解析几何中的“点差法”及“定比点差法”一讲义-2026届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦解析几何核心考点，系统梳理椭圆、双曲线、抛物线中的点差法原理及应用，按求值、中点轨迹、定点定值等题型构建知识网络。通过考点梳理、方法提炼、真题演练三环节，帮助学生突破中点弦斜率、对称问题等难点，体现复习的系统性与针对性。 资料以数学思维培养为核心，创新采用“结论推导-题型归类-真题验证”教学链，如在椭圆中点轨迹问题中，引导学生用数学眼光抽象中点坐标与斜率关系，通过分层训练（基础求值到综合参数范围）提升运算能力与逻辑推理，助力师生高效把控复习节奏，提升学生应考能力。

高中数学精选专题-平面向量 解析几何中的“点差法”及“定比点差法” 湖北天门 薛德斌 第一部分 解析几何中的“点差法”及结论 若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为、，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。 已知椭圆上两点、，的中点。 则有， （1）－（2）得，， 又∵， ∴，∴，。 同理，已知双曲线上两点、，的中点，则，。 已知抛物线上两点、，的中点，则。 利用“点差法”，可以解以下类型的问题： 一、求值（弦的斜率、中点坐标、圆锥曲线方程） 1、过点的直线与椭圆相交于两点，且是的中点，求直线的方程． 解：设直线与椭圆的交点为、， 为的中点，∴， 又、两点在椭圆上，则，， 两式相减得， 于是， ∴， 即，故所求直线的方程为，即． 2、已知抛物线，过点的直线交抛物线于A、B两点且点平分AB，求直线的方程。 解：设则 从而直线的方程为 3、已知的三个顶点都在抛物线上，其中，且的重心是抛物线的焦点，求直线的方程。 4、已知中心在原点，一焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，求椭圆的方程。 解：设椭圆的方程为，则┅┅① 设弦端点、，弦的中点，则 ， ， 又， 两式相减得 即 ┅┅② 联立①②解得，，所求椭圆的方程是。 5、已知椭圆上不同的三点、、与焦点的距离成等差数列。 （1）求证：； （2）若线段的垂直平分线与轴的交点为，求直线的斜率。 二、过定点的弦的中点轨迹、平行弦的中点轨迹 6、已知椭圆C：，直线过点P（1,1）交椭圆C于A、B两点，求AB中点M的轨迹方程。 解：设，则 ∵点P在椭圆内部，直线与椭圆恒有两个交点， ∴点M的轨迹方程为。 7、已知双曲线,斜率为3的直线交抛物线于A、B两点，点是线段AB的中点，求点的轨迹方程。 8、已知双曲线,斜率为的直线交抛物线于A、B两点，点是线段AB的中点，求点的轨迹方程。 9、已知抛物线，斜率为3的直线交抛物线于A、B两点，点是线段AB的中点，求点的轨迹方程。 三、定点定值 10、双曲线上有两个不同的点、，且，求证：线段的中垂线过定点． 《解题决策》P484 四、存在性问题 11、已知双曲线，经过点能否作一条直线，使与双曲线交于、，且点是线段的中点。若存在这样的直线，求出它的方程，若不存在，说明理由。 策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线　，然后验证它是否满足题设的条件。本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。 解：设存在被点平分的弦，且、 则， ，， 两式相减，得　 故直线 由　消去，得， 这说明直线与双曲线不相交，故被点平分的弦不存在，即不存在这样的直线。 评述：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。由此题可看到中点弦问题中判断点的位置非常重要。（1）若中点在圆锥曲线内，则被点平分的弦一般存在；（2）若中点在圆锥曲线外，则被点平分的弦可能不存在。 五、求参数的取值范围（圆锥曲线上两点关于某直线对称问题） 12、已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。 解法一（点差法）：设，为椭圆上关于直线的对称两点，为弦的中点，则，两式相减得， 即 ，， 　　这就是弦中点轨迹方程。 它与直线的交点必须在椭圆内 联立，得　则必须满足， 即，解得 解法二（设直线方程）： 13、若抛物线上存在不同的两点关于直线对称，求实数的取值范围. 解法一（点差法）： 解法二（设直线方程）： 14、如图，在中，，椭圆C：，以E、F为焦点且过点D，点O为坐标原点。 （1）求椭圆C的标准方程； （2）若点K满足，问是否存在不平行于EF的直线与椭圆C交于不同的两点M、N且、在以K为圆心的圆上，若存在，求出直线的斜率的取值范围，若不存在，说明理由。 ( x y D E F O ) 解：（1）略：　， （2）分析：∵， 设MN的中点为H，则，此条件涉及到弦MN的中点及弦MN的斜率，故用“点差法” 设，直线的斜率为（， 则①　②　由①－②得： 　又∵，则，∴，从而解得，点在椭圆内，则且。 ∴存在满足条件的直线，直线的斜率的取值范围为。 另题：（用于小结点差法适用题型：弦的中点与斜率，不适用于弦长） 15、（2011年湖北卷文理T4/10）将两个顶点在抛物线上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则（C） A．n=0 B．n=1 C． n=2 D．n 3 16、已知点，抛物线上存在两点、，使为正三角形，求直线的方程． 或 17、已知点，抛物线上存在两个横坐标不相等的点、，使为正三角形，求的取值范围． 高中数学精选专题-平面向量 解析几何中的“点差法”及“定比点差法” 湖北天门 薛德斌 第一部分 解析几何中的“点差法”及结论 已知椭圆上两点、，的中点。 则有， （1）－（2）得，， 又∵， ∴，∴，。 同理，已知双曲线上两点、，的中点，则有_______。 已知抛物线上两点、，的中点，则有____________。 利用“点差法”，可以解以下类型的问题： 1、 求值（弦的斜率、中点坐标、圆锥曲线方程） 1、过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分，求这条弦所在直线的方程。 2、已知抛物线，过点的直线交抛物线于A、B两点且点平分AB，求直线的方程。 3、已知的三个顶点都在抛物线上，其中，且的重心是抛物线的焦点，求直线的方程。 4、已知中心在原点，一焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为 ，求椭圆的方程。 5、已知椭圆上不同的三点、、与焦点的距离成等差数列，线段的垂直平分线与轴的交点为，求直线的斜率。 2、 过定点的弦的中点轨迹、平行弦的中点轨迹 6、已知椭圆C：，直线过点P（1,1）交椭圆C于A、B两点，求AB中点M的轨迹方程。 7、已知双曲线,斜率为3的直线交抛物线于A、B两点，点是线段AB的中点，求点的轨迹方程。 8、已知双曲线,斜率为的直线交抛物线于A、B两点，点是线段AB的中点，求点的轨迹方程。 9、已知抛物线，斜率为3的直线交抛物线于A、B两点，点是线段AB的中点，求点的轨迹方程。 三、定点定值 10、双曲线上有两个不同的点、，且，求证：线段的中垂线过定点． 四、存在性问题 11、已知双曲线，经过点能否作一条直线，使与双曲线交于、，且点是线段的中点。若存在这样的直线，求出它的方程，若不存在，说明理由． 五、求参数的取值范围（圆锥曲线上两点关于某直线对称问题） 12、已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称． 13、若抛物线上存在不同的两点关于直线对称，求实数的取值范围. 14、如图，在中，，椭圆C：，以E、F为焦点且过点D，点O为坐标原点。 （1）求椭圆C的标准方程； （2）若点K满足，问是否存在不平行于EF的直线与椭圆C交于不同的两点M、N且、在以K为圆心的圆上，若存在，求出直线的斜率的取值范围，若不存在，说明理由。 ( x y D E F O ) 另题： 15、（2011年湖北卷文理T4/10）将两个顶点在抛物线上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则（ ） A．n=0 B．n=1 C． n=2 D．n 3 16、已知点，抛物线上存在两点、，使为正三角形，求直线的方程． 17、已知点，抛物线上存在两个横坐标不相等的点、，使为正三角形，求的取值范围． 小结：点差法适用题型 学科网（北京）股份有限公司 $