专题02 二次函数（期中真题汇编，广东专用）九年级数学上学期人教版

专题02 二次函数 常考考点概览 考点01 二次函数的图像与性质 考点02 二次函数图像与系数的关系 专题03 利用待定系数法求二次函数解析式 专题04 二次函数与一元二次方程 专题05 二次函数与不等式 专题06 二次函数中最值问题 专题07 二次函数的实际问题 专题08 二次函数综合 地 城 考点01 二次函数的图像与性质 一、单选题 1．(24-25九上·广东广州花都区秀全外国语学校·期中)二次函数的图象过，两点，则此抛物线的对称轴是（ ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 2．(24-25九上·广东江门新会区尚雅学校·期中)点；点，点都在二次函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·广东广州越秀区执信中学·期中)抛物线中，y与x的部分对应值如表： x … 1 3 6 8 … y … 8 18 18 8 … 下列结论中，正确的是（　　） A．抛物线开口向上 B．对称轴是直线 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而增大 4．(24-25九上·广东江门蓬江区楼山初级中学·期中)将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线解析式为（   ） A． B． C． D． 5．(24-25九上·广东湛江赤坎区金沙湾学校·期中)将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位后所得到的抛物线解析式为（   ） A． B． C． D． 6．(24-25九上·广东广州恒润实验学校·期中)已知一次函数的图象如图所示，则二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（   ）． A． B． C． D． 7．(23-24九上·广东江门新会区三江镇初级中学·期中)如图，在同一坐标系中，函数与的图象大致是（　　） A．   B．   C．   D．   二、填空题 8．(24-25九上·广东江门新会区李文达中学·期中)抛物线的对称轴是直线，则的值为 ． 9．(24-25九上·广东江门新会区李文达中学·期中)函数，当 时，函数值随的增大而增大． 10．(24-25九上·广东江门蓬江区楼山初级中学·期中)若抛物线有最小值，则m的取值范围是 ． 11．(24-25九上·广东江门新会区葵城中学·期中)二次函数的图象关于原点对称后的图象的解析式为 ． 12．(23-24九上·广东广州天河区新昌学校·期中)在直角坐标系中，已知线段的端点是，，若抛物线与线段有两个交点，则a的取值范围是 ． 13．(23-24九上·广东珠海夏湾中学·期中)已知二次函数在时有最小值，则 ． 三、解答题 14．(24-25九上·广东惠州惠阳区星湖中学·期中)已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)当时，的最小值是________，最大值是________． 15．(24-25九上·广东中山小榄镇·期中)探究二次函数及其图象的性质，请填空： (1)图象的开口方向是________； (2)图象的对称轴为直线________； (3)图象与y轴的交点坐标为________； (4)当x为何值时，函数y有最小值，并出求最小值． 地 城 考点02 二次函数图像与系数的关系 一、单选题 1．(24-25九上·广东汕尾陆河县上护中学·期中)如图所示的二次函数图象中，有以下信息：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．(24-25九上·广东珠海香洲区珠海凤凰中学·期中)如图，抛物线的对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④，正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．(23-24九上·广东汕头金平区飞厦中学·期中)已知，抛物线的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（　　） A． B． C． D． 4．(24-25九上·广东茂名化州丽岗中学·期中)二次函数的图象如图所示，则下列结论中，正确的个数是（    ） ①；②；③；④ A．4 B．3 C．2 D．1 5．(24-25九上·广东江门新会区陈经纶中学·期中)如图为二次函数的图象，在下列说法中：①；②方程：的根是，；③；④当时，随的增大而增大；⑤⑥．下列结论一定成立的是（   ） A．①②④⑥ B．①②③⑤ C．②③④⑤⑥ D．①②③④⑤⑥ 6．(24-25九上·广东肇庆肇庆中学·期中)如图是二次函数的图象，它与轴的一个交点为，其对称轴为直线．下列结论： ； ； ； ．其中正确的结论是（      ） A． B． C． D． 7．(24-25九上·广东珠海容闳中学·期中)函数（，）的图象（如图所示）是由函数（，）的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，则下列结论：①；②；③；④将图象向上平移1个单位长度后与直线有3个交点，其中正确的是（   ）    A．①②④ B．①③ C．①② D．②③ 二、填空题 8．(24-25九上·广东江门广德实验学校·期中)如图，抛物线的对称轴为直线，且过点，有下列结论①；②；③；④；其中所有正确的结论是 ． 9．(24-25九上·广东广州第二十六中学·期中)如图，抛物线与x轴交于点和B，与y轴交于点C，下列结论： ①，②，③，④；正确的是 （写编号）． 地 城 考点03 利用待定系数法求二次函数解析式 一、单选题 1．(24-25九上·广东广州第九十七中学·期中)已知二次函数的图象经过点和，这个二次函数的表达式为（　　） A． B． C． D． 2．(23-24九上·广东珠海香洲区第十一中学·期中)若二次函数的图象的顶点坐标为，且抛物线过，则二次函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．(24-25九上·广东江门福泉奥林匹克学校·期中)与抛物线关于原点成中心对称的抛物线的函数解析式为 ． 三、解答题 4．(24-25九上·广东广州西关外国语学校·期中)已知二次函数的图象经过点，求此二次函数的表达式． 5．(24-25九上·广东广州番禺区洛溪新城中学·期中)已知抛物线的顶点为，且与轴交于点，点，是二次函数图象上的一对对称点，抛物线与轴交于点，两点（点在点左侧），一次函数的图象经过，． (1)求二次函数的解析式； (2)在平面直角坐标系中，画出此二次函数的图象： (3)写出，各点坐标； (4)直接画出直线，并根据图象写出使一次函数值大于二次函数值的的取值范围． x ... 0 1 ... y ... 0 3 4 3 0 ... 6．(24-25九上·广东惠州惠城三中、博雅培文实验学校·期中)二次函数中的x，y满足下表： x … 0 1 2 3 … … 0 0 … (1)求此二次函数的解析式； (2)若，请直接写出x的取值范围． 7．(24-25九上·广东珠海斗门实验中学·期中)如图、抛物线与直线分别交于x轴和y轴上同一点，交点分别是点B和点C．且抛物线的对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式： (2)左右平移该二次函数的图象，使其经过原点，写出平移后二次函数表达式． 8．(24-25九上·广东肇庆肇庆中学·期中)已知一条抛物线的顶点坐标为，且过点． (1)求此抛物线的解析式； (2)直接写出当取何范围的值时，二次函数的图象位于轴上方． 9．(24-25九上·广东东莞石排中学·期中)综合与实践 【主题】探究函数与图象 【素材】如图所示，在平面直角坐标系中，点的坐标是，在轴上任取一点． 【实践操作】 步骤：连接，作线段的垂直平分线，过点作轴上的垂线，记直线与的交点为． 步骤：在轴上多次改变点的位置，用步骤的方法得到相应的点，把这些点用平滑的曲线连接起来． 【实践探索】 (1)在轴上任取点，，，，时，用步骤的方法得到相应的交点，，，，．请在表中写出相应交点坐标，并在图中标出这些点，用平滑的曲线连接起来． 点坐标 点坐标 (___，___) (___，___) (___，___) (___，___) (___，___) (2)猜想所连接起来的曲线是我们学过的_______函数图象，试求出这个函数的解析式． (3)若在轴上任取点的坐标为，试求出点的坐标，并说明理由． 点坐标 点坐标 10．(24-25九上·广东中山第一中学·期中)如图，抛物线经过点，与坐标轴分别交于B，C，D三点． (1)求B，C，D三点的坐标； (2)当时，则函数y的取值范围是 (3)平移抛物线，使原抛物线上的A点平移后落到原抛物线顶点的位置，直接写出平移后的抛物线的解析式． 11．(24-25九上·广东惠州·期中)二次函数的图像与轴交于点，对称轴是直线，函数最大值为3． (1)求顶点坐标； (2)求该二次函数的解析式． 12．(23-24九上·广东广州海珠区绿翠现代实验学校·期中)抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： … … … … (1)求该抛物线的解析式． (2)根据上表填空： 抛物线与x轴的交点坐标是______和______； 抛物线经过点（，______），对称轴为______； 地 城 考点04 二次函数与一元二次方程 一、单选题 1．(24-25九上·广东江门新会区葵城中学·期中)二次函数的图象过点，则的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 2．(24-25九上·广东江门蓬江区楼山初级中学·期中)已知抛物线的图象如图所示，抛物线的顶点坐标为，且与x轴的一个交点的横坐标在和之间，则下列结论正确的有______个． ①；②；③；④关于x的方程有实数根 A．1 B．2 C．3 D．0 3．(24-25九上·广东阳江第一中学实验学校·期中)已知抛物线经过点，则代数式的值为（    ） A．24 B．6 C．31 D．19 4．(24-25九上·广东广州花都区·期中)已知函数的图象如图，那么关于的方程的根的情况是（   ） A．无实数根 B．有两个同号不等实数根 C．有两个异号实数根 D．有两个相等实数根 二、填空题 5．(24-25九上·广东深圳光明区实验学校·期中)二次函数的图象与轴的交点坐标是 ． 6．(24-25九上·广东东莞·期中)如图，是一个半圆和抛物线的一部分围成的“鸭梨”，已知点A、、、分别是“鸭梨”与坐标轴的交点，是半圆的直径，抛物线的解析式为，则图中的长为 ． 7．(23-24九上·广东东莞松山湖中学教育集团·期中)抛物线与轴只有一个公共点，则的值为 ． 三、解答题 8．(24-25九上·广东广州黄广中学·期中)已知抛物线．若抛物线与x轴有两个不同的交点，求k的取值范围． 9．(24-25九上·广东广州第二中学·期中)如图．已知抛物线，与y轴交于点C，与x轴交于点A，B，点A在点B左侧． (1)求点A、B、C的坐标； (2)求的面积． 10．(24-25九上·广东广州天河区天河中学·期中)已知抛物线，与轴的交点，（点在点的左侧）． (1)若时，求点，的坐标及线段长． (2)若，求的值及抛物线的对称轴． 11．(24-25九上·广东广州四校·期中)已知抛物线与x轴交于A，B两点，A在B左侧． (1)若一元二次方程的一个解是，求出A，B两点的坐标； (2)若抛物线的顶点在直线上，求此抛物线的解析式． 地 城 考点05 二次函数与不等式 一、单选题 1．(24-25九上·广东中山小榄镇·期中)如图是二次函数的部分图象，则不等式的解集是（   ） A． B． C．或 D． 2．(23-24九上·广州越秀区广东实验中学·期中)已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④不等式的解集为．正确的结论个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．(24-25九上·广东中山广浩学校·期中)二次函数的大致图象如图所示，关于该二次函数，下列说法正确的是（    ） A．函数有最大值 B．对称轴是直线 C．当，随的增大而增大 D．当或时， 二、填空题 4．(24-25九上·广东惠州惠城区光正实验学校·期中)如图，与交于、两点，则的解集为 ． 5．(24-25九上·广东惠州惠东县·期中)如图，二次函数的图象如图所示，当 时，． 6．(24-25九上·广东东莞石龙第三中学·期中)如图，一次函数与二次函数的图象分别交于点，．不等式成立时，的取值范围是 ． 三、解答题 7．(23-24九上·广东广州海珠区中山大学附属中学·期中)已知抛物线，直线． (1)直接写出抛物线的顶点，请问直线是否经过该点？ (2)若，当时，二次函数的最大值为，求的值； (3)点为抛物线的顶点，为抛物线与直线的另一个交点，当时，若线段（不含端点）上至少存在一个横坐标为整数的点，求k的取值范围． 8．(23-24九上·广东惠州大亚湾经济技术开发区西区实验学校·期中)已知二次函数． (1)求证：对于任意的实数，该二次函数图象与轴总有公共点； (2)若该二次函数图象与轴有两个公共点，，且点坐标为，求点坐标． 9．(24-25九上·广东广州西关外国语学校·期中)如图所示，抛物线与直线相交于点，． (1)直接写出实数，的值，并求出点A，的坐标； (2)若，请直接写出的取值范围． 10．(23-24九上·广东广州香江中学·期中)如图，已知二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点．    (1)求二次函数的解析式及点的坐标； (2)根据函数的图象，直接写出不等式的解集． 11．(24-25九上·广东仲元中学附属学校·期中)如图，二次函数经过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)利用图象的特点填空： ①当________时，方程； ②不等式的解集为 ． 12．(24-25九上·广东肇庆龙涛外国语学校初中部·期中)如图，直线和抛物线都经过点． (1)求m的值和抛物线的解析式； (2)求不等式的解集．（直接写出答案） 13．(24-25九上·广东惠州惠城三中、博雅培文实验学校·期中)如图，抛物线与直线交于点A和点B，直线与y轴交于点． (1)求直线和抛物线的解析式； (2)求点A的坐标，并结合函数图象，求出不等式的解集． 14．(24-25九上·广东惠州·期中)如图，直线和抛物线相交于点和点． (1)求点和点的坐标 (2)直接写出不等式的解集． 地 城 考点06 二次函数中最值问题 一、单选题 1．(23-24九上·惠州惠阳区永湖中学·期中)对于抛物线，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线；③顶点坐标为；④时，随的增大而减小；⑤函数的最大值为3；其中正确结论的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．(24-25九上·广东广州广州中学·期中)如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转得到，则线段的长的最小值是（　　） A． B． C． D． 3．(23-24九上·广东韶关翁源县·期中)已知二次函数，其中，则的最大值是（    ） A． B． C． D．1 二、填空题 4．(24-25九上·广东肇庆第二中学·期中)二次函数的最小值为 ． 5．(23-24九上·广东东莞东华初级中学·期中)若关于x的方程有两个实数根，则的最小值为 ． 三、解答题 6．(24-25九上·广东广州恒润实验学校·期中)抛物线经过点． (1)求这条抛物线的解析式； (2)如图，点是抛物线对称轴上一点，连接，，当最小时，求点的坐标． 7．(24-25九上·广东广州七中教育集团及教学联盟·期中)已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根； (2)设的两个实数根为，若，求出的最小值． 8．(24-25九上·广东东莞南城中学·期中)【探究】 如图，已知抛物线． （1）在坐标系中画出此抛物线的大致图象（不要求列表）； （2）当时，函数值y取值范围是________； 【应用】 已知二次函数（h是常数），且自变量取值范围是． （3）当时，函数的最大值是________； （4）若函数的最大值为，求h的值． 9．(24-25九上·广东中山卓凯教育·期中)如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为 (1)求抛物线的对称轴和点A、点C的坐标； (2)点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当的值最小时，求点P的坐标． 10．(23-24九上·广东惠州大亚湾经济技术开发区第三中学·期中)如图所示，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点． (1)求点C及顶点M的坐标； (2)求点A、B的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得的值最小，若存在，清求出点P的坐标并求出最小值；若不存在，请说明理由． 11．(24-25九上·广东汕头潮南区陈店实验·期中)在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，并与轴的正半轴交于点． (1)求，满足的关系式及的值； (2)当时，若点是抛物线对称轴上的一个动点，求周长的最小值； (3)当时，若点是直线下方抛物线上的一个动点，过点作于点．当取何值时，线段取最大值？并求出的最大值． 地 城 考点07 二次函数的实际问题 一、单选题 1．(24-25九上·广东广州番禺区洛溪新城中学·期中)如图，是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽．若水面再上升，则水面的宽度是多少？（    ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·广东东莞·期中)某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了（    ）m． A．6 B．45 C．35 D．25 3．(24-25九上·广东阳江第一中学实验学校·期中)如图，正方形边长为1，、、、分别为各边上的点，且，设小正方形的面积为，为，则关于的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．(24-25九上·广东广州越秀区广州铁一中学·期中)图1是一个瓷碗，图是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度．当面汤的深度为时，汤面的直径长为 ． 三、解答题 5．(24-25九上·广东江门新会区李文达中学·期中)某服装公司试销一种成本为每件50元的T恤衫，试销中销售量（件）与销售单价（元）的关系可以近似的看作一次函数，设公司获得的总利润为元．（提示：总利润=每件利润×销售量） (1)求与之间的函数关系式； (2)根据题意判断：当取何值时，的值最大？最大值是多少？ (3)若总利润为元时，销售单价是多少？ 6．(24-25九上·广东阳江第一中学实验学校·期中)某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数，该商场销售这种服装获得利润为元． (1)求与之间的函数关系式； (2)销售单价定为多少时，商场可获得最大利润？最大利润是多少元？ 7．(24-25九上·广东惠州惠东县·期中)综合与实践 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计大棚苗木种植方案？ 【素材1】如图①是一个大棚苗木种植基地及其截面图，其下半部分是一个长为，宽为的矩形，其上半部分是一条抛物线，现测得，大棚顶部的最高点距离地面． 【素材2】种植苗木时，每棵苗木高．为了保证生长空间，相邻两棵苗木种植点之间间隔，苗木顶部不触碰大棚，且种植后苗木成轴对称分布．（即苗木的数目为偶数个） 【解决问题】 (1)大棚上半部分形状是一条抛物线，设大棚的高度为，种植点的横坐标为．根据图②建立的平面直角坐标系，通过素材1提供的信息确定点的坐标，求出抛物线的解析式； (2)探究种植范围．在图②的坐标系中，在不影响苗木生长的情况下（即），确定种植点的横坐标的取值范围； (3)拟定种植方案．给出最前排符合所有种植条件的苗木数量，并求出最左边一棵苗木种植点的横坐标的值． 8．(24-25九上·广东肇庆肇庆中学·期中)综合与实践 [问题情境]小莹妈妈的花卉超市以元盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近，，，，五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下： 售价（元盒） 日销售量（盆） [数据整理] （1）请将以上调查数据按照售价从小到大的顺序重新整理，填写在下表中： 售价（元盒） 日销售量（盆） [模型建立] （2）设日销售量为，售价为，根据数据的变化规律，估计与之间的函数关系，求解析式； [拓广应用] （3）根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉中，售价定为多少时，每天能够获得最大利润？ 售价（元盒） 日销售量（盆） 9．(24-25九上·广东东莞石龙第三中学·期中)【问题背景】 如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接． 【知识技能】 （1）求此抛物线的解析式． 【构建联系】 （2）在下方的抛物线上有一点，过点作轴，交于点，交轴于点，当点的坐标为多少时，线段的长度最大？最大是多少？ （3）在轴上找一点，使得为等腰三角形，直接写出点的坐标． 10．(24-25九上·广东东莞石龙第三中学·期中)根据以下素材，探索完成任务． 素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇． 某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个． 素材2 该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元/个时，月销售量为600个，在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务1 该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率； 任务2 当零件的实际售价定为多少元时，每个月获得的销售利润最大？最大利润为多少？ 11．(24-25九上·广东中山·期中)如图所示，四边形为矩形，，，若点Q从A点出发沿以的速度向D运动，P从A点出发沿以的速度向B运动．P、Q分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为． (1)当为何值时，的面积为？ (2)当为何值时，的面积最大？ 地 城 考点08 二次函数综合 一、单选题 1．(23-24九上·广东珠海前山中学·期中)如图，抛物线与直线交于A，B两点，点C为抛物线的顶点，连接，，，且的面积为4，则的值为（    ）    A． B． C．1 D．2 二、填空题 2．(24-25九上·广东广州广州中学·期中)如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，P点为该图象在第一象限内的一点，过点P作直线的平行线，交x轴于点M．若点P从点C出发，沿着抛物线运动到点B，则点M经过的路程为 ． 3．(24-25九上·广东珠海第十六中学·期中)如图，在正方形中，点、的坐标分别是、，点在抛物线的图象上，则的值是 ． 三、解答题 4．(23-24九上·广东广州第七十五中学·期中)如图，二次函数的图象经过坐标原点，与x轴交于点．    (1)求此二次函数的解析式及点顶点B的坐标； (2)在抛物线上否存在点P，使？若存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 5．(23-24九上·广东广州越秀区第二中学·期中)如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．    (1)求、、三点的坐标； (2)点为轴右侧抛物线上的一点，是否存在点，使？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 6．(24-25九上·广东广州天河区天河外国语学校·期中)如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式及点A，B的坐标． (2)点P为第一象限内抛物线上一点，且的面积等于6，求点P的坐标． 7．(24-25九上·广东广州荔湾区真光中学·期中)在平面直角坐标系中，已知抛物线和线段，其中点，点，点是抛物线与轴的交点，点是抛物线的顶点． (1)求直线的解析式； (2)点在抛物线上，且与点关于对称轴对称，连接，，，射线交轴于点，连接，，四边形是否能构成平行四边形？如果能，请求的值；如果不能，说明理由； (3)若抛物线与线段只有一个交点，结合函数图象，求的取值范围． 8．(24-25九上·广东湛江雷州第八中学·期中)如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的表达式． (2)点是抛物线上位于线段下方的一个动点，连接，，求面积最大时点的坐标： (3)在平面内是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 9．(24-25九上·广东广州恒润实验学校·期中)已知抛物线与轴相交于不同的两点、． (1)求的取值范围； (2)用含的式子表示线段的长度； (3)证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点，并求出点的坐标； (4)当时，由（3）求出的点和点、构成的的面积是否有最值？若有，请直接写出该最值及相对应的值． 10．(23-24九上·广东潮州高级实验学校·期中)如图，抛物线与直线相交于点和点B． (1)求m和b的值； (2)求点B的坐标和的度数； (3)点M是x轴上的一个动点，求当是等腰三角形时点M的坐标． 11．(24-25九上·广东广州天河区汇景实验学校·期中)已知抛物线的顶点为M，直线与x轴、y轴分别交于两点． (1)若抛物线与x轴只有一个公共点，求a的值； (2)当时，设的面积为S，求S关于a的函数关系式； (3)将抛物线绕点旋转得到抛物线，其顶点为点N． ①若点N恰好落在直线l上，求a与t满足的关系式； ②当时，旋转前后的两个二次函数y的值都会随x的增大而减小，求t的取值范围． 12．(24-25九上·广东中山小榄镇·期中)如图1，已知二次函数，与x轴相交于点，点为对称轴上的点，将线段绕点P逆时针旋转，得到线段，且点B在抛物线上．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数图象，当直线与新图象有3个交点时，求m的值． 13．(24-25九上·广东珠海斗门实验中学·期中)如图1，抛物线与坐标轴交于A、B、C三点，连接．直线分别与抛物线、、x轴交于D、E、F三点，连接、、、． (1)用m来表示的长； (2)①当为等腰三角形时，求m的值； ②设的面积为，的面积为，当时，求m的值． (3)如图2，直线l经过的中点且与抛物线交于M、N两点，直线分别与l、x轴交于G、Q两点，当平分的面积时，求l的解析式． 14．(24-25九上·广东广州外国语中学·期中)抛物线与x轴交于不重合的两点，，设此抛物线顶点为， (1)若，当时，求抛物线解析式； (2)若是等边三角形，求的值； (3)若的中点坐标为，且，抛物线交轴于点，延长交轴于点，点为坐标原点，令面积为，求的取值范围． 15．(24-25九上·广东广州第五中学·期中)在平面直角坐标系中，已知抛物线和线段，其中点，点，点C是抛物线L与y轴的交点，点D是抛物线L的顶点. (1)求直线的解析式； (2)点Q在抛物线L上，且与点C关于对称轴对称，连接，，，求证：为等腰直角三角形； (3)在（2）的条件下，射线交x轴于点F，连接，，四边形是否能构成平行四边形？如果能，请求m的值；如果不能，说明理由； (4)若抛物线L与线段只有一个交点，结合函数图象，直接写出m的取值范围为 　 . 16．(24-25九上·广东珠海紫荆中学·期中)如图1所示，抛物线的对称轴为直线，与轴交于点、点，与轴交于点，直线与该抛物线交于，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)平移线段，若点的对应点落在抛物线上，点的对应点落在直线上，求出此时点的坐标； (3)如图2，将上方的抛物线沿着直线翻折，点是上方的抛物线上的一动点，的对应点为点，连接交于点． ①当四边形是菱形时，请直接写出点的坐标； ②在点的运动过程中，求线段的最大值． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数 常考考点概览 考点01 二次函数的图像与性质 考点02 二次函数图像与系数的关系 专题03 利用待定系数法求二次函数解析式 专题04 二次函数与一元二次方程 专题05 二次函数与不等式 专题06 二次函数中最值问题 专题07 二次函数的实际问题 专题08 二次函数综合 地 城 考点01 二次函数的图像与性质 一、单选题 1．(24-25九上·广东广州花都区秀全外国语学校·期中)二次函数的图象过，两点，则此抛物线的对称轴是（ ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【分析】本题考查了求抛物线的解析式，解题关键是正确利用待定系数法求出抛物线解析式，牢记对称轴公式．将A点和B点坐标代入解析式即可求出解析式，利用对称轴是即可求解． 【详解】解：将，代入得： ， 解得， ， 抛物线的对称轴是． 故选：C ． 2．(24-25九上·广东江门新会区尚雅学校·期中)点；点，点都在二次函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数解析式分别计算各点的纵坐标，再比较大小关系即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵点；点，点都在二次函数的图象上， ∴，，， ∴， 故选：A． 3．(24-25九上·广东广州越秀区执信中学·期中)抛物线中，y与x的部分对应值如表： x … 1 3 6 8 … y … 8 18 18 8 … 下列结论中，正确的是（　　） A．抛物线开口向上 B．对称轴是直线 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的特征，根据二次函数的对称性求出对称轴是解题的关键．利用表中的对应值和抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线，根据表中数据进而判断开口方向以及增减性即可． 【详解】解：由表可知，和时对应的函数值相等， ∴抛物线的对称轴为直线，此时抛物线有最大值， ∴抛物线开口向下，故选项A、B错误， ∴当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小， 故选项C错误，选项D正确， 故选：D． 4．(24-25九上·广东江门蓬江区楼山初级中学·期中)将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线解析式为， 故选：D． 5．(24-25九上·广东湛江赤坎区金沙湾学校·期中)将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位后所得到的抛物线解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的平移计算，熟练掌握平移规律是解题的关键． 根据右减上加的平移原则计算即可． 【详解】解：抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位后所得到的抛物线解析式为． 故选：B． 6．(24-25九上·广东广州恒润实验学校·期中)已知一次函数的图象如图所示，则二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象与一次函数的图象，由一次函数的图象判断出 ，再判断二次函数的图象特征，进而求解． 【详解】解：由一次函数的图象可得： ， ∴二次函数图象的对称轴 ，在轴的右侧，与轴的交点在正半轴，符合题意的只有A， 故选：A． 7．(23-24九上·广东江门新会区三江镇初级中学·期中)如图，在同一坐标系中，函数与的图象大致是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图象，根据每一选项中、的符号是否相符，逐一判断．熟记一次函数、二次函数的图象的性质是解决问题的关键． 【详解】解：A、由抛物线可知，，，则，由直线可知，，，故本选项错误； B、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项错误； C、由抛物线可知，，由直线可知，故本选项错误； D、由抛物线可知，，，则，由直线可知，，，故本选项正确； 故选：D． 二、填空题 8．(24-25九上·广东江门新会区李文达中学·期中)抛物线的对称轴是直线，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握抛物线的对称轴是直线是解题的关键．根据抛物线的对称轴公式即可求解． 【详解】解：的对称轴是直线， ， 解得． 故答案为：． 9．(24-25九上·广东江门新会区李文达中学·期中)函数，当 时，函数值随的增大而增大． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象与性质即可直接得出答案． 【详解】解：根据二次函数的图象与性质可知：函数图象的对称轴是直线， ， 函数图象开口向下， 当时，函数值随的增大而增大， 故答案为：． 10．(24-25九上·广东江门蓬江区楼山初级中学·期中)若抛物线有最小值，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，开口向上的二次函数有最小值，则对应的函数解析式中二次项系数为正，据此求解即可． 【详解】解：∵抛物线有最小值， ∴， 故答案为：． 11．(24-25九上·广东江门新会区葵城中学·期中)二次函数的图象关于原点对称后的图象的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据二次函数的图象的变换求抛物线的解析式，正确记忆基本变换性质是解题关键．先把原二次函数解析式化为顶点式，得到顶点坐标和开口方向，再根据关于原点对称的两点横坐标，纵坐标互为相反数得到对称后二次函数图象的顶点坐标，结合开口方向即可得答案． 【详解】解：二次函数图象的顶点坐标为，开口向上， ∵点关于原点对称的点的坐标为， ∴关于原点对称后二次函数图象的顶点坐标为，开口向下， ∴关于原点对称后二次函数图象的解析式为． 故答案为：． 12．(23-24九上·广东广州天河区新昌学校·期中)在直角坐标系中，已知线段的端点是，，若抛物线与线段有两个交点，则a的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数的应用，二次函数的图象上的点的特征等知识，解题的关键是正确画出图形，熟练掌握二次函数的图像和性质．根据题意得出，，，抛物线对称轴为直线，然后进行分类讨论：当时，，当时． 【详解】解：如图，轴，与y轴交于P． ，，， ∴的中点坐标为，的中点坐标为， 由，得，． 抛物线对称轴为直线． 当时，． ∴． 当时，， ∴， 综上，满足条件的a的值为或． 故答案为：或． 13．(23-24九上·广东珠海夏湾中学·期中)已知二次函数在时有最小值，则 ． 【答案】3或 【分析】对称轴为：，分类讨论：当时，在中，时；当时，在中，时，将其带入原函数即可求解． 【详解】解：对称轴为：， 当时，在中，时，有最小值，则， 解得：； 当时，在中，时，有最小值，则， 解得：； 综上所述：的值为3或， 故答案为：3或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的增减性，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 三、解答题 14．(24-25九上·广东惠州惠阳区星湖中学·期中)已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)当时，的最小值是________，最大值是________． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查二次函数的顶点式，二次函数的性质． （1）根据二次函数的顶点式，进行配方即可求解； （2）根据二次函数图象的性质，找出的范围对应的函数值，由此即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得，， ∴改写形式为； （2）解：∵抛物线开口向上，对称轴为，如图所示， ∴当时，二次函数与轴的交点坐标为； 当时，二次函数； 当时，二次函数； ∴当时，，有最小值；，有最大值， 故答案为：，． 15．(24-25九上·广东中山小榄镇·期中)探究二次函数及其图象的性质，请填空： (1)图象的开口方向是________； (2)图象的对称轴为直线________； (3)图象与y轴的交点坐标为________； (4)当x为何值时，函数y有最小值，并出求最小值． 【答案】(1)开口向上 (2)直线 (3) (4)当时，有最小值 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质； （1）根据解析式可得，即可求解； （2）根据顶点式，即可求解； （3）令，得出，即可求解； （4）根据解析式求得顶点坐标，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ∴抛物线开口向上； （2）解：， ∴对称轴为直线； （3）解：， 当时， ∴图象与y轴的交点坐标为； （4）解：， 顶点坐标为， 当时，有最小值． 地 城 考点02 二次函数图像与系数的关系 一、单选题 1．(24-25九上·广东汕尾陆河县上护中学·期中)如图所示的二次函数图象中，有以下信息：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象与系数关系，观察图象判断图象开口方向、对称轴所在位置、与x轴交点个数即可得出二次函数系数满足条件．由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①由抛物线交y轴于负半轴，则，故①错误； ②由抛物线的开口方向向上可推出； ∵对称轴在y轴右侧，对称轴为， 又∵， ∴； 故，故②错误； ③结合图象得出时，对应y的值在x轴上方，故，即，故③正确； ④由抛物线与x轴有两个交点可以推出，故④正确； ⑤由图象可知：对称轴为，则，故⑤正确； 故正确的有：③④⑤，共3个． 故选：B． 2．(24-25九上·广东珠海香洲区珠海凤凰中学·期中)如图，抛物线的对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④，正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，抛物线与轴的交点，理解相关知识是解答关键． 根据抛物线的开口方向、对称轴、与轴的交点，二次函数的性质来逐一进行判定求解． 【详解】解：抛物线开口方向向下， ． ， ， ， ． 抛物线与轴相交于的正半轴， ， ，故错误． 抛物线与轴有两个不重合的交点， 有两个不相等的实数根， ，故正确． 由图象可知，当时，， ． ， ， 即． ， ， ， 即，故正确． 由图象可知：当时，， 则，故正确． 综上所述，正确的有共3个． 故选：B． 3．(23-24九上·广东汕头金平区飞厦中学·期中)已知，抛物线的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是数形结合，根据二次函数的性质，结合图象逐项进行判断即可． 【详解】解：A、∵抛物线开口向上， ∴，所以A选项错误； B、∵对称轴在y轴的右侧， ∴， ∵抛物线交y轴的负半轴， ∴， ∴，所以B选项错误； C、由图象可知当时，， ∴，所以C选项错误； D、当时，， ∴，所以D选项正确． 故选：D． 4．(24-25九上·广东茂名化州丽岗中学·期中)二次函数的图象如图所示，则下列结论中，正确的个数是（    ） ①；②；③；④ A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用特殊值代入法求得特殊的式子，如：，，然后根据图象判断其值． 根据和时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断①和②，由抛物线的开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点可以判断③、④、从而可得答案． 【详解】解：当时，， ∴，故①正确； 当时，， 由图象可知，当时，，故②正确； ∵图象开口向下， ∴， ∵， ∴， ∵图象与y轴的交点在y轴的上半轴， ∴， ∴，故③错误； ∵，，， 当， 则，产生矛盾，故④错误； ∴正确的有2个． 故选：C． 5．(24-25九上·广东江门新会区陈经纶中学·期中)如图为二次函数的图象，在下列说法中：①；②方程：的根是，；③；④当时，随的增大而增大；⑤⑥．下列结论一定成立的是（   ） A．①②④⑥ B．①②③⑤ C．②③④⑤⑥ D．①②③④⑤⑥ 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质；根据抛物线开口向上得出，根据抛物线和轴的交点在轴的负半轴上得出，根据函数图象与轴的交点坐标得出方程的根，把代入求出，根据抛物线的对称轴和函数图象得出当时，随的增大而增大，，根据函数图象和轴有两个交点得出． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线和轴的交点在轴的负半轴上， ， ，故①正确； 函数图象与轴的交点坐标是，， 方程的根是，故②正确； 把代入得：，故③错误； 根据函数图象可知：当时，随的增大而增大，故④正确； ， ， ，故⑤错误； 函数图象和轴有两个交点， ，故⑥正确； 故选A． 6．(24-25九上·广东肇庆肇庆中学·期中)如图是二次函数的图象，它与轴的一个交点为，其对称轴为直线．下列结论： ； ； ； ．其中正确的结论是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用，由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线开口方向向下， ∴，故正确； ∵抛物线对称轴位于轴右侧， ∴、异号， ∴， ∵抛物线与轴交于正半轴， ∴， ∴，故错误； ∵抛物线对称轴为直线， ∴，即，故正确； ∵二次函数的图象，它与轴的一个交点为，抛物线对称轴为直线， ∴，， ∴代入得：，即， ∴由，故错误； 综上可知：， 故选：． 7．(24-25九上·广东珠海容闳中学·期中)函数（，）的图象（如图所示）是由函数（，）的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，则下列结论：①；②；③；④将图象向上平移1个单位长度后与直线有3个交点，其中正确的是（   ）    A．①②④ B．①③ C．①② D．②③ 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象与系数之间的关系．二次函数的平移，待定系数法求函数解析式，熟练掌握抛物线的对称性，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键．①根据图象与轴的两个交点，求出对称轴，即可得到结论；②由的图象可知：与轴的交点为，根据翻折特点，即可解题；③根据对称轴，判断的符号，结合，的符号，即可得到的符号；④先求出图象的顶点坐标，得到平移后的顶点坐标，即可得出结论． 【详解】解：由图知，函数（，）的图象与轴交于，， 函数对称轴为直线， ， 则，，故①正确； 函数图象与轴交于， 由翻折性质可知，，故②正确； ，对称轴为直线， ， ， ，故③错误； 由图知，， 函数图象与轴交于， 过点， 即， 解得， 函数为， 即， 当时，， 即的顶点坐标为， 将图象向上平移1个单位长度后的顶点坐标为， 将图象向上平移1个单位长度后与直线有3个交点，故④正确． 综上所述，正确的有①②④， 故选：A． 二、填空题 8．(24-25九上·广东江门广德实验学校·期中)如图，抛物线的对称轴为直线，且过点，有下列结论①；②；③；④；其中所有正确的结论是 ． 【答案】①②③ 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 根据二次函数图像及其性质对序号依次判断即可． 【详解】由图像可知，，， ∴，故①正确． 当x=时，y=0， 即 ∴ ∴ ∴，故②正确． 由对称轴为，与x轴一个交点为可知与x轴另一个交点为 即 化简得，故③正确． ∵对称轴为 ∴ ∴， 将代入有 即 ∴，故④错误． 综上所述①②③正确． 故答案为①②③． 9．(24-25九上·广东广州第二十六中学·期中)如图，抛物线与x轴交于点和B，与y轴交于点C，下列结论： ①，②，③，④；正确的是 （写编号）． 【答案】③④/④③ 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象和系数的关系． 根据图象得出，即可判断①；根据对称轴为直线，即可判断②；由图可知，当时，，即可判断③；由图可知，当时，，结合，则，即可判断④． 【详解】解：∵该抛物线开口向上，对称轴在y轴右侧，与y轴相交于负半轴， ∴， ∴，故①不正确； ∵对称轴为直线， ∴，故②不正确； 由图可知，当时，，故③正确，符合题意； 由图可知，当时，， ∵， ∴， ∴， 即，故④正确． 综上：正确的有③④． 故答案为：③④． 地 城 考点03 利用待定系数法求二次函数解析式 一、单选题 1．(24-25九上·广东广州第九十七中学·期中)已知二次函数的图象经过点和，这个二次函数的表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，由给定点的坐标，利用待定系数法，即可求出这个二次函数的表达式． 【详解】解：将和代入得：， 解得：， ∴这个二次函数的表达式为． 故选：C． 2．(23-24九上·广东珠海香洲区第十一中学·期中)若二次函数的图象的顶点坐标为，且抛物线过，则二次函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的顶点坐标可设二次函数的解析式为，再将已知点的坐标代入求解即可； 【详解】解：设二次函数的解析式为， 将点代入得， 解得， 所以该二次函数的解析式为． 故选：A； 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 二、填空题 3．(24-25九上·广东江门福泉奥林匹克学校·期中)与抛物线关于原点成中心对称的抛物线的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数的图象与几何变换，解题的关键是抓住关于原点对称的点的坐标特征．由关于原点对称的点的特点是：横、纵坐标都变为相反数，可直接得出答案． 【详解】解：∵抛物线的图象上的点关于原点对称后横、纵坐标都变为相反数， ∴得到的抛物线的解析式是， 整理得：， 故答案为：． 三、解答题 4．(24-25九上·广东广州西关外国语学校·期中)已知二次函数的图象经过点，求此二次函数的表达式． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键．代入到得到二元一次方程组，求解方程组得出b、c的值即可解答． 【详解】解：代入到，得， 解得：， 二次函数的表达式为． 5．(24-25九上·广东广州番禺区洛溪新城中学·期中)已知抛物线的顶点为，且与轴交于点，点，是二次函数图象上的一对对称点，抛物线与轴交于点，两点（点在点左侧），一次函数的图象经过，． (1)求二次函数的解析式； (2)在平面直角坐标系中，画出此二次函数的图象： (3)写出，各点坐标； (4)直接画出直线，并根据图象写出使一次函数值大于二次函数值的的取值范围． 【答案】(1) (2)图见解析 (3)， (4)图见解析，或 【分析】本题考查二次函数与不等式（组）、待定系数法求二次函数解析式、抛物线与x轴的交点． （1）利用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）先描点再画出二次函数的图象即可； （3）令，解得，，可得点B的坐标为，由题意知，二次函数图象的对称轴为直线，根据抛物线的对称性可得点D的坐标为； （4）根据题意直接画出直线，再结合图象可得出答案． 【详解】（1）解：设二次函数的解析式为， 将代入， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：列表： x ... 0 1 ... y ... 0 3 4 3 0 ... 画出此二次函数的图象如下： （3）解：令， 解得，， ∴点B的坐标为， 由题意知，二次函数图象的对称轴为直线， ∵点C，D是二次函数图象上的一对对称点，， ∴点D的坐标为； （4）解：画出直线即为所求． 由图可得，使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围为或． 6．(24-25九上·广东惠州惠城三中、博雅培文实验学校·期中)二次函数中的x，y满足下表： x … 0 1 2 3 … … 0 0 … (1)求此二次函数的解析式； (2)若，请直接写出x的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了二次函数的性质以及用待定系数法求二次函数解析式． （1）把和代入中，求出a，b即可； （2）由表直接得出x的取值即可． 【详解】（1）解：把和代入中， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：∵， ∴抛物线开口向上， ∵或2时，， ∴当或时，． 7．(24-25九上·广东珠海斗门实验中学·期中)如图、抛物线与直线分别交于x轴和y轴上同一点，交点分别是点B和点C．且抛物线的对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式： (2)左右平移该二次函数的图象，使其经过原点，写出平移后二次函数表达式． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移； （1）根据直线解析式求得的坐标，根据对称轴求得点的坐标，进而待定系数法求解析，即可求解； （2）抛物线左右平移个单位过原点，此时抛物线为，将代入，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与直线分别交于x轴和y轴上同一点，交点分别是点B和点C． ∴当时，，当时， ∴ ∵抛物线的对称轴为直线．关于直线对称， ∴ 将，代入得， 解得： ∴抛物线的解析式为 （2）解： 设抛物线左右平移个单位过原点，此时抛物线为 ∴ 解得：或 ∴平移后的抛物线为：或 8．(24-25九上·广东肇庆肇庆中学·期中)已知一条抛物线的顶点坐标为，且过点． (1)求此抛物线的解析式； (2)直接写出当取何范围的值时，二次函数的图象位于轴上方． 【答案】(1)此抛物线的解析式为； (2)当时，二次函数的图象位于轴上方． 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）利用抛物线与轴的交点和抛物线开口向下，写出抛物线在轴上方所对应的自变量的范围即可； 本题考查了二次函数的图象与性质，解一元二次方程，待定系数法求解析式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设此抛物线的解析式为， ∵此抛物线过点， ∴，解得：， ∴此抛物线的解析式为； （2）解：由（）得此抛物线的解析式为， 当时，， 解得：，， ∴抛物线与轴交点为，， ∵， ∴当时，二次函数的图象位于轴上方． 9．(24-25九上·广东东莞石排中学·期中)综合与实践 【主题】探究函数与图象 【素材】如图所示，在平面直角坐标系中，点的坐标是，在轴上任取一点． 【实践操作】 步骤：连接，作线段的垂直平分线，过点作轴上的垂线，记直线与的交点为． 步骤：在轴上多次改变点的位置，用步骤的方法得到相应的点，把这些点用平滑的曲线连接起来． 【实践探索】 (1)在轴上任取点，，，，时，用步骤的方法得到相应的交点，，，，．请在表中写出相应交点坐标，并在图中标出这些点，用平滑的曲线连接起来． 点坐标 点坐标 (___，___) (___，___) (___，___) (___，___) (___，___) (2)猜想所连接起来的曲线是我们学过的_______函数图象，试求出这个函数的解析式． (3)若在轴上任取点的坐标为，试求出点的坐标，并说明理由． 【答案】(1)填表和画图见解析 (2)二次， (3)点的坐标为，理由见解析 【分析】（）根据步骤的方法得出点，，，，进而连线画图即可； （）根据（）所画图象即可判断函数类型，再利用待定系数法求出解析式即可； （）把代入（）所得函数解析式解答即可； 本题考查了画二次函数图象，求二次函数解析式及图象上点的坐标，根据步骤的方法得出点，，，的坐标是解题的关键． 【详解】（1）解：用步骤的方法得到相应的交点，，，，坐标如下： 点坐标 点坐标 画图象如下： （2）解：由图象可知，所连接起来的曲线是我们学过的二次函数图象， ∵顶点为， ∴设二次函数解析式为，把代入得， ， ∴， ∴这个函数的解析式为， 故答案为：二次； （3）解：点的坐标为，理由如下： 把代入得，， ∴点的坐标为． 10．(24-25九上·广东中山第一中学·期中)如图，抛物线经过点，与坐标轴分别交于B，C，D三点． (1)求B，C，D三点的坐标； (2)当时，则函数y的取值范围是 (3)平移抛物线，使原抛物线上的A点平移后落到原抛物线顶点的位置，直接写出平移后的抛物线的解析式． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（）利用待定系数法求出抛物线解析式，再把、代入函数解析即可求出三点的坐标； （）求出抛物线的对称轴，再根据抛物线的性质结合图象解答即可求解； （）由平移前点A的坐标和顶点坐标得出抛物线的平移方式，结合抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”即可解答． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， 当时，， 解得，， ∴，， 当时，， ∴； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，开口向上， 当时，函数有最小值为；当时，的值随的增大而增大，当时，的值随的增大而减小， ∵， ∴当时，， ∴当时，函数的取值范围是， 故答案为：； （3）解：∵平移前，顶点坐标为， ∴原抛物线向右平移1个单位长度，向下平移1个单位长度得到新抛物线， ∴平移后的抛物线的解析式为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与坐标轴的交点问题，二次函数图象的平移，二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 11．(24-25九上·广东惠州·期中)二次函数的图像与轴交于点，对称轴是直线，函数最大值为3． (1)求顶点坐标； (2)求该二次函数的解析式． 【答案】(1)顶点坐标为 (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质、求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题关键． （1）根据该二次函数图像的对称轴和函数最大值，即可确定顶点坐标； （2）设该二次函数的解析式为，将点代入求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，对称轴是直线，函数最大值为3， ∴顶点坐标为； （2）设该二次函数的解析式为， 把代入， 可得，解得， ∴该二次函数的解析为． 12．(23-24九上·广东广州海珠区绿翠现代实验学校·期中)抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： … … … … (1)求该抛物线的解析式． (2)根据上表填空： 抛物线与x轴的交点坐标是______和______； 抛物线经过点（，______），对称轴为______； 【答案】(1) (2)，直线 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，以及的图象和性质，解题的关键在于从表格中获取需要的信息． （1）由表格可知抛物线过点，，，再结合待定系数法求解，即可解题； （2）①直接根据表格信息求解，即可解题； ②利用抛物线与x轴的交点坐标求出对称轴，再结合二次函数的对称性求解，即可解题． 【详解】（1）解：由表格可知抛物线过点，，， ， 解得， 抛物线解析式为； （2）解：①由表格可知抛物线与x轴的交点坐标是和； 故答案为：，； ②由表格可知抛物线对称轴为直线， 与关于直线对称，且抛物线过点 抛物线经过点； 故答案为： ，直线． 地 城 考点04 二次函数与一元二次方程 一、单选题 1．(24-25九上·广东江门新会区葵城中学·期中)二次函数的图象过点，则的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，求抛物线对称轴，把求关于x的一元二次方程的解转化为求二次函数图象与x轴的交点坐标是解题的关键．先求抛物线的对称轴，再根据二次函数的对称性得到二次函数图象与x轴的另外一个交点坐标，从而得到的解． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，且函数图象与x轴交于点， ∴二次函数图象与x轴的另一个交点为横坐标满足，解得， ∴方程的解为，， 故选：C． 2．(24-25九上·广东江门蓬江区楼山初级中学·期中)已知抛物线的图象如图所示，抛物线的顶点坐标为，且与x轴的一个交点的横坐标在和之间，则下列结论正确的有______个． ①；②；③；④关于x的方程有实数根 A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据所给函数图象，可得出a，b，c的正负，再结合抛物线的对称性和增减性依次对四个选项进行判断即可，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图可知：抛物线的开口向下，对称轴在轴左侧，与轴交于正半轴， ∴，，， ∴．故①错误； ∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线与x轴的一个交点的横坐标在和之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点的横坐标在0和1之间． 又∵抛物线开口向下， ∴当时，函数值小于零，即．故②正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴，即， 又∵， ∴．故③错误； ∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的图象与直线有交点， ∴关于x的方程有实根．故④正确． 故选：B． 3．(24-25九上·广东阳江第一中学实验学校·期中)已知抛物线经过点，则代数式的值为（    ） A．24 B．6 C．31 D．19 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数点的坐标特征，已知式子的值求代数式的值，熟练掌握该知识点是解题的关键．由题意可知，，整理为，然后代入求值即可． 【详解】解：抛物线经过点， 故选：C ． 4．(24-25九上·广东广州花都区·期中)已知函数的图象如图，那么关于的方程的根的情况是（   ） A．无实数根 B．有两个同号不等实数根 C．有两个异号实数根 D．有两个相等实数根 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质、二次函数与一元二次方程等知识点，掌握二次函数图象的性质成为解题的关键． 根据抛物线的顶点坐标的纵坐标为，判断方程的根的情况即是判断时x的值的情况． 【详解】解：∵的图象与x轴有两个交点，顶点坐标的纵坐标是， ∴，即， ∴根的情况为求x的值情况， 由图象可知：直线与抛物线只有两个交点，即方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 二、填空题 5．(24-25九上·广东深圳光明区实验学校·期中)二次函数的图象与轴的交点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握函数与坐标轴的交点的求解方法是解题的关键．令，求出的值，即可求出与轴的交点坐标． 【详解】解：时，， 所以，图象与轴交点的坐标是． 故答案为：． 6．(24-25九上·广东东莞·期中)如图，是一个半圆和抛物线的一部分围成的“鸭梨”，已知点A、、、分别是“鸭梨”与坐标轴的交点，是半圆的直径，抛物线的解析式为，则图中的长为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了抛物线与坐标轴的交点问题，求的点C、点D的坐标成为解题的关键． 先求解A，B的坐标，进而求得点C的坐标，令，即可求得点D的坐标，然后求得的长即可． 【详解】解：∵， ∴当时，，解得：，， ∴A点坐标为，B点坐标为， ∵是半圆的直径， ∴， 当时，， ∴D点坐标为， ∴， ∴． 故答案为3． 7．(23-24九上·广东东莞松山湖中学教育集团·期中)抛物线与轴只有一个公共点，则的值为 ． 【答案】25 【分析】此题主要考查了二次函数与x轴的交点问题、一元二次方程的根的判别式等知识．利用抛物线与轴的交点问题，得到方程有两个相等的实数解，则根据根的判别式的意义得到，求解即可获得答案． 【详解】解：∵抛物线与轴只有一个公共点， ∴关于的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． 故答案为：25． 三、解答题 8．(24-25九上·广东广州黄广中学·期中)已知抛物线．若抛物线与x轴有两个不同的交点，求k的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查二次函数与坐标轴交点问题，解题的关键是熟练掌握抛物线与x轴有两个交点判别式大于0． 根据抛物线与x轴有两个交点，判别式大于0列不等式求解即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线与轴有两个交点， ∴， 解得：． 9．(24-25九上·广东广州第二中学·期中)如图．已知抛物线，与y轴交于点C，与x轴交于点A，B，点A在点B左侧． (1)求点A、B、C的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查抛物线与坐标轴的交点问题，解题的关键是正确的求出交点的坐标： （1）分别令求出点A、B、C的坐标即可； （2）利用三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，解得：， ∴； （2）∵， ∴， ∴的面积． 10．(24-25九上·广东广州天河区天河中学·期中)已知抛物线，与轴的交点，（点在点的左侧）． (1)若时，求点，的坐标及线段长． (2)若，求的值及抛物线的对称轴． 【答案】(1)，， (2)，对称轴 【分析】本题考查了二次函数的性质及求二次函数与坐标轴的交点坐标，及求出两交点间的距离．解决本题的关键是熟练掌握求二次函数与坐标轴的交点坐标． （1）令，则，可得，解得，，即可得出答案； （2）令，则，可得，解得，，再求解即可． 【详解】（1）解：， ， 令，则， ， ，， 点在点的左侧， ，， ； （2）解：令，则， ， 或， ，， 点在点的左侧，， ，， ， ， ， 抛物线的对称轴为． 11．(24-25九上·广东广州四校·期中)已知抛物线与x轴交于A，B两点，A在B左侧． (1)若一元二次方程的一个解是，求出A，B两点的坐标； (2)若抛物线的顶点在直线上，求此抛物线的解析式． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数与x轴交点问题，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握用待定系数法求二次函数解析式是解题的关键． （1）把代入方程，求出c，即可求得抛物线解析式，再令，求解，即可求解； （2）将抛物线解析式化成顶点式，得出抛物线的顶点坐标为，再把代入，求出c值，即可求解． 【详解】（1）解：一元二次方程的一个解是， 把代入，得 ∴ 抛物线解析式为， 令，则 解得：，， ∵抛物线与x轴交于A，B两点，A在B左侧， ∴，． （2）解：∵抛物线， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线的顶点在直线上， ∴把代入，得 ， ∴， ∴抛物线解析式为． 地 城 考点05 二次函数与不等式 一、单选题 1．(24-25九上·广东中山小榄镇·期中)如图是二次函数的部分图象，则不等式的解集是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，利用二次函数的对称性，可得出图象与轴的另一个交点坐标，结合图象可得出的解集． 【详解】解：由图象得：对称轴是直线，其中一个点的坐标为， 图象与轴的另一个交点坐标为， 由图象可知：的解集即是的解集， 或． 故选：C． 2．(23-24九上·广州越秀区广东实验中学·期中)已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④不等式的解集为．正确的结论个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质、二次函数与不等式，根据抛物线的开口方向可判断①；根据抛物线与x轴没有交点可判断②；根据抛物线的对称轴即可判断③；将不等式变形为：，令，根据直线与抛物线的图象交于点和，进而可判断④；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】解：抛物线的开口向上， ，则①正确； 抛物线与x轴没有交点， ，则②错误； 由图得：抛物线的对称轴为：， 即：，故③错误； 不等式变形为：， 令，如图， 由图象得：直线与抛物线的图象交于点和， 不等式的解集为，故④正确， 则正确的个数有2个， 故选B． 3．(24-25九上·广东中山广浩学校·期中)二次函数的大致图象如图所示，关于该二次函数，下列说法正确的是（    ） A．函数有最大值 B．对称轴是直线 C．当，随的增大而增大 D．当或时， 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象：的图象为抛物线，可利用列表、描点、连线画出二次函数的图象．也考查了二次函数的性质．由图象可得抛物线开口方向，从而可得函数有最小值，由抛物线与x轴交点可得抛物线对称轴及y随x增大而减小的取值范围，根据抛物线开口方向及抛物线与x轴交点横坐标可得函数值小于0的x的取值范围，进而求解． 【详解】解：由抛物线的开口向上，可知，函数有最小值，不正确，故A选项不符合题意； B．由图象可知，对称轴为，不正确，故B选项不符合题意； C．因为，所以，当时，随的增大而减小，不正确，故C选项不符合题意； D．由图象可知：当或时，，正确，故D选项符合题意． 故选D． 二、填空题 4．(24-25九上·广东惠州惠城区光正实验学校·期中)如图，与交于、两点，则的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，利用函数图象交点解不等式是解题的关键．由图象判断出两个交点、横坐标分别是0和5，结合图象即可求出不等式的解集． 【详解】解：由图象可得，点的横坐标为0，点的横坐标为5， 结合图象可得，的解集为． 故答案为：． 5．(24-25九上·广东惠州惠东县·期中)如图，二次函数的图象如图所示，当 时，． 【答案】 【分析】本题考查的是利用二次函数的图象确定不等式的解集，根据，可得抛物线的图象在轴的下方，从而可得答案． 【详解】解：当时，抛物线的图象在轴的下方，此时， 故答案为：． 6．(24-25九上·广东东莞石龙第三中学·期中)如图，一次函数与二次函数的图象分别交于点，．不等式成立时，的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是二次函数的性质，直接根据一次函数与二次函数的图象即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数与二次函数的图象分别交于点，， ∴不等式成立时，二次函数图象在一次函数上方的部分的的取值即为不等式的解， ∴的取值范围是或， 故答案为：或． 三、解答题 7．(23-24九上·广东广州海珠区中山大学附属中学·期中)已知抛物线，直线． (1)直接写出抛物线的顶点，请问直线是否经过该点？ (2)若，当时，二次函数的最大值为，求的值； (3)点为抛物线的顶点，为抛物线与直线的另一个交点，当时，若线段（不含端点）上至少存在一个横坐标为整数的点，求k的取值范围． 【答案】(1)顶点坐标为，直线l 恒过抛物线 C 的顶点 (2)或 (3)或 【分析】本题考查了二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值、解一元二次方程以及解不等式: （1）先根据二次函数解析式得到顶点坐标为，再证明直线l恒过点即可得到答案； （2）根据题意可得抛物线开口向下，且当时，函数有最大值2，由此讨论当，即时，当时，两种情况讨论求解即可； （3）先联立两函数解析式求出Q点坐标，再根据题意可得，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线C的解析式为， ∴抛物线C的顶点坐标为， ∵直线l的解析式为， ∴直线l恒过点， ∴直线l 恒过抛物线 C 的顶点； （2）解：由题意得，抛物线解析式为， ∵， ∴抛物线开口向下，且当时，函数有最大值2， ∴离对称轴越远函数值越大， ∵当时，二次函数的最大值为， 当，即时，， 解得或（舍去）； 当时，， 解得或（舍去）； 综上所述，t的值为或 （3）解：联立，解得或， ∴， ∵线段（不含端点 P，Q）上至少存在一个横坐标为整数的点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或． 8．(23-24九上·广东惠州大亚湾经济技术开发区西区实验学校·期中)已知二次函数． (1)求证：对于任意的实数，该二次函数图象与轴总有公共点； (2)若该二次函数图象与轴有两个公共点，，且点坐标为，求点坐标． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，熟知当二次函数与轴有两个不同的交点，则一元二次方程有两个不同的实数根是解答本题的关键． （1）由，由此得到该二次函数图象与轴总有公共点． （2）将点坐标为代入中，得到，所以二次函数表达式为：，令，得：，解得：或，由此得到点坐标． 【详解】（1）证明：当二次函数图象与轴相交时， ， ． 该二次函数图象与轴总有公共点． （2）将点坐标为代入中， 得， ， 二次函数表达式为：， 令，得：， 解得：或， 二次函数图像与轴有两个公共点的坐标是：，， 又点坐标为， 点坐标为． 9．(24-25九上·广东广州西关外国语学校·期中)如图所示，抛物线与直线相交于点，． (1)直接写出实数，的值，并求出点A，的坐标； (2)若，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)，；，； (2)． 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题以及二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由图象得，；再联立方程组，解出即； （2）运用数形结合思想，得出当时，则，即可作答． 【详解】（1）解：结合图象，得出抛物线的顶点坐标为，直线与轴交于点， ∴，， 即，； ∵抛物线与直线相交于点，． ∴ ∴ 整理得 ∴ 则 结合图象，得； （2）解：∵，且， ∴由图得． 10．(23-24九上·广东广州香江中学·期中)如图，已知二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点．    (1)求二次函数的解析式及点的坐标； (2)根据函数的图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，求解抛物线与x轴的交点坐标，利用图象解不等式；熟练的利用数形结合的方法解题是关键． （1）把与代入解析式，再建立方程组求解即可，把代入函数解析式，建立方程可得B的坐标； （2）由二次函数的图象在x轴下方时自变量的取值范围对应的是不等式的解集，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点． ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为：； 当时，， ∴， 解得：，， ∵， ∴； （2）由图象可得：不等式的解集为： ． 11．(24-25九上·广东仲元中学附属学校·期中)如图，二次函数经过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)利用图象的特点填空： ①当________时，方程； ②不等式的解集为 ． 【答案】(1) (2)①1；②且 【分析】本题考查了二次函数与不等式（组）：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解．也考查了待定系数法求二次函数解析式和抛物线与x轴的交点． （1）设交点式，然后把C点坐标代入求出a即可； （2）①先利用配方法得到，则当时，有最小值；②写出函数图象在轴下方所对应的自变量的范围，并且自变量不取顶点的横坐标． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线解析式为，即； （2）解：①， 当时，有最小值， 即时，方程， 故答案为：1； ②不等式的解集为且． 故答案为：且． 12．(24-25九上·广东肇庆龙涛外国语学校初中部·期中)如图，直线和抛物线都经过点． (1)求m的值和抛物线的解析式； (2)求不等式的解集．（直接写出答案） 【答案】(1)，抛物线解析式为 (2)或 【分析】本题考查了的待定系数法求函数解析式，二次函数与不等式之间的关系， （1）先把点坐标代入直线解析式，求出点坐标，再把、坐标代入抛物线解析式求出抛物线解析式即可； （2）根据函数图象的交点，即可求解． 【详解】（1）解：把代入中得， ∴， 把，代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：由函数图象可知，当或时抛物线的函数图象在一次函数图象上方， ∴不等式的解集为或． 13．(24-25九上·广东惠州惠城三中、博雅培文实验学校·期中)如图，抛物线与直线交于点A和点B，直线与y轴交于点． (1)求直线和抛物线的解析式； (2)求点A的坐标，并结合函数图象，求出不等式的解集． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了二次函数与不等式以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是掌握待定系数法求解析式． （1）把点代入中，求出b确定一次函数解析式，然后求出点B的坐标，再将B的坐标代入二次函数解析式即可解答； （2）联立解析式，求出点A，结合函数图象求出解集即可． 【详解】（1）解：（1）点代入中，， ∴一次函数解析式为， 当时，， 解得， ∴， 把代入中， 得， 解得， ∴二次函数解析式为； （2）解：令， 解得或， ∴， ∴不等式的解集为． 14．(24-25九上·广东惠州·期中)如图，直线和抛物线相交于点和点． (1)求点和点的坐标 (2)直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数综合应用，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． （1）联立直线解析式和抛物线解析式，求解即可获得答案； （2）结合函数图像，由二次函数图像在直线上方部分，即可获得答案． 【详解】（1）解：联立直线解析式和抛物线解析式， 可得， 解得，， ∴； （2）由（1）得， 结合图像，可知不等式的解集为或． 地 城 考点06 二次函数中最值问题 一、单选题 1．(23-24九上·惠州惠阳区永湖中学·期中)对于抛物线，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线；③顶点坐标为；④时，随的增大而减小；⑤函数的最大值为3；其中正确结论的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了的图象与性质，二次函数的图象与系数的关系，二次函数的最值等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由二次函数的图象与系数的关系即可判断结论①；由的图象与性质即可判断结论②、③、④；由二次函数的最值即可判断结论⑤． 【详解】解：对于抛物线， ， 抛物线开口向下， 故结论①正确； 对称轴为直线， 故结论②错误； 其顶点坐标为， 故结论③正确； 当时，随的增大而减小， 故结论④正确； 当时，函数取得最大值，最大值为3， 故结论⑤正确； 综上所述，正确的结论有：，共个， 故选：． 2．(24-25九上·广东广州广州中学·期中)如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转得到，则线段的长的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在的上方作，且使，连接．设，则，根证明得出，得出，即可推出结论． 【详解】解：如图，在的上方作，且使，连接，．过点C作的垂线，F为垂足． ， ， 设，则， ， ， ， ∵将绕点C顺时针旋转得到， ∴，， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，． ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，二次函数的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 3．(23-24九上·广东韶关翁源县·期中)已知二次函数，其中，则的最大值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的增减性，根据二次函数的增减性即可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质和数形结合是解题的关键． 【详解】解：由， 当时，随的增大而减小， ∴在时，当时，有最大值， 最大值为：， 故选：． 二、填空题 4．(24-25九上·广东肇庆第二中学·期中)二次函数的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，把函数解析式转化为顶点式是解题的关键． 运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式即可求解． 【详解】解：， 二次函数的图象开口向上，有最小值为， 故答案为：． 5．(23-24九上·广东东莞东华初级中学·期中)若关于x的方程有两个实数根，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据根与系数的关系以及一元二次方程的解得到关于的等式，结合根的判别式配方后求解即可． 【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴， 整理得， ∴， 由题意得，，， ∴ ， ∵， ∴当时，的值随m的增大而减少， ∴当，的最小值为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系和二次函数的最值问题，解题的关键是正确理解：若，是一元二次方程的两根时，，和通过配方求二次函数的最值． 三、解答题 6．(24-25九上·广东广州恒润实验学校·期中)抛物线经过点． (1)求这条抛物线的解析式； (2)如图，点是抛物线对称轴上一点，连接，，当最小时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把点和点坐标代入后解方程组求出、，从而得到抛物线解析式； （2）抛物线与轴的另一个交点为,利用配方法求出抛物线的对称轴为直线，进而求出点的坐标，连接交直线于点，利用两点之间线段最短可判断此时最小，接着求出直线的解析式，进而求解． 【详解】（1）解：把分别代入得 ， 解得 ∴抛物线解析式为； （2）解：设抛物线与轴的另一个交点为， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，， 解得， ∴． 连接交直线于点，如下图 ∵， ∴， ∴此时最小， 设直线的解析式为， 把分别代入得 ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数解析式的求法，二次函数的性质和最短路线问题．在利用待定系数法求函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解． 7．(24-25九上·广东广州七中教育集团及教学联盟·期中)已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根； (2)设的两个实数根为，若，求出的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，二次函数的最值．熟练掌握一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，二次函数的最值是解题的关键． （1）由，证明作答即可； （2）由的两个实数根为，可得，，根据 ，求解作答即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 无论取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根． （2）解：的两个实数根为， ∴，， ∴ ， ∵， ∴最小值为． 8．(24-25九上·广东东莞南城中学·期中)【探究】 如图，已知抛物线． （1）在坐标系中画出此抛物线的大致图象（不要求列表）； （2）当时，函数值y取值范围是________； 【应用】 已知二次函数（h是常数），且自变量取值范围是． （3）当时，函数的最大值是________； （4）若函数的最大值为，求h的值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）0；（4）1或6． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质． （1）根据画二次函数图象的方法画图即可； （2）利用二次函数的性质并结合函数图象即可得出结论； （3）根据二次函数的图象和性质进行解答即可； （4）根据h的取值分情况讨论即可求出答案． 【详解】解：（1）如图， （2）抛物线开口向下，当时，y有最大值为4， 当时，；当时， ∴当时，函数值y取值范围是， 故答案为：； （3）抛物线的开口向下，对称轴为， ∴当时，当时，y有最大值，最大值为0； 故答案为：0 （4）当时，时，y随x的增大而减小，则当时，y有最大值， ∴， 解得，（舍去） 当时，时，y有最大值为0，故不符合题意； 当时，时，y随x的增大而增大，则当时，y有最大值， ∴， 解得（舍去），， 综上，若函数的最大值为，则h的值为1或6． 9．(24-25九上·广东中山卓凯教育·期中)如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为 (1)求抛物线的对称轴和点A、点C的坐标； (2)点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当的值最小时，求点P的坐标． 【答案】(1)对称轴为直线，， (2)点坐标为 【分析】本题是二次函数综合题，考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数是常数，与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和最短路径问题． （1）利用配方法把一般式化为顶点式，从而得到抛物线的对称轴为直线；先解方程得，再确定； （2）连接BC交直线于点P，如图，利用两点之间线段最短可判断此时的值最小，接着利用待定系数法求出直线BC的解析式为，然后确定P点坐标． 【详解】（1）解：， 抛物线的对称轴为直线， 当时，，当时，即， 解得，， ，； （2）连接交直线于点P，如图， ， ， 此时的值最小， 设直线的解析式为， 把，分别代入，得 ， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， 点坐标为 10．(23-24九上·广东惠州大亚湾经济技术开发区第三中学·期中)如图所示，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点． (1)求点C及顶点M的坐标； (2)求点A、B的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得的值最小，若存在，清求出点P的坐标并求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；， (2)；， (3)． 【分析】（1）本题主要靠考查二次函数图像与坐标轴交点问题以及二次函数顶点坐标，函数图像与y轴的交点可得点C坐标；顶点坐标通过对函数解析式配成顶点式即可得到． （2）本题主要靠考查二次函数图像与坐标轴交点问题，函数图像与轴的交点，转化为解一元二次方程即可求解． （3）本题主要考查了最短距离问题，点B是点A关于抛物线的对称轴对称的点，根据两点之间线段最短，线段即为所求最短距离． 【详解】（1）解：二次函数， 令，得到：． ∴； ， ∴． （2）∵二次函数与x轴相交于A、B两点， 令， 得到：，， ∴；． （3）假设存在点，使得的值最小 ∵点B与点A关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴与的交点就是使得的值最小的点的位置，如图， ∵， ∴． 又∵，， ∴直线的解析式为：， 又∵点在抛物线对称轴上，将代入直线的解析式， 得到：， ∴ 又∵， ∴, 即，的最小值为． 11．(24-25九上·广东汕头潮南区陈店实验·期中)在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，并与轴的正半轴交于点． (1)求，满足的关系式及的值； (2)当时，若点是抛物线对称轴上的一个动点，求周长的最小值； (3)当时，若点是直线下方抛物线上的一个动点，过点作于点．当取何值时，线段取最大值？并求出的最大值． 【答案】(1)， (2) (3)当时，有最大值是 【分析】（1）在直线中，令和可得点和的坐标，代入抛物线中可解答； （2）连接交直线于点，利用两点之间线段最短可得出此时的周长最小，从而可以解答； （3）根据时，可得抛物线的解析式，如图2，过点作轴于，交于，则是等腰直角三角形，设，则，表示的长，求得最大值，进而得到答案． 【详解】（1）解：直线中，当时，， ， 当时，， ， ， 将，代入抛物线中，得： ， ，； （2）解：如图1，当时，， ， 抛物线的解析式为：， 抛物线的对称轴是：， 由对称性可得， 要使的周长最小，只需最小即可， 如图1，连接交直线于点， 因为点与点关于直线对称，由对称性可知：， 因为两点之间线段最短，所以此时的周长最小， 所以的周长最小值为， 中，， 中，， 周长的最小值为； （3）解：当时，， ， ， ，，， ， 是等腰直角三角形， ， 如图2，过点作轴于，交于，则是等腰直角三角形， 设，则， ， ， ∴当时，有最大值是． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了利用待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的性质，等腰直角三角形的性质，轴对称最短路线问题等知识，综合性较强，难度适中，利用方程思想，数形结合是解题的关键． 地 城 考点07 二次函数的实际问题 一、单选题 1．(24-25九上·广东广州番禺区洛溪新城中学·期中)如图，是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽．若水面再上升，则水面的宽度是多少？（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键，学会把实际问题转化为二次函数，利用二次函数的性质解决问题，属于中考常考题型．根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过，纵轴y通过中点O且通过C点， 则：O为原点，，， 设函数解析式为，把A点坐标代入得， ∴抛物线解析式为， 当水面上升，通过抛物线在图上的观察可转化为： 当时，对应的抛物线上两点之间的距离， 把代入抛物线解析式得出：， 解得：， ∴此时的水面宽度为， 故选：C． 2．(24-25九上·广东东莞·期中)某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了（    ）m． A．6 B．45 C．35 D．25 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数性质的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数的解析式可得出汽车刹车时间，将其代入二次函数解析式中即可得出s的值． 【详解】解：根据二次函数解析式 可知，汽车的刹车时间为， 当时， 故选：B 3．(24-25九上·广东阳江第一中学实验学校·期中)如图，正方形边长为1，、、、分别为各边上的点，且，设小正方形的面积为，为，则关于的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与几何图形，读懂题意建立正确的函数关系是解题的关键．根据题意可知四个三角形的面积相等并用表示出其面积为，然后再表示出小正方形的面积，最后根据二次函数图象的性质得到其开口方向、对称轴和自变量的取值范围，即可得到答案． 【详解】解：四边形是正方形，边长为1 ， 小正方形的面积 所求函数是一个开口向上，抛物线对称轴是直线，且取值范围是． 故选：B． 二、填空题 4．(24-25九上·广东广州越秀区广州铁一中学·期中)图1是一个瓷碗，图是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度．当面汤的深度为时，汤面的直径长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，以为原点，直线为轴，过且平行直线为轴，建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为，求出解析式，然后当时，求出的值即可，建立合适的直角坐标系和待定系数法求解析式是解题的关键． 【详解】解：如图，以为原点，直线为轴，过且平行直线为轴建立平面直角坐标系， 设抛物线解析式为， 由题意得点， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为， 当时，，解得：， ∴，， ∴， 故答案为：． 三、解答题 5．(24-25九上·广东江门新会区李文达中学·期中)某服装公司试销一种成本为每件50元的T恤衫，试销中销售量（件）与销售单价（元）的关系可以近似的看作一次函数，设公司获得的总利润为元．（提示：总利润=每件利润×销售量） (1)求与之间的函数关系式； (2)根据题意判断：当取何值时，的值最大？最大值是多少？ (3)若总利润为元时，销售单价是多少？ 【答案】(1) (2)时，的值最大，最大值为 (3)总利润为元时，销售单价是或元 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键； （1）根据总利润每件利润销售量即可列出与之间的函数关系式； （2）根据（1）的函数关系式，利用二次函数的性质，即可求解； （3）令，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：依题意， （2）解：由（1）可得 当时，取得最大值为：， 答：时，的值最大，最大值为 （3）解：依题意， 方程整理得： 解得： 答：总利润为元时，销售单价是或元． 6．(24-25九上·广东阳江第一中学实验学校·期中)某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数，该商场销售这种服装获得利润为元． (1)求与之间的函数关系式； (2)销售单价定为多少时，商场可获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)销售单价为100元时，商场可获得最大利润，最大利润为1600元． 【分析】本题考查了求二次函数的实际应用，二次函数的利润问题，二次函数的最值问题，读懂题意，并掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据总利润每件的利润销量，即可得出与之间的函数关系式； （2）将二次函数化为顶点式，利用二次函数的性质即可求出最值． 【详解】（1）解： （2）解： ， ， ， 时，有最大值，此时， 销售单价为100元时，商场可获得最大利润，最大利润为1600元． 答：销售单价为100元时，商场可获得最大利润，最大利润为1600元． 7．(24-25九上·广东惠州惠东县·期中)综合与实践 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计大棚苗木种植方案？ 【素材1】如图①是一个大棚苗木种植基地及其截面图，其下半部分是一个长为，宽为的矩形，其上半部分是一条抛物线，现测得，大棚顶部的最高点距离地面． 【素材2】种植苗木时，每棵苗木高．为了保证生长空间，相邻两棵苗木种植点之间间隔，苗木顶部不触碰大棚，且种植后苗木成轴对称分布．（即苗木的数目为偶数个） 【解决问题】 (1)大棚上半部分形状是一条抛物线，设大棚的高度为，种植点的横坐标为．根据图②建立的平面直角坐标系，通过素材1提供的信息确定点的坐标，求出抛物线的解析式； (2)探究种植范围．在图②的坐标系中，在不影响苗木生长的情况下（即），确定种植点的横坐标的取值范围； (3)拟定种植方案．给出最前排符合所有种植条件的苗木数量，并求出最左边一棵苗木种植点的横坐标的值． 【答案】(1) (2) (3)18棵，最左边一棵苗木种植点的横坐标的值为 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）如图（见解析），先求出点的坐标，再利用待定系数法求解即可得； （2）求出当时，的值，再结合函数图象即可得； （3）根据种植苗木的要求可得在距离轴的两侧开始种植，由此即可得． 【详解】（1）解：如图，由题意得：，，，， ∴， 设抛物线的解析式为， 将点代入得：，解得， 则抛物线的解析式为． （2）解：当时，则， 解得或， 在图象中标出如下： 结合函数图象可知，当时，种植点的横坐标的取值范围为． （3）解：∵为了保证生长空间，相邻两棵苗木种植点之间间隔，苗木顶部不触碰大棚，且种植后苗木成轴对称分布．（即苗木的数目为偶数个）， ∴在距离轴的两侧开始种植，最前排可种植的数量为（棵）， ∴最左边一棵苗木种植点的横坐标， 答：最前排符合所有种植条件的苗木数量为18棵，最左边一棵苗木种植点的横坐标的值为． 8．(24-25九上·广东肇庆肇庆中学·期中)综合与实践 [问题情境]小莹妈妈的花卉超市以元盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近，，，，五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下： 售价（元盒） 日销售量（盆） [数据整理] （1）请将以上调查数据按照售价从小到大的顺序重新整理，填写在下表中： 售价（元盒） 日销售量（盆） [模型建立] （2）设日销售量为，售价为，根据数据的变化规律，估计与之间的函数关系，求解析式； [拓广应用] （3）根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉中，售价定为多少时，每天能够获得最大利润？ 【答案】（），，；，，；（）与之间的函数关系为；（）售价定为元时，每天能够获得最大利润． 【分析】（）根据题意从小到大排序填表即可； （）用待定系数法求出与之间的函数关系即可； （）设每天能够获得利润为元，得出关系式，然后根据二次函数的性质即可求解； 本题考查了一次函数和二次函数的应用，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：（）由题意得， 售价（元盒） 日销售量（盆） 故答案为：，，；，，； （）由表格可知日销售量为，售价为为一次函数， ∴设解析式为， ∴，解得：， ∴与之间的函数关系为； （）设每天能够获得利润为元， ∴， ∵， ∴当时，取最大值， ∴售价定为元时，每天能够获得最大利润． 9．(24-25九上·广东东莞石龙第三中学·期中)【问题背景】 如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接． 【知识技能】 （1）求此抛物线的解析式． 【构建联系】 （2）在下方的抛物线上有一点，过点作轴，交于点，交轴于点，当点的坐标为多少时，线段的长度最大？最大是多少？ （3）在轴上找一点，使得为等腰三角形，直接写出点的坐标． 【答案】（1）（2）点N的坐标为，有最大值，最大值为（3）或或或 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、待定系数法、二次函数的最值等，其中（3）要注意分类求解，避免遗漏． （1）由得，，再运用待定系数法求出函数解析式即可； （2）运用待定系数法求出直线的解析式为，设，则，求出，根据二次函数的性质可得结论； （3）根据勾股定理求出，再分为腰和底两种情况讨论求解即可． 【详解】解：（1）∵ ∴，， 把，代入，得， ， 解得，， ∴此抛物线的解析式为． （2）设直线的解析式为， 把把，代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为； 设点的坐标为，则点， ∴ ∴ ∵， ∴有最大值，最大值为，此时点N的坐标为； （3）∵ ∴ 如图， 当为底边时，点的坐标为； 当为腰时，点的坐标为或或； 综上，为等腰三角形时，点的坐标为或或或． 10．(24-25九上·广东东莞石龙第三中学·期中)根据以下素材，探索完成任务． 素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇． 某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个． 素材2 该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元/个时，月销售量为600个，在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务1 该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率； 任务2 当零件的实际售价定为多少元时，每个月获得的销售利润最大？最大利润为多少？ 【答案】（1）任务一：；任务二：零件的实际售价定为65元时，每个月获得的销售利润最大，最大利润为12250元 【分析】本题考查一元二次方程的应用、二次函数的应用，理解题意，正确列出方程和函数解析式是解答的关键． 任务一：设平均增长率为a，根据题意，直接列方程求解即可； 任务二：设零件的实际售价定为x元，每个月获得的销售利润为y元，根据题意列出y关于x的函数表达式，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：任务一：设该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为a，根据题意，得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为； 任务二：设零件的实际售价定为x元，每个月获得的销售利润为y元， 根据题意，得 ， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为12250， 答：零件的实际售价定为65元时，每个月获得的销售利润最大，最大利润为12250元． 11．(24-25九上·广东中山·期中)如图所示，四边形为矩形，，，若点Q从A点出发沿以的速度向D运动，P从A点出发沿以的速度向B运动．P、Q分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为． (1)当为何值时，的面积为？ (2)当为何值时，的面积最大？ 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查一元二次方程的应用，二次函数的实际应用： （1）由四边形为矩形，，，可得，，，结合，再解方程即可； （2）由题意可得：，建立函数模型，再利用二次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：由题意可得：，， ∵四边形为矩形，，， ∴，，，且， ∴， ∴， 解得：或； ∴当或3时，的面积为． （2）解：由题意可得：， ∵， ∴当时，有最大值． 地 城 考点08 二次函数综合 一、单选题 1．(23-24九上·广东珠海前山中学·期中)如图，抛物线与直线交于A，B两点，点C为抛物线的顶点，连接，，，且的面积为4，则的值为（    ）    A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】过点作于点，先证明是等腰直角三角形，再设，，根据的面积为4，求出的值，表示出点的坐标代入解析式即可． 【详解】解：如图，过点作于点，    抛物线与直线交于A，B两点 由二次函数图象是轴对称图形，得， ， 是等腰直角三角形， ， ， 设，， ， ， ， 抛物线的对称轴为直线， 把点代入抛物线得： 把点，代入抛物线得： 由解得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，等腰直角三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是本题的关键． 二、填空题 2．(24-25九上·广东广州广州中学·期中)如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，P点为该图象在第一象限内的一点，过点P作直线的平行线，交x轴于点M．若点P从点C出发，沿着抛物线运动到点B，则点M经过的路程为 ． 【答案】 【分析】本题考查抛物线与轴的交点、求一次函数自变量值，二次函数，待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．根据题意，可以先求出点的坐标，从而可以得到直线的解析式，再根据，点在抛物线上，可以写出点的坐标和对应的直线的解析式，再根据题意，可以得到点横坐标的最大值，从而可以得到点经过的路程． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴当时，当时，， ∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 设直线的函数解析式为，则 解得， ∴直线的函数解析式为， 设点的坐标为， ∵，点在抛物线上且在第一象限， ∴可设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 当直线与二次函数只有一个交点时， ∴方程有两个相等的实数根， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， 此时直线的解析式为，当时，， ∴点横坐标最大值是， ∴点经过的路程为：， 故答案为：． 3．(24-25九上·广东珠海第十六中学·期中)如图，在正方形中，点、的坐标分别是、，点在抛物线的图象上，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，二次函数图像上点的坐标特点，利用一线三等角，构造全等三角形，证明对应边相等，利用，坐标，即可得出点坐标，代入，即可得出的值 【详解】作轴于，于， 四边形是正方形， ，， ， ， 又， ， ，， 设， 点、的坐标分别是、， ，解得， ， 在抛物线的图像上， ， ， 故答案为：． 三、解答题 4．(23-24九上·广东广州第七十五中学·期中)如图，二次函数的图象经过坐标原点，与x轴交于点．    (1)求此二次函数的解析式及点顶点B的坐标； (2)在抛物线上否存在点P，使？若存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)点P的坐标为或或 【分析】本题考查了二次函数解析式的求法以及利用点的坐标求三角形的面积，同时注意数形结合思想的灵活运用． （1）由于二次函数经过原点和A点，将二点坐标代入，求解即可； （2）由，求得y的值，再将y的值代入解析式求解x，得出P点坐标． 【详解】（1）解：将A、O两点坐标代入解析式，有 ，解得：； ∴此二次函数的解析式为， 变化形式得: ，故顶点坐标； （2）解：假设存在满足条件的点P， 则根据题意得：， 解得：或， 当时，，即， 解得，，即； 当时，， 则； ∴点P的坐标为或或． 5．(23-24九上·广东广州越秀区第二中学·期中)如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．    (1)求、、三点的坐标； (2)点为轴右侧抛物线上的一点，是否存在点，使？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)或或． 【分析】（1）分别令，解方程，即可求解； （2）设，根据建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：当时，，则， 当，即 解得： ∴，， （2）存在点D，使． ∵，， ∴， 设（x＞0）， 即 当时，解得：，，此时或； 当时，解得：（舍去），，此时． 综上所述，或或． 【点睛】本题考查了二次函数图象与坐标轴交点问题，面积问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 6．(24-25九上·广东广州天河区天河外国语学校·期中)如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式及点A，B的坐标． (2)点P为第一象限内抛物线上一点，且的面积等于6，求点P的坐标． 【答案】(1)，， (2)点P的坐标为 【分析】本题考查求二次函数解析式，二次函数图象与x轴的交点坐标，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与面积等，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，熟练运用数形结合的解题方法． （1）由对称轴为直线可得，求出的值，再将C代入求出的值，即可求出抛物线的解析式，令即可求出点A，B的坐标； （2）设，根据即可求解． 【详解】（1）抛物线与y轴交于点C， ， 对称轴为直线， ， ， 抛物线的解析式为， 令，得， 解得，， ，， 即抛物线的解析式为，，； （2） ，， ， 点P为第一象限内抛物线上一点， 设，其中， 的面积等于6， ， 解得，（舍去）， 当时，， 点P的坐标为． 7．(24-25九上·广东广州荔湾区真光中学·期中)在平面直角坐标系中，已知抛物线和线段，其中点，点，点是抛物线与轴的交点，点是抛物线的顶点． (1)求直线的解析式； (2)点在抛物线上，且与点关于对称轴对称，连接，，，射线交轴于点，连接，，四边形是否能构成平行四边形？如果能，请求的值；如果不能，说明理由； (3)若抛物线与线段只有一个交点，结合函数图象，求的取值范围． 【答案】(1)直线的解析式为； (2)四边形能构成平行四边形，； (3)的取值范围为或 【分析】本题考查待定系数法，平行四边形性质及应用，二次函数与一元二次方程的关系等，解题的关键是数形结合思想的应用． （1）设的解析式为，用待定系数法可得直线的解析式为； （2）由，，，知向右平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度得到，故当向右平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度得到时，四边形是平行四边形，即得； （3）联立，得，当时，即时，直线与抛物线只有一个交点，交点在线段上，当时，即，直线与抛物线有两个交点，若抛物线过时，，得，当抛物线过时，，得，由图可得抛物线L与线段只有一个交点，m的取值范围为或． 【详解】（1）解：设的解析式为， 把点，点代入得，， 解得， 直线的解析式为； （2）解：四边形能构成平行四边形，理由： ∵， 抛物线顶点，对称轴为直线， 当时，， 点， 、都在抛物线上，且关于对称轴对称， ， ，，， ，且， ， ，，， 向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到， 当向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到时，四边形是平行四边形， ∵在轴上， ， ； （3）解：联立， 整理得：， ， 当时，即时，直线与抛物线只有一个交点，交点在线段上，如图： 当时，即时，直线与抛物线有两个交点， 若抛物线过时，， 解得， 此时直线与抛物线有两个交点，坐标分别为，都在线段上；如图： 当抛物线过时，， 解得， 此时直线与抛物线有两个交点坐标分别为，，只有一个点在线段上；如图： 综上所述，抛物线与线段只有一个交点时，的取值范围为或．． 8．(24-25九上·广东湛江雷州第八中学·期中)如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的表达式． (2)点是抛物线上位于线段下方的一个动点，连接，，求面积最大时点的坐标： (3)在平面内是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)点的坐标为 (3)存在，或或 【分析】（1）利用抛物线的交点式直接代值求解即可得到答案； （2）过点作轴的垂线，交于，如图所示，由二次函数图象与性质，利用平面直角坐标系中三角形的面积求法得到 ，进而由二次函数最值的求法即可得到答案； （3）根据平行四边形的对角线互相平分，则逐个情况进行讨论，运用中点公式列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点， 设抛物线的交点式为， 即抛物线的表达式为； （2）解：过点作轴的垂线，交于，如图所示： 由（1）知抛物线的表达式为， 抛物线与轴交于点， 设直线， 将、代入得， 解得， 直线， 点是抛物线上位于线段下方的一个动点， 设，则， ， ， 抛物线开口向下，当时，有最大值， 此时点的坐标为； （3）解：存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，过程如下： ∵、，，且点，，，为顶点的四边形是平行四边形， ∴当为对角线时，则， ∴， 解得， ∴点的坐标为； ∴当为对角线时，则， ∴， 解得， ∴点的坐标为； ∴当为对角线时，则， ∴， 解得， ∴点的坐标为； 综上所述：点的坐标为或或． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法确定函数解析式、二次函数图象与性质、平面直角坐标系中求三角形面积、二次函数最值、平行四边形的性质，中点公式，熟练掌握二次函数图象与性质、二次函数综合问题的解法是解决问题的关键． 9．(24-25九上·广东广州恒润实验学校·期中)已知抛物线与轴相交于不同的两点、． (1)求的取值范围； (2)用含的式子表示线段的长度； (3)证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点，并求出点的坐标； (4)当时，由（3）求出的点和点、构成的的面积是否有最值？若有，请直接写出该最值及相对应的值． 【答案】(1)且 (2) (3)证明见解析， (4)当时，有最大值，且最大值为． 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，涉及了根的判别式以及根与系数的关系，熟知二次函数与一元二次方程之间的关系是解题的关键． （1）由题意得：一元二次方程方程有两个不相同的实数根，据此即可求解； （2）设A，B的坐标分别为，由（1）得：，根据计算求解即可； （3）根据，令，求出x的值，进而求出对应的y的值即可得到答案； （4）根据（2）所求可得，则，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于不同的两点， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，即， ∴， 解得：， 又∵， ∴且； （2）解：设A，B的坐标分别为， 由（1）得：， ∴， ∴ ； （3）证明：∵； 令，解得； 当时，；当时，； ∴抛物线一定经过定点和 ∵点在轴上， ∴抛物线必经过一非坐标轴的定点； （4）解：∵， ∴； ∴， ∴， ∵， ∴，，； ∴当时，有最大值，且最大值为． 10．(23-24九上·广东潮州高级实验学校·期中)如图，抛物线与直线相交于点和点B． (1)求m和b的值； (2)求点B的坐标和的度数； (3)点M是x轴上的一个动点，求当是等腰三角形时点M的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为； (3)或或或 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）联立二次函数与一次函数组成方程组，求解即可解决问题； （3）分为腰和底时讨论求解即可 【详解】（1）解：将点A的坐标代入抛物线表达式得：， 解得：， 将点A的坐标代入直线表达式得：， 解得； 故； （2）解：由（1）得抛物线表达式为，直线的解析式为， 联立方程组得：， 解得或， ∴点的坐标为； 过点B作轴于点E，则 ∴ ∴． （3）解：∵ ∴， 如图， 若是等腰三角形， 当为腰时， ∵ ， ∴， ∴； 又，且 ∴， ∴； 又的垂直平分线交轴于点, ∵ ∴ ∴, ∴， ∴ ∴； ∵ ∴轴， 当时，， ∴， ∴； 综上，点的坐标为或或或． 11．(24-25九上·广东广州天河区汇景实验学校·期中)已知抛物线的顶点为M，直线与x轴、y轴分别交于两点． (1)若抛物线与x轴只有一个公共点，求a的值； (2)当时，设的面积为S，求S关于a的函数关系式； (3)将抛物线绕点旋转得到抛物线，其顶点为点N． ①若点N恰好落在直线l上，求a与t满足的关系式； ②当时，旋转前后的两个二次函数y的值都会随x的增大而减小，求t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①② 【分析】（1）先得出抛物线的顶点为，根据抛物线与x轴只有一个公共点，建立方程求解即可； （2）过点M作轴，交于H，交x轴于G，分两种情况：①如图1，当即时，点A在直线的右方，②当即时，点A在直线的左方，分别求得答案即可； （3）①点绕点旋转得到点N，可得点P为中点，设，则有，，即，，代入，即可求得答案； ②由题意得当抛物线开口向上时，在的范围内满足y随x增大而减小，旋转后抛物线开口向下，且顶点，利用二次函数的性质列出不等式即可求得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点为， ∵抛物线与x轴只有一个公共点， ∴， ∴； （2）解：过点M作轴，交于H，交x轴于G， ∵点H在直线上， ∴且，即点H一定在点M上方， ∴， ∵直线与x轴，y轴分别交于点A，B， ∴，， ①如图1，当即时，点A在直线的右方， ∴， ②当即时，点A在直线的左方， ∴， 综上所述，； （3）解：①∵点绕点旋转得到点N， ∴点P为中点， 设，则有，， 整理得：，， ∵点N在直线上， ∴， 整理得：； ②∵旋转前抛物线对称轴为直线， ∴当抛物线开口向上时，在的范围内满足y随x增大而减小， ∴旋转后抛物线开口向下，且顶点， ∵要满足在的范围内y随x增大而减小，即抛物线下降， ∴对称轴直线需在左侧， ∴， 解得：． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，二次函数中的面积问题，中心对称，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 12．(24-25九上·广东中山小榄镇·期中)如图1，已知二次函数，与x轴相交于点，点为对称轴上的点，将线段绕点P逆时针旋转，得到线段，且点B在抛物线上．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数图象，当直线与新图象有3个交点时，求m的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）令对称轴与x轴交于点D，过点B作对称轴的垂线，构造，根据对应线段相等求出点B的坐标，再利用待定系数法求解析式； （2）翻折后新函数为分段函数，先求出新函数的解析式，当直线过与x轴左侧的交点时，或直线与新函数翻折后的部分相切时，有3个交点，根据二次函数与一元二次方程的关系即可求解． 【详解】（1）解：如图，令对称轴与x轴交于点D，过点B作对称轴的垂线，H为垂足，    ，， ，， 将线段绕点P逆时针旋转，得到线段， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 点为对称轴上的点， 对称轴为直线， ， ， ， 将，代入，得： ， 解得， 抛物线解析式为； （2）解：设抛物线与x轴的另一个交点为E， 令，则， 解得，， ， 将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数图象， 新函数的解析式为 当直线过点时，与新图象有3个交点， ， 解得； 当直线与相切时，直线与新图象有3个交点， 即此时一元二次方程有两个相等的实数根， 整理，得：， ， 解得； 综上可知，m的值为或．    【点睛】本题属于二次函数综合题，考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的折叠问题，二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系等，综合利用上述知识点，熟练运用数形结合及分类讨论思想是解题的关键． 13．(24-25九上·广东珠海斗门实验中学·期中)如图1，抛物线与坐标轴交于A、B、C三点，连接．直线分别与抛物线、、x轴交于D、E、F三点，连接、、、． (1)用m来表示的长； (2)①当为等腰三角形时，求m的值； ②设的面积为，的面积为，当时，求m的值． (3)如图2，直线l经过的中点且与抛物线交于M、N两点，直线分别与l、x轴交于G、Q两点，当平分的面积时，求l的解析式． 【答案】(1) (2)①；②m的值为2或6 (3)直线l的解析式为 【分析】（1）根据题意先求出点A、B、C的坐标，再利用待定系数法求得直线的解析式，用含m的代数式表示即可； （2）①先证明和是等腰直角三角形，根据为等腰三角形可得，建立方程求解即可得出答案； ②由，，可得，再根据题意建立方程求解即可得出答案． （3）设H是的中点，先得出，设直线l的解析式为，与抛物线解析式联立得，运用根与系数关系可得，再由题意可得的中点G的横坐标为2，建立方程求解即可得出答案． 【详解】（1）解：在抛物线中， 令，得， ， 令，得， 解得：， ， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵直线分别与抛物线、、x轴交于D、E、F三点， ∴，，， ∴； （2）解：①由（1）可知：，， ∴是等腰直角三角形， ， ， ， ， 为等腰三角形， ， ∵是等腰直角三角形， ， ， 解得：或， ， ∴； ②如图1，由（1）可知：，，， ∵，， ∴ ， ， ， 解得：， 的值为2或6； （3）解：设H是的中点，如图2， ， 设直线l的解析式为， 联立得， 整理得：， ∴， ∵直线平分的面积， 的中点G的横坐标为2， ∴，即， 解得：， ∴直线l的解析式为． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，一次函数的性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形面积，一元二次方程根与系数关系的应用等，熟练掌握相关知识是解题关键． 14．(24-25九上·广东广州外国语中学·期中)抛物线与x轴交于不重合的两点，，设此抛物线顶点为， (1)若，当时，求抛物线解析式； (2)若是等边三角形，求的值； (3)若的中点坐标为，且，抛物线交轴于点，延长交轴于点，点为坐标原点，令面积为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数与一次函数综合的综合题，熟练掌握二次函数图像上点的特征，和二次函数的性质，会利用待定系数法求函数解析式，运用数形结合的思想解题． （1）把代入得，结合，则可求出、，从而得到抛物线解析式； （2）根据等边三角形的性质，可得，根据是方程的两根，进而求得的值 （3）设抛物线顶点P为,根据抛物线对称轴以及的中点坐标可得，设直线为：，根据P、D两点的坐标求出直线的解析式，从而得到点E的坐标，运用三角形面积公式代入数据结合二次函数的性质解题即可． 【详解】（1）解：把代入得：， 解方程组， 解得， ∵抛物线解析式为； （2）解：如图所示，过点作轴于点， ∵是等边三角形， ∴，， ∴ ∵点是图象的顶点， ∴ ∵抛物线与x轴交于不重合的两点，， ∴是方程的两根， ∴， ∵ ∴ 即 解得：（舍去）或 （3）设抛物线顶点P为， ∵点关于抛物线的对称轴对称， 且的中点坐标为， ∴， ∴， 设直线为：， 经过点P，点 ， ，解得：， ∴直线为：， ∴直线与x轴的交点为， ∴， ∴， ∵， ∴， 当时，最小，最小值为：， 当时，最大，最大值为：5， ∴． ∴ 15．(24-25九上·广东广州第五中学·期中)在平面直角坐标系中，已知抛物线和线段，其中点，点，点C是抛物线L与y轴的交点，点D是抛物线L的顶点. (1)求直线的解析式； (2)点Q在抛物线L上，且与点C关于对称轴对称，连接，，，求证：为等腰直角三角形； (3)在（2）的条件下，射线交x轴于点F，连接，，四边形是否能构成平行四边形？如果能，请求m的值；如果不能，说明理由； (4)若抛物线L与线段只有一个交点，结合函数图象，直接写出m的取值范围为 　 . 【答案】(1) (2)见解析 (3)四边形能构成平行四边形， (4)或 【分析】（1）设的解析式为，用待定系数法可得直线的解析式为； （2），求出抛物线顶点，对称轴为直线，，而C、Q都在抛物线上，且关于对称轴对称，知，即可得，且，为等腰直角三角形； （3）由，，，知向右平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度得到，故当向右平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度得到时，四边形是平行四边形，即得，； （4）联立，得：，当时，即时，直线与抛物线只有一个交点，交点在线段上，当时，即时，直线与抛物线有两个交点，若抛物线过时，，得，当抛物线过时，，得，由图可得抛物线L与线段只有一个交点，m的取值范围为或． 【详解】（1）解：设的解析式为，把点，点代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为； （2）证明：， ∴抛物线顶点，对称轴为直线， 当时，， ∴点， ∵C、Q都在抛物线上，且关于对称轴对称， ∴， ∴，，， ∴，且， ∴， ∴为等腰直角三角形； （3）解：四边形能构成平行四边形． ∵，，， ∴向右平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度得到， ∴当向右平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度得到时，四边形是平行四边形， ∵F在x轴上， ∴， ∴； （4）解：联立， 整理得：， ∴， 当时，即时，直线与抛物线只有一个交点，交点在线段上，如图： 当时，即时，直线与抛物线有两个交点， 若抛物线过时，， 解得， 此时直线与抛物线有两个交点，坐标分别为，都在线段上；如图： 当抛物线过时，， 解得， 此时直线与抛物线有两个交点坐标分别为，，只有一个点B在线段上；如图： 综上所述，抛物线L与线段只有一个交点时，m的取值范围为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查二次函数，一次函数的综合应用，涉及待定系数法，等腰直角三角形判定，平行四边形性质及应用，二次函数与一元二次方程的关系等，解题的关键是数形结合思想的应用． 16．(24-25九上·广东珠海紫荆中学·期中)如图1所示，抛物线的对称轴为直线，与轴交于点、点，与轴交于点，直线与该抛物线交于，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)平移线段，若点的对应点落在抛物线上，点的对应点落在直线上，求出此时点的坐标； (3)如图2，将上方的抛物线沿着直线翻折，点是上方的抛物线上的一动点，的对应点为点，连接交于点． ①当四边形是菱形时，请直接写出点的坐标； ②在点的运动过程中，求线段的最大值． 【答案】(1)； (2)点的坐标为； (3)①点的坐标为；②的最大值为． 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）连接，则四边形为平行四边形，求得直线的解析式，联立，计算即可求解； （3）①当四边形是菱形时，是线段的垂直平分线，求得直线的解析式，联立计算即可求解； ②作轴交于点，由①知是等腰直角三角形，由对称的性质得，设，则，求得关于的关系式，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，连接，则四边形为平行四边形， ∴， ∵直线的解析式为， ∴直线的解析式为， 联立得， 整理得， 解得或， 当时，， ∴点的坐标为； （3）解：①∵点关于的对应点为点， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴是线段的垂直平分线， 如图标注点，作轴于点， 对于直线， 当时，；当时，； ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴也是等腰直角三角形， 联立，解得或， ∴，， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴，， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 联立得， 整理得， 解得（舍去负值），， ∴点的坐标为； ②作轴交于点，由①知是等腰直角三角形，，由对称的性质得，当有最大值时，就有最大值， 设，则， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质、菱形的性质、解一元二次方程、轴对称的性质等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $