（单元考点梳理）第一单元 长方体和正方体-2025-2026学年六年级数学上册（考点•题型•技巧）精讲与精练高分突破系列（苏教版）

编者的话 亲爱的同学们、老师们： 为了帮助同学们更高效地掌握数学知识，精准突破考试重难点，我们精心编写了这套《六年级数学上册（考点•题型•技巧）精讲与精练高分突破系列》。本书紧扣最新课程标准，结合各地考试真题，系统梳理考点，强化解题技巧，助力同学们在各类考试中取得优异成绩！ ​​本套资料特色​​ 1、考点梳理讲义—以单元为单位，系统梳理各单元核心知识点，帮助构建完整的知识体系。 2、单元复习讲义—结合典型例题，深入讲解解题思路，强化理解与运用能力。 3、单元思维卷—每单元配套思维拓展训练，提升逻辑推理和数学思维能力；融入生活实际问题，培养数学应用意识。 4、专项强化训练—针对计算、应用题、几何等重点模块专项突破，精准攻克薄弱环节；总结解题技巧，提高解题速度和正确率。 5、月考、期中、期末模拟卷—仿真试题，贴合考试难度，检验阶段学习成果，增强实战能力。 6、真题汇编·命题规律分析—精选近年考试真题，分析命题趋势，把握考试方向，做到有的放矢。 7、期中期末专项复习—考前冲刺宝典，聚焦核心考点，高效查漏补缺，助力考试高分！ ​​适用对象​ 1、学生：用于课前预习、课后巩固、考前冲刺，全面提升数学成绩。 2、教师：作为课堂补充资料，辅助教学，精准把握考试方向。 3、家长：帮助孩子高效复习，轻松应对各类考试。 ​​编者寄语： 数学学习，方法比努力更重要！本套资料不仅提供全面的知识梳理，更注重解题技巧和思维训练， 帮助同学们在理解中掌握，在练习中突破。愿每一位使用者都能在数学的世界里找到自信，收获优异的成绩！ ​​愿我们携手努力，在2025-2026学年的数学学习中，勇攀高峰，再创佳绩！​ 中小学数学教研 2025-2026学年六年级数学上册（考点•题型•技巧）精讲与精练高分突破系列 第一单元 长方体和正方体（单元考点梳理） 目录 考点一长方体和正方体的认识 3 考点二长方体和正方体的棱长的应用 4 考点三长方体和正方体的展开图 5 考点四体积和容积的认识 6 考点五体积单位和容积单位的认识 7 考点六体积和容积单位的选择 8 考点七立体图形的切拼（求表面积） 9 考点八立体图形的切拼（求体积） 10 考点九体积及容积单位的换算 11 考点十长方体和正方体的表面积图形计算 12 考点十一长方体和正方体的体积图形计算 13 考点十二组合图形的表面积和体积 15 考点十三画长方体和正方体的展开图 16 考点十四运用长方体和正方体的表面积解决问题 16 考点十五运用长方体和正方体的体积解决问题 19 考点十六测量不规则图形的体积 20 考点十七等积变形问题 21 考点十八单位换算在实际问题中的应用 23 考点一长方体和正方体的认识 1．长方体有（ ）个顶点，（ ）条棱，包含（ ）组相对的棱，（ ）组相对的面，相对的面（ ），相交于同一个顶点的三条棱的长度分别叫作长方体的（ ）、（ ）、（ ）。 2．（1）如下图，这个长方体的长、宽、高分别是（ ）cm、（ ）cm、（ ）cm，它的棱长总和是（ ）cm。 （2）如果把它的高减少（ ）cm，它就变成了一个长、宽、高都是（ ）cm的特殊的长方体，也就是一个（ ）体。 3．正方体的6个面上分别写着、、、、、，那么与相对的字母是（ ）。 4．在下面的若干面中找出6个面，使它们能围成一个长方体，这6个面的编号分别是（ ）。 考点二长方体和正方体的棱长的应用 5．用一根长144厘米的铁丝围成一个正方体框架，棱长是（ ）厘米；如果用它围成一个长方体框架，长是20厘米，宽是10厘米，那么高是（ ）厘米。 6．如图所示，一个长方体的长、宽、高分别是40厘米、30厘米、20厘米。一只小虫要从A点沿棱爬到B点，最短的路程是（ ）厘米，这个长方体的棱长总和是（ ）厘米。 7．一根铁丝可焊成棱长是5厘米的正方体框架，如果用同样长的一根焊成长8厘米，宽3厘米的长方体，它的高应是（ ）厘米。 8．李阿姨要用硬纸板做一个长25厘米、宽18厘米、高5厘米的礼品盒，至少需要（ ）平方厘米的硬纸板，如果像图这样用彩带捆扎，打结处需要12厘米，这根彩带长（ ）厘米。 考点三长方体和正方体的展开图 9．下列展开图（ ）能折成一个长方体；展开图（ ）能折成一个正方体。 10．下图是一个长方体的展开图。 这个长方体的长是（ ）厘米，宽是（ ）厘米，高是（ ）厘米，棱长总和是（ ）厘米。下面的面积是（ ）平方厘米。 11．如图是一个正方体的展开图，六个面上分别写有这六个数字，相对的两个面上数字的和最大是（ ），相对的两个面上数字的差最小是（ ）。 12．如图，正方体展开图上有六个不同的汉字，将展开图折叠还原成正方体。 （1）汉字“数”相对的面上的汉字是“（ ）”。 （2）汉字“学”相对的面上的汉字是“（ ）”。 （3）汉字“好”相对的面上的汉字是“（ ）”。 考点四体积和容积的认识 13．物体所占空间的大小叫作物体的（ ），常用的体积单位有（ ）、（ ）和（ ）。容器所能容纳物体的（ ）叫作容器的容积。计量液体的体积，通常用（ ）或（ ）作单位。 14． 以上三种水果，（ ）的体积最大，（ ）的体积最小。 15．一个杯子最多能装250mL，是指杯子的（ ）是250mL。 16．下列物体中，（ ）的容积最小，（ ）的容积最大。 考点五体积单位和容积单位的认识 17．下面物体的体积比1立方分米小的画“△”，比1立方分米大的画“○”。 （ ）    （ ）    （ ）    （ ） 18．棱长为1厘米的正方体，体积是（ ），记作（ ）。棱长为（ ）的正方体，体积是1立方分米，记作（ ）。 19．把下面的单位名称填到合适的圈里。（填序号） ①米            ②立方分米      ③厘米          ④平方米 ⑤千米          ⑥立方米        ⑦平方厘米      ⑧立方厘米 ⑨平方分米      ⑩公顷          ⑪分米          ⑫平方千米 长度单位               面积单位               体积单位 20．下面的物体都是用1立方厘米的小正方体摆成的，它们的体积各是多少立方厘米？ （ ）立方厘米                （ ）立方厘米 （ ）立方厘米                  （ ）立方厘米 考点六体积和容积单位的选择 21．在括号里填上合适的单位。 魔方的体积大约是216（ ）； 一次性纸杯的容积大约是180（ ）； 水桶的容积大约是10（ ）。 22．在括号里填上合适的单位名称。 一台冰箱容积约为240（ ）；一间教室的面积约为72（ ）； 一个集装箱的体积约是60（ ）；一个文具盒的体积约是0.4（ ）。 23．在括号里填上合适的单位名称。 李伟的数学课本封面大约是480（ ），他的保温杯大约可以装水500（ ）。 马拉松是一项考验耐力的长跑比赛项目，其全长大约是42（ ），一名职业运动员跑完全程大约需要2.5（ ）。 24．在括号里填上合适的体积单位或容积单位。 早上，小明看见妈妈在煮面条，锅里装了大约2（ ）的水。小明喝了一杯200（ ）的牛奶，吃完早饭，就去上学了。来到校园，映入眼帘的是体积大约10（ ）的升旗台。 考点七立体图形的切拼（求表面积） 25．如图，一个长方体是由三个同样大小的正方体拼成的，如果去掉一个正方体，表面积就比原来减少30cm2，原来长方体的表面积是（ ）cm2。 26．用12个棱长1厘米的小正方体拼成长方体，有（ ）种不同的拼法，其中表面积最大的长方体是（ ）平方厘米。 27．如图，淘气用棱长是1dm的小正方体拼成一个长方体。他要从5个有编号的小正方体中拿掉2个，使剩下图形的表面积比原来图形的表面积增加4dm2，他拿掉的小正方体编号可能是（ ）和（ ）。 28．把一根长3米的长方体木料沿与长垂直的截面锯成两段，锯开后两段木料的表面积之和比原来木料的表面积增加了40平方厘米。这根木料的体积是（ ）立方米。 考点八立体图形的切拼（求体积） 29．如图，王师傅把长的长方体木料锯成3个相同的小长方体，表面积增加了，原来长方体木料的体积是（ ）。 30．用棱长为1厘米的小正方体拼成下面的图形，这个图形的表面积是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米。 31．把一根长2.4米的长方体钢材截成相同的三段，表面积比原来增加2平方分米，则长方体钢材的横截面面积是（ ）平方分米，每段钢材的体积是（ ）立方分米。 32．把两个棱长为的正方体木块拼成一个长方体，表面积会减少（ ）cm2，拼成的长方体体积是（ ）cm3。 考点九体积及容积单位的换算 33．3.02升＝（ ）毫升   530立方分米＝（ ）立方米 34．在括号里填合适的数。 （ ）        （ ）（ ） 7.8L＝（ ）mL＝（ ）cm3    （ ） 35．4070立方分米＝（ ）立方米        40立方厘米＝（ ）立方分米 32.5立方米＝（ ）立方分米        1500毫升＝（ ）升 36．填空。 0.5（ ）        8500（ ） 2.03（ ）        6780＝（ ） 考点十长方体和正方体的表面积图形计算 37．求下面长方体和正方体的表面积。（单位：cm）        38．计算长方体和正方体的表面积。      39．计算下面长方体和正方体的表面积。 （1）（2） 40．计算长方体和正方体的表面积。 考点十一长方体和正方体的体积图形计算 41．计算下面图形围成的长方体的体积。 42．求体积。 43．计算下面图形的体积。（单位：cm）             44．计算下面图形的表面积和体积。    考点十二组合图形的表面积和体积 45．求如图图形的表面积和体积。 46．计算如图图形的表面积和体积（单位：分米）。 47．下图是由棱长5cm的正方体拼成的，请求出下图的表面积和体积。 表面积：   体积： 48．如图，计算如图图形的表面积和体积。 考点十三画长方体和正方体的展开图 49．如图，方格纸上是一个长方体纸盒展开图形的3个面，请你补充画出其他的3个面。 50．下面是正方体和长方体的展开图，请在展开图上标出剩下的各面。 51．把下面的长方形分成4块，使每块都能折成一个无盖的正方体。 52．从下面的方格纸（每小格的边长表示3厘米）上剪下一部分，折成一个棱长为3厘米的正方体，可以怎样剪？请设计两种不同的方案，并在图中涂色表示。 考点十四运用长方体和正方体的表面积解决问题 53．一种圆柱形饮料罐，底面直径是5厘米，高是12厘米。将24罐这种饮料放入长方体纸箱（如图）。做这样的纸箱，至少要用硬纸板多少平方厘米？（箱盖和箱底的重叠部分按1500平方厘米计算） 54．“一方有难，八方支援”某社区居民发起为灾区捐款的活动，需要制作一个长方体募捐箱（如图，单位：厘米），在它上面挖一个长方形的口，制作这样一个募捐箱至少需要多少平方厘米的纸板？ 55．用彩纸包装一个棱长为18厘米的正方体礼品盒，如果实际用纸是礼盒表面积的1.2倍，那么包装这个礼盒用纸至少是多少平方厘米？ 56．如图，是一个棱长为3分米的正方体募捐箱，上面留有一个长1分米，宽3厘米的长方形入口，这个募捐箱的表面积是多少？ 考点十五运用长方体和正方体的体积解决问题 57．一个完全封闭的长方体容积，里面的长是20厘米，宽是16厘米，高是10厘米，平放时水面高7厘米（左图），如果把这个容器竖起来放（如图），水的高度会是多少厘米？（单位：厘米） 58．一个长方体石块，长5厘米，宽4厘米，投入到一个棱长为10厘米装满水的正方体水箱里，具体情况如图所示，求这个长方体石块的高。 59．一个正方体水槽，从里面量，棱长是10厘米。一个长方体水槽，从里面量，长是8厘米，宽是6厘米，高是5厘米。小江把长方体水槽装满水，然后把长方体水槽中的水倒进空的正方体水槽中，正方体水槽中的水高多少厘米？ 60．一个长20厘米，高10厘米的密封的长方体容器里装有6厘米深的水，如果以容器的右侧面为底竖直摆放，此时容器内水高多少厘米？ 考点十六测量不规则图形的体积 61．一个长12厘米、宽6厘米的长方体水槽中装有水，把一块石头浸没在水中，水面高度由5厘米上升到8厘米（水未溢出）。求这块石头的体积。 62．小东做测量石块体积”的实验：他先将一块棱长是4厘米的正方体铁块浸没在一个长方体水槽中，然后取出正方体铁块，水槽里的水面下降了2厘米。接着他把要测量的一个石块浸没在水槽中，这时水槽里的水面上升了1.5厘米。这个石块的体积是多少？ 63．厨房间的长方体水槽，长25厘米，宽18厘米，放了9厘米深的水，现在放入几个土豆，土豆完全浸没在水中，这时水面上升到11厘米。这几个土豆所占的空间有多大？ 64．小实验：测量一块石头的体积。 步骤1：准备一个长方体玻璃缸，从里面测量长是25cm，宽是8cm，高是12cm。 步骤2：往玻璃缸中倒入1升水。 步骤3：把一块石头放入玻璃缸中，被水完全浸没。 步骤4：测出水面上升3cm。 （1）这块石头的体积是多少立方厘米？ （2）如果再往这个长方体玻璃缸中倒入1升的水，水会溢出吗？ 考点十七等积变形问题 65．如下图，在一个高2dm的长方体玻璃缸中，装有15cm深的水。园园用右边的水杯装满水往这个玻璃缸中倒11次，水会溢出来吗？ 66．张师傅和李师傅准备要把一块长36厘米、宽20厘米的铁皮锻造成一个无盖铁皮箱。 张师傅：我把铁皮的4个角各切掉一个边长5厘米的正方形后就可以做成无盖铁皮箱。（图1） 李师傅：我是这样切割材料的，一点铁皮都不浪费，也可以做成无盖铁皮箱。（图2） 用哪种方法做成的无盖铁皮箱容积大？请计算说明理由。 67．一个花坛，高0.8米，底面是边长1.4米的正方形。四周和底部用砖堆成，厚度0.2米，中间填满泥土。 （1）花坛所占的空间有多大？ （2）花坛里大约有多少立方米泥土？ 68．有一个两层的水箱，如下图所示。（单位：分米） （1）第二层水箱容积是多少升？ （2）如果注满第一层需要7.5分钟，照这样的流速，注满整个水箱需要多少分钟？ 考点十八单位换算在实际问题中的应用 69．一个成年人平均每分钟呼吸16次，每次吸入0.5立方分米的空气。一个成年人一昼夜（24小时）吸入多少立方分米的空气？合多少立方米？ 70．我国最大的港口是上海港，它也是世界最大的十大港口之一，每天都有成千上万个集装箱在港口装卸。某个装满货物的长方体集装箱，长10米，宽8米，高4米。如果每立方分米货物重0.3千克，这一箱货物有多少吨？ 71．小红家新买了一个长8分米、宽6分米、高6分米的长方形玻璃鱼缸，小红在这个鱼缸内放入了体积约4立方分米的养鱼装饰物。正常情况下，鱼缸水位至少要比鱼缸口低0.5分米，照此计算，最多还能再加入多少升的水？（鱼缸玻璃厚度忽略不计） 72．李叔叔打算在网上订购下面的种植箱（厚度忽略不计）和营养土。若要留出3厘米高的浇水空间，李叔叔至少要买几袋这样的营养土？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 编者的话 亲爱的同学们、老师们： 为了帮助同学们更高效地掌握数学知识，精准突破考试重难点，我们精心编写了这套《六年级数学上册（考点•题型•技巧）精讲与精练高分突破系列》。本书紧扣最新课程标准，结合各地考试真题，系统梳理考点，强化解题技巧，助力同学们在各类考试中取得优异成绩！ ​​本套资料特色​​ 1、考点梳理讲义—以单元为单位，系统梳理各单元核心知识点，帮助构建完整的知识体系。 2、单元复习讲义—结合典型例题，深入讲解解题思路，强化理解与运用能力。 3、单元思维卷—每单元配套思维拓展训练，提升逻辑推理和数学思维能力；融入生活实际问题，培养数学应用意识。 4、专项强化训练—针对计算、应用题、几何等重点模块专项突破，精准攻克薄弱环节；总结解题技巧，提高解题速度和正确率。 5、月考、期中、期末模拟卷—仿真试题，贴合考试难度，检验阶段学习成果，增强实战能力。 6、真题汇编·命题规律分析—精选近年考试真题，分析命题趋势，把握考试方向，做到有的放矢。 7、期中期末专项复习—考前冲刺宝典，聚焦核心考点，高效查漏补缺，助力考试高分！ ​​适用对象​ 1、学生：用于课前预习、课后巩固、考前冲刺，全面提升数学成绩。 2、教师：作为课堂补充资料，辅助教学，精准把握考试方向。 3、家长：帮助孩子高效复习，轻松应对各类考试。 ​​编者寄语： 数学学习，方法比努力更重要！本套资料不仅提供全面的知识梳理，更注重解题技巧和思维训练， 帮助同学们在理解中掌握，在练习中突破。愿每一位使用者都能在数学的世界里找到自信，收获优异的成绩！ ​​愿我们携手努力，在2025-2026学年的数学学习中，勇攀高峰，再创佳绩！​ 中小学数学教研 2025-2026学年六年级数学上册（考点•题型•技巧）精讲与精练高分突破系列 第一单元 长方体和正方体（单元考点梳理） 目录 考点一长方体和正方体的认识 3 考点二长方体和正方体的棱长的应用 4 考点三长方体和正方体的展开图 6 考点四体积和容积的认识 9 考点五体积单位和容积单位的认识 10 考点六体积和容积单位的选择 12 考点七立体图形的切拼（求表面积） 14 考点八立体图形的切拼（求体积） 17 考点九体积及容积单位的换算 19 考点十长方体和正方体的表面积图形计算 20 考点十一长方体和正方体的体积图形计算 23 考点十二组合图形的表面积和体积 25 考点十三画长方体和正方体的展开图 29 考点十四运用长方体和正方体的表面积解决问题 29 考点十五运用长方体和正方体的体积解决问题 34 考点十六测量不规则图形的体积 36 考点十七等积变形问题 38 考点十八单位换算在实际问题中的应用 41 考点一长方体和正方体的认识 1．长方体有（ ）个顶点，（ ）条棱，包含（ ）组相对的棱，（ ）组相对的面，相对的面（ ），相交于同一个顶点的三条棱的长度分别叫作长方体的（ ）、（ ）、（ ）。 【答案】8 12 3 3 完全相同 长 宽 高 【解答】长方体有8个顶点，12条棱，包含3组相对的棱，3组相对的面，相对的面完全相同，相交于同一个顶点的三条棱的长度分别叫作长方体的长、宽、高。 2．（1）如下图，这个长方体的长、宽、高分别是（ ）cm、（ ）cm、（ ）cm，它的棱长总和是（ ）cm。 （2）如果把它的高减少（ ）cm，它就变成了一个长、宽、高都是（ ）cm的特殊的长方体，也就是一个（ ）体。 【答案】4 4 6 56 2 4 正方 【分析】（1）由图可知，长方体的长是4cm、宽是4cm、高是6cm，根据长方体棱长总和公式：（其中a为长，b为宽，h为高 ）计算即可。 （2）要变成长、宽、高都相等的特殊长方体（正方体），长和宽都是4cm，所以高要减少6−4＝2（cm），此时长、宽、高都是4cm，这种特殊的长方体是正方体。 【解答】（1）由分析得： 所以这个长方体的长、宽、高分别是（ 4 ）cm、（ 4 ）cm、（ 6 ）cm，它的棱长总和是（ 56 ）cm。 （2）高减少：（cm） 所以把它的高减少（ 2 ）cm，它就变成了一个长、宽、高都是（  4  ）cm的特殊的长方体，也就是一个（  正方  ）体。 3．正方体的6个面上分别写着、、、、、，那么与相对的字母是（ ）。 【答案】B 【分析】结合3种摆放情况可知，B对面不可能是A、E、C、F，所以B对面是D。据此解答。 【解答】根据分析可知，正方体的6个面上分别写着、、、、、，那么与相对的字母B。 4．在下面的若干面中找出6个面，使它们能围成一个长方体，这6个面的编号分别是（ ）。 【答案】①⑤②⑧③⑥ 【分析】长方体的特征：长方体有6个面，有三组相对的面完全相同，一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同。长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等，即长、宽、高各有4条。 【解答】如图： 从图中若干面中找出6个面，使它们能围成一个长方体，这6个面的编号分别是（①⑤②⑧③⑥）。 考点二长方体和正方体的棱长的应用 5．用一根长144厘米的铁丝围成一个正方体框架，棱长是（ ）厘米；如果用它围成一个长方体框架，长是20厘米，宽是10厘米，那么高是（ ）厘米。 【答案】12 6 【分析】由题意可知，铁丝的总长度就是正方体或者长方体的棱长总和，“棱长＝正方体的棱长之和÷12”“高＝长方体的棱长之和÷4－长－宽”，把题目中的数据代入公式计算，据此解答。 【解答】144÷12＝12（厘米） 144÷4－20－10 ＝36－20－10 ＝6（厘米） 所以，正方体的棱长是12厘米，长方体的高是6厘米。 6．如图所示，一个长方体的长、宽、高分别是40厘米、30厘米、20厘米。一只小虫要从A点沿棱爬到B点，最短的路程是（ ）厘米，这个长方体的棱长总和是（ ）厘米。 【答案】90 360 【分析】小虫要从A点沿棱爬到B点，爬的最短的路程是长、宽、高的和；长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，据此代入数据解答。 【解答】40＋30＋20 ＝70＋20 ＝90（厘米） （40＋30＋20）×4 ＝90×4 ＝360（厘米） 所以一只小虫要从A点沿棱爬到B点，最短的路程是90厘米，这个长方体的棱长总和是360厘米。 7．一根铁丝可焊成棱长是5厘米的正方体框架，如果用同样长的一根焊成长8厘米，宽3厘米的长方体，它的高应是（ ）厘米。 【答案】4 【分析】铁丝长度相当于长方体棱长总和，根据正方体棱长总和＝棱长×12，长方体的高＝棱长总和÷4－长－宽，列式计算即可。 【解答】5×12÷4－8－3 ＝15－8－3 ＝4（厘米） 它的高应是4厘米。 8．李阿姨要用硬纸板做一个长25厘米、宽18厘米、高5厘米的礼品盒，至少需要（ ）平方厘米的硬纸板，如果像图这样用彩带捆扎，打结处需要12厘米，这根彩带长（ ）厘米。 【答案】1330 118 【分析】（1）求至少需要多少平方厘米的硬纸板，也就是求长方体礼品盒的表面积。长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，把长25厘米、宽18厘米、高5厘米代入长方体表面积公式计算即可求出需要的硬纸板的面积。 （2）观察上图可知：彩带的长包含2个长、2个宽、4个高和打结的长度，即用25×2＋18×2＋5×4＋12可求出这根彩带的长。 【解答】（25×18＋25×5＋18×5）×2 ＝（450＋125＋90）×2 ＝665×2 ＝1330（平方厘米） 25×2＋18×2＋5×4＋12 ＝50＋36＋20＋12 ＝118（厘米） 所以，至少需要1330平方厘米的硬纸板，这根彩带长118厘米。 考点三长方体和正方体的展开图 9．下列展开图（ ）能折成一个长方体；展开图（ ）能折成一个正方体。 【答案】① ④ 【分析】长方体有6个面，相对的面完全一样，正方体有6个面，每个面都是完全一样的正方形，根据长方体和正方体的展开图，是长方体或正方体展开图的可以折成长方体或正方体，据此分析。 【解答】①1－4－1型长方体展开图，能折成长方体；②不是正方体展开图，不能折成正方体；③不是长方体展开图，不能折成长方体；④1－4－1型正方体展开图，能折成正方体。 所以展开图①能折成一个长方体；展开图④能折成一个正方体。 10．下图是一个长方体的展开图。 这个长方体的长是（ ）厘米，宽是（ ）厘米，高是（ ）厘米，棱长总和是（ ）厘米。下面的面积是（ ）平方厘米。 【答案】20 8 4 128 160 【分析】观察长方体的展开图，可知长方体的长是20厘米，宽是8厘米，高是4厘米，再根据长方体的棱长和＝（长＋宽＋高）×4，求出棱长总和；下面的长方形高是20厘米，宽是厘米，据此求出下面的面积即可。 【解答】长方体的长是20厘米，宽是8厘米，高是4厘米； 长方体棱长总和：（20＋8＋4）×4 ＝32×4 ＝128（厘米） 下面的面积：（平方厘米） 11．如图是一个正方体的展开图，六个面上分别写有这六个数字，相对的两个面上数字的和最大是（ ），相对的两个面上数字的差最小是（ ）。 【答案】9 2 【分析】正方体展开图符合“2－2－2”型结构，折成正方体后，“1”对“5”，“2”对“4”，“3”对“6”，据此求出相对两个数的和与差，进而解答。 【解答】根据分析可知，折成正方体后，“1”对“5”，“2”对“4”，“3”对“6”。 1＋5＝6；5－1＝4 2＋4＝6；4－2＝2 3＋6＝9；6－3＝3 和最大是9，差最小是2。 一个正方体的展开图，六个面上分别写有这六个数字，相对的两个面上数字的和最大是9，相对的两个面上数字的差最小是2。 12．如图，正方体展开图上有六个不同的汉字，将展开图折叠还原成正方体。 （1）汉字“数”相对的面上的汉字是“（ ）”。 （2）汉字“学”相对的面上的汉字是“（ ）”。 （3）汉字“好”相对的面上的汉字是“（ ）”。 【答案】（1）玩 （2）用 （3）有 【分析】正方体有6个面，都是完全一样的正方形，相对的面之间一定隔着一个正方形。想象把正方体展开图折成正方体：“玩”是下面，“好”是左面，“有”是右面，“用”是前面，“学”是后面，“数”是上面，据此解答。 【解答】（1）汉字“数”相对的面上的汉字是“玩”。 （2）汉字“学”相对的面上的汉字是“用”。 （3）汉字“好”相对的面上的汉字是“有”。 考点四体积和容积的认识 13．物体所占空间的大小叫作物体的（ ），常用的体积单位有（ ）、（ ）和（ ）。容器所能容纳物体的（ ）叫作容器的容积。计量液体的体积，通常用（ ）或（ ）作单位。 【答案】体积 立方米 立方分米 立方厘米 体积 升 毫升 【解答】根据体积和容积的认识，物体所占空间的大小叫作物体的体积，常用的体积单位有立方米、立方分米和立方厘米。容器所能容纳物体的体积叫作容器的容积。计量液体的体积，通常用升或毫升作单位。 14． 以上三种水果，（ ）的体积最大，（ ）的体积最小。 【答案】西瓜 草莓 【分析】体积是指物体所占空间的大小，据此根据生活经验或观察示意图，所占空间最大的水果体积最大，所占空间最小的水果体积最小。 【解答】根据分析，西瓜的体积最大，草莓的体积最小。 15．一个杯子最多能装250mL，是指杯子的（ ）是250mL。 【答案】容积 【分析】杯子的“最多能装250mL”指的是它内部所能容纳液体的最大体积，根据数学定义，容器能容纳物体的体积称为“容积”。 【解答】题目中描述杯子“最多能装250mL”，这里的“装”指杯子内部可以容纳的液体量。容器所能容纳物体的体积称为容积。 所以，一个杯子最多能装250mL，是指杯子的容积是250mL。 16．下列物体中，（ ）的容积最小，（ ）的容积最大。 【答案】文具盒 汽车 【分析】容积是指容器所能容纳物体的体积。一般来说，物体的实际尺寸越大，其内部可容纳空间（容积）通常也越大。 【解答】观察这几种物体，文具盒是用来装文具的，尺寸最小，能容纳的物体体积少，所以容积小；汽车是用来载人的，尺寸最大，内部可容纳空间大，容积大。 考点五体积单位和容积单位的认识 17．下面物体的体积比1立方分米小的画“△”，比1立方分米大的画“○”。 （ ）    （ ）    （ ）    （ ） 【答案】△ ○ △ ○ 【分析】棱长1分米的正方体，体积是1立方分米，大约是2个拳头的大小，据此根据体积单位的认识，以及生活经验，确定各物体比1立方分米小还是比1立方分米大。 【解答】 18．棱长为1厘米的正方体，体积是（ ），记作（ ）。棱长为（ ）的正方体，体积是1立方分米，记作（ ）。 【答案】1立方厘米 1cm3 1分米 【解答】根据体积单位的认识，棱长为1厘米的正方体，体积是1立方厘米，记作1cm3。棱长为1分米的正方体，体积是1立方分米，记作。 19．把下面的单位名称填到合适的圈里。（填序号） ①米            ②立方分米      ③厘米          ④平方米 ⑤千米          ⑥立方米        ⑦平方厘米      ⑧立方厘米 ⑨平方分米      ⑩公顷          ⑪分米          ⑫平方千米 长度单位               面积单位               体积单位 【答案】见详解 【分析】体积是衡量物体所占空间大小的量，单位有立方米、立方分米、立方厘米等；面积是衡量平面图形大小的量，单位有平方米、平方分米等；长度是衡量物体长短的量，单位有米、分米等，据此解答。 【解答】①米            ②立方分米      ③厘米          ④平方米 ⑤千米          ⑥立方米        ⑦平方厘米      ⑧立方厘米 ⑨平方分米      ⑩公顷          ⑪分米          ⑫平方千米 长度单位                           面积单位                      体积单位 20．下面的物体都是用1立方厘米的小正方体摆成的，它们的体积各是多少立方厘米？ （ ）立方厘米                （ ）立方厘米 （ ）立方厘米                  （ ）立方厘米 【答案】4 8 8 8 【分析】分别数一数每个立体图形用的小正方体个数，用了几个小正方体，体积就是几立方厘米。 【解答】 4立方厘米                    8立方厘米 8立方厘米                      8立方厘米 考点六体积和容积单位的选择 21．在括号里填上合适的单位。 魔方的体积大约是216（ ）； 一次性纸杯的容积大约是180（ ）； 水桶的容积大约是10（ ）。 【答案】立方厘米/cm3 毫升/mL 升/L 【分析】棱长1厘米的正方体，体积是1立方厘米，大约是1个手指头的大小，1立方厘米＝1毫升；棱长1分米的正方体，体积是1立方分米，大约是2个拳头的大小，1立方分米＝1升，据此根据体积和容积单位的认识，结合数据以及生活经验进行填空。 【解答】魔方的体积大约是216立方厘米； 一次性纸杯的容积大约是180毫升； 水桶的容积大约是10升。 22．在括号里填上合适的单位名称。 一台冰箱容积约为240（ ）；一间教室的面积约为72（ ）； 一个集装箱的体积约是60（ ）；一个文具盒的体积约是0.4（ ）。 【答案】升/L 平方米/m2 立方米/m3 立方分米/dm3 【分析】根据生活经验以及数据的大小可知：两瓶矿泉水的容积是1升，所以计量一台冰箱容积用“升”作单位比较合适。16张A4纸的面积为1平方米，所以计量教室的占地面积用“平方米”作单位比较合适。1台洗衣机的体积约1立方米，所以计量集装箱的体积用立方米比较合适。1个粉笔盒的体积约1立方分米，所以计量文具的体积用立方分米比较合适。 【解答】一台冰箱容积约为240升；一间教室的面积约为72平方米； 一个集装箱的体积约是60立方米；一个文具盒的体积约是0.4立方分米。 23．在括号里填上合适的单位名称。 李伟的数学课本封面大约是480（ ），他的保温杯大约可以装水500（ ）。 马拉松是一项考验耐力的长跑比赛项目，其全长大约是42（ ），一名职业运动员跑完全程大约需要2.5（ ）。 【答案】平方厘米/cm2 毫升/mL 千米/km 小时/h 【分析】面积的常用单位有平方米、平方分米、平方厘米等，1平方米大约1张方桌面的大小，1平方分米大约1个成人手掌面的大小，1平方厘米大约1个手指甲盖的大小，所以结合数据480，计量数学课本封面应用“平方厘米”作单位； 一瓶矿泉水大约500毫升，结合数据500，计量保温杯的容积应用“毫升”作单位； 一个人要走2000步大约是1千米，结合数据42，所以计量长跑比赛的路程用“千米”作单位； 计量较长的时间一般用小时作单位，一场电影大约是2小时，所以跑完马拉松全程时间用“小时”作单位。 【解答】李伟的数学课本封面大约是480平方厘米，他的保温杯大约可以装水500毫升。 马拉松是一项考验耐力的长跑比赛项目，其全长大约是42千米，一名职业运动员跑完全程大约需要2.5小时。 24．在括号里填上合适的体积单位或容积单位。 早上，小明看见妈妈在煮面条，锅里装了大约2（ ）的水。小明喝了一杯200（ ）的牛奶，吃完早饭，就去上学了。来到校园，映入眼帘的是体积大约10（ ）的升旗台。 【答案】升/L 毫升/mL 立方米/cm3 【分析】计量容积一般用体积单位，计量液体的体积常用容积单位升和毫升。计量水的体积和牛奶的体积应用容积单位。 根据生活经验，对体积单位和容积单位以及数据大小的认识可知。 1升液体的体积就是1立方分米，所以计量煮面条锅里的水的体积用“升”比较合适； 1毫升液体的体积就是1立方厘米，计量比较少的液体，通常用毫升做单位，结合单位前面的数据200，所以小明喝了一杯200毫升的牛奶比较合适。 1个粉笔盒的体积大约是1立方分米，棱长是1米的正方体，体积是1立方米，计量升旗台的体积用“立方米”做单位比较合适。 【解答】由分析知：早上，小明看见妈妈在煮面条，锅里装了大约2升的水。小明喝了一杯200毫升的牛奶，吃完早饭，就去上学了。来到校园，映入眼帘的是体积大约10立方米的升旗台。 考点七立体图形的切拼（求表面积） 25．如图，一个长方体是由三个同样大小的正方体拼成的，如果去掉一个正方体，表面积就比原来减少30cm2，原来长方体的表面积是（ ）cm2。 【答案】105或210 【分析】如果去掉一个正方体，有两种情况：去掉两边的任意一个或中间的一个，表面就少了4个面或2个面，表面积比原来减少30平方厘米，所以用30÷4或30÷2求出正方体的一个面的面积，然后由图可知：把三个同样大小的正方体拼成一个大长方体，少了4个面，长方体的表面积即（6×3－4）个正方形面的面积和，进而解答即可。 【解答】30÷4×（6×3－4） ＝7.5×14 ＝105（平方厘米） 30÷2×（6×3－4） ＝15×14 ＝210（平方厘米） 原来长方体的表面积是105平方厘米或210平方厘米。 26．用12个棱长1厘米的小正方体拼成长方体，有（ ）种不同的拼法，其中表面积最大的长方体是（ ）平方厘米。 【答案】4 50 【分析】要确定用12个棱长1厘米小正方体拼成长方体的不同拼法，需考虑12的因数组合情况，因为长方体体积等于长×宽×高，而12个小正方体体积为12立方厘米，所以通过12的因数组合能得到不同的长宽高组合方式。 再根据长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2，分别计算出各种情况的长方体的表面积，再进行比较即可解答。 【解答】因为12＝1×1×12，此时长方体长宽高分别为12厘米、1厘米、1厘米； 12＝1×2×6，长方体长宽高分别为6厘米、2厘米、1厘米； 12＝1×3×4，长方体长宽高分别为4厘米、3厘米、1厘米； 12＝2×2×3，长方体长宽高分别为3厘米、2厘米、2厘米。 所以共有4种不同拼法。 第一种拼法：1×1×12，长方体表面积为： （1×1＋1×12＋1×12）×2 ＝（1＋12＋12）×2 ＝（13＋12）×2 ＝ 25×2 ＝50（平方厘米） 第二种拼法：长方体的表面积为： （6×2＋2×1＋6×1）×2 ＝（12＋2＋6）×2 ＝（14＋6）×2 ＝20×2 ＝40（平方厘米） 第三种拼法：长方体的表面积为： 为（1×3＋1×4＋3×4）×2 ＝（3＋4＋12）×2 ＝（7＋12）×2 ＝19×2 ＝38（平方厘米） 第四种拼法：长方体的表面积为： （2×2＋2×3＋2×3）×2 ＝（4＋6＋6）×2 ＝（10＋6）×2 ＝16×2 ＝32（平方厘米） 因为50＞40＞38＞32，所以其中表面积最大的长方体50平方厘米。 27．如图，淘气用棱长是1dm的小正方体拼成一个长方体。他要从5个有编号的小正方体中拿掉2个，使剩下图形的表面积比原来图形的表面积增加4dm2，他拿掉的小正方体编号可能是（ ）和（ ）。 【答案】② ④ 【分析】分析题目，根据正方形的面积＝边长×边长可知小正方体每个面的面积是1×1＝1（dm2），剩下部分图形的表面积比原来的大长方体的表面积增加4dm2，就是增加了4÷1＝4（个）小正方形的面，据图可知，拿掉①或⑤表面积不变，拿掉②、③或④表面积都会增加2个面，拿掉中间相邻的两个②③或③④表面积会增加2个小正方形，拿掉中间不相邻的两个②和④表面积会增加4个小正方形，所以表面积想增加4dm2，得拿中间的，并隔一个拿一个，据此解答。 【解答】1×1＝1（dm2） 4÷1＝4（个） 根据分析，使所剩部分的表面积比原来长方体的表面积增加4dm2，拿②和④。 淘气用棱长1dm的小正方体拼成一个长方体。他要从5个有编号的小正方体中拿掉2个，使剩下图形的表面积比原来图形的表面积增加4dm2，他拿掉的小正方体编号可能是②和④。 28．把一根长3米的长方体木料沿与长垂直的截面锯成两段，锯开后两段木料的表面积之和比原来木料的表面积增加了40平方厘米。这根木料的体积是（ ）立方米。 【答案】0.006 【分析】根据切割方法，锯成两段时，表面积增加了2个横截面的面积，据此即可求出横截面的面积是（平方厘米），再根据长方体体积底面积高，用长方体木料的底面积乘木料的长，即可求出它的体积。 【解答】（平方厘米） 20平方厘米（平方米） （立方米） 这根木料的体积是0.006立方米。 【点评】解答此题的关键是根据切割方法，求出长方体木料的横截面的面积。要注意单位的统一。 考点八立体图形的切拼（求体积） 29．如图，王师傅把长的长方体木料锯成3个相同的小长方体，表面积增加了，原来长方体木料的体积是（ ）。 【答案】288 【分析】根据题意可知，增加的表面积等于4个长等于长方体的宽，宽等于长方体的高的长方形，用增加的面积÷4，求出一个面的面积，也就是长方体的底面积，再根据长方体体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，即可解答，注意单位名数的统一。 【解答】2.4m＝24dm 48÷4×24 ＝12×24 ＝288（dm3） 原来长方体木料的体积是288dm3。 30．用棱长为1厘米的小正方体拼成下面的图形，这个图形的表面积是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米。 【答案】44 16 【分析】小正方体的每个面都是正方形，根据，可求出每个面的面积，观察可知， 这个图形从正面和后面看都有8个面，从上面和下面看都有6个面，从左面和右面看都有8个面，用每个面的面积乘面的总数可得这个图形的表面积。 观察可知这个图形一共有16个小正方体，根据，代入数据计算小正方体的体积，再用小正方体的体积乘16，即可得这个图形的体积。 【解答】 （平方厘米） （立方厘米） 用棱长为1厘米的小正方体拼成下面的图形，这个图形的表面积是44平方厘米，体积是16立方厘米。 31．把一根长2.4米的长方体钢材截成相同的三段，表面积比原来增加2平方分米，则长方体钢材的横截面面积是（ ）平方分米，每段钢材的体积是（ ）立方分米。 【答案】0.5/ 4 【分析】把长方体钢材截成相同的三段，截两下，会增加4个横截面，用得横截面面积，用原来钢材的长除以3，得每段钢材的长，再用横截面乘每段钢材的长即可得每段钢材的体积。单位不同要先统一单位，据此解答。 【解答】或（平方分米） 2.4米＝24分米 （立方分米） 把一根长2.4米的长方体钢材截成相同的三段，表面积比原来增加2平方分米，则长方体钢材的横截面面积是0.5（或）平方分米，每段钢材的体积是4立方分米。 32．把两个棱长为的正方体木块拼成一个长方体，表面积会减少（ ）cm2，拼成的长方体体积是（ ）cm3。 【答案】1800 54000 【分析】根据正方体、长方体的表面积的意义、体积的意义可知，把两个完全一样的正方体拼成一个长方体，体积不变，拼成的长方体的表面积比两个正方体的表面积和减少了正方体的2个面的面积。根据正方形的面积公式：，正方体的体积公式：，把数据代入公式解答。 【解答】 （cm2） （cm3） 表面积减少了1800cm2，拼成的长方体的体积是54000cm3。 考点九体积及容积单位的换算 33．3.02升＝（ ）毫升   530立方分米＝（ ）立方米 【答案】3020 0.53 【分析】根据1升＝1000毫升，1立方米＝1000立方分米，单位大变小乘进率，单位小变大除以进率，进行换算即可。 【解答】3.02×1000＝3020（毫升）；530÷1000＝0.53（立方米） 3.02升＝3020毫升；530立方分米＝0.53立方米 34．在括号里填合适的数。 （ ）        （ ）（ ） 7.8L＝（ ）mL＝（ ）cm3    （ ） 【答案】8050 0.056/ 0.056/ 7800 7800 9.108// 【分析】1dm3＝1000cm3；1L＝1000cm3；1L＝1dm3；1L＝1000mL；1m3＝1000dm3；高级单位换算低级单位，乘进率；低级单位换算高级单位，除以进率，据此解答。 【解答】8.05dm3＝（8.05×1000）cm3＝8050cm3 56cm3＝（56÷1000）dm3＝0.056（或）dm3 56cm3＝（56÷1000）L＝0.056（或）L 56cm3＝0.056（或）dm3＝0.056（或）L 7.8L＝（7.8×1000）mL＝7800mL 7.8L＝（7.8×1000）cm3＝7800cm3 7.8L＝7800L＝7800cm3 9108dm3＝（9108÷1000）m3＝9.108（或或）m3 35．4070立方分米＝（ ）立方米        40立方厘米＝（ ）立方分米 32.5立方米＝（ ）立方分米        1500毫升＝（ ）升 【答案】4.07 0.04 32500 1.5 【分析】根据1立方米＝1000立方分米，1立方分米＝1000立方厘米，1立方米＝1000立方分米，1升＝1000毫升，单位大变小乘进率，单位小变大除以进率，进行换算即可。 【解答】4070÷1000＝4.07（立方米）；40÷1000＝0.04（立方分米） 32.5×1000＝32500（立方分米）；1500÷1000＝1.5（升） 4070立方分米＝4.07立方米；40立方厘米＝0.04立方分米 32.5立方米＝32500立方分米；1500毫升＝1.5升 36．填空。 0.5（ ）        8500（ ） 2.03（ ）        6780＝（ ） 【答案】500 8.5 2030 6.78 【分析】1dm3＝1000cm3，1m3＝1000dm3，根据高级单位化低级单位乘进率，低级单位化高级单位除以进率，据此解答。 【解答】0.5500 85008.5 2.032030 6780＝6.78 考点十长方体和正方体的表面积图形计算 37．求下面长方体和正方体的表面积。（单位：cm）        【答案】360；486 【分析】长方体的底面是一个边长为6cm的正方形，长方体的表面积＝底面周长×高＋两个边长为6cm的底面积；据此代入数据计算即可； 正方体的表面积＝棱长×棱长×6，据此代入数据计算即可。 【解答】6×4×12＋6×6×2 ＝24×12＋36×2 ＝288＋72 ＝360（） 9×9×6 ＝81×6 ＝486（） 长方体的表面积是360，正方体的表面积是486。 38．计算长方体和正方体的表面积。      【答案】144平方分米；216平方米 【分析】；正方体的表面积＝棱长×棱长×6；据此解答即可。 【解答】（7×4＋7×4＋4×4）×2 ＝（28＋28＋16）×2 ＝72×2 ＝144（平方分米）      长方体的表面积是144平方分米。 6×6×6＝216（平方米） 正方体的表面积是216平方分米。 39．计算下面长方体和正方体的表面积。 （1）（2） 【答案】（1）216平方厘米   （2）808平方分米 【分析】（1）根据图示，第一个图形为正方体，依据正方体表面积公式：正方体表面积＝ 6×棱长2，将数据代入公式计算出结果即可。 （2）根据图示，第二个图形为长方体，依据长方体表面积公式：长方体表面积＝ 2×（长×宽＋长×高＋宽×高），将数据代入公式计算出结果即可。 【解答】（1）正方体表面积＝6×棱长2 ＝6×62 ＝6×36 ＝216（平方厘米） 正方体的表面积为216平方厘米。 （2）长方体表面积＝2×（长×宽＋长×高＋宽×高） ＝2×（18×8＋18×10＋10×8） ＝2×（144＋180＋80） ＝2×404 ＝808（平方分米） 长方体的表面积为808平方分米。 40．计算长方体和正方体的表面积。 【答案】85cm2；96cm2 【分析】根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体的表面积＝棱长×棱长×6，代入数据解答即可。 【解答】（5×4＋5×2.5＋4×2.5）×2 ＝（20＋12.5＋10）×2 ＝（32.5＋10）×2 ＝42.5×2 ＝85（cm2） 4×4×6 ＝16×6 ＝96（cm2） 长方体的表面积是85cm2，正方体的表面积是96cm2。 考点十一长方体和正方体的体积图形计算 41．计算下面图形围成的长方体的体积。 【答案】216立方厘米 【分析】据图可知，这个长方体的长是12厘米，高是（27－12×2）厘米，宽是（12－高×2），再根据长方体的体积＝长×宽×高代入数据列式计算即可。 【解答】27－12×2 ＝27－24 ＝3（厘米） 12－3×2 ＝12－6 ＝6（厘米） 12×6×3 ＝72×3 ＝216（立方厘米） 围成的长方体的体积是216立方厘米。 42．求体积。 【答案】 【分析】根据长方体体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，即可解答。 【解答】15×8＝120（cm3） 长方体的体积是120cm3。 43．计算下面图形的体积。（单位：cm）             【答案】120；512 【分析】根据图示，结合长方体的体积公式：长×宽×高以及正方体的体积公式：边长×边长×边长，代入数据计算即可。 【解答】12×2×5 ＝24×5 ＝120（） 8×8×8 ＝64×8 ＝512（） 44．计算下面图形的表面积和体积。    【答案】表面积37.5m2；体积15.625m3； 表面积177cm2；体积135cm3 【分析】根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高，代入数据解答即可。 【解答】2.5×2.5×6 ＝6.25×6 ＝37.5（m2） 2.5×2.5×2.5 ＝6.25×2.5 ＝15.625（m3） （10×3＋10×4.5＋3×4.5）×2 ＝（30＋45＋13.5）×2 ＝（75＋13.5）×2 ＝88.5×2 ＝177（cm2） 10×3×4.5 ＝30×4.5 ＝135（cm3） 第一个图形的表面积是37.5m2，体积是15.625m3； 第二个图形的表面积是177cm2，体积是135cm3。 考点十二组合图形的表面积和体积 45．求如图图形的表面积和体积。 【答案】表面积216m2；体积189m3 【分析】把图形右上角露出的3个面向外平移，把图形右上角的缺口补完整，这样图形的表面积就是棱长为6m的正方体的表面积，根据正方体的表面积公式S＝6a2，代入数据计算求解。 图形的体积等于棱长为6m的正方体的体积减去棱长为3m的正方体的体积，根据正方体的体积公式V＝a3，代入数据计算求解。 【解答】表面积： （m2） 体积： （m3） 图形的表面积是216m2，体积是189m3。 46．计算如图图形的表面积和体积（单位：分米）。 【答案】表面积150平方分米；体积99立方分米 【分析】据图可知，图形的表面积等于长是8分米宽是3分米、高是3分米的长方体的表面积加上棱长是3分米的正方体的4个面的面积，图形的体积等于长方体的体积加正方体的体积，长方体的表面积（长×宽长×高宽×高）×2，长方体的体积长×宽×高，正方体的表面积棱长×棱长×6，正方体的体积棱长×棱长×棱长，据此代入数据计算即可求出它的表面积和体积。 【解答】表面积：（8×3＋8×3＋3×3）×2＋3×3×4 ＝（24＋24＋9）×2＋9×4 ＝57×2＋36 ＝114＋36 ＝150（平方分米） 体积：8×3×3＋3×3×3 ＝72＋27 ＝99（立方分米） 47．下图是由棱长5cm的正方体拼成的，请求出下图的表面积和体积。 表面积：   体积： 【答案】表面积：600cm2；体积：875cm3 【分析】表面积：从前面和后面看有4个面，从上面和下面看有4个面，从左面和右面看有4个面积；一共有4×2×3个面；根据正方形面积公式：面积＝边长×边长，代入数据，求出小正方体一个面的面积，进而求出组合体的表面积。 体积：有2层，上层3个小正方形，下层是4个小正方体，一共有3＋7＝4＝7个小正方体；根据正方体体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，求出一个小正方体的体积，进而求出组合体的体积。 【解答】表面积： 4×2×3×（5×5） ＝8×3×25 ＝24×25 ＝600（cm2） 体积：5×5×5×（3＋4） ＝25×5×7 ＝125×7 ＝875（cm3） 组合体的表面积是600cm2，体积是875cm3。 48．如图，计算如图图形的表面积和体积。 【答案】； ； 【分析】左图中正方体的上面的面可以平移到长方体被挡住的面，则此图形的表面积＝长方体的表面积＋正方体的侧面积；体积＝长方体体积＋正方体体积； 右图中可以将凹进去的小正方体的三个面正好可以通过平移转化为是大正方体，则此图表面积＝正方体的表面积；体积＝正方体的体积－缺口处体积。 其中，； ，。代入数据计算即可。 【解答】左图 表面积： 体积： 则左图的表面积是，体积是。 右图 表面积： 体积： 则右图的表面积是，体积是。 考点十三画长方体和正方体的展开图 49．如图，方格纸上是一个长方体纸盒展开图形的3个面，请你补充画出其他的3个面。 【答案】见详解 【分析】根据长方体的特征，长方体有6个面，有三组相对的面完全相同，结合给出的3个面，可以画出1－4－1型长方体展开图。 【解答】 （画法不唯一） 50．下面是正方体和长方体的展开图，请在展开图上标出剩下的各面。 【答案】见详解 【分析】正方体、长方体展开图找相对面的规律：“同层隔一面”、“异层隔两面”、“相邻不相对”，对于不在同一行的，“Z”字端处的小正方形、长方形是正方体的对面、长方体的对面，据此解答即可。 【解答】如图： 51．把下面的长方形分成4块，使每块都能折成一个无盖的正方体。 【答案】见详解 【分析】根据正方体的11种展开图特征来涂色，注意每个正方体都是无盖的，需要的是5个面。据此解答即可。 【解答】 52．从下面的方格纸（每小格的边长表示3厘米）上剪下一部分，折成一个棱长为3厘米的正方体，可以怎样剪？请设计两种不同的方案，并在图中涂色表示。 【答案】见详解 【分析】正方体的棱长为3厘米，每小格边长也为3厘米，正方体有6个面，选择6格进行涂色。常见的正方体展开图如下， 任选其中的两种涂色即可。 【解答】 （答案不唯一） 考点十四运用长方体和正方体的表面积解决问题 53．一种圆柱形饮料罐，底面直径是5厘米，高是12厘米。将24罐这种饮料放入长方体纸箱（如图）。做这样的纸箱，至少要用硬纸板多少平方厘米？（箱盖和箱底的重叠部分按1500平方厘米计算） 【答案】3900平方厘米 【分析】看图可知，长方体纸箱的长＝饮料罐的底面直径×6，长方体纸箱的宽＝饮料罐的底面直径×4，长方体纸箱的高＝饮料罐的高，根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，求出长方体纸箱的表面积，再加上重贴部分的面积即可。 【解答】长：5×6＝30（厘米） 宽：5×4＝20（厘米） 高：12厘米 （30×20＋30×12＋20×12）×2＋1500 ＝（600＋360＋240）×2＋1500 ＝1200×2＋1500 ＝2400＋1500 ＝3900（平方厘米） 答：做这样的纸箱，至少要用硬纸板3900平方厘米。 54．“一方有难，八方支援”某社区居民发起为灾区捐款的活动，需要制作一个长方体募捐箱（如图，单位：厘米），在它上面挖一个长方形的口，制作这样一个募捐箱至少需要多少平方厘米的纸板？ 【答案】10725平方厘米 【分析】长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2，长方形的面积＝长×宽，需要纸板的面积＝长方体的表面积－长方形的面积，据此解答。 【解答】（40×30＋40×60＋30×60）×2－5×15 ＝（1200＋2400＋1800）×2－5×15 ＝5400×2－5×15 ＝10800－75 ＝10725（平方厘米） 答：制作这样一个募捐箱至少需要10725平方厘米的纸板。 55．用彩纸包装一个棱长为18厘米的正方体礼品盒，如果实际用纸是礼盒表面积的1.2倍，那么包装这个礼盒用纸至少是多少平方厘米？ 【答案】2332.8平方厘米 【分析】根据题意，用彩纸包装一个的正方体礼品盒，实际用纸是礼盒表面积的1.2倍，先根据正方体的表面积公式S＝6a2，求出礼盒的表面积，再乘1.2即是包装这个礼盒至少用纸的面积。 【解答】18×18×6 ＝324×6 ＝1944（平方厘米） 1944×1.2＝2332.8（平方厘米） 答：包装这个礼盒用纸至少是2332.8平方厘米。 56．如图，是一个棱长为3分米的正方体募捐箱，上面留有一个长1分米，宽3厘米的长方形入口，这个募捐箱的表面积是多少？ 【答案】53.7平方分米 【分析】这个募捐箱的表面积等于正方体的表面积减去长1分米，宽3厘米的长方形的面积，根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，长方形的面积＝长×宽，代入数据解答即可。 【解答】3×3×6＝54（平方分米） 3厘米＝0.3分米 1×0.3＝0.3（平方分米） 54－0.3＝53.7（平方分米） 答：这个募捐箱的表面积是53.7平方分米。 考点十五运用长方体和正方体的体积解决问题 57．一个完全封闭的长方体容积，里面的长是20厘米，宽是16厘米，高是10厘米，平放时水面高7厘米（左图），如果把这个容器竖起来放（如图），水的高度会是多少厘米？（单位：厘米） 【答案】14厘米 【分析】长方体体积公式为V＝a×b×h（其中V表示体积，a表示长，b表示宽，h表示高）。已知容器平放时，长a＝20厘米，宽b＝16厘米，水面高h＝7厘米，此时水的形状为长方体，所以水的体积为20×16×7＝2240（立方厘米）。 容器竖起来后水的体积不变，容器竖起来放时，底面的长变为16厘米，宽变为10厘米，所以此时的底面积为16×10＝160（平方厘米）。因为水的体积不变，根据h＝V÷S（其中h为高，V为体积，S为底面积），把体积2240立方厘米，底面积160平方厘米，代入公式即可解答。 【解答】20×16×7＝2240（立方厘米） 16×10＝160（平方厘米） 2240÷160＝14（厘米） 答：如果把这个容器竖起来放，水的高度是14厘米。 58．一个长方体石块，长5厘米，宽4厘米，投入到一个棱长为10厘米装满水的正方体水箱里，具体情况如图所示，求这个长方体石块的高。 【答案】5厘米 【分析】由图发现，拿出石块，水面下降10－9＝1厘米，根据长方体的体积＝底面积×高，先用正方体的底面积×1求出下降水面水的体积，也就是石块的体积；再用石块的体积÷石块底面积即可求出石块的高。 【解答】10－9＝1（厘米） 10×10×1＝100（立方厘米） 100÷（5×4） ＝100÷20 ＝5（厘米） 答：这个长方体石块的高是5厘米。 59．一个正方体水槽，从里面量，棱长是10厘米。一个长方体水槽，从里面量，长是8厘米，宽是6厘米，高是5厘米。小江把长方体水槽装满水，然后把长方体水槽中的水倒进空的正方体水槽中，正方体水槽中的水高多少厘米？ 【答案】2.4厘米 【分析】根据长方体体积＝长×宽×高，求出长方体水槽容积，长方体水槽容积÷正方体水槽底面积＝正方体水槽中的水的高度，据此列式解答。 【解答】8×6×5÷（10×10） ＝240÷100 ＝2.4（厘米） 答：正方体水槽中的水高2.4厘米。 60．一个长20厘米，高10厘米的密封的长方体容器里装有6厘米深的水，如果以容器的右侧面为底竖直摆放，此时容器内水高多少厘米？ 【答案】12厘米 【分析】根据题意，长方体内水的体积不变，以容器的右侧面为底竖直摆放，也就是改变水的底面为宽和高围成的长方形，根据：水的体积＝长×宽×高，水的高＝水的体积÷（高×宽）计算出结果即可，宽未知可以用字母代替计算。 【解答】设长方体容器的宽为b厘米。 20×b×6÷（10×b） ＝120b÷10b ＝12（厘米） 答：此时容器内水高12厘米。 【点评】此题考查了长方体的体积运用，关键能灵活运用等体积变形知识以及字母表示数进行解答。 考点十六测量不规则图形的体积 61．一个长12厘米、宽6厘米的长方体水槽中装有水，把一块石头浸没在水中，水面高度由5厘米上升到8厘米（水未溢出）。求这块石头的体积。 【答案】216立方厘米 【分析】由题意可知，上升的水的体积就是石头的体积，上升的水的体积可看作是一个长是12厘米、宽是6厘米、高是厘米的小长方体的体积，根据，代入数据计算即可得解。 【解答】12×6×（8－5） ＝12×6×3 ＝216（立方厘米） 答：这块石头的体积是216立方厘米。 62．小东做测量石块体积”的实验：他先将一块棱长是4厘米的正方体铁块浸没在一个长方体水槽中，然后取出正方体铁块，水槽里的水面下降了2厘米。接着他把要测量的一个石块浸没在水槽中，这时水槽里的水面上升了1.5厘米。这个石块的体积是多少？ 【答案】48立方厘米 【分析】由题意可知，下降的水的体积等于棱长是4厘米的正方体铁块的体积，用正方体铁块的体积除以水面下降的高度，求出水槽的底面积，石块的体积等于上升的水的体积，用水槽的底面积乘上升的高度即可求出石块的体积；根据长方体的体积＝底面积×高，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，据此代入相关数据解答。 【解答】（4×4×4÷2）×1.5 ＝（16×4÷2）×1.5 ＝（64÷2）×1.5 ＝32×1.5 ＝48（立方厘米） 答：这个石块的体积是48立方厘米。 63．厨房间的长方体水槽，长25厘米，宽18厘米，放了9厘米深的水，现在放入几个土豆，土豆完全浸没在水中，这时水面上升到11厘米。这几个土豆所占的空间有多大？ 【答案】900立方厘米 【分析】求这几个土豆所占空间的体积，就是求水面上升（11－9）厘米部分的体积；根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，即可解答。 【解答】25×18×（11－9） ＝450×2 ＝900（立方厘米） 答：这几个土豆所占的空间有900立方厘米。 64．小实验：测量一块石头的体积。 步骤1：准备一个长方体玻璃缸，从里面测量长是25cm，宽是8cm，高是12cm。 步骤2：往玻璃缸中倒入1升水。 步骤3：把一块石头放入玻璃缸中，被水完全浸没。 步骤4：测出水面上升3cm。 （1）这块石头的体积是多少立方厘米？ （2）如果再往这个长方体玻璃缸中倒入1升的水，水会溢出吗？ 【答案】（1）600立方厘米 （2）水会溢出 【分析】（1）石头的体积等于放入石头后上升部分水的体积，上升部分水的体积＝玻璃缸的长×玻璃缸的宽×上升部分水的高度，据此解答。 （2）用水的体积除以玻璃缸的底面积，求出水的高度；2升水的高度和上升部分高度之和，与长方体玻璃缸高度进行比较，看是否会溢出即可。 【解答】体积： （立方厘米） 答：这块石头的体积是600立方厘米。 （2）1升＝1000立方厘米 水高： （厘米） （厘米）厘米 答：水会溢出。 考点十七等积变形问题 65．如下图，在一个高2dm的长方体玻璃缸中，装有15cm深的水。园园用右边的水杯装满水往这个玻璃缸中倒11次，水会溢出来吗？ 【答案】不会 【分析】由题意可知，计算玻璃缸还能装多少毫升的水，先把3分米和2分米的单位转化为厘米，已知还能装的高度是玻璃缸的高度减15厘米，根据，代入数据计算，再用250乘11，可得到11杯水的总体积，对比即可解答水是否溢出。 【解答】 所以水不会溢出来 答：水不会溢出来。 66．张师傅和李师傅准备要把一块长36厘米、宽20厘米的铁皮锻造成一个无盖铁皮箱。 张师傅：我把铁皮的4个角各切掉一个边长5厘米的正方形后就可以做成无盖铁皮箱。（图1） 李师傅：我是这样切割材料的，一点铁皮都不浪费，也可以做成无盖铁皮箱。（图2） 用哪种方法做成的无盖铁皮箱容积大？请计算说明理由。 【答案】图2的方法；理由见详解 【分析】图1，做成的无盖铁皮箱的长是（36－5－5）厘米，宽是（20－5－5）厘米，高是5厘米； 图2，做的无盖长方体铁皮箱的底面边长是20厘米，高是[（36－20）÷4]厘米，根据长方体的容积公式：V＝abh，把数据代入公式分别求出两个铁皮箱的容积，然后进行比较即可。 【解答】图1做出的无盖铁皮箱容积： （36－5－5）×（20－5－5）×5 ＝26×10×5 ＝1300（立方厘米） 图2做出的无盖铁皮箱容积： （36－20）÷4 ＝16÷4 ＝4（厘米） 20×20×4＝1600（立方厘米） 1600＞1300 答：图2的方法做成的无盖铁皮箱的容积大。 67．一个花坛，高0.8米，底面是边长1.4米的正方形。四周和底部用砖堆成，厚度0.2米，中间填满泥土。 （1）花坛所占的空间有多大？ （2）花坛里大约有多少立方米泥土？ 【答案】（1）1.568立方米；（2）0.6立方米 【解答】（1）根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。 （2）花坛底面里面的边长是（1.4－0.2×2）米，泥土的高是（0.8－0.2）米，根据长方体的容积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。 【解答】（1）1.4×1.4×0.8 ＝1.96×0.8 ＝1.568（立方米） 答：花坛所占的空间有1.568立方米。 （2）1.4－0.2×2 ＝1.4－0.4 ＝1（米） 0.8－0.2＝0.6（米） 1×1×0.6＝0.6（立方米） 答：花坛里大约有0.6立方米泥土。 68．有一个两层的水箱，如下图所示。（单位：分米） （1）第二层水箱容积是多少升？ （2）如果注满第一层需要7.5分钟，照这样的流速，注满整个水箱需要多少分钟？ 【答案】（1）100升 （2）20分钟 【分析】（1）观察图形可知，第二层水箱是长是（2＋6＋2）分米，宽是5分米，高是2分米的长方体，根据长方体容积公式：容积＝长×宽×高，代入数据，求出第二层水箱的容积； （2）利用长方体容积公式，求出第一层水箱的容积；再用第一层水箱的容积÷7.5，求出每分钟水的流速，再用第二层水箱的容积÷每分钟水的流速，求出注满第二层水箱需要的时间，再加上第一层注满水箱的时间，即可解答。，注意单位名数的换算。 【解答】（1）（2＋6＋2）×5×2 ＝（8＋2）×5×2 ＝10×5×2 ＝50×2 ＝100（立方分米） 100立方分米＝100升 答：第二层水箱的容积是100升。 （2）6×5×2 ＝30×2 ＝60（立方分米） 60立方分米＝60升 100÷（60÷7.5）＋7.5 ＝100÷8＋7.5 ＝12.5＋7.5 ＝20（分钟） 答：注满整个水箱需要20分钟。 考点十八单位换算在实际问题中的应用 69．一个成年人平均每分钟呼吸16次，每次吸入0.5立方分米的空气。一个成年人一昼夜（24小时）吸入多少立方分米的空气？合多少立方米？ 【答案】11520立方分米；11.52立方米 【分析】1小时＝60分钟，单位大变小乘进率，据此统一单位，每分钟呼吸次数×一昼夜分钟数＝一昼夜呼吸次数，一昼夜呼吸次数×每次吸入的空气体积＝一昼夜吸入的空气体积，根据1立方米＝1000立方分米，进行换算即可。 【解答】24×60＝1440（分钟） 16×1440×0.5＝11520（立方分米） 11520立方分米＝11.52立方米 答：一个成年人一昼夜（24小时）吸入11520立方分米的空气，合11.52立方米。 70．我国最大的港口是上海港，它也是世界最大的十大港口之一，每天都有成千上万个集装箱在港口装卸。某个装满货物的长方体集装箱，长10米，宽8米，高4米。如果每立方分米货物重0.3千克，这一箱货物有多少吨？ 【答案】96吨 【分析】已知集装箱是一个长10米、宽8米、高4米的长方体，根据长方体的体积＝长×宽×高，以及进率“1立方米＝1000立方分米”，求出集装箱的体积；再用每立方分米货物的重量乘集装箱的体积，即是这一箱货物的重量。注意换算单位。 【解答】10×8×4 ＝80×4 ＝320（立方米） 320立方米＝320000立方分米 320000×0.3＝96000（千克） 96000千克＝96吨 答：这一箱货物有96吨。 71．小红家新买了一个长8分米、宽6分米、高6分米的长方形玻璃鱼缸，小红在这个鱼缸内放入了体积约4立方分米的养鱼装饰物。正常情况下，鱼缸水位至少要比鱼缸口低0.5分米，照此计算，最多还能再加入多少升的水？（鱼缸玻璃厚度忽略不计） 【答案】260升 【分析】根据长方体体积＝长×宽×高，据此计算鱼缸的有效装水容积，即水位最高时的体积，再减去装饰物的体积，即可得到最多能加入的水量。 【解答】6－0.5＝5.5（分米） 8×6×5.5－4 ＝264－4 ＝260（立方分米） 260立方分米＝260升 答：最多还能再加入260升的水。 72．李叔叔打算在网上订购下面的种植箱（厚度忽略不计）和营养土。若要留出3厘米高的浇水空间，李叔叔至少要买几袋这样的营养土？ 【答案】2袋 【分析】种植箱是一个长方体的形状，用种植箱的高减去3厘米，求出种植箱内营养土的高，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据求出需要营养土的体积，再除以1袋营养土的体积即可解答，注意采用“进一法”。 【解答】120×40×（15－3） ＝4800×12 ＝57600（立方厘米） 57600立方厘米＝57.6升 57.6÷30≈2（袋） 答：李叔叔至少要买2袋这样的营养土。 学科网（北京）股份有限公司 $