精品解析：山东省潍坊市寿光第一中学2025-2026学年高三上学期直升班拉练9月月考数学试题

高三9月份数学学科拉练月考试题 考试时间：120分钟 2025.09 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的虚部为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数代数形式的运算法则以及虚部的定义即可求出. 【详解】因为，所以其虚部为1， 故选：C. 2. 设集合，则的真子集的个数是（ ） A. 8 B. 7 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】写出集合，计算真子集个数. 【详解】，因为集合中有个元素，所以真子集个数为. 故选：D. 3. 已知幂函数的图象经过点，则函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由待定系数法求得解析式，再结合定义域即可求解. 【详解】设幂函数解析式为， 由题意：，则， 即，定义域为， 且当时，函数单调递减， 结合选项只有B符合， 故选：B 4. 已知事件满足，，则（ ） A. 若，则 B. 若与互斥，则 C. 若与相互独立，则 D. 若，则与不相互独立 【答案】B 【解析】 【分析】根据事件的包含关系，互斥事件的概率加法，以及独立事件的概念及判定，以及概率乘法公式，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A，若，则，所以A错误； 对于B，若与互斥，则，所以B正确； 对于C，若与相互独立，可得与相互独立， 所以，所以C错误； 对于D，由，可得， 所以，所以，所以与相互独立，所以D错误. 故选：B. 5. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆柱的底面半径为，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径的方程，求出解后可求圆锥的体积. 【详解】设圆柱的底面半径为，则圆锥的母线长为， 而它们的侧面积相等，所以即， 故，故圆锥的体积为. 故选：B. 6. 已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为的范围中求解. 【详解】由题知对一切成立， 于是. 故选：A 7. 若命题：“，”.使命题为假命题的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由命题为真求出的范围，再结合选项求出命题为假命题的必要不充分条件. 【详解】，，而，当且仅当时取等号，则， 因此命题，命题为假命题时，， 由给定的选项知，集合真包含于集合， 所以使命题为假命题的一个必要不充分条件是. 故选：A 8. 已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可. 【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得， 即a的范围是. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的6分，部分选对的2/3分，有选错的得0分. 9. 下列选项正确的是（ ） A. 若随机变量，且，则 B. 一组数据88，90，90，91，92，93，95，96，98，99的第50百分位数为92 C. 若样本数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为8 D. 已知回归直线方程为，若样本中心为，则样本点处残差为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，；对于B，根据百分位数的计算步骤计算；对于C，利用方差计算公式可得；对于D，由样本中心确定回归方程，利用残差定义求解. 【详解】对于A，若随机变量，且，又， 所以，故A正确； 对于B，因为，所以第50百分位数（中位数）为：.故选项B错误； 对于C，若样本数据的方差，设数据的平均数为，则数据的平均数为， 方差，故C正确； 对于D，样本中心为代入回归方程，得，解得，则， 当时，，故样本点处的残差为， 故D正确； 故选：ACD. 10. 已知数列满足，则下列结论正确的是（ ） A. 为等比数列 B. C. 的前项和 D. 的前项和 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据递推公式，构造等比数列，进而求出数列通项公式，判断数列单调性，根据分组求和法，裂项求和法，求出数列前项和；逐一判断各选项正误，求出结果. 【详解】由得，化简得，即， 所以，因为，所以是以2为首项，以2为公比的等比数列，A正确； 由是以2为首项，以2为公比的等比数列，可得， 求得，， 可知恒正，且随着的增大而增大，所以随着的增大而减小，所以B错误； 由可得，所以C正确； 由， 得， 所以D正确； 故选：ACD. 11. 已知函数的定义域为，，则（ ）． A. B. C. 是偶函数 D. 为的极小值点 【答案】ABC 【解析】 【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇偶性的判断方法可判断选项ABC，举反例即可排除选项D. 方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数进行判断即可. 【详解】方法一： 因为， 对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误. 方法二： 因为， 对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，当时，对两边同时除以，得到， 故可以设，则， 当肘，，则， 令，得；令，得； 故在上单调递减，在上单调递增， 因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减， 显然，此时是的极大值点，故D错误. 故选：. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面向量若，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据向量坐标化运算得，再利用向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可. 【详解】，因为，则， 则，解得. 则，则. 故答案为：. 13. 若直线是曲线的一条切线，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】法一：利用导数的几何性质与导数的四则运算求得切点，进而代入曲线方程即可得解；法二：利用导数的几何性质与导数的四则运算得到关于切点与的方程组，解之即可得解. 【详解】法一：对于，其导数为， 因为直线是曲线的切线，直线的斜率为2， 令，即，解得， 将代入切线方程，可得， 所以切点坐标为， 因为切点在曲线上， 所以，即，解得. 故答案为：. 法二：对于，其导数为， 假设与的切点为， 则，解得. 故答案为：. 14. 设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出，结合双曲线第一定义求出，即可得到的值，从而求出离心率. 【详解】由题可知三点横坐标相等，设在第一象限，将代入 得，即，故，， 又，得，解得，代入得， 故，即，所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知分别为三个内角的对边，且． （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用正弦定理化简得，进而得到，根据角的范围即可求解； （2）由，求得，由得，由余弦定理得，即可求得的周长. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 因为，可得，所以， 若，则，不合题意，故，所以， 又因为，所以. 【小问2详解】 因为的面积为，可得，可得， 又因为，所以，由余弦定理， 可得，所以， 所以的周长为. 16. 已知数列的前项和，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）令求得；当时，由求解，再检验适合，即可得解； （2）采用分组求和的方式，分为偶数和为奇数两个部分，结合等比数列求和公式和并项求和思想分别求和. 【小问1详解】 因为数列的前项和，，所以； 当时，， 又适合上式，所以； 【小问2详解】 ， 所以数列的前项和， 当为偶数时，， 当为奇数时， . 综上，. 17. 一家调查机构在某地随机抽查1000名成年居民对新能源车与燃油车的购买倾向，得到如下表格： 倾向于购买燃油车 倾向于购买新能源车 合计 女性居民 150 250 400 男性居民 350 250 600 合计 500 500 1000 （1）能否在犯错误不超过1%的前提下认为对新能源车与燃油车的购买倾向存在性别差异？ （2）从倾向于购买燃油车的居民中按性别采用分层随机抽样的方法抽取10人，再从中抽取4人进行座谈，求在有女性居民参加座谈的条件下，恰有2名男性居民也参加座谈的概率． （3）从所有参加调查的男性居民中按购买这两种车的倾向性，采用分层随机抽样的方法抽出12人，再从中随机抽取3人进行座谈，记这3人中倾向于购买新能源车的居民人数为，求的分布列与数学期望． 参考公式：， 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】（1）能 （2） （3）的分布列如下： 0 1 2 3 【解析】 【分析】（1）由独立性检验知识可完成判断； （2）由题可得抽取的10人中男性7人，女性3人，然后由排列组合与条件概率知识可得答案； （3）由题可得12人中，倾向于购买新能源车的居民人数为5人，据此可得可取0，1，2，3，然后可得分布列及期望. 【小问1详解】 因为， 所以在犯错误不超过1%的前提下认为对新能源车与燃油车的购买倾向存在性别差异． 【小问2详解】 由表格可得倾向于购买燃油车的居民中男、女性别比为7：3， 所以抽取男性7人，女性3人，再从中抽取4人进行座谈，有女性居民记为事件，则，恰有2名男性居民记为事件，则， 所以在有女性居民参加座谈的条件下，恰有2名男性居民也参加座谈的概率为. 【小问3详解】 在所有参加调查的男性居民中按购买这两种车的倾向性，采用分层随机抽样的方法抽 12人，抽样比为50：1，可得抽取结果如下表： 倾向于购买燃油车 倾向于购买新能源车 男性居民 7 5 再从中随机抽取3人进行座谈，记这3人中倾向于购买新能源车的居民人数为， 可取0，1，2，3，可求出，， ，， 的分布列如下： 0 1 2 3 数学期望. 18. 已知． （1）讨论的单调性； （2）若任意的，求的取值范围． 【答案】（1）当时，在（0，2）上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在（0，2）上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． （2） 【解析】 【分析】（1）先确定函数的定义域，接着对函数进行求导，令，得到临界点和，最后根据与的大小关系，分四种情况讨论在不同区间的符号，从而确定的单调性. （2）根据，构造函数，由条件得出在上单调递增，所以在上恒成立，变形得到在上恒成立，最后求的最大值即可得到的取值范围． 【小问1详解】 的定义域为． 若，则． ①若，当时，；当时，， 所以在（0，2）上单调递减，在上单调递增； ②若，当或时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； ③若，当且仅当时取等号，此时在上单调递增； ④若，当或时，；当时，， 所以在（0，2）上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 综上所述，当时，在（0，2）上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在（0，2）上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 【小问2详解】 不妨设，则 ． 设，则， 所以在上单调递增，所以对恒成立， 所以对恒成立， 又，所以当时，取最大值， 所以，解得，即的取值范围为． 19. 如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，，且，，，E为中点. （1）证明：平面； （2）证明：平面； （3）在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为?若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 证明：取中点记为，连接EF，CF， 则，且； ，且； 所以平行且等于CD， 所以四边形为平行四边形，所以. 又因为平面，平面， 所以平面. （2） 记中点为，连接，， 则四边形为正方形， 且根据勾股定理得， 所以， 则，所以. 又因为，，平面，所以平面. 因为平面，所以. 又因为， 所以，且，平面， 所以平面. （3） 由（2）知，平面，且. 以为坐标原点，以，BA，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， ，，，，， 设，，则， 则，，， 设平面与平面的法向量分别为和 则 令，得. 令，得. 设平面与平面的夹角为，， 则，解得. 因此存在点为的中点，使得平面与平面夹角的余弦值为. 【解析】 【分析】（1）取中点记为，连接EF，CF，通过证明四边形为平行四边形，然后可证平面； （2）中点为，连接，，由勾股定理可得，结合可得 平面，即，又由即可证明平面； （3）以为坐标原点建立空间直接坐标系，设，然后利用待定系数法求出平面与平面的法向量，再利用向量的夹角公式求解方程即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三9月份数学学科拉练月考试题 考试时间：120分钟 2025.09 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的虚部为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 6 2. 设集合，则的真子集的个数是（ ） A. 8 B. 7 C. 4 D. 3 3. 已知幂函数的图象经过点，则函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 已知事件满足，，则（ ） A. 若，则 B. 若与互斥，则 C. 若与相互独立，则 D. 若，则与不相互独立 5. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 7. 若命题：“，”.使命题为假命题的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的6分，部分选对的2/3分，有选错的得0分. 9. 下列选项正确的是（ ） A. 若随机变量，且，则 B. 一组数据88，90，90，91，92，93，95，96，98，99的第50百分位数为92 C. 若样本数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为8 D. 已知回归直线方程为，若样本中心为，则样本点处残差为 10. 已知数列满足，则下列结论正确的是（ ） A. 为等比数列 B. C. 的前项和 D. 的前项和 11. 已知函数的定义域为，，则（ ）． A. B. C. 是偶函数 D. 为的极小值点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面向量若，则___________ 13. 若直线是曲线的一条切线，则_________. 14. 设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知分别为三个内角的对边，且． （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长． 16. 已知数列的前项和，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 17. 一家调查机构在某地随机抽查1000名成年居民对新能源车与燃油车的购买倾向，得到如下表格： 倾向于购买燃油车 倾向于购买新能源车 合计 女性居民 150 250 400 男性居民 350 250 600 合计 500 500 1000 （1）能否在犯错误不超过1%的前提下认为对新能源车与燃油车的购买倾向存在性别差异？ （2）从倾向于购买燃油车的居民中按性别采用分层随机抽样的方法抽取10人，再从中抽取4人进行座谈，求在有女性居民参加座谈的条件下，恰有2名男性居民也参加座谈的概率． （3）从所有参加调查的男性居民中按购买这两种车的倾向性，采用分层随机抽样的方法抽出12人，再从中随机抽取3人进行座谈，记这3人中倾向于购买新能源车的居民人数为，求的分布列与数学期望． 参考公式：， 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 18. 已知． （1）讨论的单调性； （2）若任意的，求的取值范围． 19. 如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，，且，，，E为中点. （1）证明：平面； （2）证明：平面； （3）在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为?若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $