2.2.3函数的单调性和最值（第3课时）课件-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

作课人：廉文杰 数学之王——欧拉 北师大版（2019）高中数学 必修第一册 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 第二章 函数 第3节 函数的单调性和最值 第3课时（共3课时） 1 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1、理解函数最值的概念； 2、掌握函数单调性的应用。 1、函数单调性的应用。 1、函数最值的概念； 2、函数单调性的应用。 2 新 课 引 入 数学王子——高斯 一、判断函数的单调性有哪些方法？ 图像法、定义法、性质法。 单调性是函数的一种重要性质，有着极其广泛的应用。本节课我们就来研究一下单调性的应用。 3 典 例 引 路 集合论之父——康托 利用单调性比大小 例1、已知函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,试比较 f(a2-a+1)与f（）的大小. 解:∵a2-a+1=（a-, ∴与a2-a+1都是区间(0,+∞)上的值. ∵f(x)在区间(0,+∞)上单调递减, ∴f(a2-a+1)≤f（） 4 同 步 练 习 解析几何之父——笛卡尔 练1、（1）是减函数，则有（ ） A. C. D. A （2）是减函数，则有（ ） A. C. D. D 　（3）已知函数f(x)＝x2＋bx＋c图象的对称轴为直线x＝2， 则下列关系式正确的是(　　) A．f(－1)<f(1)<f(2) B．f(1)<f(2)<f(－1) C．f(2)<f(1)<f(－1) D．f(1)<f(－1)<f(2) C 5 典 例 引 路 柯 西 例2、已知函数g(x)的定义域是[-2,2],且在[-2,2]上单 调增,g(t)>g(1-3t),求t的取值范围. 解:∵g(x)在区间[-2,2]上单调递增,且g(t)>g(1-3t), ∴ 即 ∴＜t≤1 ∴t的取值范围为（ 利用单调性解不等式 6 同 步 练 习 无冕的数学之王——希尔伯特 练2、已知函数f(x)在区间[-1,1]上单调递增, 且f(x-2)<f(1-x),则x的取值范围为　　　　　.  解:由题意,得解得1≤x≤2. ① 因为f(x)在区间[-1,1]上单调递增,且f(x-2)<f(1-x), 所以x-2<1-x,解得x<. ② 由①②得1≤x<. 所以满足题设条件的x的取值范围为[1,). 7 典 例 引 路 牛 顿 利用单调性求参数的取值范围 例3、若f(x)＝－x2＋4mx与g(x)＝在区间[2,4]上都是减函数，则m的取值范围是(　　) A．(－∞，0)∪(0,1] B．(－1,0)∪(0,1] C．(0，＋∞) D．(0,1] 解：函数f(x)＝－x2＋4mx的图象开口向下，且以直线x＝2m为对称轴，若在区间[2,4]上是减函数，则2m≤2，解得m≤1， g(x)＝的图象由y＝的图象向左平移一个单位长度得到的，若在区间[2,4]上是减函数，则2m>0，解得m>0. 综上可得m的取值范围是(0,1]． D 8 典 例 引 路 狄利克雷 利用单调性求参数的取值范围 例4、已知函数f(x)＝是R上的增函数，则a的取值范围是(　　) A．－3≤a<0 B．a≤－2 C．a<0 D．－3≤a≤－2 解：函数f(x)＝是R上的增函数，则f(x)＝－x2－ax－5(x≤1)单调递增，故它的对称轴－≥1，即a≤－2，此时f(x)＝ (x>1)也单调递增，所以a<0，要保证在R上是增函数．只需在x＝1处满足－1－a×1－5≤a，即a≥－3.综上所述，－3≤a≤－2. D 分段函数在其定义域内是增函数必须满足两个条件： ①每一段都是增函数； ②相邻两段函数中，自变量取值小的一段函数的上边界 小于等于自变量取值大的一段函数的下边界。 9 同 步 练 习 黎 曼 练3、已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的单调递减区间是(－∞，4]， 则a＝________. 解：函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的单调递减区间为(－∞，1－a]，∴1－a＝4，∴a＝－3. 练4、函数f(x)=是定义在(-∞,+∞)上的减 函数,则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 解:由函数f(x)在(-∞,+∞)上是减函数知,一方面要满足每一段函数是单调递减的,则有3a-1<0,且-a<0,解得0<a<;另一方面整个函数表现为单调递减,则需要在分段点处的值满足(3a-1)×1+4a≥-a×1,解得a≥.综上可知,实数a的取值范围是≤a<. -3 A 10 学 习 新 知 欧几里得 （约公元前300年） 《几何原本》 若存在实数，对所有的，都有，且存在，使得，则称为函数的最大值； 若存在实数，对所有的，都有，且存在，使得，则称为函数的最小值； 函数的最大值和最小值统称为最值. 函数的最值 1.联系:函数的最值和值域反映的都是函数的基本性质,针对的是整个定 义域. 2.区别:(1)函数的值域一定存在,而函数的最大(小)值不一定存在; (2)若函数的最值存在,则最值一定是值域中的元素; (3)若函数的值域是开区间(两端点都取不到),则函数无最值;若 函数的值域是闭区间,则闭区间的端点值就是函数的最值. 最值和值域 11 典 例 引 路 皮 亚 诺 例5、已知函数y=-|x-1|+2,画出函数的图象,确定函数的最值情况,并写出值域. 解:y=-|x-1|+2=函数图象如图所示. 由图象知,函数y=-|x-1|+2的最大值为2,没有最小值. 所以其值域为(-∞,2]. 利用函数的图象求最值 12 同 步 练 习 庞加莱 练5、已知函数f(x)= (1)画出f(x)的图象; (2)利用图象写出该函数的最大值和最小值. 解:(1)函数f(x)的图象如图所示. (2)由图象可知f(x)的最小值为f(1)=1,无最大值. 13 学 习 新 知 阿基米德 （公元前287年—公元前212年） 《阿基米德全集》 (1)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(或单调递减),则f(x)在区间[a,b]上的最小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b). (2)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(或单调递减),在区间(b,c]上单调递减(或单调递增),则f(x)在区间[a,c]上的最大(小)值是f(b),最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个. (3)若函数f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的线,则函数f(x)在区间[a,b]上一定有最值. (4)求最值时一定要注意所给区间的开闭,若是开区间,则不一定有最大(小)值. 最值与单调性的关系 14 典 例 引 路 华罗庚 利用函数的单调性求最值 例6、已知函数f(x)=x+. (1)判断f(x)在区间[1,2]上的单调性; (2)根据f(x)的单调性求出f(x)在区间[1,2]上的最值. 解:(1)任取x1,x2∈[1,2],且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=x1-x2+ =(x1-x2)(1- )=. ∵x1<x2,∴x1-x2<0. 当1≤x1<x2≤2时,x1x2>0,1<x1x2<4,即x1x2-4<0. ∴f(x1)>f(x2),即f(x)在区间[1,2]上单调递减. (2)由(1)知f(x)的最小值为f(2),f(2)=2+=4; f(x)的最大值为f(1),f(1)=1+4=5, ∴f(x)的最小值为4,最大值为5. 15 同 步 练 习 莱布尼兹 (2)函数在[2，3]上的最小值为_______. 解:∵函数在[2，3]上单调递减，∴当时，. 练6、（1）若函数f(x)=,则f(x)的最大值为_______ 解:当x∈[1,2]时,f(x)为增函数,其最大值为f(2)=10; 当x∈[-4,1]时,f(x)为减函数,其最大值为f(-4)=11. 故函数f(x)的最大值为11. (3)函数y=x2-2x,x∈[0,3]的最大值为______ 解：∵y=x2-2x=(x-1)2-1,x∈[0,3] ∴当x=3时，函数取得最大值3. 16 学 习 新 知 阿波罗尼奥斯 （约公元前200年） 《圆锥曲线论》 探求二次函数在给定区间上的最值问题,一般要先作出y=f(x)的图象,再根据函数的单调性进行研究.特别要注意二次函数图象的对称轴与所给区间的位置关系,它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据.二次函数图象的对称轴与所给区间的位置关系通常有三种:(1)对称轴在所给区间的右侧;(2)对称轴在所给区间的左侧;(3)对称轴在所给区间内. 二次函数的最值问题 二次函数f(x)=a(x-h)2+k(a>0)在区间[m,n]上的最值可作如下讨论: 对称轴x=h与[m,n]的位置关系 f(x)的单调性 最大值 最小值 h＜m 在[m,n]上单调递增 f(n) f(m) h＞n 在[m,n]上单调递减 f(m) f(n) m≤h≤n m≤h＜ 在[m,h]上单调递减 在[h,n]上单调递增 f(n) f(h) h= f(m)或f(n) f(h) ＜h≤n f(m) f(h) 17 典 例 引 路 傅里叶 例7、函数f(x)=x2-2x+2(其中x∈[t,t+1],t∈R)的最小值为g(t),求g(t)的表达式. 二次函数的最值问题 解:由函数f(x)=x2-2x+2知其图象的开口向上,对称轴为x=1.下面分三种情况讨论: (1)当t+1≤1,即t≤0时,如图①所示,此时函数f(x)在[t,t+1]上单调递减, ∴g(t)=f(t+1)=(t+1)2-2(t+1)+2=t2+1. (2)当即0<t<1时,如图②所示,此时,函数f(x)在[t,1]上单调递减, 在(1,t+1]上单调递增,∴g(t)=f(1)=1. (3)当t≥1时,如图③所示,此时,函数f(x)在[t,t+1]上增. ∴g(t)=f(t)=t2-2t+2. 综上可知：g(t)= 18 同 步 练 习 洛必达 练7、求函数y=x2-2ax-1在区间[0,2]上的最值. 解:y=(x-a)2-1-a2. 当a<0时,函数在[0,2]上单调递增,如图①. 故函数在x=0处取得最小值-1,在x=2处取得最大值3-4a. 当0≤a≤1时,结合函数图象(如图②)知, 函数在x=a处取得最小值-a2-1,在x=2处取得最大值3-4a. 当1<a≤2时,结合图象(如图③)知, 函数在x=a处取得最小值-a2-1,在x=0处取得最大值-1. 当a>2时,函数在区间[0,2]上单调递减,如图④. 函数在x=0处取得最大值-1,在x=2处取得最小值3-4a. 19 全 课 总 结 一、函数单调性的应用； 二、函数的最值。 20 THANK YOU 谢谢！ 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 21 $