专题03 函数的单调性和最值（高效培优讲义）数学北师大版2019必修第一册

专题3 函数的单调性和最值 教学目标 1.能求函数的单调性，用定义证明函数的单调性； 2.掌握函数单调性的证明，会求常用函数的单调区间； 3.会利用函数的单调性求函数的最大与最小值.并能通过函数的单调性求待定参数的值。 教学重难点 重点 （1）利用图象判断函数的单调性、寻找函数的单调区间； （2）掌握函数的单调性的定义，用定义证明函数的单调性及简单应用； 难点： （1）数形结合求单调性问题； （2）数形结合处理参数问题。 知识点01 函数的单调性（基础） 1．增函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有 ， 那么就称函数在区间上单调递增.（如图：图象从左到右是上升的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是 (increasing function). 2.减函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有 ， 那么就称函数在区间上是单调递减.（如图：图象从左到右是下降的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是 (decreasing function). 3.函数的单调区间 如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做的 ． 4.常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数（） 当时，在上单调递增 当时，在上单调递减 反比例函数（） 当时，在和上单调递减 当时，在和上单调递增 二次函数（） 对称轴为 当时，在上单调递减； 在上单调递增 当时，在上单调递增； 在上单调递减 【即学即练】 1.(2024·贵溪市实验中学高二期末)函数的单调递增区间是____________； 2．(2025·和平区·天津市第二南开中学高一期中)函数，的单调递增区间是_____． 知识点02 函数单调性的判断与证明（重点） 1.定义法： 一般用于证明函数的单调性，设函数，证明的单调区间为 ① ：任取，，且； ② ：计算； ③ ：对进行有利于符号判断的变形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必要需讨论参数； ④ ：通过变形，判断或（），如有必要需讨论参数； ⑤ ：指出函数在给定区间上的单调性 2．图象法 一般通过已知条件作出函数的图象（或者草图），利用图象判断函数的单调性. 3．性质法 （1）函数在给定区间上的单调性与在给定区间上的单调性相反； （2）函数在给定区间上的单调性与的单调性相同； （3）和的公共定义区间，有如下结论； 增 增 增 不确定 增 减 不确定 增 减 减 减 不确定 减 增 不确定 减 【即学即练】 1．(2025·湖北武汉高一上联考)已知函数f(x)=，证明函数在(-2，+∞)上单调递增. 2.证明:函数f(x)=在[-1,0]上递增. 知识点03 函数的最大（小）值（重难） 1．最大值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足： ①，都有 ； ②，使得 那么称是函数的最大值； 2．最小值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足： ①，都有 ②，使得 那么称是函数的最小值； 【即学即练】 1.（24-25高一上·山西忻州·开学考试）二次函数在上的最大值为 ，对应的的值为 . 知识点04复合函数的单调性（拓展） 一般地，对于复合函数，单调性如下表示，简记为“定义域优先，同增异减”，即内层函数与外层函数单调性相同时，复合函数为增函数；内层函数与外层函数单调性不同时，复合函数为减函数： ：令：和 增 增 增 减 __ 减 增 ＿ 减 减 ＿ 【即学即练】 1．（2025·全国·高三专题练习）当时，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 题型01 用定义法判断或证明函数单调性 【典例】设函数，.判断函数的单调性，并用定义证明； 用定义法证明或判断单调性 1.函数单调性的证明目前只能用定义法，即利用函数的单调性进行证明，其步骤是固定的，即：取值、作差变形、定号、判断.其关键是“作差变形”. 2.对于有些函数的单调性证明，也可利用作商比较的策略，其步骤为：取值、作商变形、定号、判断，其中定号是将商式与1比较. 3.对于含有参数的函数的单调性问题，利用定义判断时，若参数取任意值时，无法确定作差（商）变形后的式子符号（或与1的关系），则说明函数的单调性与变量的取值有关，这时要注意对变量进行分类讨论. 【变式1-1】（2024秋·高一课时练习）求证：函数在区间上是增函数. 【变式1-2】（2024·全国·高一专题练习）求证：函数在区间上是减函数． 题型02 用性质法判断函数的单调性 【典例】(2024台州市黄岩中学高一月考)函数f(x)＝1－( ) A．在(－1，＋∞)上单调递增 B．在(1，＋∞)上单调递增 C．在(－1，＋∞)上单调递减 D．在(1，＋∞)上单调递减 性质法判断单调性 借助图表或者函数性质可以直观地显现两个变量的关系，便于我们分析和猜想，从而发现单调性． 【变式2-1】(2024·全国高一课时练习)下列函数中，在区间(1，+∞)上单调递增的是( ) A．y=-3x-1 B．y= C．y=x2-4x+5 D．y=|x-1|+2 【变式2-2】(2023·太原市·山西实验中学高一月考)函数的单调减区间是( ) A． B． C． D． 题型03求复合函数单调区间 【典例】（2024·海南海口统考模拟预测）函数的单调递减区间是（    ） A． B．和 C． D．和 复合函数单调性的判断方法 分解复合函数，根据复合函数的性质，数形结合或者讨论得出单调性． 【变式3-1】（2023·全国·高三专题练习）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 题型04运用单调性求参数 【典例】(2025·江西宜春市高安中学高一期末(理))已知函数f(x)=，在上单调递减，则实数a的取值范围是( ) A．[3，4] B．[3，5] C．(3，4] D． 运用单调性求参数 已知函数的单调性求函数中参数的取值范围的一般方法:(1)将参数看成已知数,求函数的单调区间,再与已知的单调区间比较,求出参数的取值范围;(2)运用函数单调性的定义建立关于参数的不等式(组),解不等式(组)求出参数的取值范围,即将函数值之间的不等关系与自变量之间的不等关系进行等价转化. 【变式4-1】(2025·四川省遂宁市第二中学校高一月考(文))已知函数在上单调递减，则a的取值范围是( ) A． B． C． D． 【变式4-2】(2025·云南大理白族自治州·宾川四中高一开学考试)若是定义在上的减函数，则a的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】A 【变式4-3】（2023·全国·高一专题练习）“”是“函数在区间上为减函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型05 运用单调性解不等式 【典例1】(2023·全国高一课时练习)已知y=f(x)是定义在区间(-2，2)上单调递减的函数，若f(m-1)>f(1-2m)，则m的取值范围是_______. 【典例2】(2024·全国高一课时练习)已知f(x)是定义在上的单调递增函数，且，则满足的x的取值范围是_______. 利用函数单调性解不等式 通过构造恰当的函数,借助该函数的单调性将方程或不等式转化为函数的自变量取值的大小问题. 【变式5-1】（2023·全国·高三专题练习）若函数y＝f(x)在R上单调递减，且f(2m－3) > f(－m)，则实数m的取值范围是（     ） A．(－∞，－1) B．(－1，＋∞) C．(1，＋∞) D．(－∞，1) 【变式5-2】（2023·山东枣庄·统考模拟预测）已知函数是定义在上的减函数，且，则的取值范围是______． 【变式5-3】（2024·云南保山高一统考期末）已知定义在上的函数,满足,且当时,. (1)讨论函数的单调性,并说明理由; (2)若,解不等式. 题型06运用单调性求最值或值域 【典例1】(2024·广东汕头市高一期末)设函数，若对于，恒成立，则实数的取值范围是( ) A． B． C． D． 【典例2】(2023·广东广州市高一期末)已知函数，若，，则的取值范围是_________. 运用单调性求求最值或值域 根据函数的性质，结合单调性，运用数形结合或者分类讨论．得出最值或值域。 【变式6-1】(多选)（2025秋·云南怒江·高一校考期末）已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中正确的是（　　） A．的单调递减区间为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的单调递增区间为 【变式6-2】（2025秋·高一单元测试）已知函数是上的偶函数 (1)求实数的值，判断函数在,上的单调性； (2)求函数在,上的最大值和最小值． 题型07含参数的二次函数最值问题 【典例1】（2024·陕西西安高一校考阶段练习）已知函数，求函数在区间上的最小值 【典例2】（2024·全国高三专题练习）已知二次函数满足，且． (1)求的解析式； (2)求函数在区间，上的最大值． 含参数的二次函数最值问题 根据二次函数的性质，分类讨论．结合图形，得出最值或值域。 【变式7-1】（2024秋·宁夏银川·高一校考阶段练习）已知函数（）的最小值为–1． (1)求实数a的值； (2)当，时，求函数的最小值． 【变式7-2】（2022秋·广东深圳·高一深圳市高级中学校考期中）已知函数． (1)若函数在上是增函数，求实数a的取值范围； (2)若，求时的最小值． 题型08 利用单调性解决不等式恒成立问题 【典例】（2024·高一课时练习）已知函数. (1)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围； (2)若对任意的，恒成立，求的取值范围. 利用单调性解决不等式恒成立问题 分析函数的特点，根据不等式的性质，分离参数或者分离函数或者结合图形，可解决参数问题。 【变式8-1】（2024·广东肇庆·高一广东肇庆中学校考期中）已知. (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)若，解不等式. 【变式8-2】（2024·江苏高一专题练习）已知函数， (1)判断函数在区间上的单调性，并利用定义证明； (2)若对任意的时，恒成立，求实数的取值范围. 题型9 分类讨论法与函数的单调性 【典例】（2024·全国·高三对口高考）设的定义域为，对于任意实数，则的最小值__________． 分类讨论法与函数的单调性 分析函数的特点，分成多段，分析每段特点，结合图形及函数的单调性，讨论出结果。 【变式9-1】（2025·高一课时练习）定义一种运算，设（t为常数），且，则使函数最大值为4的值是__________． 题型10数形结合法与函数的单调性 【典例】（2024·全国高三对口高考）已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 数形结合法与函数的单调性 画出函数的图象，结合图象研究函数的单调性，从而得出结果。 【变式10-1】（2023·全国·高一专题练习）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 练基础 1．函数的图象如图所示，其单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 2．(2025·广东广州高一上联考)函数在区间(2，4)上( ) A．单调递增 B．单调递减 C．先减后增 D．先增后减 3．（2024高二上·江苏·学业考试）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 4.设函数f(x)在(-∞,+∞)上是减函数,a,b∈R,且a+b≤0,则下列选项正确的是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.f(a)+f(b)≤f(a)+f(b) B.f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b) C.f(a)+f(b)≥f(a)+f(b) D.f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b) 5.(2024·深圳市高级中学)已知函数是定义在的单调递增函数，若，则实数的取值范围是( )． A． B． C． D． 6．（24-25高一下·广西贵港·期中）已知函数在上具有单调性，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7.(2024·浙江省淳安县汾口中学高一开学考试)函数满足条件：对任意的，都有，则实数a的取值范围是( ) A． B． C．且 D． 8．（多选）已知函数，则（ ） A． B．若，则 C．函数在上单调递减 D．函数在的值域为 9．（多选）（24-25高一下·山西大同·期末）已知函数（），下列说法正确的是（    ） A．当时，函数的值域为 B．当时，函数有最小值没有最大值 C．当时，函数在区间上单调递增 D．当时，函数的值域为 10．（2025高三·全国·专题练习）若函数在上不单调，则实数a的取值范围为 . 11.（2024•滦南县校级月考）函数的单调递增区间是 　　． 12.（2025高一上·河北保定·专题练习）当时，不等式恒成立，则的取值范围是 . 13．（2025•江苏南通高一上期末）已知函数， （1）证明f（x）在[1，+∞）上是增函数； （2）求f（x）在[1，4]上的最大值及最小值． 14．已知函数. (1)将写成分段函数的形式，并作出函数的图象； (2)写出其单调区间（不用证明）. 练提升 15．（2025·河南南阳·模拟预测）已知是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．（2025·安徽·模拟预测）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 17．（23-24高一上·北京·期末）已知函数，若，使得，则实数的取值范围为        A． B． C． D． 18.(多选)（24-25高一下·湖南长沙·阶段练习）已知函数满足，都有，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．的充要条件为 C．为减函数 D．若，则 19．（多选）（24-25高一上·山西太原·期中）已知函数对于一切实数，都有，当时，，，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．是增函数 D． 20.（2025•南岗区校级期末）已知函数f（x），对任意x1，x2∈R且x1≠x2，都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0，则实数m的取值范围是 　[2，3]　． 21．（24-25高二下·黑龙江牡丹江·期末）已知函数的定义域为，对任意，都满足，且，当时，且. (1)求，的值； (2)用函数单调性的定义证明在上单调递减； (3)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围. 练创新 22．（24-25高一上·山东滨州·期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数，符号表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，，．定义函数，则下列说法正确的是（    ） A．的定义域为 B．在区间上单调递减 C．当时，的最小值为1 D．当时，的最大值为1 23．（24-25高一下·广东广州·期末）已知函数 (1)对于函数 ，如果存在实数a，b使得 ，那么称为的生成函数，据此生成函数的定义，判断是否存在实数m使成为函数的生成函数，若存在请求出m的值，若不存在请说明理由. (2)若 其中 求 的取值范围. (3)若x，m均为正整数，求函数 的最小值（用m表示） 及的最大值. 27 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3 函数的单调性和最值 教学目标 1.能求函数的单调性，用定义证明函数的单调性； 2.掌握函数单调性的证明，会求常用函数的单调区间； 3.会利用函数的单调性求函数的最大与最小值.并能通过函数的单调性求待定参数的值。 教学重难点 重点 （1）利用图象判断函数的单调性、寻找函数的单调区间； （2）掌握函数的单调性的定义，用定义证明函数的单调性及简单应用； 难点： （1）数形结合求单调性问题； （2）数形结合处理参数问题。 知识点01 函数的单调性（基础） 1．增函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上单调递增.（如图：图象从左到右是上升的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是增函数(increasing function). 2.减函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上是单调递减.（如图：图象从左到右是下降的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是减函数(decreasing function). 3.函数的单调区间 如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间． 4.常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数（） 当时，在上单调递增 当时，在上单调递减 反比例函数（） 当时，在和上单调递减 当时，在和上单调递增 二次函数（） 对称轴为 当时，在上单调递减； 在上单调递增 当时，在上单调递增； 在上单调递减 【即学即练】 1.(2024·贵溪市实验中学高二期末)函数的单调递增区间是____________； 【答案】 【解析】函数的对称轴为，开口向上， 所以函数的单调增区间为. 2．(2025·和平区·天津市第二南开中学高一期中)函数，的单调递增区间是_____． 【答案】 【解析】的图象开口向下，又的对称轴为， 的单调递增区间是.故答案为：. 知识点02 函数单调性的判断与证明（重点） 1.定义法： 一般用于证明函数的单调性，设函数，证明的单调区间为 ①取值：任取，，且； ②作差：计算； ③变形：对进行有利于符号判断的变形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必要需讨论参数； ④定号：通过变形，判断或（），如有必要需讨论参数； ⑤下结论：指出函数在给定区间上的单调性 2．图象法 一般通过已知条件作出函数的图象（或者草图），利用图象判断函数的单调性. 3．性质法 （1）函数在给定区间上的单调性与在给定区间上的单调性相反； （2）函数在给定区间上的单调性与的单调性相同； （3）和的公共定义区间，有如下结论； 增 增 增 不确定 增 减 不确定 增 减 减 减 不确定 减 增 不确定 减 【即学即练】 1．(2025·湖北武汉高一上联考)已知函数f(x)=，证明函数在(-2，+∞)上单调递增. 【证明】∀x1，x2∈(-2，+∞)，且x1>x2>-2， f(x)= 则f(x1)-f(x2)==， 因为x1>x2>-2， 所以x1-x2>0，x1+2>0，x2+2>0， 所以>0，所以f(x1)>f(x2)， 所以f(x)在(-2，+∞)上单调递增. 2.证明:函数f(x)=在[-1,0]上递增. 【分析】按定义法证明函数的单调性的步骤进行，证明的关键是进行变形，尽量变成几个最简单因式的积或商的形式. 【证明】任取x1,x2∈[-1,0],且x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=-==, ∵x1,x2∈[-1,0],且x1<x2,∴x2-x1>0,x1+x2<0,+>0, ∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), ∴f(x)=在[-1,0]上递增. 知识点03 函数的最大（小）值（重难） 1．最大值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足： ①，都有 ②，使得 那么称是函数的最大值； 2．最小值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足： ①，都有 ②，使得 那么称是函数的最小值； 【即学即练】 1.（24-25高一上·山西忻州·开学考试）二次函数在上的最大值为 ，对应的的值为 . 【答案】 【解析】， 所以二次函数对称轴为，且开口向上， 当时，二次函数在上取最大值且最大值为： . 知识点04复合函数的单调性（拓展） 一般地，对于复合函数，单调性如下表示，简记为“定义域优先，同增异减”，即内层函数与外层函数单调性相同时，复合函数为增函数；内层函数与外层函数单调性不同时，复合函数为减函数： ：令：和 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 【即学即练】 1．（2025·全国·高三专题练习）当时，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，因为，所以， 当时，函数单调递减，故， 当时，即，所以， 所以函数的值域为：. 题型01 用定义法判断或证明函数单调性 【典例】设函数，.判断函数的单调性，并用定义证明； 【答案】在上为增函数，证明见解析. 【解析】任取且， ， 因为，所以，， 所以， 所以，所以在上为增函数； 用定义法证明或判断单调性 1.函数单调性的证明目前只能用定义法，即利用函数的单调性进行证明，其步骤是固定的，即：取值、作差变形、定号、判断.其关键是“作差变形”. 2.对于有些函数的单调性证明，也可利用作商比较的策略，其步骤为：取值、作商变形、定号、判断，其中定号是将商式与1比较. 3.对于含有参数的函数的单调性问题，利用定义判断时，若参数取任意值时，无法确定作差（商）变形后的式子符号（或与1的关系），则说明函数的单调性与变量的取值有关，这时要注意对变量进行分类讨论. 【变式1-1】（2024秋·高一课时练习）求证：函数在区间上是增函数. 【证明】任取，. 又，，. ∴，则，即. ∴在区间上是增函数. 【变式1-2】（2024·全国·高一专题练习）求证：函数在区间上是减函数． 【证明】设，且， 则, ，且， 又， , ,即 ， 故函数在区间是减函数. 题型02 用性质法判断函数的单调性 【典例】(2024台州市黄岩中学高一月考)函数f(x)＝1－( ) A．在(－1，＋∞)上单调递增 B．在(1，＋∞)上单调递增 C．在(－1，＋∞)上单调递减 D．在(1，＋∞)上单调递减 【答案】B 【解析】f (x)图象可由y＝－图象沿x轴向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到，如图所示． 性质法判断单调性 借助图表或者函数性质可以直观地显现两个变量的关系，便于我们分析和猜想，从而发现单调性． 【变式2-1】(2024·全国高一课时练习)下列函数中，在区间(1，+∞)上单调递增的是( ) A．y=-3x-1 B．y= C．y=x2-4x+5 D．y=|x-1|+2 【答案】D 【解析】由一次函数的性质可知，y=-3x-1在区间(1，+∞)上单调递减，故A错误； 由反比例函数的性质可知，y=在区间(1，+∞)上单调递减，故B错误， 由二次函数的性质可知，y=x2-4x+5在(-∞，2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增，故C错误； 由一次函数的性质及图象的变换可知，y=|x-1|+2在(1，+∞)上单调递增. 故选：D. 【变式2-2】(2023·太原市·山西实验中学高一月考)函数的单调减区间是( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 直接通过解析式，结合二次函数图象得：递增，在递减，故选：A. 题型03求复合函数单调区间 【典例】（2024·海南海口统考模拟预测）函数的单调递减区间是（    ） A． B．和 C． D．和 【答案】B 【解析】， 则由二次函数的性质知，当时，的单调递减区间为； 当，的单调递减区间为， 故的单调递减区间是和. 复合函数单调性的判断方法 分解复合函数，根据复合函数的性质，数形结合或者讨论得出单调性． 【变式3-1】（2023·全国·高三专题练习）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，，则函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，，则函数在上单调递增， 所以函数的单调递减区间是. 故选：A 题型04运用单调性求参数 【典例】(2025·江西宜春市高安中学高一期末(理))已知函数f(x)=，在上单调递减，则实数a的取值范围是( ) A．[3，4] B．[3，5] C．(3，4] D． 【答案】D 【解析】函数，画出函数的大致图象，如图所示： 函数在上单调递减， 由图象可知：，解得：， 故实数的取值范围是：. 运用单调性求参数 已知函数的单调性求函数中参数的取值范围的一般方法:(1)将参数看成已知数,求函数的单调区间,再与已知的单调区间比较,求出参数的取值范围;(2)运用函数单调性的定义建立关于参数的不等式(组),解不等式(组)求出参数的取值范围,即将函数值之间的不等关系与自变量之间的不等关系进行等价转化. 【变式4-1】(2025·四川省遂宁市第二中学校高一月考(文))已知函数在上单调递减，则a的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数在上单调递减， 所以 ， 解得， 所以a的取值范围是， 【变式4-2】(2025·云南大理白族自治州·宾川四中高一开学考试)若是定义在上的减函数，则a的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为是定义在上的减函数， 所以，即，解得. 【变式4-3】（2023·全国·高一专题练习）“”是“函数在区间上为减函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】的图象如图所示， 要想函数在区间上为减函数，必须满足， 因为是的子集， 所以“”是“函数在区间上为减函数”的充分不必要条件. 题型05 运用单调性解不等式 【典例1】(2023·全国高一课时练习)已知y=f(x)是定义在区间(-2，2)上单调递减的函数，若f(m-1)>f(1-2m)，则m的取值范围是_______. 【答案】 【解析】由题意得：解得<m<. 【典例2】(2024·全国高一课时练习)已知f(x)是定义在上的单调递增函数，且，则满足的x的取值范围是_______. 【答案】x＜ 【解析】因为，所以和化为， 又因为f(x)是定义在上的单调递增函数， 所以，解得. 利用函数单调性解不等式 通过构造恰当的函数,借助该函数的单调性将方程或不等式转化为函数的自变量取值的大小问题. 【变式5-1】（2024·云南保山高一统考期末）已知定义在上的函数,满足,且当时,. (1)讨论函数的单调性,并说明理由; (2)若,解不等式. 【解析】（1）在上单调递增,理由如下: 因为定义域为, 不妨取任意,且,则, 由题意,即, 所以在上单调递增. （2）因为,令,由可得: , 即, 由,可得, 令,, 则, 所以不等式, 即,即, 由(1)可知在定义域内单调递增, 所以只需,解得, 所以不等式的解集为. 【变式5-1】（2023·全国·高三专题练习）若函数y＝f(x)在R上单调递减，且f(2m－3) > f(－m)，则实数m的取值范围是（     ） A．(－∞，－1) B．(－1，＋∞) C．(1，＋∞) D．(－∞，1) 【答案】D 【解析】因为函数y＝f(x)在R上单调递减，且f(2m－3) > f(－m)， 所以，得， 所以实数m的取值范围是(－∞，1)， 故选：D 【变式5-2】（2023·山东枣庄·统考模拟预测）已知函数是定义在上的减函数，且，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】函数是定义在上的减函数，且， ∴，解得． 题型06运用单调性求最值或值域 【典例1】(2024·广东汕头市高一期末)设函数，若对于，恒成立，则实数的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，，由，得，不符合题意； 当时，函数的对称轴为， 当时，函数在区间上单调递增，此时函数， 要使，恒成立，只需，解得，所以； 当时，函数在区间上单调递减，此时函数， 要使，恒成立，只需，解得，不符合题意； 综上：实数的取值范围是. 【典例2】(2023·广东广州市高一期末)已知函数，若，，则的取值范围是_________. 【答案】 【解析】，恒成立， 即恒成立， 设在单调递减，所以， 所以. 运用单调性求求最值或值域 根据函数的性质，结合单调性，运用数形结合或者分类讨论．得出最值或值域。 【变式6-1】(多选)（2025秋·云南怒江·高一校考期末）已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中正确的是（　　） A．的单调递减区间为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的单调递增区间为 【答案】ABC 【解析】对于A，由图象可知：的单调递减区间为，A正确； 对于B，当时，，B正确； 对于C，当时，，C正确； 对于D，由图象可知：的单调递增区间为和，但并非严格单调递增，不能用“”连接，D错误. 【变式6-2】（2025秋·高一单元测试）已知函数是上的偶函数 (1)求实数的值，判断函数在,上的单调性； (2)求函数在,上的最大值和最小值． 【答案】(1)，单调递增 (2)最小值，最大值 【解析】（1）若函数是上的偶函数，则， 即，解得， 所以， 函数在上单调递减． （2）由（1）知函数在上单调递减， 又函数是上的偶函数， 所以函数在,上为增函数， 所以函数在,上为增函数，在,上为减函数． 又 所以 题型07含参数的二次函数最值问题 【典例1】（2024·陕西西安高一校考阶段练习）已知函数，求函数在区间上的最小值 【解析】， （1）当，即时，， （2）当，即时，， （3）当即时，， .【典例2】（2024·全国高三专题练习）已知二次函数满足，且． (1)求的解析式； (2)求函数在区间，上的最大值． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）设，则， 因为， 所以， 故，解得： 又 所以， 所以； （2）由（1）得，图象开口向上，对称轴为． 当时，， 所以此时函数的最大值为； 当时，， 所以此时函数的最大值为； 综上：． 含参数的二次函数最值问题 根据二次函数的性质，分类讨论．结合图形，得出最值或值域。 【变式7-1】（2024秋·宁夏银川·高一校考阶段练习）已知函数（）的最小值为–1． (1)求实数a的值； (2)当，时，求函数的最小值． 【解析】（1）∵函数， ∴函数的图象开口向上，对称轴为直线． ∴，解得或（舍）． ∴实数a的值为2． （2）由（1）知函数的图象开口向上，对称轴为直线． ①当，即时，函数在区间上为减函数， ∴； ②当时，函数在区间上为增函数， ∴； ③当，即时，易知． 综上，当时，； 当时，； 当时，． 【变式7-2】（2022秋·广东深圳·高一深圳市高级中学校考期中）已知函数． (1)若函数在上是增函数，求实数a的取值范围； (2)若，求时的最小值． 【解析】（1）的开口向上，对称轴为， 由于函数在上是增函数， 所以， 所以的取值范围是. （2）当时，，开口向上，对称轴为， 所以，当时，在时取得最小值，即； 当，时，在时取得最小值， 即； 当时，在时取得最小值，即. 所以. 题型08 利用单调性解决不等式恒成立问题 【典例】（2024·高一课时练习）已知函数. (1)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围； (2)若对任意的，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)或. 【解析】（1）解法一：对任意的，恒成立，即恒成立， 即对任意的恒成立. ①当时，不等式为恒成立，此时； ②当时，， ∵，∴， ∴， 当且仅当时，即时取“=”， ∴， 综上，a的取值范围为； 解法二：由题可得对任意成立， 所以， 对于二次函数，对称轴为轴， 当时，函数在上单调递增， 则， 解得； 当时，则， 解得； 当时，函数在上单调递减， 则，无解， 综上，a的取值范围为； （2）由题可得， 则当时，不等式恒成立， 则， 整理得：， 解得：或， ∴x的取值范围为或. 利用单调性解决不等式恒成立问题 分析函数的特点，根据不等式的性质，分离参数或者分离函数或者结合图形，可解决参数问题。 【变式8-1】（2024·广东肇庆·高一广东肇庆中学校考期中）已知. (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)若，解不等式. 【答案】(1) (2)解集见解析 【解析】（1）变形得到对一切实数x恒成立， 当时，，不对一切实数x恒成立，舍去； 当时，则需，解得， 综上，实数a的取值范围是； （2），即， 因为，所以， 因为， 所以当时，，解集为， 当时，，解集为， 当时，，解集为， 综上：当时，的解集为， 当时，的解集为， 当时，的解集为. 【变式8-2】（2024·江苏高一专题练习）已知函数， (1)判断函数在区间上的单调性，并利用定义证明； (2)若对任意的时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增，理由见解析； (2). 【解析】（1）在上单调递减，在上单调递增， 理由如下：取，且， ， 因为，，故，， ， 所以， 所以在上单调递减； 取，且， ， 因为，，故，， ， 所以， 所以在上单调递增； （2）若对任意的时，恒成立， 时，无意义，舍去， 当时，，此时无解，舍去， 所以， 只需求出的最大值， 当时，单调递减，当时，单调递增， 故， 又因为，， 故， 故， 所以， 因为，故解得：或 实数的取值范围是. 题型9 分类讨论法与函数的单调性 【典例】（2024·全国·高三对口高考）设的定义域为，对于任意实数，则的最小值__________． 【答案】 【解析】可化为， 当，即时，函数在上单调递减， 所以当时，函数取最小值，最小值为， 当，即时，函数在上单调递增， 所以当时，函数取最小值，最小值为， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数取最小值，最小值为， 所以， 故答案为：. 分类讨论法 分析函数的特点，分成多段，分析每段特点，结合图形，讨论出结果。 【变式9-1】（2025·高一课时练习）定义一种运算，设（t为常数），且，则使函数最大值为4的值是__________． 【答案】 【解析】若在上的最大值为4， 所以由，解得或， 所以要使函数最大值为4， 则根据新定义，结合与图象可知， 当，时，，此时解得， 当，时，，此时解得， 故或4， 故答案为：或4.    题型10数形结合法与函数的单调性 【典例】（2024·全国高三对口高考）已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【解析】若存在，使得成立，则说明在上不单调， 当时，，图象如图，满足题意； 当时，函数的对称轴，其图象如图，满足题意； 当时，函数的对称轴，其图象如图，要使在上不单调，则只要满足，解得，即. 综上，. 数形结合法与函数的单调性 画出函数的图象，结合图象研究函数的单调性，从而得出结果。 【变式10-1】（2023·全国·高一专题练习）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，函数在时为单调递增，即，解得； 易知，二次函数是开口向上且关于对称的抛物线，所以为单调递增； 若满足函数在上单调递增， 则分段端点处的函数值需满足，如下图所示： 所以，解得； 综上可得. 练基础 1．函数的图象如图所示，其单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据题干图象求出单调递增区间即可. 【解析】由题图可知，函数的单调递增区间为. 故选：C 2．(2025·广东广州高一上联考)函数在区间(2，4)上( ) A．单调递增 B．单调递减 C．先减后增 D．先增后减 【答案】C 【解析】函数图象的对称轴为直线x=3，此函数在区间(2，3)上单调递减，在区间(3，4)上单调递增. 3．（2024高二上·江苏·学业考试）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次函数的性质可得函数在上单调递增，可求值域. 【解析】二次函数的对称轴为，抛物线的开口向上， 所以函数在上单调递增，所以，， 所以函数的值域为. 故选：C. 4.设函数f(x)在(-∞,+∞)上是减函数,a,b∈R,且a+b≤0,则下列选项正确的是(　　) A.f(a)+f(b)≤f(a)+f(b) B.f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b) C.f(a)+f(b)≥f(a)+f(b) D.f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b) 【答案】D 【分析】由a+b≤0得a≤-b,b≤-a,再根据单调性得f(a)≥f(-b),f(b)≥f(-a),相加即可确定正确选项. 【解析】∵a+b≤0,∴a≤-b,b≤-a, 又∵函数f(x)在(-∞,+∞)上是减函数,∴f(a)≥f(-b),f(b)≥f(-a), ∴f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b). 5.(2024·深圳市高级中学)已知函数是定义在的单调递增函数，若，则实数的取值范围是( )． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数是定义在的单调递增函数，且， 所以， 解得或． 6.(2024·浙江省淳安县汾口中学高一开学考试)函数满足条件：对任意的，都有，则实数a的取值范围是( ) A． B． C．且 D． 【答案】A 【解析】因为对任意的，都有，所以在上单调递增， 当时，在定义域上单调递增，满足条件； 当时，则，解得，综上可得； 7．（24-25高一下·广西贵港·期中）已知函数在上具有单调性，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对称轴与区间的关系构造不等式求解即可. 【解析】由题意二次函数对称轴为：， 要使得函数在上具有单调性， 需满足或， 得或， 则k的取值范围为． 故选：B 8．（多选）已知函数，则（ ） A． B．若，则 C．函数在上单调递减 D．函数在的值域为 【答案】ABD 【分析】作出函数图象，根据图象逐个分析判断即可 【解析】作出分段函数图象： 对A，，故A正确； 对B，当时，，舍去； 当时，（舍）或，则，故B正确； 对C，当时，， 结合图象可得，在上单调递增，故C错误； 对D，由图象可知当时，，， 故在的值域为，D正确． 故选：ABD． 9．（多选）（24-25高一下·山西大同·期末）已知函数（），下列说法正确的是（    ） A．当时，函数的值域为 B．当时，函数有最小值没有最大值 C．当时，函数在区间上单调递增 D．当时，函数的值域为 【答案】AD 【分析】根据基本不等式，结合奇函数的性质即可求解A，根据对勾函数以及函数的单调性和奇偶性，即可求解BCD. 【解析】对于A， 时，，当，当且仅当取到等号， 由于，故为奇函数，故当， 因此函数的值域为，故A正确， 对于B，当时，，由于函数均在单调递增函数， 故为单调递增函数，故在内无最大值也无最小值， 结合，故为奇函数，因此在也无最大值和最小值，故B错误， 对于C ， 当时，，函数，故在单调递减，在单调递增函数，故C错误， 对于D，由B可知，当时，为单调递增函数，且为奇函数，因此函数的值域为，D正确， 故选：AD 10．（2025高三·全国·专题练习）若函数在上不单调，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用二次函数的性质求解即可. 【解析】函数图象的对称轴为直线，由在上不单调，得， 所以实数a的取值范围为. 11.（2024•滦南县校级月考）函数的单调递增区间是 　　． 【答案】（﹣∞，﹣5） 【解析】要使函数有意义，则x2+4x﹣5＞0，解得x＜﹣5或x＞1， 所以函数的定义域为（﹣∞，﹣5）∪（1，+∞）， 所以y＝x2+4x﹣5的单调递减区间为（﹣∞，﹣5）， 因为y在定义域内单调递减， 所以数的单调递增区间是（﹣∞，﹣5）. 12（2025高一上·河北保定·专题练习）当时，不等式恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用二次函数的单调性与最值，结合一元二次不等式的恒成立关系求解. 【解析】当时，有恒成立，满足题意； 当时，令，对称轴为， 时，在单调递减，单调递增， 则有，解得， 时，在单调递增，单调递减， 则有，解得， 综上可知，的取值范围是. 13．（2025•江苏南通高一上期末）已知函数， （1）证明f（x）在[1，+∞）上是增函数； （2）求f（x）在[1，4]上的最大值及最小值． 【解析】（1）证明：在[1，+∞）上任取x1，x2，且x1＜x2， ， ∵x1＜x2∴x1﹣x2＜0， ∵x1∈[1，+∞），x2∈[1，+∞）∴x1x2﹣1＞0， ∴f（x1）﹣f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）， 故f（x）在[1，+∞）上是增函数； （II）解：由（I）知： f（x）在[1，4]上是增函数， ∴当x＝1时，有最小值2； 当x＝4时，有最大值. 14．已知函数. (1)将写成分段函数的形式，并作出函数的图象； (2)写出其单调区间（不用证明）. 【答案】(1)，图象见解析； (2)增区间为，减区间为 【解析】（1）当时，，当时，， 故. 图象如下图: （2）由图可知：的单调递增区间：； 单调递减区间：. 练提升 15．（2025·河南南阳·模拟预测）已知是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用分段函数单调性，结合二次函数单调性列式求解. 【解析】函数是增函数，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 16．（2025·安徽·模拟预测）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分段函数的值域是各段值域的并集，分类讨论，结合二次函数的单调性列不等式求解即可. 【解析】①当时，； 若，则，当时，； 若，当时，取得最小值－3，即； 若，，，，在时单调递增，； ②当时，函数的图象是一个二次函数，其对称轴为； 若，则在上单调递减，； 若，； 若，则在上单调递增，； 因为函数的值域为， 当时，在时最小值为，在时，不满足值域为； 当时，，，，不满足值域为； 当时，在时，在时； 为使值域为，需满足，解得. 综上，. 故选：D. 17．（23-24高一上·北京·期末）已知函数，若，使得，则实数的取值范围为        A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出函数在的值域，再利用集合的包含关系列式求解即得. 【解析】函数在上单调递减，在上单调递增， 则，，函数的值域为； 函数在上单调递增，函数的值域为， 由，使得，得， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：C 18.(多选)（24-25高一下·湖南长沙·阶段练习）已知函数满足，都有，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．的充要条件为 C．为减函数 D．若，则 【答案】AB 【分析】利用特值法构造、消元，得到函数（为常数）的形式，进而判断各选项的正确性. 【解析】令 ，方程变为， 令 ，则，∴， 结合原方程，令 得， 设，则， ∴ ，∴（其中 为常数）. 对于A：​由（因 ，故）， 若 ，则，得 ，此时，故A正确； 对于B：∵是严格增函数（斜率为1），故当且仅当，故B正确； 对于C：∵ 斜率为1，是增函数，非减函数，故C错误； ​对于D：∵，得 ，故 ，故D错误. ​故选：AB 19．（多选）（24-25高一上·山西太原·期中）已知函数对于一切实数，都有，当时，，，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．是增函数 D． 【答案】AD 【知识点】求函数值、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】令，，结合可求得，可判断A；令，可判断B；令，由可判断C. 令，由可判断D； 【解析】对于A，令，，则； 由时，得：，，A正确； 对于B，令，得，B错误， 对于D，令，则； 当时，，，， 对于任意，，D正确； 对于C，设， ； ，，即，又， ，在上单调递减，C错误. 故选：AD 20.（2025•南岗区校级期末）已知函数f（x），对任意x1，x2∈R且x1≠x2，都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0，则实数m的取值范围是 　[2，3]　． 【分析】由题意得f（x）在R上单调递减，然后结合反比例函数及二次函数的单调性及分段函数的性质可求． 【解析】由题意得f（x）在R上单调递减， 根据分段函数的性质可知，， 解得2≤m≤3， 所以m的取值范围是[2，3]． 21．（24-25高二下·黑龙江牡丹江·期末）已知函数的定义域为，对任意，都满足，且，当时，且. (1)求，的值； (2)用函数单调性的定义证明在上单调递减； (3)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）由，取，可得：， 又当时，，则， 再取，可得：； （2）， ，且，则，依题， 则， 即在上单调递减； （3）由已知， 又由（1）得，则有， 因在上单调递减，则恒成立， 即恒成立，又， 则，解得， 故实数的取值范围为. 练创新 22．（24-25高一上·山东滨州·期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数，符号表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，，．定义函数，则下列说法正确的是（    ） A．的定义域为 B．在区间上单调递减 C．当时，的最小值为1 D．当时，的最大值为1 【答案】ACD 【分析】根据分式性质求定义域，由新定义有时，，判断单调性判断A、B；讨论、，结合函数新定义求的值域，即可判断C、D. 【解析】由解析式易知，函数定义域为，A对； 当，则，故在区间上单调递增，B错； 当时，，此时函数最小值为1， 当时，，则，当且仅当时取等号，C对； 当时，， 当时，，则，当且仅当时取等号，D对； 故选：ACD 23．（24-25高一下·广东广州·期末）已知函数 (1)对于函数 ，如果存在实数a，b使得 ，那么称为的生成函数，据此生成函数的定义，判断是否存在实数m使成为函数的生成函数，若存在请求出m的值，若不存在请说明理由. (2)若 其中 求 的取值范围. (3)若x，m均为正整数，求函数 的最小值（用m表示） 及的最大值. 【分析】（1）依据题意列出等式，化简整理，依据函数恒等式的意义，判断是否存在对应系数即可得到答案. （2）利用确定的情况，在结合的表达式，依据单调性等即可求出取值范围. （3）先求出的表达式，结合二次函数的性质分析当x，m均为正整数时函数 的最小值和最大值. 【解析】（1）假若存在实数m使成为函数的生成函数，由题意得， ，当时恒成立 ∴，恒成立，此方程无解， 不存在实数m使成为函数的生成函数. （2）设 ，则， 有两个解为，即， 得，且判别式，解得， ，在上单调递增， ， 即. （3）有题意得函数 ， x，m均为正整数，， 是开口向上的二次函数，其对称轴为， m均为正整数，要找到离对称轴最近的正整数来确定最小值， ①当时，对称轴为，，； ②当时，对称轴为，离对称轴最近的正整数是，，； ③当时，对称轴为，离对称轴最近的正整数是或，，； ④当时，，，， 综上所述， 通过前面计算可知当时， ； 当时， ；当时，， 当时，， 综上所述，. 27 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$