2025-2026学年北师大版（2012）数学九年级上册月考第一、二章综合复习（1）

北师大版九年级上册数学 第一、二章综合复习题（1） 考试时间:120分钟 满分150分 一、选择题（本大题共10小题，总分40分） 1．下列说法错误的是（　　） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D．对角线相等且垂直的四边形是正方形 2．一元二次方程3x+7＝x（x﹣1）化为一般式后，二次项系数和一次项分别为（　　） A．1，4 B．﹣1，4x C．1，4x D．x2，﹣4x 3．若在▱ABCD中，增加一个条件就成了矩形，则增加的条件是（　　） A．AD＝CD B．∠A+∠C＝180° C．AC＝2AB D．对角线互相垂直 4．已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣2m＝0的一个根是x＝1，则m的值为（　　） A．1 B．﹣2 C．﹣1 D．3 5．如图，一根木棍斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离（　　） A．变小 B．不变 C．变大 D．无法判断 6．一元二次方程2x2﹣3x+5＝0根的情况是（　　） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 7．如图，将两张宽度都为3cm的矩形纸片交叉叠放在一起，重叠部分为四边形ABCD，若∠ABC＝60°，则四边形ABCD的面积为（　　） A． B． C． D．9 8．用配方法解一元二次方程x2﹣2x＝9，配方后可变形为（　　） A．（x﹣1）2＝10 B．（x+1）2＝10 C．（x﹣1）2＝﹣8 D．（x+1）2＝﹣8 9．已知α和β是方程x2+2023x﹣2＝0的两个解，则α2+2024α+β的值为（　　） A．﹣2023 B．2023 C．﹣2021 D．2021 10．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，点E，F分别在BC，CD边上，连接EA，EF，AF．AB＝EC＝a，BE＝b，AF＝c，∠1＝∠2．给出下面三个结论：①∠AEF＝90°；②（a+b）2+（a﹣b）2＝c2；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．关于x的方程（a﹣3）x2+ax+1＝0是一元二次方程的条件是 　 　 ． 12．山西某中学坚持对学生进行近视眼的防治，近视学生人数逐年减少．据统计，今年的近视学生人数是前年近视学生人数的70%．设这两年平均每年近视学生人数降低的百分率为x，根据题意，可列方程为 　 　 ． 13．如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB＝5，OA＝3，则该菱形的面积是　 　 ． 14．关于x的一元二次方程x2+（m2﹣9）x+m+1＝0的两个实数根互为相反数，则m的值是 　 　 ． 15．如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E、F分别在BC、CD上，连接AE、BF，若DF+EC＝2，则AE+BF的最小值为 　 　 ． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．解方程： （1）x2﹣5x﹣6＝0； （2）4（x﹣1）2﹣9＝0； （3）x2﹣4x﹣3＝0； （4）（x+3）2＝﹣2（x+3）． 17．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+5）x+6+2k＝0． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若此方程有一个根为3，求方程的另一个根． 18．已知如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，BC的垂直平分线分别交BC和AB于点D、E，点F在DE的延长线上，且AF＝CE，求证：四边形ACEF是菱形． 19．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点E，BF∥AC，CF∥BD． （1）当BF⊥CF时，求证：▱ABCD是菱形； （2）当BD平分∠ABC时，求证：四边形BECF是矩形． 20．方程x4﹣5x2+4＝0是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可化为y2﹣5y+4＝0． 解得y1＝1，y2＝4． 当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1； 当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2， ∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2． 根据上面的材料，解下列方程： （1）（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12＝0； （2）x2﹣3|x|＝18． 21．如图，P是正方形ABCD对角线AC上一点，连接PB、PD，点E在BC上，且PE＝PB． （1）求证：PE＝PD； （2）试判断PE与PD的位置关系，并证明你的结论． 22．综合与实践 项目主题：劳动基地扩建方案 项目背景：学校计划扩建某劳动基地，综合实践活动小组以设计“劳动基地扩建方案”为主题开展了一次项目学习． 信息获取： 信息1，如图，原劳动基地为矩形，AB的长为25m，BC的长为45m； 信息2，如图，扩建后新劳动基地仍为矩形，BE的最大长度为32m，BG的最大长度为52m． 问题解决： （1）设该劳动基地两边增加相同的宽度x m，请直接写出新劳动基地的面积y（m2）与x（m）的函数关系式． （2）在（1）的条件下，当新劳动基地的面积为1500m2时，求BG和BE的长． （3）当CG＝3AE时，新劳动基地的面积可以为1800m2吗？请说明理由． 23．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，点E是BC的中点，且AC平分∠DAE． （1）求证：四边形ADCE是菱形； （2）已知AB＝3，AE＝2，求线段AC的长． 24．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的n倍（n为正整数），则称这样的方程为“n倍根方程”．例如：方程x2﹣6x+8＝0的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程x2﹣4x+3＝0的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． （1）根据上述定义，2x2﹣5x+2＝0是“　 　 倍根方程”； （2）若关于x的方程x2+6x+m＝0是“三倍根方程”，求m的值； （3）直线l1：y＝﹣x+5与x轴交于点A，直线l过点B（﹣1，0），且与l1相交于点C（1，4）．若一个五倍根方程的两个根为x1和x2（0＜x1＜x2），且点P（x1，x2）在△ABC的内部（不包含边界），求x1的取值范围． 25．如图所示，正方形ABCD的边长为，对角线AC，BD相交于点O，点E在射线CA上，连接DE，点F是DE的中点，连接AF． （1）如图①，当AE＝AO时，则线段AF与线段OE的位置关系是 　 　 ，AF＝　 　 ． （2）如图②，当AE＝EO时，求线段AF的长． 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，总分40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B D B A A A C D 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．a≠3． 12．（1﹣x）2＝70%． 13．24． 14．﹣3． 15．． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．解：（1）原方程因式分解可得：（x﹣6）（x+1）＝0， ∴x1＝6，x2＝﹣1； （2）4（x﹣1）2﹣9＝0， ∴4[（x﹣1）]2＝9， ∴， ∴或， 解得：，； （3）a＝1，b＝﹣4，c＝﹣3， ∴b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣3）＝16+12＝28＞0， ∴， ∴，； （4）（x+3）2＝﹣2（x+3）， （x+3）2+2（x+3）＝0， ∴（x+3）（x+3+2）＝0， ∴x+3＝0或x+5＝0， ∴x1＝﹣3，x2＝﹣5． 17．解：（1）∵Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（k+5）]2﹣4×1×（6+2k）＝（k+1）2≥0， ∴方程总有两个实数根； （2）设方程的另一个根为m， 则， 解得， 故另一个根为2． 18．证明：∵∠ACB＝90°，DE是BC的中垂线， ∴DE⊥BC， 又∵AC⊥BC， ∴DE∥AC， 又∵D为BC中点，DF∥AC， ∴DE是△ABC的中位线， ∴E为AB边的中点， ∴CE＝AE＝BE， ∵∠BAC＝60°， ∴△ACE为正三角形， ∵∠AEF＝∠DEB＝∠CAB＝60°，而AF＝CE，又CE＝AE， ∴AE＝AF， ∴△AEF也为正三角形， ∴∠CAE＝∠AEF＝60°， ∴AC平行且等于EF， ∴四边形ACEF为平行四边形， 又∵CE＝AC， ∴▭ACEF为菱形． 19．证明：（1）∵BF∥AC，CF∥BD， ∴四边形BECF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）， ∴∠F＝∠BEC， ∵BF⊥CF， ∴∠BEC＝∠F＝90°，即BD⊥AC， ∴▱ABCD是菱形； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD， ∵BD平分∠ABC， ∴∠CDB＝∠ABD， ∴∠ADB＝∠ABD， ∴AB＝AD， ∴▱ABCD是菱形， ∴BD⊥AC， ∴∠BEC＝90°， 由（1）得四边形BECF是平行四边形， ∴四边形BECF是矩形． 20．解：（1）设x2+x＝y，原方程可化为y2﹣4y﹣12＝0， 解得：y1＝6，y2＝﹣2． 由x2+x＝6，得x1＝﹣3，x2＝2． 由x2+x＝﹣2，得方程x2+x+2＝0， b2﹣4ac＝1﹣4×2＝﹣7＜0，此时方程无解． ∴原方程的解为：x1＝﹣3，x2＝2． （2）原方程可化为|x|2﹣3|x|﹣18＝0， 设|x|＝y，原方程可化为y2﹣3y﹣18＝0， 解得y1＝6，y2＝﹣3， 由|x|＝6，得x1＝﹣6，x2＝6， 由|x|＝﹣3，此时方程无解， ∴原方程的解为x1＝﹣6，x2＝6． 21．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，AC是正方形的对角线， ∴BC＝CD，∠ACB＝∠ACD， 在△PBC和△PDC中， ， ∴△PBC≌△PDC（SAS）， ∴PB＝PD， ∵PE＝PB， ∴PE＝PD； （2）解：PE⊥PD；理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝90°， 由（1）知：△PBC≌△PDC，且PE＝PB， ∴∠PBC＝∠PDC，∠PBC＝∠PEB， ∴∠PDC＝∠PEB， ∵∠PEB+∠PEC＝180°， ∴∠PDC+∠PEC＝180°， ∴∠EPD＝360°﹣（∠PDC+∠PEC）﹣∠BCD＝360°﹣180°﹣90°＝90°， ∴PE⊥PD． 22．解：（1）设将原劳动基地的长增加x m， 所以，y＝（45+x）（25+x）＝x2+70x+1125； （2）当y＝1500时，x2+70x+1125＝1500， ∴x2+70x﹣375＝0， ∴x1＝5，x2＝﹣75（不符合题意，舍去）， 所以，BE＝25+5＝30m，BG＝45+5＝50m． （3）当CG＝3AE时，扩建后的劳动基地的面积不能为1800m2，理由如下： 假设扩建后的劳动基地的面积可以为1800m2，设AE＝ym，则CG＝3ym， ∴（45+3y）（25+y）＝1800， y2+40y﹣225＝0， y1＝5，y2＝﹣45（不符合题意，舍去）， ∴45+3y＝45+3×5＝60＞52，不符合题意，舍去， ∴假设不成立， 即当CG＝3AE时，扩建后的劳动基地的面积不能为1800m2． 23．（1）证明：∵AD∥BC，点E是BC的中点， ∴AD∥CE，∠DAC＝∠ECA，CE＝BEBC， ∵BC＝2AD， ∴ADBC， ∴AD＝CE， ∴四边形ADCE是平行四边形， ∵AC平分∠DAE， ∴∠DAC＝∠EAC， ∴∠EAC＝∠ECA， ∴AE＝CE， ∴四边形ADCE是菱形． （2）解：∵AE＝CE＝BE＝2， ∴∠EAB＝∠B，BC＝2BE＝4， ∵∠EAC＝∠ECA， ∴∠BAC＝∠EAB+∠EAC＝∠B+∠ECA， ∵∠BAC+∠B+∠ECA＝2∠BAC＝180°， ∴∠BAC＝90°， ∵AB＝3， ∴AC， ∴AC的长为． 24．解：（1）由条件可知（2x﹣1）（x﹣2）＝0， ∴2x﹣1＝0或x﹣2＝0， 解得， ∵x2＝4x1， ∴2x2﹣5x+2＝0是“四倍根方程”； （2）可设这个方程的两个根分别为n，3n， ∴n+3n＝﹣6，n•3n＝m， ∴， ∴； （3）设直线BC解析式为y＝kx+b， 把B（﹣1，0），C（1，4）代入到y＝kx+b中得， ∴， ∴直线BC解析式为y＝2x+2； ∵一个五倍根方程的两个根为x1和x2（0＜x1＜x2）， ∴x2＝5x1， ∴点P的坐标为（x1，5x1）， ∴点P在直线y＝5x上， 联立，解得， 联立，解得， 由条件可知． 25．解：（1）当AE＝AO时， ∵点F是DE的中点， ∴FE＝FD， ∴， 又∵OD⊥OE，， ∴， ∴， ∴AF⊥OE，AF＝2． 故答案为：AF⊥OE，2． （2）过点F作OA的垂线，垂足为H， ∵四边形ABCD是正方形 ∴AC⊥BD， ∴FH∥OD， ∵点F是DE的中点， ∴， 又∵∠OED＝∠OED，∠EHF＝∠EOD， ∴△EHF∽△EOD， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴FH＝2， ∵， ∴， ∴AH＝AE+EH＝3， ∴． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $