精品解析：2021年广东省深圳市第八届“鹏程杯”七年级决赛数学试卷

2021年广东省深圳市第八届“鹏程杯”七年级决赛数学试卷 一、填空题（本大题共12小题，共84.0分） 1. 已知，则的值是______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查的是幂的乘方运算的逆运算，同底数幂的乘法运算，由条件可得，把化为，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ． 故答案为：8 2. 如图，两个正方形边长分别为a、b，且满足a+b＝10，ab＝12，图中阴影部分的面积为_____． 【答案】32 【解析】 【分析】阴影部分面积=两个正方形的面积之和-两个直角三角形面积，求出即可． 【详解】∵a+b=10，ab=12， ∴S阴影=a2+b2-a2-b（a+b）=（a2+b2-ab）= [（a+b）2-3ab]=32， 故答案为32. 【点睛】此题考查了整式混合运算的应用，弄清图形中的关系是解本题的关键． 3. 如图是的正方形网格，的顶点都在小正方形的顶点上，像这样的三角形叫格点三角形．画与有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画______个． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，三条对应边分别相等，以及格点的概念，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键．可以以和为公共边分别画出3个，不可以，故可求出结果． 【详解】解：以为公共边可画出三个三角形和原三角形全等．以为公共边可画出三个三角形和原三角形全等，所以可画出6个这样的三角形． 故答案为：6． 4. .设M=2n+28+1，若M为某个有理数的平方，则n的取值为_____. 【答案】5 或 14或-10 【解析】 【分析】分多项式的三项分别是乘积二倍项时，利用完全平方公式分别求出n的值，然后选择答案即可． 【详解】解：2n是乘积二倍项时2n+28+1=28+2•+1=， 此时n=4+1=5， 28是乘积二倍项时，2n+28+1 =2n+2•+1=（27+1）2， 此时n=2×7=14， 1是乘积二倍项时，2n+28+1 =（24）2+2•24•2-5+（2-5）2=（24+2-5）2， 此时n=-10， 综上所述，n可以取到的数是5、14、-10， 故答案为5，14，-10 【点睛】本题考查了完全平方式，难点在于要分情况讨论，熟记完全平方公式结构是解题的关键． 5. 若的积中不含项，则_____． 【答案】25 【解析】 【分析】本题考查了整式的乘除法的化简求值，积的乘方以及同底数幂除法，先根据多项式乘以多项式法则展开，进而得出，再将代入求值即可，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 【详解】解： 积中不含项， ， ， ， 故答案为：25． 6. 图中有______ 对同位角（其中）． 【答案】32 【解析】 【分析】本题考查了同位角的识别，理解同位角的定义是解题的关键． 在每条直线上有两个交点就有四对同位角，数一下每条直线上交点个数，得到同位角的对数，再加在一起得到结果． 【详解】解：两条直线被第三条直线所截，在截线上有两个交点，有四对同位角， 图中直线上有两个交点，就有对同位角， 直线上有两个交点，就有对同位角， 直线上有个交点，就有对同位角， 直线上有个交点，就有对同位角， 图中共有对同位角． 故答案为：． 7. △ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是△ABC的中线，设AD长为m，则m的取值范围是____． 【答案】1<m<4 【解析】 【详解】解：延长AD至E，使AD=DE，连接CE，则AE=2m， ∵AD是△ABC的中线， ∴BD=CD， 在△ADB和△EDC中，∵AD=DE，∠ADB=∠EDC，BD=CD， ∴△ADB≌△EDC， ∴EC=AB=5， 在△AEC中，EC﹣AC＜AE＜AC+EC，即5﹣3＜2m＜5+3， ∴1＜m＜4， 故答案为1＜m＜4． 8. 三边长均为整数的三角形周长为50，其最长边是最短边的2倍长，则最短边长是 __． 【答案】11或12 【解析】 【分析】设最短边长为，最长的边长为，则第三边长为，根据三角形三边关系即可得． 【详解】解：设最短边长为，最长的边长为，则第三边长为， 该三角形三边的关系有， 解得：， 三边长均为整数， 最短的边长为11或12， 故答案为：11或12． 【点睛】本题考查了三角形三边关系，解题的关键是熟记三角形三边关系． 9. 已知一直角三角形有一条直角边为，另外两边长均为整数，则这样的三角形有______ 个． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，设直角三角形的斜边长为，另一直角边长为，根据勾股定理得出，分解因式可得，则有或或或，分别解出与的值即可求解，利用因式分解得出方程组是解题的关键． 【详解】解：设直角三角形的斜边长为，另一直角边长为， 根据勾股定理得，，即， 另外两边长均为整数， 则有或或或， 解得：或或或， 另外两边长可能是和或和或和或和， 这样的三角形有个， 故答案为：． 10. 已知有理数、、满足，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用． 将整理成后代入，从而得到，进而求出，，，代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ，， ，，， ． 故答案为：． 11. 已知关于的方程有且只有两个解，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是含绝对值的一元一次方程，充分利用绝对值的意义，采用分类讨论，再根据原方程有且只有两个解，求出的取值范围，分类讨论去掉绝对值符号是解题的关键，同时要理解方程有且只有两个解的意义． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， 关于的方程有且只有两个解， ． 故答案为：． 12. 如图，在四边形ABCD中，AB=BD，∠BDA=45°，BC=2，若BD⊥CD于点D，则对角线AC的最大值为___． 【答案】 【解析】 【分析】以BC为直角边，B为直角顶点作等腰直角三角形CBE (点E在BC下方)，先证明，从而，求的最大值即可，以为直径作圆，当经过中点时，有最大值. 【详解】以BC为直角边，B为直角顶点作等腰直角三角形CBE (点E在BC下方)，即CB=BE，连接DE， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴() ， ∴， 若求AC的最大值，则求出的最大值即可， ∵是定值，BD⊥CD，即， ∴点D在以为直径的圆上运动，如上图所示， 当点D在上方，经过中点时，有最大值， ∴　 在Rt中，，，， ∴， ∴， ∴对角线AC的最大值为：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质、圆的知识，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，学会用转化的思想思考问题. 二、计算题（本大题共1小题，共12.0分） 13. 如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m，假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为5m/s，那么学校受影响的时间为多少秒？ 【答案】拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时学校会受到影响；学校受到的影响的时间为24秒． 【解析】 【分析】作AH⊥MN于H，利用含30度的直角三角形，得到AH=AP=80，则点A到MN的距离小于100，从而可判断学校会受到影响；以A为圆心，100为半径画弧交MN于B、C，则AB=AC=100，利用等腰三角形的性质得BH=CH，接下来利用勾股定理计算出BH=60，所以BC=2BH=120，然后利用速度公式计算出学校受到的影响的时间． 【详解】解：学校会受到噪声影响． 理由：作AH⊥MN于H，如图， 在Rt△APH中， ∵∠HPA=30°， ∴AH=AP=×160°=80（m）， 而80＜100， ∴拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时学校会受到影响； 以A为圆心，100为半径画弧交MN于B、C，如图，则AB=AC=100m， 而AH⊥BC， ∴BH=CH， 在Rt△ABH中， ∴BC=2BH=120（m）， ∵拖拉机的速度为5m/s， ∴学校受到的影响的时间=（秒）． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用：在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图． 三、解答题（本大题共4小题，共54.0分，答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14. 用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个矩形侧面和2个正三角形底面组成．硬纸板以如图两种方式裁剪（裁剪后边角料不再利用） A方法：剪6个侧面； B方法：剪4个侧面和5个底面． 现有19张硬纸板，裁剪时张用A方法，其余用B方法． （1）用的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数； （2）若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？ 【答案】（1）裁剪出的侧面个数为6x+4(19-x)=(2x+76)个 裁剪出的底面个数为5(19-x)=(-5x+95)个 （2）最多可以做的盒子个数为30个 【解析】 【分析】（1）因为x张用A方法，则有（38-x）张用B方法，就可以根据题意分别表示出侧面和底面的个数． （2）由题意可得，侧面个数和底面个数之比为3:2，可以列出一元一次方程，求出x的值，从而可得侧面的总数，即可求得． 【详解】（1）根据题意可得，侧面：6x+4(19-x)=(2x+76)（个），底面：5(19-x)=(-5x+95)（个）． （2）根据题意可得， ，解得x=7，所以盒子=（个）． 考点：1、一元一次方程的应用 2、列代数式． 15. 如图，在中，，，是边上一点，，，是上一动点，求的最小值． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查轴对称最短问题，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最值问题． 作点B关于的对称点D，连接．证明，推出，由是等腰直角三角形，得到，由轴对称可得，从而得到是直角三角形，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，作点B关于的对称点D，连接，． ， ， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴由轴对称可得， ∴， ∵在中，，， ， ， 的最小值为． 16. 已知关于的多项式除以，余数为，除以，余数为，求多项式除以的余式． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得 ，为含的多项式，，为含的多项式，把得，把得，把即可求解． 此题考查了整式的除法，弄清因式与积之间的关系，列出等式是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得，为含的多项式， ，为含的多项式， 把得， 把得， 得，， 多项式除以的余式为． 17. 如图，中，，点为的中点，交于． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：如图，设与相交于点， ， ， ， ， ，， ． （2） 证明：如图，在线段上截取，连接． 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据同角的余角相等即可证明． （2）如图中，在线段上截取，连接，证明，再证明，即可证明． 本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021年广东省深圳市第八届“鹏程杯”七年级决赛数学试卷 一、填空题（本大题共12小题，共84.0分） 1. 已知，则的值是______． 2. 如图，两个正方形边长分别为a、b，且满足a+b＝10，ab＝12，图中阴影部分的面积为_____． 3. 如图是的正方形网格，的顶点都在小正方形的顶点上，像这样的三角形叫格点三角形．画与有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画______个． 4. .设M=2n+28+1，若M为某个有理数的平方，则n的取值为_____. 5. 若的积中不含项，则_____． 6. 图中有______ 对同位角（其中）． 7. △ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是△ABC的中线，设AD长为m，则m的取值范围是____． 8. 三边长均为整数的三角形周长为50，其最长边是最短边的2倍长，则最短边长是 __． 9. 已知一直角三角形有一条直角边为，另外两边长均为整数，则这样的三角形有______ 个． 10. 已知有理数、、满足，则______． 11. 已知关于的方程有且只有两个解，则的取值范围是______． 12. 如图，在四边形ABCD中，AB=BD，∠BDA=45°，BC=2，若BD⊥CD于点D，则对角线AC的最大值为___． 二、计算题（本大题共1小题，共12.0分） 13. 如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m，假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为5m/s，那么学校受影响的时间为多少秒？ 三、解答题（本大题共4小题，共54.0分，答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14. 用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个矩形侧面和2个正三角形底面组成．硬纸板以如图两种方式裁剪（裁剪后边角料不再利用） A方法：剪6个侧面； B方法：剪4个侧面和5个底面． 现有19张硬纸板，裁剪时张用A方法，其余用B方法． （1）用的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数； （2）若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？ 15. 如图，在中，，，是边上一点，，，是上一动点，求的最小值． 16. 已知关于的多项式除以，余数为，除以，余数为，求多项式除以的余式． 17. 如图，中，，点为的中点，交于． （1）求证：； （2）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $