4.4.4 探索三角形相似的条件 第4课时 教学设计 2025-2026学年北师大版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦黄金分割的实际应用与拓展，以“从生活现象到数学建模”为主线，通过帕特农神庙、蒙娜丽莎等经典案例导入，激活学生对黄金比的已有认知，再借助五角星图形中相似三角形的性质推导黄金比值，层层递进构建知识支架，实现从抽象定义到具体应用的自然过渡。 本设计突出核心素养导向，体现“数学眼光”“数学思维”“数学语言”的融合运用。例如，用问题链引导学生观察建筑比例并提出数学问题，展现数学眼光；通过小组探究黄金矩形无限分割特性，发展推理能力与逻辑思维；在作业中设置真实情境下的黄金分割建模任务，强化数学语言表达与跨学科应用意识。不仅帮助学生理解黄金分割的美学价值与数学本质，也为教师提供可复制、可迁移的教学范式，提升课堂深度与实效。

4.4.4探索三角形相似的条件 第4课时 教学设计 一、内容与内容解析 （一）教学内容 本节课是北师大版初中数学九年级（上册）第四章“图形的相似”的第四节。内容包括黄金分割的实际应用（如建筑设计、艺术作品、人体美学）、黄金分割与其他数学知识的关联（如相似三角形、一元二次方程）、黄金分割的拓展（如黄金矩形、黄金三角形）。 （二）教学内容解析 核心内容：本节课是黄金分割的收尾课时，重点在于将黄金分割的定义和性质从理论转化为实践应用，建立数学与生活、艺术的联系，深化对“数学之美”的理解。 地位与作用：承接前三课时对黄金分割定义、计算的学习，通过应用场景分析，帮助学生体会数学的实用性；同时关联相似三角形等知识，构建知识网络，为后续学习复杂几何问题和数学建模奠定基础。基于以上分析，确定本节课的教学重点为： 【教学重点】黄金分割的定义和简单应用 二、目标与目标解析 （一）教学目标 1、能运用黄金分割的性质解决建筑、艺术中的实际问题；能识别黄金矩形、黄金三角形，并推导其关键性质；能结合相似三角形验证黄金分割比例。 2、通过分析生活中的黄金分割案例，提升观察、分析和建模能力；通过小组探究黄金矩形的性质，培养合作与逻辑推理能力。 3、感受黄金分割在生活和艺术中的美学价值，激发对数学的兴趣；体会数学与其他学科的联系，培养跨学科思维。 （二）教学目标解析 1、学生能准确找出建筑（如雅典帕特农神庙）、绘画（如《蒙娜丽莎》）中的黄金分割点/线，计算相关线段长度；能证明黄金三角形的底与腰的比为黄金比（约0.618）。 2、学生能独立将实际问题转化为“黄金分割”数学模型，例如根据黄金分割比例设计简单的矩形图案；能通过小组讨论，归纳黄金矩形的“无限分割”特性。 3、学生在分析案例时能主动表达对“数学之美”的感受，愿意在课后寻找生活中的黄金分割实例。 三、学生学情分析 潜在困难与问题：应用层面：难以主动将生活中的“美观”现象与黄金分割建立关联，缺乏从实际场景中提取数学信息的能力。拓展层面：推导黄金三角形、黄金矩形的性质时，可能因逻辑链条较长（如结合相似三角形和黄金分割定义）出现思路中断。认知层面：对“黄金分割为何被称为‘最美比例’”的理解较表面，易停留在“计算比例”，难以体会其美学和实用价值。 基于上述分析，确定本节课的教学难点为： 【教学难点】黄金分割的了解和黄金分割点的画法和验证 四、教学策略分析 1.案例教学法 通过展示雅典帕特农神庙、《蒙娜丽莎》、人体身高与肚脐高度的比例等典型案例，引导学生观察、分析其中的黄金分割元素，将抽象的数学概念与具体生活场景结合，降低理解难度。 2. 小组探究法 针对“黄金矩形的性质”设计探究任务（如“将黄金矩形剪去一个正方形后，剩余矩形是否仍为黄金矩形”），以4人小组为单位，通过测量、计算、推理完成探究，培养合作能力和逻辑思维。 3. 问题链引导法 设计递进式问题链，如“帕特农神庙的高与宽为何看起来和谐？”→“能否用黄金分割比例解释这种和谐？”→“如何验证高与宽的比符合黄金比？”，引导学生逐步深入，从“观察现象”到“数学建模”再到“验证结论”。 五、教学过程分析 （一）复习引入 播放短视频（包含帕特农神庙、《蒙娜丽莎》、芭蕾舞演员舞姿），提问：“这些作品、场景为何给人‘美观、和谐’的感觉？是否蕴含共同的数学规律？” 学生自由发言后，教师引导回顾黄金分割的定义和比例（约0.618），明确本节课主题——黄金分割的实际应用与拓展。 设计意图：通过复习旧知，激活学生已有的知识储备，降低新知识的学习难度。 （二）主动参与、感悟新知 问题1： 一个五角星如图所示． （1）从图中找出相等的角、相等的线段． （2）在图中找出两对相似比不同的相似三角形． 师生活动：教师出示问题，学生通过测量或利用五角星的对称性得出答案． （1）利用五角星的对称性可得答案． （2）答案不唯一，如△ACD∽△ABF，△FGH∽△DGC． 问题2：小亮认为，．你同意他的看法吗？说说你的理由． 师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，教师找学生代表回答． 答：同意小亮的看法；因为△ACD∽△ABF，所以，即． 因为CD=AD=BC，BF=AF=AC，所以． 黄金分割： 一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC（如图），如果，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比． 例1：计算黄金比． 师生活动：教师出示例题，学生思考、讨论，师生共同完成解题过程． 解：由，得AC2=AB·BC．设AB=1，AC=x，则BC=1-x． ∴x2=1×(1-x)，即x2+x-1=0． 解这个方程，得，（不合题意，舍去）． 所以，黄金比． 设计意图：根据黄金分割、黄金比的概念，通过列一元二次方程求黄金比的值． 例2：下图是古希腊时期的巴台农神庙，如果把图中用虚线表示的矩形画成下面右图中的ABCD，以矩形ABCD的宽为边在其内部作正方形AEFD，那么我们可以惊奇地发现，．点E是AB的黄金分割点吗？矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗？ 师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，教师找学生代表回答． 答：因为BC=EF=AE，，所以，即．所以点E是AB的黄金分割点．（即）是黄金比，也就是说，矩形ABCD的宽与长的比是黄金比，这样的矩形称为黄金矩形． 黄金矩形： 宽与长的比是黄金比，这样的矩形称为黄金矩形． （三）课堂总结 1、本节课研究了什么问题？ 2、本节课经历了怎样的研究过程？用到了哪些数学思想？ 3、对今后数学研究的启发？你还有哪些疑惑呢？ 【设计意图】梳理知识脉络，提炼核心方法，帮助学生形成系统的认知，同时加深对代数式价值的理解。 （四）布置作业、巩固提高 一、单选题 1．摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法，原理如下：如图，在正方形的边上取中点，以点为圆心，线段长为半径作圆，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，得到矩形．根据黄金分割的意义：矩形满足，若，则的长是（    ） A． B． C． D． 2．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点是线段上一点，若满足，则称点是的黄金分割点．世界上最有名的建筑物中几乎都包含“黄金分割”．如图，若上海东方明珠塔的塔高为米，为塔的黄金分割点，设，则满足的方程是（    ） A． B． C． D．以上都不对 二、填空题 3．大自然是美的设计师，即使一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是 ． 4．已知是黄金分割值，点是线段的黄金分割点，且，，则的长是 ． 三、解答题 5．黄金分割在我们的数学学习中也处处可见，比如我们把有一个内角为的等腰三角形称为“黄金三角形”． (1)①若C是线段的黄金分割点，则与的比值是_______； ②如图①，学校元旦晚会的舞台长为，主持人小明学习了相关的数学知识后，认为站在点C处更自然得体（已知C是线段上靠近点B的黄金分割点），则此时小明与点A的距离为_______m． (2)如图②，请将内角分别为的等腰三角形分割成三个“黄金三角形”，并标出每个“黄金三角形”内角的度数． (3)如图③，已知等腰三角形为“黄金三角形”，为的平分线．求证：D是的黄金分割点． 6．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段分割成长、短两条线段、，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即，则这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段的黄金分割点． 【问题初探】 如图1，已知点为线段的黄金分割点（），求黄金比． 解：设，，则． ， 请补全以上解题过程； 【问题再探】 如图2，在中，，，，请作出的黄金分割点（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）； 【知识迁移】 如图3，点为线段的黄金分割点（），分别以、为边在线段同侧作正方形和矩形，连结、．求证：； 【延伸拓展】 如图4，在正五边形中，对角线与交于点．求证：点是的黄金分割点． 7．已知线段满足，且． (1)求 a 、b 、c 的值； (2)若线段 x 是线段 a 、b 的比例中项，求 x 的值； (3)将线段b按黄金分割比例分为两条线段，求黄金分割比例后的较长线段的长度； 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $