1， 所以b＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟知因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 15．（2024•卧龙区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，P是直线AB：yx+4上的一个动点，⊙O的半径为1，过点P作⊙O的切线，切点为Q，则PQ长度的最小值为 　　 ． 【分析】连接OP，OQ，求出OB＝4，OA＝3，由勾股定理得出AB＝5，由切线的性质结合勾股定理得出，当OP最小时，PQ的值最小，当OP⊥AB时，OP的值最小，此时PQ的值最小，由等面积法得出，即可得解． 【详解】解：如图，连接OP，OQ， 在中，令x＝0，则y＝4， ∴B（0，4），OB＝4， 令y＝0，则， 解得：x＝﹣3， ∴A（﹣3，0），OA＝3， ∴， ∵PQ是⊙O的切线， ∴∠OQP＝90°， ∴， ∵OQ的长度为1不变， ∴当OP最小时，PQ的值最小， 当OP⊥AB时，OP的值最小，此时PQ的值最小， ∵， ∴，此时， ∴PQ长度的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题、切线的性质、勾股定理、三角形面积公式，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b． 16．（2023秋•三河市期末）如图1，以边长为8的正方形纸片ABCD的边AB为直径作⊙O，以点A为端点作∠DAM＝30°，交CD于点M，沿AM将四边形ABCM剪掉，使Rt△ADM绕点A逆时针旋转（如图2），设旋转角为α（0°＜α＜150°），旋转过程中AD与⊙O交于点F． （1）当α＝30°时，线段AF的长为 　4　 ； （2）当α＝　90　 °时，DM与⊙O相切． 【分析】（1）连接OA、OF，可判断出△OAF是等边三角形，从而可求出AF的长； （2）根据AD等于⊙O的直径，可得出当DM与⊙O相切时，点D在⊙O上，从而可得出α的度数． 【详解】解：（1）连接OA、OF， 由题意得，∠NAD＝30°，∠DAM＝30°， 故可得∠OAM＝30°，∠DAM＝30°， 则∠OAF＝60°， 又∵OA＝OF， ∴△OAF是等边三角形， ∵OA＝4， ∴AF＝OA＝4； 故答案为：4； （2）如图， ∵AD＝8，直径的长度相等， ∴当DM与⊙O相切时，点D在⊙O上， 故此时可得α＝∠NAD＝90°． 故答案为：90． 【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系，切线的判定，含30°角的直角三角形，关键是判断出点D的位置，有一定难度． 三．解答题（本大题共6小题，共66分） 17．（8分）（2023秋•双台子区校级期末）一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽为3.5cm，AB＝3cm，CD＝4cm．请你帮忙计算纸杯的直径为多少 cm． 【分析】由垂径定理求出BN，DM的长，设OM＝x cm，由勾股定理得到x2+22＝（3.5﹣x）2+1.52，求出x的值，得到OM的长，由勾股定理求出OD长，即可求出纸杯的直径长． 【详解】解：如图，MN⊥AB，MN过圆心O，连接OD，OB， ∴MN＝3.5cm， ∵CD∥AB， ∴MN⊥CD， ∴DMCD4＝2（cm），BNAB3＝1.5（cm）， 设OM＝x cm， ∴ON＝MN﹣OM＝（3.5﹣x）cm， ∵OM2+MD2＝OD2，ON2+BN2＝OB2， ∴OM2+MD2＝ON2+BN2， ∴x2+22＝（3.5﹣x）2+1.52， ∴x＝1.5， ∴OM＝1.5（cm）， ∴OD2.5（cm）， ∴纸杯的直径为2.5×2＝5（cm）． 【点睛】本题考查垂径定理的应用，勾股定理，关键是通过作辅助线构造直角三角形，由垂径定理，勾股定理求出OM的长． 18．（10分）（2024秋•玉环市期末）如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，O均为格点（每个小正方形的顶点叫做格点）． （1）作点A关于点O的对称点A1； （2）连接A1B，将线段A1B绕点A1顺时针旋转90°得到线段A1B1，点B的对应点为B1，画出旋转后的线段A1B1； （3）连接AB1，BB1，求出△ABB1的面积（直接写出结果即可）． 【分析】（1）依据中心对称的性质，即可得到点A关于点O的对称点A1； （2）依据线段A1B绕点A1顺时针旋转90°得点B对应点B1，即可得出旋转后的线段A1B1； （2）依据三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：（1）如图所示，点A1即为所求； （2）如图所示，线段A1B1即为所求； （3）如图，连接AB1，BB1， 则8×2＝8． 【点睛】本题主要考查了利用旋转变换作图，掌握旋转的性质是解题的关键． 19．（10分）（2024秋•兴隆台区校级月考）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且∠D＝4∠A． （1）求∠D的度数； （2）若CD＝2，求AD的长． 【分析】（1）连接OC，如图，根据切线的性质得∠OCD＝90°，再利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠OCD＝2∠A，接着利用互余得到2∠A+4∠A＝90°，解得∠A＝15°，从而得到∠D的度数； （2）在Rt△OCD中，利用含30度的直角三角形三边的关系得到，OD＝4，然后计算OD+OA即可． 【详解】（1）解：连接OC，如图， ∵PD切⊙O于点C， ∴OC⊥DP， ∴∠OCD＝90°， ∵OA＝OC， ∴∠OCA＝∠A， ∴∠OCD＝∠A+∠OCA＝2∠A， ∵∠OCD+∠D＝90°， 而∠D＝4∠A． ∴2∠A+4∠A＝90°，解得∠A＝15°， ∴∠D＝4×15°＝60°； （2）解：∵∠COD＝30°，CD＝2， ∴OD＝2CD＝4， 根据勾股定理可得OC2， ∴OA＝OC＝2， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质和圆周角定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 20．（12分）（2024•济南模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于点A（1，0），B（﹣3，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）过点作x轴的平行线交抛物线于E、F两点，求EF的长； （3）当时，x的取值范围是 　或　 ． 【分析】（1）把A（1，0），B（﹣3，0）代入y＝ax2+bx﹣3，用待定系数法求函数解析式即可； （2）把代入（1）中解析式，解方程求出x的值，再求EF即可； （3）由（2）和图象可以得出自变量的取值范围． 【详解】解：（1）把A（1，0），B（﹣3，0）代入y＝ax2+bx﹣3得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3； （2）把点的纵坐标，代入得：， 解得：或， 则EF长； （3）由（2）和图象知：当时，x的取值范围是或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式和二次函数的性质以及直线与抛物线的交点，关键是求函数解析式． 21．（12分）（2024春•株洲期末）如图，一个锐角等于60°的菱形ABCD，将一个60°的∠MAN的顶点与该菱形顶点A重合，以A为旋转中心，按顺时针方向旋转这个60°的∠MAN，使它的两边分别交CB、DC于点E，F． （1）如图1，当BE＝DF时，试判断AE与AF的数量关系，并说明理由； （2）旋转∠MAN，如图2，当BE≠DF时，（1）的结论是否仍然成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由． 【分析】（1）由“SAS”可证△ABE≌△ADF，可得AE＝AF； （2）由菱形的性质可得AB＝BC＝AD＝CD，∠B＝∠D＝60°，可证△ABC是等边三角形，△ACD是等边三角形，可得AB＝AC，∠ACD＝∠B＝60°＝∠BAC，由“ASA”可证△BAE≌△CAF，可得AE＝AF． 【详解】解：（1）AE＝AF；理由如下： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，∠B＝∠D． 在△ABE和△ADF中， ， ∴△ABE≌△ADF（SAS）， ∴AE＝AF； （2）仍然成立． 证明：如图2，连接AC． ∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°， ∴AB＝BC＝AD＝CD，∠B＝∠D＝60°， ∴△ABC是等边三角形，△ACD是等边三角形， ∴AB＝AC，∠ACD＝∠B＝60°＝∠BAC， ∵∠MAN＝60°＝∠BAC， ∴∠BAE＝∠CAF． 在△BAE和△CAF中， ， ∴△BAE≌△CAF（ASA）， ∴AE＝AF． 【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 22．（14分）（2024秋•泰兴市校级月考）某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： 【问题发现】如图1，正方形ABCD的四个顶点都在⊙O上，若点E是弧AB上的一点，F是DE上的一点，且DF＝BE．①试说明：△ADF≌△ABE；②若，求⊙O半径． 【解决问题】如图2，若点E在弧AD上，过点A作AM⊥BE，请说明线段BE、DE、AM之间满足等量关系：BE﹣DE＝2AM． 【分析】【问题发现】①由同弧对的圆周角相等及SAS可证明△ADF≌△ABE；②连接BD，则∠DEB＝90°；由△ADF≌△ABE得BE＝DF＝1，，∠DAF＝∠BAE，则可得△AEF是等腰直角三角形，从而求得EF与DE，由勾股定理即可求得直径BD，从而求得圆的半径； 【解决问题】在BE上取BG＝DE，连接AG，则可证明△ABG≌△ADE，得∠BAG＝∠DAE，AG＝AE，则得∠EAG＝90°；由AM⊥BE及AG＝AE，从而可得GE＝2ME，∠MAE＝∠AEM＝45°，则有AM＝ME，则BE﹣DE＝2AM． 【详解】【问题发现】①证明：∵， ∴∠ADF＝∠ABE； ∵四边形ABCD为正方形， ∴AD＝AB，∠DAB＝90°； 在△ADF和△ABE中， ， ∴△ADF≌△ABE（SAS）； ②解：如图，连接BD， ∵∠DAB＝90°， ∴BD为⊙O的直径， ∴∠DEB＝90°； ∵△ADF≌△ABE， ∴BE＝DF＝1，，∠DAF＝∠BAE， ∴∠EAF＝∠BAE+∠BAF＝∠DAF+∠BAF＝∠DAB＝90°， ∴△AEF是等腰直角三角形， ∴EFAE＝4， ∴DE＝EF+DF＝5． 由勾股定理得：， ∴⊙O的半径为； 【解决问题】证明：如图，在BE上取BG＝DE，连接AG， ∵， ∴∠ADE＝∠ABG， 在△ABG和△ADE中， ， ∴△ABG≌△ADE（SAS）， ∴∠BAG＝∠DAE，AG＝AE， ∴∠EAG＝∠DAE+∠DAG＝∠BAG+∠DAG＝∠DAB＝90°， ∴△AEG为等腰直角三角形， ∵AM⊥BE， ∴GE＝2ME，， ∴∠MAE＝∠AEM＝45°， ∴AM＝ME， ∴GE＝2AM； ∵BE﹣BG＝GE， ∴BE﹣DE＝2AM． 【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，90度圆周角对的弦为直径，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，正方形的性质等知识，涉及的知识点较多，添加恰当的辅助线，证明三角形全等是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二次月考综合监测卷 （时间：120分钟 满分：120分） 考试范围：一元二次方程、二次函数旋转、圆 姓名 得分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C C C D C D B A B 一．选择题（共有10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1．（2023秋•西岗区期末）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC，BC．若∠A＝70°，则∠B的度数是（　　） A．50° B．40° C．35° D．20° 2．（2024•广州）下列图案中，点O为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点O对称的是（　　） A． B． C． D． 3．（2025•兰考县一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣1＝0，其中m是实数，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（　　） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 4．（2024秋•越秀区校级月考）某同学在用描点法画二次函数的图象时，列出了下面的表格： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 m … 那么m的值为（　　） A．﹣3 B．﹣4 C．0 D．5 5．（2024•龙口市一模）如图，在正方形方格中，A，B，C，D，E，P均在格点处，则点P是下列哪个三角形的外心（　　） A．△ACE B．△ABD C．△ACD D．△BCE 6．（2023•辉县市二模）已知在平面直角坐标系中，点A（m﹣3，1﹣m） 关于坐标原点对称的点位于第一象限，则m的取值范围是（　　） A．m＞﹣1 B．m＜1 C．1＜m＜3 D．m＜3 7．（2022秋•颍州区校级期中）如图，晓波家的院墙一边靠墙处，用60米长的铁栅栏围成了三个相连的养殖小院子，总面积为y平方米，为方便喂养这些不同类的动物，在各个养殖院子之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门．若设AB＝x米，则y关于x的函数关系式为（　　） A．y＝x（60﹣4x） B．y＝x（63﹣2x） C．y＝x（60﹣2x） D．y＝x（63﹣4x） 8．（2024秋•万全区期末）如图是一个钟表表盘，连接整点2时与整点10时的B，D两点并延长，交过整点8时的切线于点P，若表盘的半径长为，则切线长PC为（　　） A．3 B．2 C． D． 9．（2024•同心县模拟）把一副三角板如图甲放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边AB＝6，DC＝6，把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图乙），此时AB与CD1交于点O，则线段AD1的长为（　　） A． B．5 C．4 D． 10．（2023秋•鄞州区期中）如图，Rt△ABC中，斜边BC＝10，AC＝6，内切圆I切各边为D，E，F，连结EF，作DG⊥EF交AB于G，则GD长为（　　） A．7 B． C． D． 二．填空题（共有6小题，每小题4分，共24分） 11．（2024秋•綦江区校级期中）请任写一个成中心对称图形的汉字、字母或数字　 ． 12．（2024秋•朝阳区期中）若点A（1，y1），B（2，y2）在抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣1上，则y1　 　 y2.（填＞、＝、或＜） 13．（2021秋•静海区校级月考）如图，在3×3的正方形网格中，图中的两条弦AB＝CD，则∠ABD＝　 ． 14．（2024春•拱墅区期末）已知a，b为常数，若方程（x﹣1）2＝a的两个根与方程（x﹣3）（x﹣b）＝0的两个根相同，则b＝　 　 ． 15．（2024•卧龙区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，P是直线AB：yx+4上的一个动点，⊙O的半径为1，过点P作⊙O的切线，切点为Q，则PQ长度的最小值为 　 ． 16．（2023秋•三河市期末）如图1，以边长为8的正方形纸片ABCD的边AB为直径作⊙O，以点A为端点作∠DAM＝30°，交CD于点M，沿AM将四边形ABCM剪掉，使Rt△ADM绕点A逆时针旋转（如图2），设旋转角为α（0°＜α＜150°），旋转过程中AD与⊙O交于点F． （1）当α＝30°时，线段AF的长为 　 ； （2）当α＝　 　 °时，DM与⊙O相切． 三．解答题（本大题共6小题，共66分） 17．（8分）（2023秋•双台子区校级期末）一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽为3.5cm，AB＝3cm，CD＝4cm．请你帮忙计算纸杯的直径为多少 cm． 18．（10分）（2024秋•玉环市期末）如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，O均为格点（每个小正方形的顶点叫做格点）． （1）作点A关于点O的对称点A1； （2）连接A1B，将线段A1B绕点A1顺时针旋转90°得到线段A1B1，点B的对应点为B1，画出旋转后的线段A1B1； （3）连接AB1，BB1，求出△ABB1的面积（直接写出结果即可）． 19．（10分）（2024秋•兴隆台区校级月考）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且∠D＝4∠A． （1）求∠D的度数； （2）若CD＝2，求AD的长． 20．（12分）（2024•济南模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于点A（1，0），B（﹣3，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）过点作x轴的平行线交抛物线于E、F两点，求EF的长； （3）当时，x的取值范围是 　 ． 21．（12分）（2024春•株洲期末）如图，一个锐角等于60°的菱形ABCD，将一个60°的∠MAN的顶点与该菱形顶点A重合，以A为旋转中心，按顺时针方向旋转这个60°的∠MAN，使它的两边分别交CB、DC于点E，F． （1）如图1，当BE＝DF时，试判断AE与AF的数量关系，并说明理由； （2）旋转∠MAN，如图2，当BE≠DF时，（1）的结论是否仍然成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由． 22．（14分）（2024秋•泰兴市校级月考）某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： 【问题发现】如图1，正方形ABCD的四个顶点都在⊙O上，若点E是弧AB上的一点，F是DE上的一点，且DF＝BE．①试说明：△ADF≌△ABE；②若，求⊙O半径． 【解决问题】如图2，若点E在弧AD上，过点A作AM⊥BE，请说明线段BE、DE、AM之间满足等量关系：BE﹣DE＝2AM． 1 学科网（北京）股份有限公司 $