专题06 全等三角形模型之倍长中线与截长补短（几何模型讲义）数学人教版2024八年级上册

专题06 全等三角形模型之倍长中线与截长补短 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 1 提炼模型 4 模型拓展 5 模型运用 5 模型1.倍长中线模型 5 模型2.截长补短模型 11 17 倍长中线与截长补短在数学几何解题领域有着漫长且重要的发展历程。 倍长中线的方法源于早期几何学家对中点性质的研究。古希腊数学家欧几里得《几何原本》虽未直接描述，但其全等三角形公理体系为倍长中线提供了理论基础。数学文献中，“倍长中线”作为标准术语被确立于20世纪，成为初等几何常见技巧。 截长补短概念起初源于对图形简单拼接与分割的实践探索，后来在计算机图形学早期发展也有辅助线贡献。截长补短也被纳入中学数学教材成为常见解题手段，截长补短能巧妙处理线段数量关系难题，效果显著。 （2024·内蒙古通辽·中考真题）【实际情境】手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞． 【模型建立】（1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．，．求证：． 【模型应用】（2）如图2，中，的平分线交于点．请你从以下两个条件：①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答） （2025·山东青岛·模拟预测）【问题提出】小红遇到这样一个问题：如图1，中，，，是中线，求的取值范围． 【构建模型】她的做法是：延长到E，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．她的这种做法把中线延长了一倍，所以我们通常称为“倍长中线法”． 请回答：（1）小红证明的判定定理是： ．（2）的取值范围是 【模型应用】（3）如图2，在中，是的中线，，在上取一点E，连接，若，则“燕尾”四边形的面积为 ． 1.截长补短模型 截长：指在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条； 补短：指将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。 条件：AD为△ABC的角平分线，∠B=2∠C。 结论：AB＋BD＝AC。 证明：法1（截长法）:在线段AC上截取线段AB′＝AB，连接DB。 ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠B′AD，∵AD=AD，∴△ABD≌△AB′D（SAS） ∴∠B=∠AB′D，BD=B′D，∵∠B=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠B′DC=∠C， ∴B′C＝B′D，∴BD=B′C，∵AB′＋B′C＝AC，∴AB＋BD＝AC。 法2（补短法）:延长AB至点C′使得AC′＝AC，连接BC′。 ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠C′AD=∠CAD，∵AD=AD，∴△C′AD≌△CAD（SAS） ∴∠C′=∠C，∵∠B=2∠C，∴∠B=2∠C′，∴∠BDC′=∠C′，∴BC′＝BD， ∵AB＋BC′＝AC′，∴AB＋BD＝AC。 2-1.倍长中线模型（中线型） 条件：AD为△ABC的中线。 结论： 证明：延长AD至点E，使DE=AD，连结CE。 ∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∵∠BDA=∠CDE，∴△ABD≌△ECD（SAS） 2-2.倍长类中线模型（中点型） 条件：△ABC中，D为BC边的中点，E为AB边上一点（不同于端点）。 结论：△EDB≌△FDC。 证明：延长ED，使DF=DE，连接CF。 ∵D为BC边的中点，∴BD=DC，∵∠BDE=∠CDF，∴△EDB≌△FDC（SAS） 2-3.倍长类中线模型拓展（中点+平行线型） 条件：AB∥CD，E为AC的中点，F为AB边上一点（不同于端点）。结论：△AFE≌△CGE。 证明：延长FE，交DC的延长线于点G。 ∵E为AC的中点，∴AE=CE，∵AB∥CD，∴∠A=∠ECG，∠AFE=∠G，∴△AFE≌△CGE（AAS） 若“中点+平行线型”按“中点型”来倍长，则需证明点G在CD上，为了避免证明三点共线，点G就直接通过延长相交得到。因为有平行线，内错角相等，故根据“AAS”或“ASA”证明全等。这里“中点+平行线型”可以看做是“中点型”的改良版。 模型1.倍长中线模型 例1（24-25八年级上·福建·校考期中）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题，如图，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： 延长到，使，请补充完小明“”的推理过程． （1）求证： 证明：∵延长到点，使在和中 （已作）；（____________）；（线段中点的定义） ∴．（____________） （2）通过探究得出的取值范围是_________________． 【小结】将上面题中“，”改为“，，”，则的取值范围是__________（用、的代数式表示） 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”等字样，可以考虑延长线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】（3）如图，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试判断，，之间的数量关系，并说明理由． 例2．（24-25八年级上·湖南娄底·期中）阅读以下材料，完成以下两个问题， [阅读材料]已知：如图，（）中，D、E在BC上，且，过D作交AE于点F，．求证：AE平分． 结合此题，，点B是DC的中点，考虑倍长，并且要考虑连结哪两点，目的是为了证明全等，从而转移边和角，有两种考虑方法：①考虑倍长FE，如图（1）所示；②考虑倍长AE，如图（2）所示．以图（1）为例，证明过程如下： 证明：延长FE至G，使，连结CG． 在和中，，∴．∴，． ∵，∴．∴．∴． ∵，∴．∴，∴平分． 问题：参考上述方法，请完成图（2）的证明． 例3（24-25八年级上·吉林·专题练习）（1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图， ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是 ； 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． （2）请你写出图2中与的数量关系和位置关系，并加以证明． （3）深入思考：如图3，是的中线，，，，请直接利用（2）的结论，试判断线段与的数量关系，并加以证明． 例4（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）在中，边上的中线的取值范围（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图）： (1)①延长到Q，使得；②连接，把集中在中； ③利用三角形的三边关系可得____________，则的取值范围是__________． 感悟：解题时、条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．(2)请写出图1中与的位置关系并证明； (3)思考：已知，如图2，是的中线，，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明． 模型2.截长补短模型 例1（24-25八年级上·山西阳泉·期末）综合与实践 【方法学习】“截长补短法”是初中数学几何题中常用的辅助线添加方法，也是将复杂几何题化难为易的一种解题思路．“截长补短法”主要通过截取长线段的一部分或延长短线段，以构造出有助于解题的全等三角形或其他几何图形．具体来说，截长是指在一条较长的线段上截取一段，使其长度等于某一条较短的线段；补短则是将一条较短的线段延长，使其长度等于某一条较长的线段，从而解决问题． 【解决问题】如图①，在中，平分，交于点，且．求证：． 【方法应用】(1)为了证明结论“”，小亮采用了“截长”的方法，如图②，在上截取，使得，连接，解答了这个问题．请按照小亮的思路将证明过程补充完整． 平分，， 在和中，， （ ① ），，． ，． 是的一个外角，， ， ② ，（ ③ ） ，． (2)请利用“截长补短”法，解决如下问题：如图③，在四边形中，已知，，，是的高，，．求的长． 例2（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）【方法探究】如下图，在中，平分，，探究，，之间的数量关系； 嘉铭同学通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法1：如下图，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决此问题 方法2：如下图，延长到点，使得 ，连接，可以得到等腰三角形，进而解决此问题 (1)根据探究，直接写出，，之间的数量关系； 【迁移应用】(2)如下图，在中，是上一点，，于，探究，，之间的数量关系，并证明． 【拓展延伸】(3)如下图，为等边三角形，点为延长线上一动点，连接．以为边在上方作等边，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点．若，求证：； 例3（24-25浙江·八年级专题练习）如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB． 例4（24-25八年级上·江苏·期中）综合与探索：在四边形中，分别是上的点，且，试探究图1中线段之间的数量关系． (1)【初步探索】小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到之间的数量关系是______． (2)【探索延伸】在四边形中如图2，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． (3)【结论运用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以50海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以70海里/小时的速度前进1小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角（）为，试求此时两舰艇之间的距离． 1．（24-25·江苏·八年级期中）如图，在中，，，求边上中线的范围为_____． 2．（24-25广东八年级课时练习）如图所示，平分平分； （1）求与的数量关系，并说明你的理由． （2）若把条件去掉，则（1）中与的数量关系还成立吗?并说明你的理由． 3．（2024·贵州·二模）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： (1)如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考帮小明完成解答过程． (2)如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC干E，交AD于F，且AE=EF．请判昕AC与BF的数量关系，并说明理由． 4．（24-25八年级上·江苏·专题练习）某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，请补充完整证明“”的推理过程． (1)求证： 证明：延长到点，使 在和中 （__________） 请补齐空白处：(2)由（1）的结论，根据与之间的关系，探究得出的取值范围是__________； (3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长． 5．（24-25八年级上·河北沧州·期中）【阅读】在证明线段和差问题时，经常采用截长补短法，再利用全等图形求线段的数量关系．截长法：将较长的线段截取为两段，证明截取的两段分别与给出的两段相等．补短法：延长较短两条线段中的一条，使得与较长线段相等，证明延长的那一段与另一条较短线段相等． 【应用】把两个全等的直角三角形的斜边重合，，组成一个四边形，以D为顶点作，交边于M、N． (1)若，，证明：；经过思考，小红得到了这样的解题思路：利用补短法，延长到点E，使，连接，先证明，再证明，即可求得结论．按照小红的思路，请写出完整的证明过程；(2)当时，三条线段之间有何数量关系？（直接写出你的结论，不用证明）；(3)如图③，在（2）的条件下，若将M、N改在的延长线上，完成图③，其余条件不变，则之间有何数量关系？证明你的结论． 6．（24-25湖北孝感·八年级期中）（1）感知：如图1，AD平分∠BAC，∠B+∠C＝180°，∠B＝90°，易知DB，DC数量关系为：　 　．（2）探究：如图2，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，（1）中的结论是否成立？请作出判断并给予证明．（3）应用：如图3，在四边形ABCD中，DB＝DC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，DE⊥AB于点E，试判断AB，AC，BE的数量关系，并说明理由． 7．（24-25安徽·九年级校联考阶段练习）安安利用两张正三角形纸片，进行了如下探究：    【探究证明】（1）如图1，和均为等边三角形，连接交延长线于点，求证：； 【拓展延伸】（2）如图2，在正三角形纸片的边上取一点，作交外角平分线于点，探究，和的数量关系，并证明； 【思维提升】（3）如图3，和均为正三角形，当，，三点共线时，连接，若，直接写出下列两式分别是否为定值，并任选其中一个进行证明：①；②． 8．（24-25八年级上·重庆·校考期末）综合实践 教材再现：等边三角形是三边都相等的特殊的等腰三角形：等边三角形的三个内角都相等，并且都等于；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是的等腰三角形是等边三角形． 探究问题：等边三角形的三个内角都等于，由此可得等边三角形的每一个外角都等于，那么等边三角形与的角是否还有某些特殊关系，为此某数学兴趣小组的同学做了如下探究，请你帮助他们完成证明过程或解答过程． (1)如图，是等边三角形，点、分别在和的延长线上，且，该兴趣小组的同学发现，当的度数确定时，的度数也随之确定． 若，则的度数为 ．求证：． (2)如图，是等边三角形，点是三角形内一点，且，延长交于点，延长交于点，判断线段、、、之间有什么数量关系，并说明理由． (3)如图，是等边三角形，点是三角形外一点，且，连接，判断线段、、之间有什么数量关系，并说明理由． 9．（24-25八年级上·辽宁 期中）（1）阅读理解：如图①，在中，若，求边上的中线的取值范围．可以用如下方法：将绕着点D逆时针旋转得到，在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是_______； （2）问题解决：如图②，在中，D是边上的中点，于点D，交于点E，DF交于点F，连接，求证：； （3）问题拓展：如图③，在四边形中，，，，以C为顶点作一个的角，角的两边分别交于E、F两点，连接EF，探索线段之间的数量关系，并说明理由． 10．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图①，在中，平分，，求证：； 小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法一：如图②，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题； 方法二：如图③，延长到点E，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题.    (1)根据以上材料，任选一种方法证明：；(2)如图④，四边形中，E是上一点，，，，探究，，之间的数量关系，并证明. 11．（24-25八年级·广东·期中）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线＋对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； 12．（24-25·成都·七年级专题练习）阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明． 已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求证：AB＝CD． 分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形． （1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明． ①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF； ②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G． （2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明． 13．（24-25·广东深圳·八年级校考期中）如图，△ABC为等边三角形，直线l过点C，在l上位于C点右侧的点D满足∠BDC＝60°（1）如图1，在l上位于C点左侧取一点E，使∠AEC＝60°，求证：△AEC≌△CDB；（2）如图2，点F、G在直线l上，连AF，在l上方作∠AFH＝120°，且AF＝HF，∠HGF＝120°，求证：HG+BD＝CF；（3）在（2）的条件下，当A、B位于直线l两侧，其余条件不变时（如图3），线段HG、CF、BD的数量关系为 　 　． 14．（24-25八年级上·河南·期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，解答下列问题：如图1，在中，交于点D，平分，且． (1)为了证明结论“”，小亮在AC上截取，使得，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程；(2)如图2，在四边形中，已知，，，，，，求的长． 13．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，中两边、上有两点M、N，D为外一点，且，，，． (1)猜想线段、、之间的数量关系并证明；(2)若，，求的周长．      14．（24-25七年级下·辽宁·校考期末）【方法初探】倍长中线法是初中数学中一种辅助线作法．如图1，在中，是边上的中线，延长至点E，使，连接．由此可以得到，理由是______（填“”或“”或“”或“”）； 【问题解决】如图2，在外分别作，，且，，连接，取的中点F，连接，判断与的数量关系，并说明理由． 15．（24-25·广东·九年级专题练习）课堂上，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，平分交于点D，且，求证：，小明的方法是：如图2，在上截取，使，连接，构造全等三角形来证明． (1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长至F，使=______，连接请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线； (2)小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题： 如图3，点D在的内部，分别平分，且．求证：．请你解答小芸提出的这个问题（书写证明过程）； (3)小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下： 如果在中，，点D在边上，，那么平分小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明． 16．（24-25·浙江台州·八年级阶段练习）八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． (1)【阅读理解】如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围．小聪同学是这样思考的：延长至E，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． 在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是______；中线的取值范围是______． (2)【理解与应用】如图2，在中，点D是的中点，点M在边上，点N在边上，若．求证：． (3)【问题解决】如图3，在中，点D是的中点，，，其中，连接，探索与的数量关系，并说明理由． 17．（24-25七年级下·辽宁·阶段练习）请阅读下列材料，完成相应的任务． 【认识“倍长”】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常采用倍长中线法添加辅助线．所谓倍长中线法，即延长边上（不一定是底边）的中线，使所延长部分与中线相等，以便构造全等三角形、从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的一种方法．如图1，在中，是边上的中线，延长到点．使．连接，易证（依据），进一步可得到等结论． 任务：（1）上述材料中的依据是_____________；（2）如图2，在中，是边上的中线，是上一点，延长交于点，求证：． 【启发拓展】如图3，爱思考的小轩受到启发，把和边的中点和连接起来，得到线段，线段叫做三角形的中位线．下面是小轩的证明方法：延长到点，使，连接易证，得到，即，进而得到，因此可知，最终得到．通过推理，小轩总结得到这样的结论：如果点和点分别为和边中点，那么是的中位线，且．“几何语言”：和分别为和的中点是的中位线． 【旧知新论】 （3）已知和，，，，连接和，点是线段的中点，连接交于点．请直接应用【启发拓展】中的结论，合理猜想与的数量关系？并证明你的结论． 18．（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）【问题提出】如图①，在中，，求边上的中线的取值范围． 【问题解决】经过组内合作交流．小明得到了如下的解决方法：延长到点E，使，连接，经过推理可知…（2）的取值范围为 　　． 【方法总结】解题时若条件中出现“中点”或“中线”，则可以考虑将中线加倍来构造全等三角形，从而将分散的已知条件转换到同一个三角形中，我们称这种添加辅助线的方法为“倍长中线法”． 【应用】如图②，在中，点D为边的中点，点E在边上，与相交于点F，，求证：． 【拓展】如图，在中，，平分，点E为边的中点，过点E作，交于点F，交的延长线于点G，若，则的面积为 　　．    1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 全等三角形模型之倍长中线与截长补短 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 1 提炼模型 4 模型拓展 5 模型运用 5 模型1.倍长中线模型 5 模型2.截长补短模型 11 17 倍长中线与截长补短在数学几何解题领域有着漫长且重要的发展历程。 倍长中线的方法源于早期几何学家对中点性质的研究。古希腊数学家欧几里得《几何原本》虽未直接描述，但其全等三角形公理体系为倍长中线提供了理论基础。数学文献中，“倍长中线”作为标准术语被确立于20世纪，成为初等几何常见技巧。 截长补短概念起初源于对图形简单拼接与分割的实践探索，后来在计算机图形学早期发展也有辅助线贡献。截长补短也被纳入中学数学教材成为常见解题手段，截长补短能巧妙处理线段数量关系难题，效果显著。 （2024·内蒙古通辽·中考真题）【实际情境】手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞． 【模型建立】（1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．，．求证：． 【模型应用】（2）如图2，中，的平分线交于点．请你从以下两个条件：①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答） 【答案】（1）见解析；（2）选择②为条件，①为结论或选择①为条件，②为结论；证明见解析；（3）见解析 【详解】解：（1）在和中，∵，，， ∴，∴； （2）解：选择②为条件，①为结论：如图，在取点N，使，连接， ∵平分，∴， 在和中，∵，，， ∴，∴，， ∵，，∴，∴， ∴，∴； 选择①为条件，②为结论：如图，在取点N，使，连接， ∵平分，∴，在和中， ∵，，，∴，∴，， ∵，∴，∴， ∴，∴，∵，∴； （2025·山东青岛·模拟预测）【问题提出】小红遇到这样一个问题：如图1，中，，，是中线，求的取值范围． 【构建模型】她的做法是：延长到E，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．她的这种做法把中线延长了一倍，所以我们通常称为“倍长中线法”． 请回答：（1）小红证明的判定定理是： ．（2）的取值范围是 【模型应用】（3）如图2，在中，是的中线，，在上取一点E，连接，若，则“燕尾”四边形的面积为 ． 【答案】（1） ；（2），（3） 8 【详解】解：（1）延长到E，使，连接BE，∵是中线，∴， 又，∴，故答案为：； （2）∵，，∴，， 又，∴，即，∴，∴，故答案为：； （3）延长至点F，使，同（1）可证， ∴，，， 又，∴，∴，∴，∴， ∴“燕尾”四边形的面积为，故答案为：8． 1.截长补短模型 截长：指在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条； 补短：指将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。 条件：AD为△ABC的角平分线，∠B=2∠C。 结论：AB＋BD＝AC。 证明：法1（截长法）:在线段AC上截取线段AB′＝AB，连接DB。 ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠B′AD，∵AD=AD，∴△ABD≌△AB′D（SAS） ∴∠B=∠AB′D，BD=B′D，∵∠B=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠B′DC=∠C， ∴B′C＝B′D，∴BD=B′C，∵AB′＋B′C＝AC，∴AB＋BD＝AC。 法2（补短法）:延长AB至点C′使得AC′＝AC，连接BC′。 ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠C′AD=∠CAD，∵AD=AD，∴△C′AD≌△CAD（SAS） ∴∠C′=∠C，∵∠B=2∠C，∴∠B=2∠C′，∴∠BDC′=∠C′，∴BC′＝BD， ∵AB＋BC′＝AC′，∴AB＋BD＝AC。 2-1.倍长中线模型（中线型） 条件：AD为△ABC的中线。 结论： 证明：延长AD至点E，使DE=AD，连结CE。 ∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∵∠BDA=∠CDE，∴△ABD≌△ECD（SAS） 2-2.倍长类中线模型（中点型） 条件：△ABC中，D为BC边的中点，E为AB边上一点（不同于端点）。 结论：△EDB≌△FDC。 证明：延长ED，使DF=DE，连接CF。 ∵D为BC边的中点，∴BD=DC，∵∠BDE=∠CDF，∴△EDB≌△FDC（SAS） 2-3.倍长类中线模型拓展（中点+平行线型） 条件：AB∥CD，E为AC的中点，F为AB边上一点（不同于端点）。结论：△AFE≌△CGE。 证明：延长FE，交DC的延长线于点G。 ∵E为AC的中点，∴AE=CE，∵AB∥CD，∴∠A=∠ECG，∠AFE=∠G，∴△AFE≌△CGE（AAS） 若“中点+平行线型”按“中点型”来倍长，则需证明点G在CD上，为了避免证明三点共线，点G就直接通过延长相交得到。因为有平行线，内错角相等，故根据“AAS”或“ASA”证明全等。这里“中点+平行线型”可以看做是“中点型”的改良版。 模型1.倍长中线模型 例1（24-25八年级上·福建·校考期中）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题，如图，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： 延长到，使，请补充完小明“”的推理过程． （1）求证： 证明：∵延长到点，使在和中 （已作） （____________） （线段中点的定义） ∴．（____________） （2）通过探究得出的取值范围是_________________． 【小结】将上面题中“，”改为“，，”，则的取值范围是__________（用、的代数式表示） 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”等字样，可以考虑延长线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】（3）如图，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试判断，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）对顶角相等，；（2）；小结：；（3），理由见解析 【详解】（1）证明：延长到点，使， 在和中（己作），（对顶角相等），（线段中点的定义） ∴ 故答案为；对顶角相等，； （2）∵，∴， ∵，∴，∴，故答案为；； 小结；同理可得，故答案为；； （3），理由如下：如图所示，延长到，使得， 同理可证，∴，∴， ∵，∴三点共线，∵平分，∴， ∴，∴，∴． 例2．（24-25八年级上·湖南娄底·期中）阅读以下材料，完成以下两个问题， [阅读材料]已知：如图，（）中，D、E在BC上，且，过D作交AE于点F，．求证：AE平分． 结合此题，，点B是DC的中点，考虑倍长，并且要考虑连结哪两点，目的是为了证明全等，从而转移边和角，有两种考虑方法：①考虑倍长FE，如图（1）所示；②考虑倍长AE，如图（2）所示．以图（1）为例，证明过程如下： 证明：延长FE至G，使，连结CG． 在和中，，∴． ∴，． ∵，∴．∴．∴． ∵，∴．∴，∴平分． 问题：参考上述方法，请完成图（2）的证明． 【答案】见解析 【分析】根据题干图（1）的证明，可延长AE至G，使，连接DG．在和中利用“SAS”易证，得到结论，．由，可间接证明，最后由平行线的性质即可间接证明出，即AE平分． 【详解】图（2）的证明： 证明：延长AE至G，使，连接DG，如题干图（2）所示： 在和中，，∴．∴，， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴AE平分． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义．阅读材料，根据图（1）的证明理解图（2）的辅助线作法是解答本题的关键． 例3（24-25八年级上·吉林·专题练习）（1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图， ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是 ； 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． （2）请你写出图2中与的数量关系和位置关系，并加以证明． （3）深入思考：如图3，是的中线，，，，请直接利用（2）的结论，试判断线段与的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）；（2），且，证明见解析；（3），理由见解析 【详解】解：（1）如图2，延长到，使得，连接， 是的中线，， 在和中，，，， 在中，，，， ，故答案为：； （2），且， 证明：由（1）知，，，，； （3），理由：如图2，延长到，使得，连接， 由（1）知，，， ，，由（2）知：，， ，，， 在和中，，，， ，，，，即：． 例4（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）在中，边上的中线的取值范围（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图）： (1)①延长到Q，使得；②连接，把集中在中； ③利用三角形的三边关系可得____________，则的取值范围是__________． 感悟：解题时、条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．(2)请写出图1中与的位置关系并证明； (3)思考：已知，如图2，是的中线，，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明． 【答案】(1)(2)(3) 证明见解析． 【详解】（1）解：如图1，延长到Q，使得，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在中， ∴，即， ∴， （2）， 理由是：由（1）知，， ∴， ∴ （3）理由：如图2，过作于 延长交于 ∵是的中线，则 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴相交所成的角为直角，即 综上： 模型2.截长补短模型 例1（24-25八年级上·山西阳泉·期末）综合与实践 【方法学习】“截长补短法”是初中数学几何题中常用的辅助线添加方法，也是将复杂几何题化难为易的一种解题思路．“截长补短法”主要通过截取长线段的一部分或延长短线段，以构造出有助于解题的全等三角形或其他几何图形．具体来说，截长是指在一条较长的线段上截取一段，使其长度等于某一条较短的线段；补短则是将一条较短的线段延长，使其长度等于某一条较长的线段，从而解决问题． 【解决问题】如图①，在中，平分，交于点，且．求证：． 【方法应用】(1)为了证明结论“”，小亮采用了“截长”的方法，如图②，在上截取，使得，连接，解答了这个问题．请按照小亮的思路将证明过程补充完整． 平分，， 在和中，， （ ① ），，． ，． 是的一个外角，， ， ② ，（ ③ ） ，． (2)请利用“截长补短”法，解决如下问题：如图③，在四边形中，已知，，，是的高，，．求的长． 【答案】(1)；；等角对等边(2) 【详解】（1）为了证明结论“”，小亮采用了“截长”的方法，如图②，在上截取，使得，连接，解答了这个问题．请按照小亮的思路将证明过程补充完整． 平分，，在和中，， ，，，，， 是的一个外角，，，（等角对等边）， ，．故答案为：；；等角对等边； （2）在上截取，连接， 由题意可得， ，， 在和中，，，， ，，， ，， 在和中，，，， ，，． 例2（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）【方法探究】如下图，在中，平分，，探究，，之间的数量关系； 嘉铭同学通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法1：如下图，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决此问题 方法2：如下图，延长到点，使得 ，连接，可以得到等腰三角形，进而解决此问题 (1)根据探究，直接写出，，之间的数量关系； 【迁移应用】(2)如下图，在中，是上一点，，于，探究，，之间的数量关系，并证明． 【拓展延伸】(3)如下图，为等边三角形，点为延长线上一动点，连接．以为边在上方作等边，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点．若，求证：； 【答案】(1)；(2) ，证明见解析；(3)证明见解析． 【详解】（1）证明：方法一：∵平分，∴， 在和中，，，，∴ ∴，， ∵，∴，∴，∴，∴； 方法二：延长到点E，使得，连接， ∴，则， ∵，∴，∵平分，∴， 在和中，，，，∴，∴， ∵，∴； （2）在上取，连接，∵于∴∴ ∵，∴，∴ ∴； （3）如图所示，∵，为等边三角形，∴，， ∴∴，∴ ∴∴ 过作，交于点，∴， ∵是的中点，∴，又∴ ∴ ，，而， ∴， 又∵∴∴    即　． 例3（24-25浙江·八年级专题练习）如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB． 【答案】证明见解析 【详解】证明：如图，在上截取 平分 平分 例4（24-25八年级上·江苏·期中）综合与探索：在四边形中，分别是上的点，且，试探究图1中线段之间的数量关系． (1)【初步探索】小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到之间的数量关系是______． (2)【探索延伸】在四边形中如图2，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． (3)【结论运用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以50海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以70海里/小时的速度前进1小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角（）为，试求此时两舰艇之间的距离． 【答案】(1)(2)结论仍然成立(3)此时两舰艇之间的距离是120海里 【详解】（1）解：延长到点，使，连接， ∵，∴， ∵∴，∴， ∵，，∴， ∴，即， 又∵∴，∴， ∵，∴，故答案为：； （2）解：结论仍然成立，证明如下：如图，延长到，使，连接， ，， 在和中， ， 在和中， ，，； （3）解：如图，连接，延长交于点， ，，， ，，符合探索延伸中的条件， 结论成立，即海里， 答：此时两舰艇之间的距离是120海里． 1．（24-25·江苏·八年级期中）如图，在中，，，求边上中线的范围为_____． 【答案】 【详解】解：延长到E，使得，连接，如图， 在和中，，∴，∴． ∵，∴，∴．故答案为：． 2．（24-25广东八年级课时练习）如图所示，平分平分； （1）求与的数量关系，并说明你的理由． （2）若把条件去掉，则（1）中与的数量关系还成立吗?并说明你的理由． 【答案】（1），见解析；（2）成立，见解析 【详解】 理由是：过作于 ∵CE为角平分线 同理可证 成立 理由：在上截取 ∵CE为角平分线    又 又是角平分线 3．（2024·贵州·二模）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： (1)如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考帮小明完成解答过程． (2)如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC干E，交AD于F，且AE=EF．请判昕AC与BF的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析(2)AC=BF，理由见解析 【解析】（1）解：如图，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE， 在△ADC和△EDB中∵，∴△ADC≌△EDB（SAS）．∴BE=AC=3． ∵AB-BE<AE<AB+BE∵2<AE<8．∵AE=2AD∴1<AD<4． （2）AC=BF，理由如下：延长AD至点G，使GD=AD，连接BG， 在△ADC和△GDB中，，∴△ADC≌△GDB（SAS）．∴BG=AC，∠G=∠DAC．． ∵AE=EF∴∠AFE=∠FAE． ∴∠DAC=∠AFE=∠BFG∴∠G=∠BFG∴BG=BF∴AC=BF． 4．（24-25八年级上·江苏·专题练习）某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，请补充完整证明“”的推理过程． (1)求证： 证明：延长到点，使 在和中 （__________） 请补齐空白处：(2)由（1）的结论，根据与之间的关系，探究得出的取值范围是__________； (3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长． 【答案】(1)已作；对顶角相等；；(2)(3)6 【详解】（1）证明：延长到点，使， 在和中，，； （2）由（1）得：，且，，， 在中，，； （3）延长交的延长线于F，∵是的中线∴ ，，， 在和中，，，， 又且，， ，．即：的长是6． 5．（24-25八年级上·河北沧州·期中）【阅读】在证明线段和差问题时，经常采用截长补短法，再利用全等图形求线段的数量关系．截长法：将较长的线段截取为两段，证明截取的两段分别与给出的两段相等．补短法：延长较短两条线段中的一条，使得与较长线段相等，证明延长的那一段与另一条较短线段相等． 【应用】把两个全等的直角三角形的斜边重合，，组成一个四边形，以D为顶点作，交边于M、N． (1)若，，证明：；经过思考，小红得到了这样的解题思路：利用补短法，延长到点E，使，连接，先证明，再证明，即可求得结论．按照小红的思路，请写出完整的证明过程；(2)当时，三条线段之间有何数量关系？（直接写出你的结论，不用证明）；(3)如图③，在（2）的条件下，若将M、N改在的延长线上，完成图③，其余条件不变，则之间有何数量关系？证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析(2)(3)，证明见解析 【详解】（1）证明：根据题意得：AD=BD，延长到E，使，连接 ∵，∴， 在和中，∴，∴，， ∵，∴，∴， ∵∴∴， 在和中∴，∴， ∵，∴． （2）由（1）中条件得∠ACD+∠MDN=90°，证明方法同（1）类似，∴； （3），证明：在截取，连接，∵，∴， 在和中，∴，∴，， ∵，，∴， ∴，即，∴， ∵∴即 ∴即， 在和中，∴，∴， ∵，∴． 6．（24-25湖北孝感·八年级期中）（1）感知：如图1，AD平分∠BAC，∠B+∠C＝180°，∠B＝90°，易知DB，DC数量关系为：　 　．（2）探究：如图2，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，（1）中的结论是否成立？请作出判断并给予证明．（3）应用：如图3，在四边形ABCD中，DB＝DC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，DE⊥AB于点E，试判断AB，AC，BE的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）BD＝CD；（2）成立，证明详见解析；（3）AB＝AC+2BE，证明详见解析． 【详解】解：（1）结论：DB＝DC．理由：∵∠B+∠C＝180°，∠B＝90°，∴∠B＝∠C＝90°， ∵∠DAC＝∠DAB，AD＝AD，∴△ADC≌△ADB．∴BD＝CD．故答案为BD＝CD． （2）结论成立．理由：如图②中，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F． ∵DA平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF， ∵∠ABD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠FCD＝180°，∴∠B＝∠FCD， 在△DFC和△EDB中，，∴△DFC≌△DEB，∴DC＝DB． （3）结论：AB＝AC+2BE．理由：如图③中，连接AD．作DF⊥AC于F． ∵∠B+∠ACD＝180°，∠ACD+∠FCD＝180°，∴∠B＝∠FCD， 在△DFC和△DEB中，，∴△DFC≌△DEB（AAS），∴DF＝DE，CF＝BE， 在Rt△ADF和Rt△ADE中，，∴Rt△ADF≌Rt△ADE（HL），∴AF＝AE， ∴AB＝AE+BE＝AC+CF+BE＝AC+2BE． 7．（24-25安徽·九年级校联考阶段练习）安安利用两张正三角形纸片，进行了如下探究：    【探究证明】（1）如图1，和均为等边三角形，连接交延长线于点，求证：； 【拓展延伸】（2）如图2，在正三角形纸片的边上取一点，作交外角平分线于点，探究，和的数量关系，并证明； 【思维提升】（3）如图3，和均为正三角形，当，，三点共线时，连接，若，直接写出下列两式分别是否为定值，并任选其中一个进行证明：①；②． 【答案】（1）见解析；（2），证明见解析；（3）是定值，①；②． 【详解】（1）证明：如图1，设与交于点，       ，都是等边三角形，，，，， 在和中，，，， ，； （2）解：，理由如下：如图2，在上取一点，使得， 是等边三角形，，，是等边三角形， ，，， 是外角平分线，，，， ，，， ，，， ，，； （3）解：①，②都是定值，证明如下： 如图3，在上取一点，使得，    和均为正三角形，，，三点共线，，， 由（1）知：，， ，，， ，是等边三角形，， 过点作，，垂足分别为，， ，的面积的面积，，， ，， ，， ①； ②， ，， ．综上所述：①，②都是定值． 8．（24-25八年级上·重庆·校考期末）综合实践 教材再现：等边三角形是三边都相等的特殊的等腰三角形：等边三角形的三个内角都相等，并且都等于；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是的等腰三角形是等边三角形． 探究问题：等边三角形的三个内角都等于，由此可得等边三角形的每一个外角都等于，那么等边三角形与的角是否还有某些特殊关系，为此某数学兴趣小组的同学做了如下探究，请你帮助他们完成证明过程或解答过程． (1)如图，是等边三角形，点、分别在和的延长线上，且，该兴趣小组的同学发现，当的度数确定时，的度数也随之确定． 若，则的度数为 ．求证：． (2)如图，是等边三角形，点是三角形内一点，且，延长交于点，延长交于点，判断线段、、、之间有什么数量关系，并说明理由． (3)如图，是等边三角形，点是三角形外一点，且，连接，判断线段、、之间有什么数量关系，并说明理由． 【答案】(1)  证明见解析(2)，理由见解析(3)，理由见解析 【详解】（1）解：，，；故答案为：； 证明：是等边三角形，， ，，，； （2）解：，理由如下： 是等边三角形，，，， ，，， 在和中，，，，即； （3）解：，理由如下：延长到，使，连接，如图： ，，，是等边三角形，，， 是等边三角形，，，， ，即， 在和中，，，， ，． 9．（24-25八年级上·辽宁 期中）（1）阅读理解：如图①，在中，若，求边上的中线的取值范围．可以用如下方法：将绕着点D逆时针旋转得到，在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是_______； （2）问题解决：如图②，在中，D是边上的中点，于点D，交于点E，DF交于点F，连接，求证：； （3）问题拓展：如图③，在四边形中，，，，以C为顶点作一个的角，角的两边分别交于E、F两点，连接EF，探索线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），（2）见解析，（3）见解析 【详解】解：（1）如图①：将绕着点D逆时针旋转得到 ∴（），∴，，即 ∵是边上的中线，∴， 在中，由三角形的三边关系得：， ∴ ，即，∴； （2）证明：如图②：绕着点D旋转 得到 ∴（），∴， ∵∴， 在中，由三角形的三边关系得： ，∴； （3），理由如下：如图③，将绕着点C按逆时针方向旋转 ∴，∴ ∴ ∵ ∴，∴点A、B、H三点共线 ∵，∴ ∴， 在和中，，∴（）∴， ∵∴． 10．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图①，在中，平分，，求证：； 小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法一：如图②，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题； 方法二：如图③，延长到点E，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题.    (1)根据以上材料，任选一种方法证明：； (2)如图④，四边形中，E是上一点，，，，探究，，之间的数量关系，并证明. 【答案】(1)详见解析(2)，详见解析 【详解】（1）证明：方法一，∵平分，∴，        　　　　　　　 在和中，，∴，∴，， ∵，∴，∴，∴，∴； 方法二：∵，∴， ∴， ∵，∴，∵平分，∴， 在和中，，∴，∴； （2）解：，证明如下：如图，在上截取，使得，连接， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，　　　　 ∵，∴，∵，∴， 在和中，，，， ∴，∴，， ∵，∴，∴，∴， 又∵，∴． 11．（24-25八年级·广东·期中）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线＋对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； 【答案】（1）证明见解析；（2）；理由见解析 【详解】解：（1）方法1：在上截，连接，如图， ∵平分，∴，在和中，， ∴，，， ∵，，∴，，∴． 方法2：延长到点，使得，连接，如图， ∵平分，∴．在和中，， ∴，，， ∵，，∴，∴，∴． （2）、、之间的数量关系为：， 如图2所示，延长到点，使，连接，由（1）可知， ∵，∴为等边三角形．，， ∵， ∴，， ∵，∴为等边三角形，∴，， ∵，∴，即， 在和中，，∴，， ∵，∴． 12．（24-25·成都·七年级专题练习）阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明． 已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE． 求证：AB＝CD． 分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形． （1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明． ①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF； ②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G． （2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）见解析； 【详解】（1）①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF，∵点E是BC的中点，∴BE＝CE， 在△BEF和△CED中， ，∴△BEF≌△CED（SAS）， ∴BF＝CD，∠F＝∠CDE，∵∠BAE＝∠CDE，∴∠BAE＝∠F，∴AB＝BF，∴AB＝CD； ②如图2， 分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G，∴∠F＝∠CGE＝∠CGD＝90°， ∵点E是BC的中点，∴BE＝CE，在△BEF和△CEG中， ， ∴△BEF≌△CEG（AAS），∴BF＝CG， 在△BAF和△CDG中，，∴△BAF≌△CDG（AAS），∴AB＝CD； （2）如图3，过C点作CM∥AB，交DE的延长线于点M，则∠BAE＝∠EMC， ∵E是BC中点，∴BE＝CE，在△BAE和△CME中，， ∴△BAE≌△CFE（AAS），∴CF＝AB，∠BAE＝∠F， ∵∠BAE＝∠EDC，∴∠F＝∠EDC，∴CF＝CD，∴AB＝CD． 13．（24-25·广东深圳·八年级校考期中）如图，△ABC为等边三角形，直线l过点C，在l上位于C点右侧的点D满足∠BDC＝60°（1）如图1，在l上位于C点左侧取一点E，使∠AEC＝60°，求证：△AEC≌△CDB；（2）如图2，点F、G在直线l上，连AF，在l上方作∠AFH＝120°，且AF＝HF，∠HGF＝120°，求证：HG+BD＝CF；（3）在（2）的条件下，当A、B位于直线l两侧，其余条件不变时（如图3），线段HG、CF、BD的数量关系为 　 　． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）CF=EF-BD． 【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠ACB=60°，∴∠ACE+∠BCD=180°-∠ACB=120°， ∵∠BDC=60°，∴∠BCD+∠CBD=180°-∠BDC=120°，∴∠ACE=∠CBD， 在△AEC和△CDB中，，∴△AEC≌△CDB（AAS） （2）如图所示，在直线l上位于C点左侧取一点E，使得∠AEC=60°，连接AE， 由（1）可知△AEC≌△CDB，∴CE=BD， ∵∠ACE=60°，∴∠AEF=120°，∴∠AEF=∠AFH=120°， ∴∠AFE+∠FAE=180°-∠AEF=60°，∠AFE+∠HFG=180°-∠AFH=60°，∴∠FAE=∠HFG， 在△FAE和△HFG中，，∴△FAE≌△HFG（AAS）， ∴GH=EF，∴CF=EF+CE=GH+BD即HG+BD=CF； （3）如图所示，在直线l上位于C点右侧取一点E使得∠AED=60°，连接AE，在直线l上位于D点左侧取一点M使得BM=BD，设AB与直线l交于N ∵∠BDC=60°，BM=BD，∴△BDM是等边三角形，∴∠DBM=∠DMB=60°， ∵三角形ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠BAC=60°，AC=BC ∴∠ABM+∠CBM=∠ABM+∠ABD，∴∠ABD=∠CBM， ∵∠BAC=∠BDC=60°，∠ANE=∠DNB，∴∠ACE=∠ABD=∠CBM， ∵∠CMB=180°-∠DMB=120°，∠AEC=180°-∠AED=120°，∴∠CMB=∠AEC， 在△AEC和△CMB中，，∴△AEC≌△CMB（AAS），∴CE=BM=BD； ∵∠AFH=120°，∴∠AFC+∠GFH=60°，∵∠GFH+∠FHG=180°-∠HGF=60°，∴∠AFC=∠FHG， 在△AEF和△FGH中，，∴△AEF≌△FGH（AAS）， ∴HG=EF，∴EF=CE+CF=CF+BD即CF=EF-BD．故答案为：CF=EF-BD． 14．（24-25八年级上·河南·期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，解答下列问题：如图1，在中，交于点D，平分，且． (1)为了证明结论“”，小亮在AC上截取，使得，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程；(2)如图2，在四边形中，已知，，，，，，求的长． 【答案】(1)见解析(2)16 【详解】（1）解：证明：在上截取，使得，∵平分，∴， ∵，∴，∴，， ∵，∴，∵是的一个外角， ∴，∴，∴，∴ ∵，∴； （2）在上截取，连接， ∵，，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，，∴， ∴，∴，∵，∴， ∴，∴的长为16． 13．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，中两边、上有两点M、N，D为外一点，且，，，．      (1)猜想线段、、之间的数量关系并证明；(2)若，，求的周长． 【答案】(1)；理由见解析(2)13 【详解】（1）解：；理由如下： 延长，则的延长线上取，连接，如图所示：    ∵，，∴， ∵，∴， ∵，，∴，∴，， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴； （2）解：∵，，， ∴． 14．（24-25七年级下·辽宁·校考期末）【方法初探】倍长中线法是初中数学中一种辅助线作法．如图1，在中，是边上的中线，延长至点E，使，连接．由此可以得到，理由是______（填“”或“”或“”或“”）； 【问题解决】如图2，在外分别作，，且，，连接，取的中点F，连接，判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见解析 【详解】解：[方法初探]延长至点E，使，连接． ∵是边上的中线，∴， 在和中， ∴，故答案为； [问题解决]，理由如下：证明：延长至点G，使，连接， 同理可证，∴，，∴， ∵，，∴， ∴，∴ ∵∴， 又∵，∴，∴∴． 15．（24-25·广东·九年级专题练习）课堂上，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，平分交于点D，且，求证：，小明的方法是：如图2，在上截取，使，连接，构造全等三角形来证明． (1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长至F，使=______，连接请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线； (2)小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题： 如图3，点D在的内部，分别平分，且．求证：．请你解答小芸提出的这个问题（书写证明过程）； (3)小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下： 如果在中，，点D在边上，，那么平分小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明． 【答案】(1)，证明见解析(2)见解析(3)见解析 【详解】（1）证明：（1）如图1，延长至F，使，连接，则， ∴，∵平分∴，   ∵，∴， 在和中，，∴， ∴，∴．故答案为：． （2）证明：如图3，在上截取，使，连接 ∵分别平分， ∴， ∵，∴， 在和中，，∴， ∴，∴，∴，   ∴，∴，∴． （3）证明：如图4：延长至G，使，连接，则， ∴，∵，∴， ∵，  ∴，∴，∴，∴， 在和中，，∴∴，即平分． 16．（24-25·浙江台州·八年级阶段练习）八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． (1)【阅读理解】如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围．小聪同学是这样思考的：延长至E，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． 在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是______；中线的取值范围是______． (2)【理解与应用】如图2，在中，点D是的中点，点M在边上，点N在边上，若．求证：． (3)【问题解决】如图3，在中，点D是的中点，，，其中，连接，探索与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)；(2)证明见解析(3)，理由见解析 【解析】（1）解：延长至E，使，连接， 是边上的中线，，在和中，， ，， 在中，由三角形的三边关系得：，，即， ，，；故答案为：；； （2）证明：延长至点，使，连接、，如图2所示： 同（1）可证：，， ，，∴MD是线段NF的垂直平分线，， 在中，由三角形的三边关系得：，； （3）解：，理由如下：延长至，使，连接，如图3所示： 由（1）得：，，， ，，即， ，，∵，，∴， 在和中，，，，． 17．（24-25七年级下·辽宁·阶段练习）请阅读下列材料，完成相应的任务． 【认识“倍长”】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常采用倍长中线法添加辅助线．所谓倍长中线法，即延长边上（不一定是底边）的中线，使所延长部分与中线相等，以便构造全等三角形、从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的一种方法．如图1，在中，是边上的中线，延长到点．使．连接，易证（依据），进一步可得到等结论． 任务：（1）上述材料中的依据是_____________；（2）如图2，在中，是边上的中线，是上一点，延长交于点，求证：． 【启发拓展】如图3，爱思考的小轩受到启发，把和边的中点和连接起来，得到线段，线段叫做三角形的中位线．下面是小轩的证明方法：延长到点，使，连接易证，得到，即，进而得到，因此可知，最终得到．通过推理，小轩总结得到这样的结论：如果点和点分别为和边中点，那么是的中位线，且．“几何语言”：和分别为和的中点是的中位线． 【旧知新论】 （3）已知和，，，，连接和，点是线段的中点，连接交于点．请直接应用【启发拓展】中的结论，合理猜想与的数量关系？并证明你的结论． 【答案】（1）（2）见解析（3），证明见解析 【详解】（1）∵是边上的中线，∴． ∵． ∵，∴， ∴，，∴．故答案为：． （2）延长到点．使．连接，∵是边上的中线，∴．∵． ∵，∴，∴，，∴． ∵，∴，∵，∴，∴，∴． （3）．理由如下： 延长到点．使．连接，∵是的中点，∴， ∵，，∴直线是线段的垂直平分线，， ∴，∴， ∴， ∴，∴， ∵， ∴，∴，∴． 18．（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）【问题提出】如图①，在中，，求边上的中线的取值范围． 【问题解决】经过组内合作交流．小明得到了如下的解决方法：延长到点E，使，连接，经过推理可知…（2）的取值范围为 　　． 【方法总结】解题时若条件中出现“中点”或“中线”，则可以考虑将中线加倍来构造全等三角形，从而将分散的已知条件转换到同一个三角形中，我们称这种添加辅助线的方法为“倍长中线法”． 【应用】如图②，在中，点D为边的中点，点E在边上，与相交于点F，，求证：． 【拓展】如图，在中，，平分，点E为边的中点，过点E作，交于点F，交的延长线于点G，若，则的面积为 　　．    【答案】问题解决：；应用：见解析；拓展：9 【详解】解：问题解决：延长到点E，使，连接， ∵是的中线，∴，又，∴，∴， 在中，，，，∴， ∵，∴；故答案为：； 应用：延长至点，使，连接，       同法可得：，∴，，∵，∴， ∵，∴，∴，∴； 拓展：延长至点，使，连接，同法可得：，∴，， ∵，平分，∴， ∵，∴， ∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，，∴的面积为：；故答案为：． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $