5.3 实际问题与一元一次方程（第4课时 分段计费和方案选择）（教学课件）数学人教版2024七年级上册

该初中数学课件聚焦一元一次方程在分段计费与方案选择中的应用，以水电气费、购物优惠等真实情境为导入，通过“价目表分析—分段计算—列方程求解—多方案比较”的逻辑链条构建学习支架，层层递进引导学生从生活问题抽象出数学模型，实现知识迁移与能力提升。 其亮点在于深度融合数学核心素养，突出“抽象能力”“推理意识”和“模型观念”，如用阶梯式水费计算训练学生分段建模能力，通过空调耗电对比让学生理解总费用函数关系，再借助变式训练和拓展探究深化方案优化思维。教学设计注重情境驱动与问题导向，既培养了学生的数学眼光和理性思维，又提升了教师课堂组织效率与学生解决问题的实践能力。

5.3实际问题与一元一次方程 第4课时 分段计费和方案选择 第5章 一元一次方程 人教版 七年级上册 学习目标 1.经历分段计费问题的解决过程，合作探究分段计费问题的数量关系，能运用分段计算的方法正确解答这类实际问题，进一步提升解决问题的能力; 2. 通过小组合作，寻找和设计最优方案解决实际问题，发展学生分析问题、解决问题的能力; 3.通过寻找具体问题中的等量关系，建立方程解决问题；进一步经历运用方程解决实际问题的过程，体会数学的应用价值，发展学生的数学建模思维. PART 02 情景导入 新知探究 典例讲解 新知再探 拓展探究 当堂巩固 课堂小结 布置作业 变式训练 目录 “众手浇开生态花，节约用水靠大家”为了加强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水目的．该市自来水收费价格见价目表． 情景导入 价目表 每月用水量 单价 不超出6的部分 2元/ 超出6不超出10的部分 4元/ 超出10的部分 8元/ 注：水费按月结算 (1)①若该户居民2月份用水5，则应交水费______元, ②若该户居民2月份用水8，则应交水费______元, 10 20 新知探究 价目表 每月用水量 单价 不超出6的部分 2元/ 超出6不超出10的部分 4元/ 超出10的部分 8元/ 注：水费按月结算 (1)③若该户居民2月份用水12.5，则应交水费多少元？ 解(1)（元） 答：应交水费48元； 总水费=各阶段费用之和； 新知探究 价目表 每月用水量 单价 不超出6的部分 2元/ 超出6不超出10的部分 4元/ 超出10的部分 8元/ 注：水费按月结算 (2)若该户居民3月份交水费40元；则该户居民3月份用水多少立方米？ 解(2)（元）; ; ; 答：该户居民3月份用水11.5立 方米； 新知探究 (3)若该户居民4、5月份共用15（其中5月份用水量超过4月份），共交水费44元，则该户居民4、5月份各用水多少立方米？ 解(3) ∵5月份用水量超过4月份，∴4月份用水量少于 设4月份用水，则5月份用水 ①当时 , 解得，此时，舍去 新知探究 ②当时 , 解得，此时，符合题意 ③当时 ，方程无解 答：4月份用水4立方米，5月份用水11立方米 解决阶段计费问题，需要先确定所给条件属于哪一段，再根据各段费用之和等于总费用，最后建立方程求值. 新知探究 例1.每年的“618购物节”，各网络电商都会在这一天搞促销活动．今年，某网上购物商城促销活动规则如下： ① 购物不超过200元不给优惠 ② 购物超过200元但不足500元的部分打九折 ③ 购物超过500元的部分打七五折 (1)购物200元实际付款______元，购物400元实际付款_____元，购物600元实际付款_____元 200 380 545 典例讲解 (2)若实际付款620元，求所购物品的原价是多少元？ 解(2)设所购物品的原价是x元， 由实际付款620元，则 ， ， 解得， 答：所购物品的原价是700元． 这种问题应该先由实际付款确定所在的阶梯，再进行计算 典例讲解 例2. 某市自1月1日起对市区民用管道天然气价格进行调整，实行阶梯式气价，调整后的收费价格如表所示： (1)若甲用户3月份的用气， 缴费325元，求的值； 每月用气量 单价(元) 不超出的部分 超出的部分 解(1)由题意，得， 解得， 典例讲解 (2)在(1)的条件下，若乙用户2、3月份共用气(3月份用气量低于2月份用气量)，共缴费元，乙用户2、3月份的用气量各是多少？ 解(2)设乙用户2月份用气，则3月份用气， ∵3月份用气量低于2月份用气量， ∴，解得：， ∴， ∴， 整理得：， 解得：， ∴乙用户2、3月份的用气量各是，． 典例讲解 分段问题：常见的分段计费问题有水电气费、通讯网费、个人所得税、保险报销费等，解决这类问题注意正确分段，找准各段的计算公式，避免重复计费，有时需分段讨论. 典例讲解 购买空调时，需要综合考虑空调的价格和耗电情况.某人打算从两款空调中选购一台，如表是这两款空调的部分基本信息.如果电价是0.5元/(kW•h)，请你分析他购买、使用哪款空调综合费用较低. 两款空调的部分基本信息 匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/ 1.5 1级 3000 640 1.5 3级 2600 800 问1.你知道不同颜色的箭头代表什么吗？ 代表耗能的大小，耗能越大，越费电. 问2.你会怎么选择呢？你的选择依据是什么? 选择总费用较低的 新知再探 匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/kw•h 1.5 1级 3000 640 1.5 3级 2600 800 问3.总费用与什么有关？ 总费用与售价以及使用时间有关，使用时间越长电费越高 问4.总费用怎么计算？ 总费用=售价+电费 新知再探 匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/kw•h 1.5 1级 3000 640 1.5 3级 2600 800 问5.设空调使用时间为年,请用式子表示两种空调使用总费用 一级效能空调 总费用为： 二级效能空调 总费用为： 新知再探 解：列方程，得3000+320t=2600+400t, 解得t=5. ∴t取5时，两款空调的综合费用相等. t>5时，1级能效空调的综合费用较低 t<5时，3级能效空调的综合费用较低 问6.t取何值时，哪款空调综合费用较低？ 新知再探 1.某市生活拨号上网有两种收费方式，用户可以任选其一. A计时制：0.05 元/分钟；B包月制：60 元/月(限一部个人住宅电话上网).此外，两种上网方式都得加收通信费 0.02 元/分钟． (1)某用户某月上网时间为小时，请分别写出两种收费方式下该用户应该支付的费用； 解：(1) 采用计时制：， 采用包月制：； 变式训练 (2) 你认为采用哪种方式比较合算？ 解(2)由， 解得. 又由题意可知，上网时间越长，采用包月制越合算． ∴当时，采用计时制合算； 当时，采用两种方式费用相同； 当时，采用包月制合算． 变式训练 2.某班打算买一些乒乓球和乒乓球拍，现了解情况如下：甲、乙两家商店出售同样品牌的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球拍每副定价30元，乒乓球每盒定价5元，经洽谈后，甲店买一副球拍赠一盒乒乓球，乙店全部按定价的9折优惠．该班需球拍5副，乒乓球若干盒(不小于5盒)．问： (1)当购买乒乓球10盒时，去哪家店购买比较优惠？ 解(1)甲:（元） 乙:（元） 因为0， 所以当购买乒乓球盒时，去甲商店购买比较优惠. 变式训练 (2)当购买乒乓球多少盒时，两家店的付款一样多？ 解(2)设购买盒乒乓球时，两家店的付款一样多， 根据题意得：， 解得：， 答：当购买乒乓球20盒时，两家店的付款一样多． 变式训练 (3)如果你去办这件事，你选择哪家商店购买，更省钱？ 解(3)该班购买乒乓球盒数等于20盒时，两家付款一样； 该班购买乒乓球盒数少于20盒时，甲商店更省钱； 该班购买乒乓球盒数超过20盒时，乙商店更省钱. 变式训练 1.甲、乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案，在甲商场累计购物超过200元后，超出200元的部分按收费，在乙商场累计购物超过100元后，超过100元的部分按收费．设顾客累计购物金额为元 (1)用含的式子分别表示出顾客在甲、乙两商场购物的花费； 解(1)：当时，甲商场购物的花费为元， 当时， 甲商场购物的花费为元； 当时，乙商场购物的花费为元， 当时， 乙商场购物的花费为元； 拓展探究 (2)顾客到哪家商场购物花费少？ 解：(2)当时，两个商场都没有优惠，故此时到两 个商场购物花费一样； 当时，由于甲商场没有优惠，乙商场有优惠， 故此时到乙商场购物花费少； 当时,若时，解得， 故当时，此时到两个商场购物花费一样； ∵， 拓展探究 (2)顾客到哪家商场购物花费少？ ∴若时，，即 时，到乙商场购物花费少； ∴若时，，此时到甲商场 购物花费少； 综上所述，当或时，到两个商场购物花费 一样；当乙商场购物花费少；当时， 到甲商场购物花费少． 拓展探究 1．某校七(3)班开展户外研学活动，此次活动由班长负责购买车票，票价每张20元．有如图两种优惠方案．班长思考一会儿说，无论选择哪种方案所要付的车费是一样的，则七(3)班共有(　 　) A．60人 B．61人 C．62人 D．63人 D 当堂巩固 27 2．某人向北京打电话，通话3分钟以内话费为2元，超出3分钟部分按每分钟1.2元收费（不足1分钟按1分钟计），若某人付了8元话费，则此次通话平均每分钟花费(    ) A．1元 B．1.1元 C．1.2元 D．1.3元 A 当堂巩固 28 3.一家游泳馆每年6—8月出售夏季会员证,每张会员证80元,只限本人使用,凭证购入场券每张10元,不凭证购入场券每张15元.试讨论并回答:什么情况下,购会员证与不购会员证付一样钱? 解:设消费次时, 由题意可得： 解得 当消费16次时,购会员证与不购证付的钱一样多. 当堂巩固 4.每年的“双 11 购物节”，各网络电商都会在这一天搞促销活动．今年，某网上购物商城促销活动规则如下：①购物不超过 200 元不给优惠；②购物超过 200 元但不足 500 元的部分打九折；③购物超过 500 元的部分打七五折．小明第 1 次购得商品的总价（标价和）为 200 元，第 2 次购物花费 452元，若小明将这两次购得的商品合为一次购买，则能节省多少元． 当堂巩固 解:若购物500元,则需要花费(元)， 设第 2 次购物标价为x元， ∵，∴， ∴，∴， ∴两次购物的商品总标价为， 若合为一次购买，则实际应付（元）， ∴（元），∴能节省元， 当堂巩固 5.某农产品基地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为100元；经粗加工后销售，每吨利润可达450元；经精加工后销售，每吨利润涨至750元．现收获这种蔬菜140吨，该基地加工能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨；如果对蔬菜进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行，受季节条件的限制，公司必须在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种加工方案． 当堂巩固 32 方案一：将蔬菜全部进行粗加工； 方案二：尽可能多地对蔬菜进行精加工，没有来得及加工的蔬菜在市场上直接销售； 方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好在15天完成． 你认为选择哪种方案获利 当堂巩固 33 解：方案一：（元），即将食品全部进行 粗加工后销售， 则可获利润万元；     方案二：（元）， 即将食品尽可能多的进行精加工，没来得及加工的在市场上直接 销售， 则可获利润元； 当堂巩固 34 方案三：设粗加工吨食品，则精加工吨食品， 由题意可得：，解得， ，        这时利润为：（元）， ∵， ∴方案三获利最多 ． 答：方案三获利最多 ． 当堂巩固 35 分段计费与方案选择 分段计费 方案选择 根据每段情况不一样列出相应代数式，总费用=每段费用之和. 根据不同方案列出相应代数式，通常费用最少为最优方案. 当堂巩固 布置作业 P139练习1、2 一套在手，备课无忧！ 谢谢观看 人教版 七年级上册 $