专题09 圆锥曲线中的面积、轨迹及最值（范围）等综合性问题（期中真题汇编，河北专用）高二数学上学期

专题09 圆锥曲线中的面积、轨迹、最值（范围）等综合性问题 4大高频考点概览 考点01 圆锥曲线中的面积问题 考点02 圆锥曲线中的轨迹问题 考点03 圆锥曲线中的最值（范围）问题 考点04 地 城 考点01 圆锥曲线中的面积问题 一、单选题 1．(24-25高二上·河北邯郸大名县第一中学·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上一个动点，若的面积的最大值为，则（    ） A．7 B．3 C． D．9 【答案】A 【分析】利用点的纵坐标表示的面积，再借助范围求出最大值即可. 【详解】依题意，椭圆半焦距，设点，则， 因此的面积，则，即，而，解得，所以. 故选：A 2．(24-25高二上·河北部分校·期中)已知的顶点均在抛物线上，且，过分别作抛物线的切线，则三条切线围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】设，分别求出直线的方程，两两联立求出交点的坐标，继而求得直线的方程，过点垂直于轴的直线交直线于点，求得，过点垂直于轴的直线交直线于点，求得，计算和的面积之比即得. 【详解】依题意，设，过点的切线， 联立得， 令，解得，故得， 同理可得， 记交于点交于点交于点，联立､的方程解得， 同理可得，则． 另外直线，化简得：; 直线,化简得：．    如图，过点垂直于轴的直线交直线于点，则过点垂直于轴的直线交直线于点，解得， 因为，所以，即切线围成的三角形的面积为．故选：A. 二、多选题 3．(24-25高二上·河北承德第八中学·期中)设，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且.则下列说法中正确的是（   ） A．， B．离心率为 C．的面积为12 D．的外接圆面积为 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，求出，结合椭圆定义求解判断A；利用离心率定义判断B；确定三角形形状求解判断CD . 【详解】由，得椭圆长半轴长，短半轴长，半焦距， 由是椭圆上的点，得，而， 对于A，，，A正确；对于B，离心率为，B正确； 对于C，，得为直角三角形，， ，C错误；对于D，由选项C知，的外接圆直径为线段，则该圆半径为，面积为，D正确.故选：ABD 4．(24-25高二上·河北沧州市八县联考·期中)下列关于曲线性质的描述正确的是（    ） A．关于轴对称 B．关于原点对称 C．关于直线对称 D．所围成的图形的面积小于12 【答案】ABD 【分析】把曲线中的同时换成判断A，把曲线中的同时换成判断B，把曲线中的同时换成判断C， 根据判断D 【详解】把曲线中的同时换成，方程变仍为，所以曲线关于轴对称，故A对；把曲线中的，同时换成，方程变仍为，所以曲线关于原点对称，故B对；把曲线中的，同时换成，方程变为：，所以曲线不关于直线对称，故C错；由可得，，所以所围成的图形的面积小于12，故D对， 故选：ABD 三、填空题 5．(24-25高二上·河北承德第二中学·期中)已知双曲线的标准方程为，左、右焦点分别为，且双曲线上有一点使得，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】设，根据，列出方程，求得，代入双曲线的方程，即可求解. 【详解】由双曲线的方程，可得，则， 设，则，解得， 因为点在双曲线上，代入可得，解得，故. 6．(24-25高二上·河北石家庄二中·期中)已知为椭圆的两个焦点，M为椭圆C上一点，若，则的面积为 ． 【答案】1 【分析】根据椭圆定义以及勾股定理可得即可得出的面积. 【详解】根据题意可知，即可得，即； 由椭圆定义可得，又可知； 所以可得，即，解得， 因此的面积为. 故答案为：1 四、解答题 7．(24-25高二上·河北石家庄精英中学·期中)已知中心为坐标原点的椭圆经过点，. (1)求椭圆的标准方程； (2)直线：与椭圆交于，两点，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过待定系数法即可求得椭圆的方程； （2）联立直线方程与椭圆方程，韦达定理求得两根之积和两根之和，点到直线的距离求得弦长，表示出三角形的面积，借助基本不等式即可求得最值. 【详解】（1）设所求椭圆的方程为（，，）. 依题意得解得，所以椭圆的标准方程为. （2）设，，如图所示： 由消去，化简得. 由，解得， 由一元二次方程根与系数的关系，得，， 所以 .因为点到直线：的距离， 所以的面积， 当且仅当，即时，等号成立，所以面积的最大值为. 8．(24-25高二上·河北沧州市八县联考·期中)已知椭圆经过点与点. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于异于的，两点，且. ①证明：直线过定点；②求的面积的最大值. 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）利用待定系数法直接求解即可； （2）①设直线方程，联立方程组，利用条件，结合韦达定理，表示出直线方程即可得到结果；②由①的结论，设直线方程为，联立方程组，结合韦达定理，表示出的面积，结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）设椭圆为，因为椭圆经过点与点，所以，解得，所以椭圆的方程为. （2）①由（1）知，椭圆的方程为，设，不妨令在轴上方，则，假设直线斜率不存在，设直线方程为， 联立方程，可得，所以解得或（舍去）， 所以直线方程为；假设斜率存在，设直线方程为， 联立方程，得， 所以，，由， 可得，解得或， 所以直线方程为或，所以直线恒过或（舍去）， 综上，直线恒过定点. ②由上述可知，当直线斜率不存在时，，设定点为点，则， 所以；当直线斜率存在时，，则设方程为， 联立得，则，， 所以，设，则， 所以，由函数在上单调递增知， 所以，当且仅当，即时取等，故的面积的最大值为.    9．(24-25高二上·河北保定市六校联考·期中)已知O为坐标原点，椭圆的左右焦点分别为，，，P为椭圆的上顶点，以P为圆心且过，的圆与直线相切. (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知直线交椭圆C于M，N两点.若直线l的斜率等于1，求面积的最大值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据定义先求出，然后利用圆上的点到圆心的距离为半径求出，最后求出和椭圆方程； （2）先联立得到的取值范围，然后得到面积的解析式，根据函数性质求得面积最大值，最后判断是否符合要求即可. 【详解】（1）因为，所以，又且以为圆心的圆与直线相切，所以，又圆过点，所以，解得，所以，故椭圆方程为； （2）如图所示，    不妨令直线，，联立，得， 所以，解得，又， 且点到直线的距离为， ， 所以， 当且仅当时取到最大值，此时满足，所以. 10．(24-25高二上·河北秦皇岛市青龙满族自治县联考·期中)在平面直角坐标系中，已知椭圆：（）的离心率且椭圆上的点到点的距离的最大值为3. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）在椭圆上，是否存在点，使得直线：与圆：相交于不同的两点、，且的面积最大？若存在，求出点的坐标及对应的的面积；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）存在，M的坐标为、、、，最大值为． 【详解】试题分析：（1）离心率，得到，即此时椭圆方程为，设椭圆上的点为P，两点间的距离等于3，可得到b=1，所以可求得椭圆方程；（2）在解析几何中，三角形的面积公式通常有两种计算方式，，，本题由于没有给出角度的关系，所以采用第一种方法．通过联立方程即可得到M的坐标． 试题解析：（Ⅰ）因为，所以，于是. 设椭圆上任一点，椭圆方程为，，= ①当，即时，（此时舍去； ②当即时， 综上椭圆C的方程为． （Ⅱ）圆心到直线的距离为，弦长，所以的面积为 点, 当时，由得 综上所述，椭圆上存在四个点、、、，使得直线与圆相交于不同的两点、，且的面积最大，且最大值为. 地 城 考点02 圆锥曲线中的轨迹问题 一、单选题 1．(24-25高二上·河北唐山第二中学·期中)设点，的周长为36，则的顶点的轨迹方程为（   ） A． B． C．+ D． 【答案】B 【分析】由题意得到，根据椭圆的定义，可得点的轨迹是一条以为焦点的椭圆，即可得到答案. 【详解】由题意的周长为，， 所以，所以, 可知点的轨迹是以为焦点，长轴长为除去长轴的两个端点的椭圆， 所以，所以点的轨迹方程为. 故选：B. 2．(24-25高二上·河北邢台市质检·期中)若动圆过定点，且和定圆：外切，则动圆圆心的轨迹方程为（   ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】D 【分析】根据动圆与定圆外切得出，再由双曲线定义判断 动点轨迹，写出方程即可. 【详解】定圆的圆心为，与关于原点对称.设，由两圆外切可得， 所以,所以的轨迹为双曲线的右支.设的轨迹方程为， 则，所以轨迹方程为. 故选：D 3．(24-25高二上·河北张家口·期中)已知动圆过点，并且在圆内部与其相切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设动圆圆心为，半径为，根据两圆位置关系得到，再利用椭圆的定义，即可求解. 【详解】设动圆圆心为，半径为因为圆的圆心为，半径为， 由题有，又动圆过点，得， 即，则到两定点的距离之和为， 由椭圆的定义可知，点在以为焦点，长轴长为的椭圆上， 因为，得到，所以动圆圆心的轨迹方程为，故选：C. 4．(24-25高二上·河北秦皇岛市青龙满族自治县联考·期中)设抛物线的焦点为，点在上，，若以线段为直径的圆与轴相切，且切点为，则的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】设点，根据已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个未知数的值，即可得出抛物线的方程. 【详解】由题意知，，设点，线段的中点为，则， 由抛物线的定义知，①，，因为以线段为直径的圆与轴相切于点，，解得，而，②， 由①②解得，或，所以，抛物线的方程为或． 故选：D． 5．(24-25高二上·河北石家庄二十七中·期中)在平面直角坐标系中，点F的坐标为，以线段为直径的圆与圆相切，则动点P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两圆相切的条件，结合双曲线的定义求轨迹方程． 【详解】由已知圆半径为，如图，当两圆外切时，设的中点为，即为圆心，，即，取，连接，是中点，则，因此， 当两圆内切时，记点为，的中点为D，， ，所以动点满足，而， 所以点轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线，，则，又，因此， 双曲线方程为，故选：A． 二、多选题 6．(24-25高二上·河北石家庄二中·期中)已知，若平面内动点满足，则称点P的轨迹为双纽线，下列结论正确的是（   ） A．双纽线是轴对称图形 B．的面积的最大值为 C． D．直线与双纽线有三个交点 【答案】ABD 【分析】对于A，利用两点的距离公式整理方程，将关于坐标轴对称的点代入，可得答案； 对于B，利用一元二次方程根的存在性，求得动点坐标的范围，结合三角形面积公式，可得答案； 对于C，根据三角形三边关系，可得答案； 对于D，联立方程，因式分解求方程的根，可得答案. 【详解】对于A，由， 则曲线方程为， 由关于轴的对称点为，显然当满足方程时，也满足方程， 则双纽线关于轴对称，故A正确； 对于B，由方程， 整理可得关于的方程， 由，解得， 由，则其最大值为，故B正确； 对于C，在中，，故C错误； 对于D，将代入方程， 整理可得，解得或，故D正确. 故选：ABD. 7．(24-25高二上·河北石家庄二十七中·期中)已知曲线的方程为（），则下列说法不正确的有（    ） A．不存在，使得曲线表示圆 B．若曲线为双曲线，则 C．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则 D．存在实数使得曲线为等轴双曲线 【答案】ABD 【分析】结合圆、双曲线、椭圆即等轴双曲线的方程的性质逐项计算即可得. 【详解】对A：令，解得，此时：，此时曲线表示圆，故A错误； 对B：若曲线为双曲线，则，解得或，故B错误； 对C：若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则，解得，故C正确； 对D：若曲线为等轴双曲线，则有，此时无解，故不存在实数使得曲线为等轴双曲线，故D错误. 故选：ABD. 8．(24-25高二上·河北部分校·期中)已知曲线的方程为，则下列说法正确的是（    ） A．当时，曲线为直线 B．当时，曲线为焦点在轴上的椭圆 C．当时，曲线为焦点在轴上的双曲线 D．曲线不可能是圆 【答案】ABC 【分析】由直线，椭圆，双曲线，圆方程的特点逐项判断即可. 【详解】A选项：当时，曲线的方程为，即，故曲线为直线，正确． B选项：当时，方程可化为，由，可知曲线为焦点在轴上的椭圆，正确．C选项：当时，方程可化为，由，可知曲线为焦点在轴上的双曲线，正确．D选项：当时，方程可化为，可知曲线为以原点为圆心，以为半径的圆，D错误． 故选：ABC． 9．(24-25高二上·河北沧州市八县联考·期中)如图，曲线可以看作“蝴蝶结”的一部分，已知曲线上除原点外的所有点均满足其到原点的距离的立方与该点横纵坐标之积的绝对值的商恒为定值（），则（    ） A．曲线关于直线对称 B．曲线经过点，其方程为 C．曲线围成的图形面积小于 D．存在，使得曲线上有5个整点（即横、纵坐标均为整数的点） 【答案】ACD 【分析】首先根据已知条件求出曲线方程，再运用曲线的对称性、放缩解决曲线所围图形面积以及整点的概念，分别分析每个选项. 【详解】对于A，先求曲线方程，设曲线上一点（），由已知，即.若点在曲线上，则也满足曲线方程， 所以曲线关于直线对称，A选项正确. 对于B，将代入曲线方程，得，即，，此时方程为，B选项错误. 对于C，，则， 所以C在以圆心为O，半径为的圆内，结合图形知道，C选项正确. 对于D，由于，所以，由曲线的对称性可知，要使曲线上有5个整点， 则曲线在第一象限内有两个整点，当整点为时，，此时整点都在曲线上，其有3个整点，不满足题意;当整点为时，，此时整点均在曲线上，且均不在曲线上，其有5个整点，满足题意，D正确. 故选：ACD. 三、填空题 10．(24-25高二上·河北张家口·期中)平面内，已知两点，及动点，若直线，的斜率之积是，则点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】设动点，斜率用坐标表示，由斜率之积为可得出之间的关系式，进而得的轨迹方程. 【详解】设动点的坐标为，又，， 所以的斜率，的斜率， 由题意可得，化简，得点的轨迹方程为. 11．(24-25高二上·河北石家庄精英中学·期中)平面内动点满足方程，则动点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】利用椭圆的定义求解即可. 【详解】由题意，点到两个定点，的距离之和等于常数，根据椭圆的定义可知，点的轨迹为焦点在轴上的椭圆，且，，所以，故所求的轨迹方程为. 四、解答题 12．(24-25高二上·河北承德双滦区实验中学·期中)已知动点P与平面上两定点连线的斜率的积为定值，试求： (1)动点P的轨迹C的方程； (2)是否存在过点与（1）中曲线C相交所得弦长 的直线，若存在，求直线l的方程；若不存在，试说明理由. 【答案】(1)； (2)存在，或. 【分析】（1）设动点，根据 及斜率两点式列方程求轨迹； （2）设直线与曲线C的交点为，联立轨迹C并应用韦达定理、弦长公式求参数k，即可得结果. 【详解】（1）设动点，由题意 ，化简整理得， 故点P的轨迹C的方程是. （2）直线斜率不存在时不合题意， 斜率存在时，设直线与曲线C的交点为， 由，得，， 则，，， 整理得，解得或（舍）. 经检验，符合题意，直线l的方程为，即或. 地 城 考点03 圆锥曲线中的最值（范围）问题 一、单选题 1．(24-25高二上·河北石家庄精英中学·期中)已知表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义列出不等式组求解. 【详解】要使表示焦点在轴上的椭圆，需满足解得， 即实数的取值范围为. 故选：B. 2．(24-25高二上·河北衡水衡水中学·期中)已知动点在椭圆上，，，则的最小值为（    ） A．5 B． C．2 D．1 【答案】D 【分析】利用椭圆定义转化为，即求的最小值，根据三角形性质，当三点共线得答案. 【详解】因为，为一个焦点，设另一焦点为，且，因为，所以在椭圆外部， 所以， 即求的最小值，由于，当三点共线时取到最小值，此时，，所以的最小值为1. 故选：D 3．(24-25高二上·河北保定市六校联考·期中)是双曲线=1的右支上一点，M、N分别是圆和=4上的点，则的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】先由已知条件可知双曲线的两个焦点为两个圆的圆心,再利用平面几何知识把转化为双曲线上的点到两焦点之间的距离,即可求的最大值. 【详解】   则 故双曲线的两个焦点为, ,也分别是两个圆的圆心,半径分别为, 则的最大值为 故选：D 4．(24-25高二上·河北石家庄四十三中·期中)如图所示，点是抛物线的焦点，点分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作准线的垂线，垂足为，则的周长为，求出后可得所求的范围. 【详解】 过点作准线的垂线，垂足为，则的周长为，由可得，故，故的周长的取值范围为， 故选：D. 5．(24-25高二上·河北石家庄四十三中·期中)设抛物线，直线与抛物线交于、两点且，则的中点到轴的最短距离为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】设直线的方程并联立抛物线方程，可得根与系数关系，结合化简可得的关系式，表示出的中点到轴的距离的表达式，换元后利用函数的单调性即可求得答案. 【详解】由题意知直线l的斜率存在，设直线的方程为， 与抛物线方程联立得，，需满足， 设，，则， 则由弦长公式得， 两边平方得，，因为， 代入得，， 令，，则，而根据对勾函数性质知在单调递增， 因此当时，，即的中点到轴的最短距离为， 故选：A 二、多选题 6．(24-25高二上·河北衡水衡水中学·期中)已知椭圆：的左、右焦点分别为，，长轴长为4，点在椭圆外，点在椭圆上，则（    ） A．的取值范围是 B．当椭圆的离心率为时，的取值范围是 C．存在点使得 D．的最小值为1 【答案】BCD 【分析】根据点在椭圆外得到，求出的范围，即可判断A；求出，则的取值范围是，即可判断B；设椭圆的上顶点为，求出，即可判断C，利用基本不等式及椭圆的定义判断D. 【详解】由题意得，又点在椭圆外，则，又，解得，故A不正确； 当时，，则， 所以的取值范围是，即，故B正确； 设椭圆的上顶点为，，， 由于，所以存在点使得，故C正确； 因为， 当且仅当时，等号成立，又，所以，故D正确. 故选：BCD 7．(24-25高二上·河北枣强中学·期中)已知椭圆，分别为它的左右焦点，点分别为它的左右顶点，已知定点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（   ） A．存在点，使得 B．直线与直线斜率乘积为定值 C．有最小值 D．的范围为 【答案】BCD 【分析】根据椭圆的几何性质，结合正切函数的性质，可得判定A错误；设，根据椭圆的方程，以及斜率公式化简运算，可判定B正确；根据椭圆的定义，结合基本不等式，可判定C正确；设直线与椭圆相交于，结合椭圆的定义和三角形的性质，可得判定D正确. 【详解】对于A中，由椭圆，可得， 且，可得，所以，所以A错误； 对于B中，设，则，且，可得， 则为定值，所以B正确.对于C中，由椭圆的定义，可得，则 ，当且仅当时，即时等号成立，所以C正确.对于D中，由点Q在椭圆外，设直线与椭圆相交于， 如图所示，则， 因为，且，可得，即， 所以，所以，所以D正确. 故选：BCD.    8．(24-25高二上·河北石家庄二十七中·期中)泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，却在转瞬间无处寻觅.已知点，直线，动点P到点F的距离是点P到直线l的距离的一半.若某直线上存在这样的点P，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（    ） A．点P的轨迹方程是 B．直线是“最远距离直线” C．平面上有一点，则的最小值为5 D．点P的轨迹与圆是没有交汇的轨迹（也就是没有交点） 【答案】ABC 【分析】对于A，设，根据定义建立关系可求出；对于B，联立直线与椭圆方程，判断方程组是否有解即可；对于C，根据定义转化为求即可；对于D，易判断为交点. 【详解】对于A，设，因为点P到点F的距离是点P到直线l距离的一半， 所以，化简可得，故选项A正确； 对于B，联立方程组，可得，解得，故存在点， 所以直线是“最远距离直线”，故选项B正确； 对于C，过点P作垂直直线，垂足为B， 由题意可得，，则， 由图象可知，的最小值即为点A到直线的距离5，故选项C正确； 对于D，由可得，即圆心为，半径为1， 易得点P的轨迹与圆C交于点，故选项D错误.故选：ABC. 9．(24-25高二上·河北部分校·期中)已知椭圆和双曲线有公共焦点，左，右焦点分别为，设两曲线在第一象限的交点为为的角平分线，，点均在轴上，设椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则下列说法正确的是（    ） A． B．以椭圆和双曲线四个交点为顶点的四边形的面积的最大值为 C．若，则的取值范围为 D．若，则的最小值为 【答案】BCD 【分析】由椭圆和双曲线定义有，将两式平方相加后由余弦定理和向量的数量积计算可得A错误；由对称性得到四边形的顶点的坐标，再结合基本不等式求出面积可得B正确；由离心率的定义和边长关系得到，再结合对勾函数的单调性可得C正确；由角平分线的定理将问题转化为求的最小值，再由椭圆和双曲线的性质结合余弦定理得到，再用基本不等式的乘“1”法分析可得D正确； 【详解】 对于A，设， 由椭圆和双曲线定义有， 将两式平方得，相加整理得， 又在中，由余弦定理有， 则，即，则，故A选项错误； 对于B，椭圆和双曲线一个交点，由椭圆和双曲线的对称性可知， 另外三个点的坐标为，， 以它们为顶点的四边形为矩形，面积，又点在椭圆上， 所以满足，则有， 当且仅当时等式成立，故B选项正确； 对于C，即，所以，则， 又，所以，即，又，所以， ，则． 令，则， 函数在上单调递减，所以，故C选项正确； 对于D，由为的角平分线，，易知为的外角平分线， 则由角平分线性质定理有即， 由外角平分线性质定理有，即， 求的最小值即求的最小值； 由可得， 代入即，整理可得，所以， 则， 当且仅当时取等号，所以的最小值为，故D选项正确； 故选：BCD. 10．(24-25高二上·河北邯郸·期中)已知曲线，则下列说法正确的是（    ） A． B．曲线关于直线对称 C．曲线围成的封闭图形的面积不大于 D．曲线围成的封闭图形的面积随的增大而增大 【答案】ABD 【分析】利用曲线的方程得到关于的不等式可判断A；利用点关于直线的对称点判断得曲线的对称性，从而判断B；分析曲线与曲线上的两个横坐标相同的点的纵坐标大小关系，从而得到曲线围成的封闭图形的面积情况，从而判断CD. 【详解】对于A，因为曲线， 所以，解得，故A正确； 对于B，因为曲线，可化为， 设点是曲线上任一点，则其关于对称的点为， 将代入曲线方程，得， 所以曲线关于直线对称，故B正确； 对于CD，因为，所以，则， 设点是曲线上任一点，则， 点是曲线上的一点，则， 则，，故， 易知当时，在其定义域内单调递减， 所以（当且仅当或时，等号成立），故， 又在上单调递增，所以， 故当增大时，横坐标相同的点的纵坐标的绝对值会大于或等于原来的， 又曲线围成的图形为封闭图形，所以该图形会比原来的大， 即曲线围成的封闭图形的面积随的增大而增大，故D正确， 又当时，曲线为，即其图形是半径为的圆， 此时其面积为，则曲线围成的封闭图形的面积不小于，故C错误. 故选：ABD. 三、填空题 11．(24-25高二上·河北邯郸·期中)过椭圆上一点作圆的两条切线，切点为，，当最大时，点的纵坐标为 ． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用圆的切线长定理、结合四边形及三角形面积转化为求最大值问题. 【详解】圆的圆心，半径， 由切圆于点知，，则， 因此最大，当且仅当最大，设，， 则， 当且仅当时取等号，所以点的纵坐标为.    12．(24-25高二上·河北石家庄二十七中·期中)已知P为椭圆上一点，分别为圆和圆上的点．则的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 7 13 【分析】首先根据椭圆方程求出，由此可知两圆的圆心分别为椭圆的左、右焦点，，进而根据椭圆的定义即可求解. 【详解】由椭圆方程知，两圆的圆心分别为椭圆的左、右焦点，， 设两圆半径分别为，，则，. ∴，|， ，|， 故的最小值为； 的最大值为.    故答案为：7；13 13．(24-25高二上·河北石家庄精英中学·期中)阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知面积为的椭圆（）的左焦点为，为椭圆上任意一点，点的坐标为，则的最大值为 . 【答案】11 【分析】由题意求出的值，设椭圆的右焦点为，则由，求出，问题即可求. 【详解】根据题意可得：，又， 解得，，∴，，，设椭圆的右焦点为， 则，当且仅当，，共线时等号成立， 又，，∴，∴的最大值为. 14．(24-25高二上·河北保定定州市定州中学·期中)过椭圆上一点作圆的两条切线，切点为，，当最大时，点的纵坐标为 ． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用圆的切线长定理、结合四边形及三角形面积转化为求最大值问题. 【详解】圆的圆心，半径，由切圆于点知，，则，因此最大，当且仅当最大，设，， 则，当且仅当时取等号，所以点的纵坐标为.    四、解答题 15．(24-25高二上·河北承德承德县六沟高级中学·期中)已知圆和定点为圆上的任意一点，线段PA的垂直平分线与直线PC交于点，设点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)若是曲线上的一点，过的直线与直线分别交于S，T两点，且为线段ST的中点． ①求证：直线l与曲线有且只有一个公共点； ②求的最小值（为坐标原点）． 【答案】(1) (2)①证明见解析 ；② 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到，即可得到，结合双曲线的定义计算可得； （2）（i）设，不妨令，，即可得到，从而表示出直线的方程，再联立直线与双曲线方程，消元、由，即可证明；（ii）由 （i ）求出，，再计算可得为定值，即可结合基本不等式求解. 【详解】（1）为PA的垂直平分线上一点，则， 则， 点的轨迹为以A，C为焦点的双曲线，且，故点的轨迹方程为； （2）（i）设，直线是双曲线的渐近线，如图所示： 则：①．②， ①+②得，，①-②得，， 则，得，由题可知，则， 得，即，直线ST的方程为，即， 又点在曲线上，则，得， 将方程联立，得，得， 由，可知方程有且仅有一个解，故直线与曲线有且仅有一个交点； （ii）由（i）联立，可得， 同理可得，，则，同理， 所以，故， 当且仅当，即时取等号，故的最小值为． 16．(24-25高二上·河北石家庄四十三中·期中)已知椭圆，C的上顶点为B，左、右顶点分别为、，左焦点为，离心率为．过作垂直于轴的直线与交于，两点，且． (1)求的方程； (2)若，是上任意两点， ①若点，点N位于轴下方，直线交轴于点G，设和的面积分别为，若，求线段的长度； ②若直线与坐标轴不垂直，H为线段的中点，直线OH与C交于P，Q两点，已知P，Q，M，N四点共圆，求的最大值． 【答案】(1) (2)①3；② 【分析】（1）根据椭圆离心率及弦长计算求出即可得出椭圆方程； （2）①应用图形特征结合已知，再联立方程得出即可求出弦长； ②先设方程再联立方程得出H的坐标为，再由P，Q，M，N四点共圆，则，计算得出，即可得解. 【详解】（1）由离心率为，即，得， 由得在椭圆上，即，解得，所以椭圆的方程为. （2）①由（1）可得， 连接，因为， ， 所以，得;所以，所以直线的方程为： ， 由，解得或，所以或（舍去）.所以. ②设直线 ， ， 则联立可得， 由，得． 所以，则， 所以中点的坐标为，所以，故直线.       由P，Q，M，N四点共圆，则， 由; 联立可得，所以， 所以， 所以,得，所有，得， 所以， 即，当且仅当时取等号，即的最大值为. 17．(24-25高二上·河北衡水衡水中学·期中)阿基米德(公元前287年-公元前212年，古希腊)不仅是著名的哲学家､物理学家，也是著名的数学家.他曾利用“逼近法”得到椭圆的面积等于圆周率乘以椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积在直角坐标系中，椭圆的面积为，两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形，过点且斜率不为0的直线与椭圆交于不同的两点A，B. （1）求椭圆的标准方程； （2）求面积的最大值； （3）设椭圆E的左､右顶点分别为P，Q，直线PA与直线交于点，试问B，Q，F三点是否共线？若共线，请证明；若不共线，请说明理由. 【答案】（1）；（2）；（3）共线，证明见解析. 【分析】（1）根据条件列出关于a,b,c的方程组，并注意a,b,c的平方关系，求解即得a,b的值，进而得到方程； （2）设直线的方程为，，，与椭圆方程联立，利用韦达定理，弦长公式求得面积关于t的函数表达式，适当换元，整理变形，可利用对勾函数的单调性求得最大值； （3）先求得直线方程，进而求得它与直线交于点，然后证明，即可得到结论. 【详解】（1）由题意可得：，解得，，，所以椭圆方程为. （2）设直线的方程为，，，由，整理得， ，，令()，则，设，函数在区间单调递增，知，即当，即时，取到最大值. （3）由（2）知点在直线的方程为上，且. 易知椭圆的左､右顶点分别为，，直线方程为：， 它与直线交于点，则，由于，都存在，且 ， 故于是于是B，Q，F三点共线. 【点睛】注意（2）中的直线的设法是为和求面积相适应的；注意求最值中的换元思想和函数思想的运用；注意（3）中的利用韦达定理的结论进行化简及运算的准确性. 试卷第1页，共3页 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 圆锥曲线中的面积、轨迹、最值（范围）等综合性问题 3大高频考点概览 考点01 圆锥曲线中的面积问题 考点02 圆锥曲线中的轨迹问题 考点03 圆锥曲线中的最值（范围）问题 地 城 考点01 圆锥曲线中的面积问题 一、单选题 1．(24-25高二上·河北邯郸大名县第一中学·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上一个动点，若的面积的最大值为，则（    ） A．7 B．3 C． D．9 2．(24-25高二上·河北部分校·期中)已知的顶点均在抛物线上，且，过分别作抛物线的切线，则三条切线围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D．2 二、多选题 3．(24-25高二上·河北承德第八中学·期中)设，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且.则下列说法中正确的是（   ） A．， B．离心率为 C．的面积为12 D．的外接圆面积为 4．(24-25高二上·河北沧州市八县联考·期中)下列关于曲线性质的描述正确的是（    ） A．关于轴对称 B．关于原点对称 C．关于直线对称 D．所围成的图形的面积小于12 三、填空题 5．(24-25高二上·河北承德第二中学·期中)已知双曲线的标准方程为，左、右焦点分别为，且双曲线上有一点使得，则点的坐标为 . 6．(24-25高二上·河北石家庄二中·期中)已知为椭圆的两个焦点，M为椭圆C上一点，若，则的面积为 ． 四、解答题 7．(24-25高二上·河北石家庄精英中学·期中)已知中心为坐标原点的椭圆经过点，. (1)求椭圆的标准方程； (2)直线：与椭圆交于，两点，求面积的最大值. 8．(24-25高二上·河北沧州市八县联考·期中)已知椭圆经过点与点. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于异于的，两点，且. ①证明：直线过定点；②求的面积的最大值. 9．(24-25高二上·河北保定市六校联考·期中)已知O为坐标原点，椭圆的左右焦点分别为，，，P为椭圆的上顶点，以P为圆心且过，的圆与直线相切. (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知直线交椭圆C于M，N两点.若直线l的斜率等于1，求面积的最大值． 10．(24-25高二上·河北秦皇岛市青龙满族自治县联考·期中)在平面直角坐标系中，已知椭圆：（）的离心率且椭圆上的点到点的距离的最大值为3. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）在椭圆上，是否存在点，使得直线：与圆：相交于不同的两点、，且的面积最大？若存在，求出点的坐标及对应的的面积；若不存在，请说明理由. 地 城 考点02 圆锥曲线中的轨迹问题 一、单选题 1．(24-25高二上·河北唐山第二中学·期中)设点，的周长为36，则的顶点的轨迹方程为（   ） A． B． C．+ D． 2．(24-25高二上·河北邢台市质检·期中)若动圆过定点，且和定圆：外切，则动圆圆心的轨迹方程为（   ） A．（） B．（） C．（） D．（） 3．(24-25高二上·河北张家口·期中)已知动圆过点，并且在圆内部与其相切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高二上·河北秦皇岛市青龙满族自治县联考·期中)设抛物线的焦点为，点在上，，若以线段为直径的圆与轴相切，且切点为，则的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 5．(24-25高二上·河北石家庄二十七中·期中)在平面直角坐标系中，点F的坐标为，以线段为直径的圆与圆相切，则动点P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 6．(24-25高二上·河北石家庄二中·期中)已知，若平面内动点满足，则称点P的轨迹为双纽线，下列结论正确的是（   ） A．双纽线是轴对称图形 B．的面积的最大值为 C． D．直线与双纽线有三个交点 7．(24-25高二上·河北石家庄二十七中·期中)已知曲线的方程为（），则下列说法不正确的有（    ） A．不存在，使得曲线表示圆 B．若曲线为双曲线，则 C．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则 D．存在实数使得曲线为等轴双曲线 8．(24-25高二上·河北部分校·期中)已知曲线的方程为，则下列说法正确的是（    ） A．当时，曲线为直线 B．当时，曲线为焦点在轴上的椭圆 C．当时，曲线为焦点在轴上的双曲线 D．曲线不可能是圆 9．(24-25高二上·河北沧州市八县联考·期中)如图，曲线可以看作“蝴蝶结”的一部分，已知曲线上除原点外的所有点均满足其到原点的距离的立方与该点横纵坐标之积的绝对值的商恒为定值（），则（    ） A．曲线关于直线对称 B．曲线经过点，其方程为 C．曲线围成的图形面积小于 D．存在，使得曲线上有5个整点（即横、纵坐标均为整数的点） 三、填空题 10．(24-25高二上·河北张家口·期中)平面内，已知两点，及动点，若直线，的斜率之积是，则点的轨迹方程为 ． 11．(24-25高二上·河北石家庄精英中学·期中)平面内动点满足方程，则动点的轨迹方程为 . 四、解答题 12．(24-25高二上·河北承德双滦区实验中学·期中)已知动点P与平面上两定点连线的斜率的积为定值，试求： (1)动点P的轨迹C的方程； (2)是否存在过点与（1）中曲线C相交所得弦长 的直线，若存在，求直线l的方程；若不存在，试说明理由. 地 城 考点03 圆锥曲线中的最值（范围）问题 一、单选题 1．(24-25高二上·河北石家庄精英中学·期中)已知表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（   ）. A． B． C． D． 2．(24-25高二上·河北衡水衡水中学·期中)已知动点在椭圆上，，，则的最小值为（    ） A．5 B． C．2 D．1 3．(24-25高二上·河北保定市六校联考·期中)是双曲线=1的右支上一点，M、N分别是圆和=4上的点，则的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 4．(24-25高二上·河北石家庄四十三中·期中)如图所示，点是抛物线的焦点，点分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高二上·河北石家庄四十三中·期中)设抛物线，直线与抛物线交于、两点且，则的中点到轴的最短距离为（    ） A． B．1 C． D．2 二、多选题 6．(24-25高二上·河北衡水衡水中学·期中)已知椭圆：的左、右焦点分别为，，长轴长为4，点在椭圆外，点在椭圆上，则（    ） A．的取值范围是 B．当椭圆的离心率为时，的取值范围是 C．存在点使得 D．的最小值为1 7．(24-25高二上·河北枣强中学·期中)已知椭圆，分别为它的左右焦点，点分别为它的左右顶点，已知定点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（   ） A．存在点，使得 B．直线与直线斜率乘积为定值 C．有最小值 D．的范围为 8．(24-25高二上·河北石家庄二十七中·期中)泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，却在转瞬间无处寻觅.已知点，直线，动点P到点F的距离是点P到直线l的距离的一半.若某直线上存在这样的点P，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（    ） A．点P的轨迹方程是 B．直线是“最远距离直线” C．平面上有一点，则的最小值为5 D．点P的轨迹与圆是没有交汇的轨迹（也就是没有交点） 9．(24-25高二上·河北部分校·期中)已知椭圆和双曲线有公共焦点，左，右焦点分别为，设两曲线在第一象限的交点为为的角平分线，，点均在轴上，设椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则下列说法正确的是（    ） A． B．以椭圆和双曲线四个交点为顶点的四边形的面积的最大值为 C．若，则的取值范围为 D．若，则的最小值为 10．(24-25高二上·河北邯郸·期中)已知曲线，则下列说法正确的是（    ） A． B．曲线关于直线对称 C．曲线围成的封闭图形的面积不大于 D．曲线围成的封闭图形的面积随的增大而增大 三、填空题 11．(24-25高二上·河北邯郸·期中)过椭圆上一点作圆的两条切线，切点为，，当最大时，点的纵坐标为 ． 12．(24-25高二上·河北石家庄二十七中·期中)已知P为椭圆上一点，分别为 圆和圆上的点．则的最小值为 ，最大值为 ． 13．(24-25高二上·河北石家庄精英中学·期中)阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知面积为的椭圆（）的左焦点为，为椭圆上任意一点，点的坐标为，则的最大值为 . 14．(24-25高二上·河北保定定州市定州中学·期中)过椭圆上一点作圆的两条切线，切点为，，当最大时，点的纵坐标为 ． 四、解答题 15．(24-25高二上·河北承德承德县六沟高级中学·期中)已知圆和定点为圆上的任意一点，线段PA的垂直平分线与直线PC交于点，设点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)若是曲线上的一点，过的直线与直线分别交于S，T两点，且为线段ST的中点． ①求证：直线l与曲线有且只有一个公共点； ②求的最小值（为坐标原点）． 16．(24-25高二上·河北石家庄四十三中·期中)已知椭圆，C的上顶点为B，左、右顶点分别为、，左焦点为，离心率为．过作垂直于轴的直线与交于，两点，且． (1)求的方程； (2)若，是上任意两点， ①若点，点N位于轴下方，直线交轴于点G，设和的面积分别为，若，求线段的长度； ②若直线与坐标轴不垂直，H为线段的中点，直线OH与C交于P，Q两点，已知P，Q，M，N四点共圆，求的最大值． 17．(24-25高二上·河北衡水衡水中学·期中)阿基米德(公元前287年-公元前212年，古希腊)不仅是著名的哲学家､物理学家，也是著名的数学家.他曾利用“逼近法”得到椭圆的面积等于圆周率乘以椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积在直角坐标系中，椭圆的面积为，两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形，过点且斜率不为0的直线与椭圆交于不同的两点A，B. （1）求椭圆的标准方程； （2）求面积的最大值； （3）设椭圆E的左､右顶点分别为P，Q，直线PA与直线交于点，试问B，Q，F三点是否共线？若共线，请证明；若不共线，请说明理由. 试卷第1页，共3页 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $