精品解析：2021年山东省青岛市局属学校 数学一模试题

2020-2021学年度青岛实验初中第二学期阶段性质量检测 九年级数学试题 （考试时间：120分钟；满分：120分） 说明： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共24题．第Ⅰ卷为选择题，共8小题，24分；第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共16小题，96分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第Ⅰ卷（共24分） 一、选择题：（本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 2021的倒数是（　　） A. -2021 B. 2021 C. D. 2. 下列图案中，既不是轴对称图形，又不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 新冠病毒的直径大多数约在60纳米到140纳米之间，1纳米 米，那么140纳米用科学记数法可表示为（ ）米 A. B. C. D. 4. 如图所示，在长方体的右上角，沿着斜面切掉右上角的一块后，剩余的几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，先绕点C逆时针旋转，后再沿y轴负方向移动1个单位，得到，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，线段为的直径，．若，与的延长线交于F，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在菱形中，分别是菱形边上的点，将沿着折叠，点恰好落在边中点上，已知，则的长度为（ ） A. B. C. D. 8. 已知一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（共96分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 计算：______. 10. 学校食堂为了让同学们品尝不同品类的午餐，提供了每份8元、10元、12元的三种盒饭，经食堂统计，有的同学选择了8元/份的盒饭，有的同学选择了10元的盒饭，有的同学选择了12元的盒饭，请你计算该学校学生午餐平均每人花费________元． 11. 已知青岛到济南高速公路路程大约380公里，小明一家开车从青岛出发，按一定的速度行驶了240公里后，到服务区休息了30分钟，然后，把速度提高了，结果，全程用了5个小时到达济南，设在服务区休息后的速度是x公里/时，那么列分式方程为 ____________． 12. 已知正方形中，，，与交于G，点H，M分别是，的中点，连接，则的周长是_______，的面积是___________． 13. 已知如图，将圆的一部分沿着弦折叠，使圆上一点折叠后，恰好落在圆心上，切于点，直线交切线于D，交于另一点，已知圆的半径是2，那么如图所示阴影部分的面积是__________________． 14. 四边形是菱形，，且，M为对角线（不含B点）上任意一点，的最小值是____________． 三、作图题：（本大题满分4分） 15. 已知：线段a和， 求作：矩形，使得矩形对角线为线段a，两条对角线的夹角是；用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 四、解答题（本大题共9小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）化简： （2）已知二次函数与坐标轴有3个交点，求m的取值范围． 17. 九年级1班近期为参加学校举办的海洋知识竞赛，决定要从A、B、C、D四名同学中随机选出2名同学参赛． （1）请问选中B同学的概率是多少？ （2）请利用树状图或表格求出同时选中A、C两名同学的概率． 18. 某校为了了解学生在“安全教育”知识考试中的得分情况，从中抽取了七年级和八年级各名学生的成绩，其中部分学生成绩如下： 七年级： ，，，，，，，，，， 八年级： ，，，，，， 把所有成绩分成四个分数等级（分数用表示）：等级是；等级是；等级是；等级是 根据提供的信息回答问题： （1） ，七年级抽取的名同学成绩的众数是 ；抽取的八年级名学生成绩的中位数是 ． （2）抽取的七、八年级合起来名学生成绩的中位数是 ． （3）若名七年级学生和名八年级学生都参加了考试，达到级及以上视为优秀，请你求出这两个年级合起来计算优秀率是多少？ 19. 某数学兴趣小组为了测量旗杆的高度，首先在地平线处，用高为1米的测角仪器（测角仪器与地平面垂直），测得从处看旗杆顶端A的仰角是，然后，向右离点2米处有一个坡度是的斜坡，沿着斜坡走2.5米到达处，然后，又用1米高的测角仪器（与地平面垂直），测得从看旗杆顶端的仰角是．请问：旗杆多高？（结果保留整数，参考数据：） 20. 已知如图，反比例函数图象上有两点A、B，坐标如图所示，直线经过A、B两点． （1）求出直线的函数关系式； （2）有一个二次函数顶点在A，经过B点，求这个二次函数的函数关系式． 21. 已知：四边形中，，，，，分别是，的中点，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）在上，截取，连接，，，，那么四边形是什么特殊四边形？说明理由． 22. 目前中学生视力下降严重，某公司开发了一款护眼贴，自上市以来，非常畅销．公司研究发现，每副护眼贴的成本（元）和销售的数量（副）是一次函数、二次函数和反比例函数中的一种函数关系，如下表格所示．当销售的护眼贴达到或超过副时，每副护眼贴的成本不再变化．预测下一个月销售量将达到或超过副，并且发现每副按元出售时，能销售副，单价每提高元，销售量就会下降副． 销售件数（副） 每件成本（元） （1）请你求出与的函数关系式； （2）设下个月销售获得总利润是元，设下个月销售单价是每副元，请你写出与间的函数关系式；求出下个月的最大值． 23. 小强是一个动手能力很强的学生，一天，他把几个小立方体按照图示方式摆放，如果按照这种方式堆积下去，那么堆积100层，一共有多少个小立方体呢？ 为了解决上面的问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，再逐次递进转化，最后猜想得出结论． 探究一： 在图1中，只有1层，只有1个小立方体； 在图2中，有2层，有 个小立方体 在图3中，有3层，有个小立方体； 按照这种方式下去，第4个图中，有 个小立方体. 探究二： 若一共有n层，那么第n个图中共有 个小立方体； 探究三： 我们可以解决小强开始提出的问题了，若一共有100层，那么共有 个小立方体； 探究四： 小强动手按图示方式在原来搭好的基础上又多搭了2层，发现多搭的这两层用了81个小立方体，那么原来他搭了几层？ 探究五： 小明动手按图示方式又搭了一次，搭完后，他计算了一下搭好的这个几何体的表面积是126（每个小立方体的棱长是1），请问他这次搭了几层？ 24. 如图①，在矩形中，，点P沿着从B向C运动，同时点Q沿着从D向B运动，两点的速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．在点Q运动的同时，过点Q作的平行线，交于点E，交于点F．设运动时间是t秒． （1）当t为何值时，？ （2）设四边形的面积是S，请你写出S关于t的函数表达式． （3）存不存在某一时刻，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． （4）如图②，M是的中点，N是的中点，是否存在某一时刻t，使得M，N，P三点共线？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2020-2021学年度青岛实验初中第二学期阶段性质量检测 九年级数学试题 （考试时间：120分钟；满分：120分） 说明： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共24题．第Ⅰ卷为选择题，共8小题，24分；第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共16小题，96分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第Ⅰ卷（共24分） 一、选择题：（本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 2021的倒数是（　　） A. -2021 B. 2021 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用倒数的定义即可求得答案． 【详解】解：2021的倒数是． 故选：C． 【点睛】本题主要考查倒数的定义，熟练掌握导数定义并区分相反数，准确理解倒数定义是关键． 2. 下列图案中，既不是轴对称图形，又不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关键． 【详解】解：、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意； 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 3. 新冠病毒的直径大多数约在60纳米到140纳米之间，1纳米 米，那么140纳米用科学记数法可表示为（ ）米 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：140纳米用科学记数法表示为米，故C正确． 故选：C． 4. 如图所示，在长方体的右上角，沿着斜面切掉右上角的一块后，剩余的几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了几何体左视图的判断，掌握左视图的定义是解题关键． 根据左视图的定义，左视图就是物体由左向右投影得到的视图，即可得出结论． 【详解】解：根据左视图的定义，该几何体的左视图是： 故选：A ． 5. 如图，先绕点C逆时针旋转，后再沿y轴负方向移动1个单位，得到，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转及坐标与图形变化-平移，根据题中所给变换方式，画出图形，结合所画图形即可解决问题． 【详解】解：如图所示， ∴点的坐标为． 故选：B． 6. 如图，线段为的直径，．若，与的延长线交于F，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，根据等弧对等角求出，再利用圆内接四边形对角互补求出，最后利用三角形内角和定理即可得到答案． 本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握这些知识点是解题关键． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵四边形是圆的内接四边形， ∴， 又∵， ∴， 同理， ∴， 故选：A． 7. 如图，在菱形中，分别是菱形边上的点，将沿着折叠，点恰好落在边中点上，已知，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、翻折变换（折叠问题）、勾股定理．过点作，交延长线于点，设，根据几何关系表示出，根据勾股定理列出方程即可求解． 【详解】解：过点作，交延长线于点， ∵菱形中，， ∴， 设，则， ∵为的中点，， ， ， 又为沿折叠所得， ， ∴在中有， 解得，则， 故选：B． 8. 已知一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数、反比例函数、二次函数的图象．根据图象可得，由此可判断二次函数对称轴的位置，再由一次函数和反比例函数图象没有交点可得方程无实数根，由此可得二次函数与x轴无交点，据此即可得到答案． 【详解】解：由一次函数图象可知， 由反比例函数图象可知， ∴二次函数对称轴，排除B、D， 由图象可知一次函数和反比例函数图象无交点， ∴方程，即无实数根， 故二次函数与x轴没有交点， 故选：A． 第Ⅱ卷（共96分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 计算：______. 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了负整数指数幂，二次根式的除法，先根据负整数指数幂，二次根式的除法进行化简，然后合并即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 10. 学校食堂为了让同学们品尝不同品类的午餐，提供了每份8元、10元、12元的三种盒饭，经食堂统计，有的同学选择了8元/份的盒饭，有的同学选择了10元的盒饭，有的同学选择了12元的盒饭，请你计算该学校学生午餐平均每人花费________元． 【答案】9.6 【解析】 【分析】题目主要考查加权平均数，分别用单价乘以相应的百分比，然后相加，计算即可得解． 【详解】解：， 故答案为：． 11. 已知青岛到济南高速公路路程大约380公里，小明一家开车从青岛出发，按一定的速度行驶了240公里后，到服务区休息了30分钟，然后，把速度提高了，结果，全程用了5个小时到达济南，设在服务区休息后的速度是x公里/时，那么列分式方程为 ____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查根据实际问题列分式方程，根据全程用了5个小时到达济南，列出方程即可． 【详解】解：在服务区休息后的速度是x公里/时，则在休息前的速度为公里/时，根据题意得： , 故答案为：． 12. 已知正方形中，，，与交于G，点H，M分别是，的中点，连接，则的周长是_______，的面积是___________． 【答案】 ①. ②. 2 【解析】 【分析】根据勾股定理分别求出，，根据证明，得，根据三角形定理可得出，在和中运用斜边上的中线等于斜边的一半可求出，，由三角形中位线定理得出，从而可求出的周长；根据面积关系得出,再根据平行线分线段成比例定理得出,再根据三角形面积公式可得结论． 【详解】解：如图，设和交于点， 在正方形中，，， 在中，， 同理可得 ， ∴， ∵，， ∴， 在中，，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， 同理可得, 又点为的中点，点为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴的周长； 在中，， ∴， ∴， ∵为的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的面积． 故答案为：；2． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理以及平行线分线段成比例定理等知识，熟练运用相关知识是解答本题的关键． 13. 已知如图，将圆的一部分沿着弦折叠，使圆上一点折叠后，恰好落在圆心上，切于点，直线交切线于D，交于另一点，已知圆的半径是2，那么如图所示阴影部分的面积是__________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积、勾股定理，特殊角的三角函数等，设与的交点是F．求出，，则可求，求出图中①②③三部分面积，可求，从而得到答案． 【详解】解：设与的交点是F， 由题可知，，，， 在中，， ∴，， ∴， ∵是圆的切线， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． ， 易知①②③三部分面积相等，为， ∴， ∴阴影部分总面积为． 故答案为：． 14. 四边形是菱形，，且，M为对角线（不含B点）上任意一点，的最小值是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质，两点之间线段最短、等边三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会作辅助线，利用等边三角形的性质进行转化的思想． 根据题意，将绕点B逆时针旋转，结合等边三角形的性质得到，再求的长即可． 【详解】解：将绕点B逆时针旋转，得到，图形如下： 则，，， 所以为等边三角形，即， 则，当C、M、、共线时取等号， 因为，且，所以， 在中，，， 所以，， 则，，， 所以的最小值是． 故答案为：． 三、作图题：（本大题满分4分） 15. 已知：线段a和， 求作：矩形，使得矩形对角线为线段a，两条对角线的夹角是；用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 【答案】 四边形即为所求： 【解析】 【分析】本题考查尺规作图—垂直平分线的作法，相等角的作法，作矩形．任意作射线，再作，然后作线段的垂直平分线，以点为圆心，线段的一半的长为半径画弧，交射线于点，交射线于点，交的反向延长线于点，交的反向延长线于点，连接，则四边形即为所求． 【详解】解：如图，任意作射线，再作，然后作线段的垂直平分线，以点为圆心，线段的一半的长为半径画弧，交射线于点，交射线于点，交的反向延长线于点，交的反向延长线于点，连接， 四、解答题（本大题共9小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）化简： （2）已知二次函数与坐标轴有3个交点，求m的取值范围． 【答案】（1）；（2），且 【解析】 【分析】本题考查分式的化简及含参数的二次函数与坐标轴交点取值问题． （1）先对括号内的分式进行加法运算，再将除法转化为乘法，通过因式分解和约分化简即可； （2）先确定函数与坐标轴交点的情况，再根据交点个数要求列出条件求解m的取值范围即可． 【详解】解：（1）原式 ． （2）∵二次函数的图象与坐标轴有三个交点， ∴抛物线与x轴有两个交点，与y轴有一个交点， ∴，， 即，解得，且． 故答案为：，且． 17. 九年级1班近期为参加学校举办的海洋知识竞赛，决定要从A、B、C、D四名同学中随机选出2名同学参赛． （1）请问选中B同学的概率是多少？ （2）请利用树状图或表格求出同时选中A、C两名同学的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查树状图法求概率．掌握树状图的画法，概率公式，是解题的关键． （1）画出树状图，利用概率公式进行计算即可； （2）画出树状图，再用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：画树状图得， ∴共有12种等可能的结果，选中B同学的有6种情况， ∴选中B同学的概率为：． 【小问2详解】 画树状图得， ∴共有12种等可能的结果，恰好选中A、C两位同学的只有2种情况， ∴恰好选中A、C两位同学的概率为：． 18. 某校为了了解学生在“安全教育”知识考试中的得分情况，从中抽取了七年级和八年级各名学生的成绩，其中部分学生成绩如下： 七年级： ，，，，，，，，，， 八年级： ，，，，，， 把所有成绩分成四个分数等级（分数用表示）：等级是；等级是；等级是；等级是 根据提供的信息回答问题： （1） ，七年级抽取的名同学成绩的众数是 ；抽取的八年级名学生成绩的中位数是 ． （2）抽取的七、八年级合起来名学生成绩的中位数是 ． （3）若名七年级学生和名八年级学生都参加了考试，达到级及以上视为优秀，请你求出这两个年级合起来计算优秀率是多少？ 【答案】（1）；；； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了众数、中位数，样本估计总体，扇形统计图，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由计算出，通过七年级学生成绩可得名同学成绩的众数，通过计算各等级人数从而可得八年级名学生成绩的中位数； （）根据中位数定义即可求解； （）通过样本估计总体即可求解． 【小问1详解】 解：， ∴， 由七年级抽取的名同学成绩为  ，，，，，，，，，， ∴众数是， 由名学生中等级有：，等级有：，等级有：，等级有：， ∴列表如下， 七年级 八年级 故有抽取的八年级名学生成绩的中位数应为第，名学生的平均成绩， ∴中位数是， 故答案为：；；； 【小问2详解】 解：由（）得，抽取的七、八年级合起来名学生成绩的中位数应为第，名学生的平均成绩， 根据上表可得第，名学生的成绩为，， ∴中位数是， 故答案为：； 【小问3详解】 解：由（）得，名七年级学生达到级及以上人数为（人）， 名八年级学生达到级及以上人数为（人）， ∴两个年级合起来优秀率是， 答：两个年级合起来优秀率是． 19. 某数学兴趣小组为了测量旗杆的高度，首先在地平线处，用高为1米的测角仪器（测角仪器与地平面垂直），测得从处看旗杆顶端A的仰角是，然后，向右离点2米处有一个坡度是的斜坡，沿着斜坡走2.5米到达处，然后，又用1米高的测角仪器（与地平面垂直），测得从看旗杆顶端的仰角是．请问：旗杆多高？（结果保留整数，参考数据：） 【答案】15米 【解析】 【分析】作、、，垂足分别为M、N、H．根据斜坡坡比和长度，求出，设，表示出，根据求出m，从而可求旗杆高度．本题考查了利用三角函数测量高度，作出辅助线找到边的等量关系是解题关键． 【详解】解：作、、，垂足分别为M、N、H， ∵， ∴三点共线， ∵， ∴四边形是矩形， 同理四边形也是矩形， ， ∵斜坡坡比为， ， 设，则， ∴，， ∴，， 设， 则， ，， ∵， ， 解得， ∴， ∴旗杆高度为15米． 20. 已知如图，反比例函数图象上有两点A、B，坐标如图所示，直线经过A、B两点． （1）求出直线的函数关系式； （2）有一个二次函数顶点在A，经过B点，求这个二次函数的函数关系式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了二次函数、一次函数、反比例函数的综合题，熟练掌握待定系数法是关键． （1）根据反比例函数图象经过A、B两点得到，求出，得到B点的坐标为，再利用待定系数法求出直线的函数关系式； （2）设二次函数的函数关系式为，把B点的坐标代入得到求出，即可得到二次函数的函数关系式． 【小问1详解】 解：由题意可知，A、B两点的坐标分别为，， ∵反比例函数图象经过A、B两点， ∴， 解得， ∴B点的坐标为， 设直线的函数关系式为，把A、B两点的坐标，代入得到 ， 解得， ∴直线的函数关系式为； 【小问2详解】 ∵二次函数顶点在A， ∴可设这个二次函数的函数关系式为， 把B点的坐标代入得到， ， 解得， 解得， ∴二次函数的函数关系式为． 21. 已知：四边形中，，，，，分别是，的中点，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）在上，截取，连接，，，，那么四边形是什么特殊四边形？说明理由． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，即， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，为的中点， ∴， ∴四边形为菱形； （2） 解：四边形是菱形，理由如下， 如图，连接交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，直角三角形斜边中线等于斜边一半，熟知菱形的性质与判定定理，平行四边形的性质与判定定理是解题的关键． （）先证明四边形是平行四边形，又 ，分别是，的中点，故有，，证明四边形是平行四边形 ，然后通过直角三角形性质得，从而求证； （）连接交于点，由菱形性质可得，，，，然后证明四边形是平行四边形，最后通过菱形的判定方法即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 目前中学生视力下降严重，某公司开发了一款护眼贴，自上市以来，非常畅销．公司研究发现，每副护眼贴的成本（元）和销售的数量（副）是一次函数、二次函数和反比例函数中的一种函数关系，如下表格所示．当销售的护眼贴达到或超过副时，每副护眼贴的成本不再变化．预测下一个月销售量将达到或超过副，并且发现每副按元出售时，能销售副，单价每提高元，销售量就会下降副． 销售件数（副） 每件成本（元） （1）请你求出与的函数关系式； （2）设下个月销售获得总利润是元，设下个月销售单价是每副元，请你写出与间的函数关系式；求出下个月的最大值． 【答案】（1）与的函数关系式为； （2），当时，有最大值元． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数和二次函数的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意列出与的函数关系式即可； （）由题意可知下个月销售为（副），然后得出，最后由二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：根据表格可知，与是反比例函数关系， 设与的函数关系式为， ∴， ∴， ∴与的函数关系式为， ∵当销售的护眼贴达到或超过副时，每副护眼贴的成本不再变化， ∴， ∴与的函数关系式为； 【小问2详解】 解：由题意可知，下个月销售为（副）， ∴， ∵， ∴当时，有最大值元． 23. 小强是一个动手能力很强的学生，一天，他把几个小立方体按照图示方式摆放，如果按照这种方式堆积下去，那么堆积100层，一共有多少个小立方体呢？ 为了解决上面的问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，再逐次递进转化，最后猜想得出结论． 探究一： 在图1中，只有1层，只有1个小立方体； 在图2中，有2层，有 个小立方体 在图3中，有3层，有个小立方体； 按照这种方式下去，第4个图中，有 个小立方体. 探究二： 若一共有n层，那么第n个图中共有 个小立方体； 探究三： 我们可以解决小强开始提出的问题了，若一共有100层，那么共有 个小立方体； 探究四： 小强动手按图示方式在原来搭好的基础上又多搭了2层，发现多搭的这两层用了81个小立方体，那么原来他搭了几层？ 探究五： 小明动手按图示方式又搭了一次，搭完后，他计算了一下搭好的这个几何体的表面积是126（每个小立方体的棱长是1），请问他这次搭了几层？ 【答案】探究一：20；探究二：；探究三：171700；探究四：7层；探究五：6层 【解析】 【分析】本题考查了图形的变化类问题、解一元二次方程，解题的关键是从简单情形入手，找到规律，难度不大． 探究一中根据前面图形的规律，计算第4个图中小立方体个数即可； 探究二通过前面图形小立方体个数的计算，总结出若一共有n层，第n个图中共有个； 探究三中再将代入式子计算即可； 探究四根据题意设原来他搭了x层，再列出方程后得出结果； 探究五根据题意设他这次搭了y层，列出方程即可得出结果． 【详解】解：探究一：根据题意可知，第1个图有1个小立方体； 第2个图有个小立方体； 第3个图有个小立方体； ∴第4个图有个小立方体． 故答案为：20． 探究二：通过探究一中的算式可发现： 第1个图：，第2个图：，第3个图：，第4个图：，…… 以此类推，则第n个图中共有个小立方体． 故答案为：． 探究三：由探究二可知，当时，． 故答案为：171700． 探究四：设原来他搭了x层，则： ， 解得（负值舍去）， 即原来他搭了7层． 探究五：设他这次搭了y层， 根据题意得：， 解得（负值舍去）， 即他这次搭了6层． 24. 如图①，在矩形中，，点P沿着从B向C运动，同时点Q沿着从D向B运动，两点的速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．在点Q运动的同时，过点Q作的平行线，交于点E，交于点F．设运动时间是t秒． （1）当t为何值时，？ （2）设四边形的面积是S，请你写出S关于t的函数表达式． （3）存不存在某一时刻，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． （4）如图②，M是的中点，N是的中点，是否存在某一时刻t，使得M，N，P三点共线？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， （4）存在， 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、列函数解析式等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）由矩形的性质以及勾股定理可得，，再说明，再根据正弦的定义和已知条件列方程求解即可； （2）由余弦的定义可得，再根据列出函数解析式即可； （3）如图，过点Q作于点T，延长交于点S．再证明，再根据相似三角形的性质即可解答； （4）当N是的中点时，．证明可得，即．再证明可得，，解得，进而完成解答． 【小问1详解】 解：点P沿着从B向C运动，同时点Q沿着从D向B运动，两点的速度都是每秒1个单位长度， ， ∵四边形是矩形， ∴，． ∵，， ∴，． ∵， ∴． ∴， ， ∴． ∵，， ∴，解得． 【小问2详解】 解：，，， ∴， 由（1）可知，， ∴， ，， 四边形是平行四边形， ， ∴ ． 【小问3详解】 解：由（1）（2）可知， ，，，如图，过点Q作于点T，延长交于点S， ∴， ∴，四边形、、是矩形， ，， ∵， ∴， ∵， ∴， ，，解得（舍去）． ， ∴当时，． 【小问4详解】 解： 由（1）（2）可知， ，，， 当N是的中点时，． 由题意可得：， ∴， ∴， ， ， ． 由题意可得：， ∴， ∴，，解得（舍去）． ∴当时，M，N，P三点共线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $