专题08 圆锥曲线的方程及其几何性质（期中真题汇编，河北专用）高二数学上学期

专题08 圆锥曲线的方程及其几何性质 3大高频考点概览 考点01 圆锥曲线的定义及其方程 考点02 圆锥曲线的离心率问题 考点03 圆锥曲线的焦点三角形问题 地 城 考点02 圆锥曲线的定义及其方程 一、单选题 1．(24-25高二上·河北唐山开滦第一中学·期中)已知椭圆的离心率为，且过点，则的方程为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·河北唐山第二中学·期中)设点，的周长为36，则的顶点的轨迹方程为（   ） A． B． C．+ D． 3．(24-25高二上·河北保定定州市定州中学·期中)已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高二上·河北承德第八中学·期中)求长轴长是短轴长的倍，且过点的椭圆的标准方程（   ） A． B． C．或 D． 5．(24-25高二上·河北承德第二中学·期中)与圆及圆都外切的圆的圆心在（    ） A．椭圆上 B．双曲线的一支上 C．抛物线上 D．圆上 6．(24-25高二上·河北石家庄二中润德学校·期中)双曲线的两个焦点分别是和，焦距为8，M是双曲线上的一点，且，则的值为（） A．1 B．4 C．1或9 D．9 7．(24-25高二上·河北承德双桥卉原中学·期中)已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则的值为（    ） A． B． C．4 D． 8．(24-25高二上·河北石家庄四十三中·期中)双曲线的两个焦点分别是和，焦距为8，M是双曲线上的一点，且，则的值为（） A．1 B．4 C．1或9 D．9 9．(24-25高二上·河北承德高新区第一中学·期中)椭圆与，且的（    ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 二、多选题 10．(24-25高二上·河北唐山开滦第一中学·期中)已知椭圆C：的离心率为，则k的值可以为（   ） A． B． C．4 D． 11．(24-25高二上·河北承德双桥卉原中学·期中)已知椭圆，则椭圆的（   ） A．焦点在轴上 B．长轴长为10 C．短轴长为4 D．离心率为 12．(24-25高二上·河北承德双滦区实验中学·期中)已知椭圆的对称中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，若椭圆的长轴长为10，短半轴长为4，则椭圆的标准方程可能为（    ） A． B． C． D． 13．(24-25高二上·河北武安市第一中学·期中)已知双曲线C：（）的离心率，C的右支上的点到其右焦点的最短距离为1，则（    ） A．双曲线C的焦点坐标为 B．双曲线C的渐近线方程为 C．点在双曲线C上 D．直线与双曲线C恒有两个交点 三、填空题 14．(24-25高二上·河北承德双桥卉原中学·期中)已知椭圆的长轴长为8，且离心率为，则的标准方程为 . 15．(24-25高二上·河北衡水衡水中学·期中)在双曲线中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是双曲线的中心，半径等于实半轴与虚半轴平方差的算术平方根，这个圆叫双曲线的蒙日圆.过双曲线的蒙日圆上一点作的两条切线，与该蒙日圆分别交于两点，若，则的周长为 . 四、解答题 16．(24-25高二上·河北邯郸大名县第一中学·期中) 求适合下列条件的曲线的标准方程： (1)已知动点到定点的距离和到定直线：的距离的比是常数，记点的轨迹为曲线．求曲线的标准方程； (2)求过点，的双曲线的标准方程． 地 城 考点02 圆锥曲线的离心率问题 一、单选题 1．(24-25高二上·河北承德高新区第一中学·期中)若双曲线满足，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·河北石家庄精英中学·期中)点，分别为椭圆：（）的左、右焦点，点，为上关于坐标原点对称的两点，，的面积为，为椭圆的离心率，则为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·河北承德双滦区实验中学·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为、，若上存在一点，使得，则的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．(24-25高二上·河北承德双滦区实验中学·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为、，若上存在一点，使得，则的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．设双曲线，为其右顶点，直线与双曲线交于、两点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．(24-25高二上·河北承德第八中学·期中)已知，是椭圆：的左、右焦点，是的下顶点，直线与的另一个交点为，且满足，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．(24-25高二上·河北邯郸大名县第一中学·期中)已知椭圆和双曲线有公共的焦点，其中为左焦点，是与在第一象限的公共点.线段的垂直平分线经过坐标原点，若的离心率为，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．已知双曲线的两个焦点为，，过作圆的切线，切线与交于，两点. 若，则的离心率可能为（     ） A． B． C． D． 三、填空题 9．(24-25高二上·河北衡水武强中学·期中)已知点是椭圆上的一点，分别为椭圆的左、右焦点，已知=120°，且，则椭圆的离心率为 . 10．(24-25高二上·河北承德第一中学·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为，过作轴垂线交椭圆于，若，则该椭圆的离心率是 . 11．(24-25高二上·河北承德双滦区实验中学·期中)已知椭圆C：1（）的左、右焦点分别为，，若椭圆C上存在一点P，使得的内切圆的半径为，则椭圆C的离心率的取值范围是 . 12．(24-25高二上·河北石家庄二中·期中)已知，分别为双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线的左支交于，两点，记的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则双曲线的离心率为 ． 13．(24-25高二上·河北承德高新区第一中学·期中)已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，，是上关于原点对称的两点，且，，则的离心率为 ． 14．(24-25高二上·河北石家庄正定中学·期中)如图，是椭圆的左、右顶点，P是上不同于的动点，线段与椭圆C交于点Q，若，则椭圆的离心率为 ． 15．(24-25高二上·河北邢台市质检·期中)已知椭圆与双曲线有公共焦点与在第一象限的交点为，且，记的离心率分别为，则 . 16．(24-25高二上·河北保定市六校联考·期中)已知双曲线的左，右焦点分别为，，过左焦点作直线与双曲线交于A，B两点（B在第一象限），若线段的中垂线经过点，且点到直线的距离为，则双曲线的离心率为 . 地 城 考点02 圆锥曲线的焦点三角形问题 一、单选题 1．(24-25高二上·河北沧州市八县联考·期中)已知是椭圆的左､右焦点，为上一点，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D．4 2．(24-25高二上·河北承德第一中学·期中)椭圆左、右焦点分别为，，是椭圆上一动点，则（   ） A． B．面积的最大值为 C．若，则 D．若椭圆上存在点，使得，则椭圆离心率的取值范围是 二、多选题 3．(24-25高二上·河北邯郸·期中)已知，分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（    ） A．椭圆的焦距为6 B．的周长为10 C．椭圆的离心率为 D．面积的最大值为 4．(24-25高二上·河北唐山第二中学·期中)已知椭圆：的离心率为，长轴长为6，，分别是椭圆的左、右焦点，是一个定点，是椭圆上的动点，则下列说法正确的是（   ） A． B．椭圆的标准方程为 C． D．的最大值为 5．(24-25高二上·河北枣强中学·期中)已知点P是椭圆上一点，，是椭圆的左、右焦点，若，则下列说法正确的是（    ） A．的面积为 B．若点M是椭圆上一动点，则的最大值为9 C．点P的纵坐标为 D．内切圆的面积为 6．(24-25高二上·河北承德高新区第一中学·期中)已知椭圆分别为它的左右焦点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（    ） A．椭圆离心率为 B． C．若，则的面积为 D．最大值为 7．(24-25高二上·河北承德第一中学·期中)已知分别是椭圆的左，右焦点，为椭圆上的一点，则下列说法正确的是（    ） A． B．椭圆的离心率为 C．直线被椭圆截得的弦长为 D．若，则的面积为4 8．(24-25高二上·河北承德第二中学·期中)已知点是椭圆的左、右顶点，点，分别为C的左、右焦点，点O为原点，点是椭圆上关于原点对称的两点，且不与重合，则（    ） A．的取值范围是 B． C．以线段为直径的圆被直线截得的弦长为 D．直线与直线的斜率之积 9．(24-25高二上·河北保定定州市定州中学·期中)已知，分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（    ） A．椭圆的焦距为6 B．的周长为10 C．椭圆的离心率为 D．面积的最大值为 10．(24-25高二上·河北衡水武强中学·期中)设椭圆的左右焦点为，，是上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．离心率 B．面积的最大值为 C．以线段为直径的圆与直线相切 D．的最小值为0 三、填空题 11．(24-25高二上·河北石家庄四十三中·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为点、，若椭圆上顶点为点，且为等边三角形，则是 ． 12．(24-25高二上·河北石家庄精英中学·期中)阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知面积为的椭圆（）的左焦点为，为椭圆上任意一点，点的坐标为，则的最大值为 . 13．(24-25高二上·河北唐山开滦第一中学·期中)已知圆，椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，为椭圆上一点，直线与圆交于点，，若，则 . 14．(24-25高二上·河北武安市第一中学·期中)已知椭圆的左､右焦点分别为，若为椭圆上一点，的内切圆的半径为，则椭圆的离心率为 . 四、解答题 15．(24-25高二上·河北衡水武强中学·期中)已知点P是椭圆上一点，点，分别是椭圆的左、右焦点，且，的周长为8． (1)求椭圆的标准方程；(2)若，求点P的坐标． 16．设双曲线：，，，分别是的左、右焦点，A是左支上一点，且与轴垂直，直线与的另一个交点为. (1)若直线的倾斜角为，求的离心率； (2)若直线在轴上的截距为2，且，求，. 试卷第1页，共3页 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 圆锥曲线的方程及其几何性质 3大高频考点概览 考点01 圆锥曲线的定义及其方程 考点02 圆锥曲线的离心率问题 考点03 圆锥曲线的焦点三角形问题 地 城 考点02 圆锥曲线的定义及其方程 一、单选题 1．(24-25高二上·河北唐山开滦第一中学·期中)已知椭圆的离心率为，且过点，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用椭圆中的关系求解即可. 【详解】由题意可得解得，所以椭圆的方程为.故选：A 2．(24-25高二上·河北唐山第二中学·期中)设点，的周长为36，则的顶点的轨迹方程为（   ） A． B． C．+ D． 【答案】B 【分析】由题意得到，根据椭圆的定义，可得点的轨迹是一条以为焦点的椭圆，即可得到答案. 【详解】由题意的周长为，，所以，所以,可知点的轨迹是以为焦点，长轴长为除去长轴的两个端点的椭圆， 所以，所以点的轨迹方程为. 故选：B. 3．(24-25高二上·河北保定定州市定州中学·期中)已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆焦点在轴上的标准方程的结构特征，得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆，所以，解得. 故选：C. 4．(24-25高二上·河北承德第八中学·期中)求长轴长是短轴长的倍，且过点的椭圆的标准方程（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】分析可知，，对椭圆的焦点位置进行分类讨论，将点的坐标代入椭圆方程，求出的值，即可得出椭圆的标准方程. 【详解】由题意可知，，若椭圆的焦点在轴上，则椭圆的标准方程为， 将点的坐标代入椭圆方程可得，解得，此时，椭圆的标准方程为； 若椭圆的焦点在轴上，则椭圆的标准方程为， 将点的坐标代入椭圆方程可得，解得，此时，椭圆的标准方程为. 综上所述，椭圆的标准方程为或. 故选：C. 5．(24-25高二上·河北承德第二中学·期中)与圆及圆都外切的圆的圆心在（    ） A．椭圆上 B．双曲线的一支上 C．抛物线上 D．圆上 【答案】B 【分析】求得动圆的圆心所满足的几何条件，由双曲线的定义可求解. 【详解】设动圆的圆心为，半径为，由，可得圆心，半径， 由，可得圆心为，半径，由题意可得，消去可得，所以动圆的圆心是双曲线靠近的一支曲线. 故选：B. 6．(24-25高二上·河北石家庄二中润德学校·期中)双曲线的两个焦点分别是和，焦距为8，M是双曲线上的一点，且，则的值为（） A．1 B．4 C．1或9 D．9 【答案】D 【分析】根据焦距,可得值,根据的关系,可得值,根据双曲线定义,分类讨论,即可求得答案. 【详解】因为，所以,所以,解得, 根据双曲线定义可得,所以,解得或, 当时,不合题意,故舍去,当时,,满足题意,综上,, 故选：D. 7．(24-25高二上·河北承德双桥卉原中学·期中)已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则的值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【分析】利用椭圆和双曲线焦点相同及相关参数的平方关系，即可求解. 【详解】设双曲线的一个焦点坐标，则，再由椭圆的焦点与双曲线焦点相同，则满足，即， 故选：C. 8．(24-25高二上·河北石家庄四十三中·期中)双曲线的两个焦点分别是和，焦距为8，M是双曲线上的一点，且，则的值为（） A．1 B．4 C．1或9 D．9 【答案】D 【来源】河北省石家庄四十三中2024-2025学年高二上学期期中数学试题 【分析】根据焦距,可得值,根据的关系,可得值,根据双曲线定义,分类讨论,即可求得答案. 【详解】因为，所以,所以,解得, 根据双曲线定义可得,所以,解得或, 当时,不合题意,故舍去,当时,,满足题意,综上,,故选：D. 9．(24-25高二上·河北承德高新区第一中学·期中)椭圆与，且的（    ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 【答案】C 【分析】根据椭圆的标准方程和几何性质，结合选项计算即可求解. 【详解】对应椭圆，，所以， 所以该椭圆的长轴为6，短轴为4，焦距为，离心率为； 对于且），则， 该方程表示的是焦点在轴上的椭圆，，所以， 长轴为，短轴为，所以该椭圆的焦距为，离心率为， 所以两个圆锥曲线的的焦距为，故C正确. 故选：C 二、多选题 10．(24-25高二上·河北唐山开滦第一中学·期中)已知椭圆C：的离心率为，则k的值可以为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】BD 【分析】根据离心率公式，结合焦点位置即可分类求解.. 【详解】若焦点在轴上，则，且，故，解得， 若焦点在轴上，则，且，故，解得，故选：BD 11．(24-25高二上·河北承德双桥卉原中学·期中)已知椭圆，则椭圆的（   ） A．焦点在轴上 B．长轴长为10 C．短轴长为4 D．离心率为 【答案】ABD 【分析】求出椭圆的，的值，结合椭圆的几何性质逐项判断即可. 【详解】由知，，，椭圆的焦点在轴上，故A正确； ，长轴长为，故B正确；，短轴长为，故C错误； 离心率为，故D正确. 故选：ABD. 12．(24-25高二上·河北承德双滦区实验中学·期中)已知椭圆的对称中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，若椭圆的长轴长为10，短半轴长为4，则椭圆的标准方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】求出，得到椭圆方程. 【详解】由题意，，故，椭圆的标准方程可能为或． 故选：AC． 13．(24-25高二上·河北武安市第一中学·期中)已知双曲线C：（）的离心率，C的右支上的点到其右焦点的最短距离为1，则（    ） A．双曲线C的焦点坐标为 B．双曲线C的渐近线方程为 C．点在双曲线C上 D．直线与双曲线C恒有两个交点 【答案】AC 【分析】由题意求出，即可求出双曲线方程，可得焦点坐标，判断AB；代入验证可判断C；求出直线所过定点，结合举特值，即可判断D. 【详解】双曲线C上的点到其焦点的最短距离为，离心率，所以， 所以，所以双曲线C的方程为，所以C的焦点坐标为，A正确． 双曲线C的渐近线方程为，B错误．因为，所以点在双曲线C上，C正确． 直线即，恒过点，即双曲线的右顶点，当时，直线与双曲线C的一条渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个交点，D错误． 故选：AC 三、填空题 14．(24-25高二上·河北承德双桥卉原中学·期中)已知椭圆的长轴长为8，且离心率为，则的标准方程为 . 【答案】 【分析】根据题意求出和，再写出标准方程. 【详解】由题意易得，则，因为椭圆的离心率为，所以，则， 故的标准方程为. 15．(24-25高二上·河北衡水衡水中学·期中)在双曲线中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是双曲线的中心，半径等于实半轴与虚半轴平方差的算术平方根，这个圆叫双曲线的蒙日圆.过双曲线的蒙日圆上一点作的两条切线，与该蒙日圆分别交于两点，若，则的周长为 . 【答案】/ 【分析】结合双曲线方程求出与，由蒙日圆定义可得圆的方程，再由切线互相垂直可得为直径，解直角三角形可得. 【详解】由双曲线可知，.则的蒙日圆圆心为，半径为，其蒙日圆方程为，由已知可得， 所以为圆的直径，所以.又，所以. 所以的周长为. 四、解答题 16．(24-25高二上·河北邯郸大名县第一中学·期中) 求适合下列条件的曲线的标准方程： (1)已知动点到定点的距离和到定直线：的距离的比是常数，记点的轨迹为曲线．求曲线的标准方程； (2)求过点，的双曲线的标准方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件列方程，化简求得曲线的标准方程. （2）设双曲线的方程为，代入点即可求解； 【详解】（1）依题意，，即， 两边平方得，整理得. （2）设双曲线的方程为，将，代入得：，解得， 所以双曲线方程为. 地 城 考点02 圆锥曲线的离心率问题 一、单选题 1．(24-25高二上·河北承德高新区第一中学·期中)若双曲线满足，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】河北省承德市高新区第一中学2024--2025学年高二上学期期中考试数学试卷 【分析】根据离心率公式计算可得答案. 【详解】由，得，即. 故选：C. 2．(24-25高二上·河北石家庄精英中学·期中)点，分别为椭圆：（）的左、右焦点，点，为上关于坐标原点对称的两点，，的面积为，为椭圆的离心率，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用四边形为矩形，即，求得的面积为得到结合椭圆的定义求解离心率的平方的值. 【详解】因为点，为上关于坐标原点对称的两点，且， 所以四边形为矩形，即，所以， 所以，由椭圆定义及勾股定理知：，所以， 所以，所以，即. 故选：B. 3．(24-25高二上·河北承德双滦区实验中学·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为、，若上存在一点，使得，则的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义， 可求得的长，根据三角形的几何性质，即可求得答案， 【详解】由椭圆的定义可得，又， 所以，在椭圆中，， 所以，即， 又，所以，所以该椭圆离心率的取值范围是.故选：B 4．(24-25高二上·河北承德双滦区实验中学·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为、，若上存在一点，使得，则的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义， 可求得的长，根据三角形的几何性质，即可求得答案， 【详解】由椭圆的定义可得，又，所以， 在椭圆中，， 所以，即，又，所以， 所以该椭圆离心率的取值范围是.故选：B 5．设双曲线，为其右顶点，直线与双曲线交于、两点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出点、的坐标，根据可得出、的等量关系，由此可求得该双曲线的离心率的值. 【详解】将代入双曲线的方程可得，解得，不妨取点、，易知点，，， 因为，则，可得， 所以，，因此，该双曲线的离心率为. 故选：C. 6．(24-25高二上·河北承德第八中学·期中)已知，是椭圆：的左、右焦点，是的下顶点，直线与的另一个交点为，且满足，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用椭圆的定义及勾股定理用表示出，在△中求出，再在△中，通过余弦定理得到与的关系，即可求出离心率. 【详解】由题意得，，令，则 ∵，∴，即，∴，, 在△中，，在△中，， ∴，∴.故选：A. 7．(24-25高二上·河北邯郸大名县第一中学·期中)已知椭圆和双曲线有公共的焦点，其中为左焦点，是与在第一象限的公共点.线段的垂直平分线经过坐标原点，若的离心率为，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，可得，利用勾股定理，结合椭圆、双曲线的定义建立方程组，由半焦距表示出即可求出渐近线方程. 【详解】令线段的垂直平分线与的交点为，显然是的中点，而是的中点， 则，而，因此，， 则，令与的半焦距为，由，得，于是，解得，则，，所以的渐近线方程为. 故选：B 二、多选题 8．已知双曲线的两个焦点为，，过作圆的切线，切线与交于，两点. 若，则的离心率可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】讨论同时在双曲线的左支上和点在双曲线的两支上两种情况，求出之间的关系，结合离心率的计算公式，即可得答案. 【详解】当点同时在双曲线的左支上时，设切点为，则， .作交于点，则，      因为为的中点，则为的中点，故，, 因为，为锐角，故，所以，，，所以， 则，故双曲线的离心率.当点在双曲线的两支上时，仍有，，    因为，为锐角，故，所以，，，所以， 则，故双曲线的离心率. 故选：BC. 三、填空题 9．(24-25高二上·河北衡水武强中学·期中)已知点是椭圆上的一点，分别为椭圆的左、右焦点，已知=120°，且，则椭圆的离心率为 . 【答案】 【详解】设，由余弦定理知，所以，故填. 10．(24-25高二上·河北承德第一中学·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为，过作轴垂线交椭圆于，若，则该椭圆的离心率是 . 【答案】 【分析】根据题意可得，结合椭圆定义运算求解即可. 【详解】由题意可知：，又因为，即，可得，所以该椭圆的离心率是. 故答案为：. 11．(24-25高二上·河北承德双滦区实验中学·期中)已知椭圆C：1（）的左、右焦点分别为，，若椭圆C上存在一点P，使得的内切圆的半径为，则椭圆C的离心率的取值范围是 . 【答案】 【分析】在中利用等面积法可得，再借助椭圆的范围建立不等式即可求出离心率的取值范围. 【详解】令点的纵坐标为，则，的周长， 依题意，，解得， 因此，即，而，则， 解得，即，所以椭圆C的离心率的取值范围是. 12．(24-25高二上·河北石家庄二中·期中)已知，分别为双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线的左支交于，两点，记的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则双曲线的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】根据双曲线定义及内切圆性质可知轴于点，且为双曲线的左焦点，设，，根据直角三角形正切值可得，结合，可得离心率. 【详解】如图所示，设内切圆圆心为，内切圆圆心， 且圆与各边分别相切于，，，则，，， 又点在双曲线左支，则， 则，且轴，即点在直线上，同理点在直线上， 即轴于点，且，设，则， 则，， 即，又，则，化简可得，即， 解得或（舍）， 13．(24-25高二上·河北承德高新区第一中学·期中)已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，，是上关于原点对称的两点，且，，则的离心率为 ． 【答案】 【分析】由图，题意，双曲线对称性可得为直角三角形，然后设，由及勾股定理可表示出a，c，即可得答案. 【详解】由双曲线对称性及，可知， 则为以为顶点的直角三角形.又由双曲线对称性，可知四边形为平行四边形，结合，可知四边形为矩形，则为直角三角形. 设，则.故. 故答案为： 14．(24-25高二上·河北石家庄正定中学·期中)如图，是椭圆的左、右顶点，P是上不同于的动点，线段与椭圆C交于点Q，若，则椭圆的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】设，得到和，两式相除即可求解. 【详解】根据椭圆以及圆的对称性，不妨设P点在第一象限，设， 则，，两式相乘得①, 因为直径所对的角是直角，所以，所以②， 结合，①除以②得，故， 15．(24-25高二上·河北邢台市质检·期中)已知椭圆与双曲线有公共焦点与在第一象限的交点为，且，记的离心率分别为，则 . 【答案】2 【分析】根据椭圆和双曲线的定义可得，根据勾股定理化简可得，结合离心率定义即可得结果. 【详解】由题意可知，， 所以. 因为，所以，即，所以， 16．(24-25高二上·河北保定市六校联考·期中)已知双曲线的左，右焦点分别为，，过左焦点作直线与双曲线交于A，B两点（B在第一象限），若线段的中垂线经过点，且点到直线的距离为，则双曲线的离心率为 . 【答案】 【分析】根据题意，由双曲线的定义可得，再由勾股定理列出方程即可得到关系，代入离心率计算公式，即可得到结果. 【详解】 设双曲线的半焦距为c，，，根据题意得， 又，，设的中点为， 在中，，，， 则，，根据，可知，. 地 城 考点02 圆锥曲线的焦点三角形问题 一、单选题 1．(24-25高二上·河北沧州市八县联考·期中)已知是椭圆的左､右焦点，为上一点，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】利用椭圆的定义知，利用基本不等式即可求出的最小值. 【详解】因为是椭圆的左、右焦点，P在椭圆上运动， 所以. 所以，所以（当且仅当时等号成立）. 所以. 即的最小值为1. 故选：A 2．(24-25高二上·河北承德第一中学·期中)椭圆左、右焦点分别为，，是椭圆上一动点，则（   ） A． B．面积的最大值为 C．若，则 D．若椭圆上存在点，使得，则椭圆离心率的取值范围是 【答案】C 【分析】由椭圆的定义判断A选项；动点在上下顶点处时，焦点三角形面积最大，由此得到面积判断B选项；由向量数量积为0，得到线段垂直垂足为，带横坐标得到中坐标即可得到线段的长判断C选项；找到椭圆中使得最大的动点的位置，只需要让最大角大于等于即可满足题意，利用余弦定理建立不等式，得到离心率的范围. 【详解】由椭圆的定义可知，故A选项错误； 当点为椭圆的上（下）顶点时，最大，此时，故B选择错误； ∵，所以，∴令，解得，∴，故C选择正确； 当点为椭圆的上（下）顶点时，最大，∴此时， ∴，即， ∴，所以，故D选项错误. 故选：C 二、多选题 3．(24-25高二上·河北邯郸·期中)已知，分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（    ） A．椭圆的焦距为6 B．的周长为10 C．椭圆的离心率为 D．面积的最大值为 【答案】BD 【分析】利用椭圆方程得到，利用椭圆的定义与性质，逐一分析判断各选项即可得解. 【详解】对于A，因为椭圆，所以，所以椭圆的焦距为，故A错误；对于B，由椭圆的定义可知， 所以的周长为，故B正确； 对于C，椭圆的离心率为，故C错误； 对于D，当点为椭圆的短轴的一个端点时，点到轴的距离最大， 此时面积取得最大值，为，故D正确. 故选：BD. 4．(24-25高二上·河北唐山第二中学·期中)已知椭圆：的离心率为，长轴长为6，，分别是椭圆的左、右焦点，是一个定点，是椭圆上的动点，则下列说法正确的是（   ） A． B．椭圆的标准方程为 C． D．的最大值为 【答案】ABD 【分析】由题意得出的值，得到椭圆方程，由此判断出ABC选项，D选项需要对线段转化为，变成求最大值，从而得出结果. 【详解】由题意可知：，解得，∴，A选项正确；∴ ∴椭圆：，B选项正确；∵，∴，C选项错误； ， 当且仅当在之间且它们三点共线时等号成立，D选项正确； 故选：ABD 5．(24-25高二上·河北枣强中学·期中)已知点P是椭圆上一点，，是椭圆的左、右焦点，若，则下列说法正确的是（    ） A．的面积为 B．若点M是椭圆上一动点，则的最大值为9 C．点P的纵坐标为 D．内切圆的面积为 【答案】D 【分析】对A，根据椭圆定义和余弦定理求出即可得出；对B，根据椭圆的有界性可得；对C，根据的面积建立关系求解；对D，根据的面积求出内切圆半径即可得出. 【详解】对A，根据椭圆定义可得，则①， 在中，由余弦定理②， 由①②可得，所以的面积为，故A错误； 对B，设，则，， ， 则当时，取得最大值为5，故B错误； 对C，由A，的面积为，则，解得，故C错误； 对D，设内切圆的半径为，因为的面积为， 所以，即，解得， 所以内切圆的面积为，故D正确. 故选：D. 6．(24-25高二上·河北承德高新区第一中学·期中)已知椭圆分别为它的左右焦点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（    ） A．椭圆离心率为 B． C．若，则的面积为 D．最大值为 【答案】BCD 【分析】由椭圆方程得到的值，根据离心率的定义可判断A，根据椭圆的定义可判断B， 根据勾股定理和椭圆的定义可得到，从而由三角形面积公式可判断C，由对勾函数可判断D. 【详解】由椭圆方程可知，，，，所以椭圆的离心率，故A错误； 由椭圆定义知，故B正确； 又，因为，所以， ， 解得：，所以的面积为，故C正确； 因为，即，设，由对勾函数的性质可得函数在上单调递减，在上单调递增，且，所以， 所以，故D正确.故选：BCD. 7．(24-25高二上·河北承德第一中学·期中)已知分别是椭圆的左，右焦点，为椭圆上的一点，则下列说法正确的是（    ） A． B．椭圆的离心率为 C．直线被椭圆截得的弦长为 D．若，则的面积为4 【答案】BCD 【分析】根据椭圆的定义与性质结合勾股定理计算一一判定选项即可. 【详解】因为椭圆方程为：，则其长轴长、短轴长、焦距分别为，所以，即A错误；B正确； 当时，与联立得，即直线被椭圆截得的弦长为，故C正确； 若，则， 即，则的面积为，故D正确. 故选：BCD 8．(24-25高二上·河北承德第二中学·期中)已知点是椭圆的左、右顶点，点，分别为C的左、右焦点，点O为原点，点是椭圆上关于原点对称的两点，且不与重合，则（    ） A．的取值范围是 B． C．以线段为直径的圆被直线截得的弦长为 D．直线与直线的斜率之积 【答案】AD 【分析】利用焦半径公式计算可判定A，利用椭圆的对称性及定义可判定B，利用点到直线的距离公式及弦长公式计算可判定C，利用两点斜率公式计算可判定D. 【详解】 易知，对于A，设，易知， 则，故A正确；对于B，易知四边形为平行四边形，即，故B错误； 对于C，易知以线段为直径的圆其圆心为原点，半径为，则圆心到直线的距离为， 则相应弦长为，故C错误； 对于D，易知，故D正确. 故选：AD 9．(24-25高二上·河北保定定州市定州中学·期中)已知，分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（    ） A．椭圆的焦距为6 B．的周长为10 C．椭圆的离心率为 D．面积的最大值为 【答案】BD 【分析】利用椭圆方程得到，利用椭圆的定义与性质，逐一分析判断各选项即可得解. 【详解】对于A，因为椭圆，所以，所以椭圆的焦距为，故A错误； 对于B，由椭圆的定义可知，所以的周长为，故B正确；对于C，椭圆的离心率为，故C错误；对于D，当点为椭圆的短轴的一个端点时，点到轴的距离最大，此时面积取得最大值，为，故D正确. 故选：BD. 10．(24-25高二上·河北衡水武强中学·期中)设椭圆的左右焦点为，，是上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．离心率 B．面积的最大值为 C．以线段为直径的圆与直线相切 D．的最小值为0 【答案】CD 【分析】求出离心率可判断A；计算面积的最大值可判断B；求出圆的方程，再判断圆心到直线的距离与半径的关系可判断C；设进行数量积的坐标运算结合可判断D，进而可得正确选项. 【详解】对于A：由椭圆可知，，，， 所以左、右焦点分别为，，离心率，故选项A错误； 对于B：，当点与椭圆的上下顶点重合时，面积的最大， 所以面积的最大值为，故选项B错误； 对于C：以线段为直径的圆的圆心，半径为1， 由圆心到直线的距离， 所以以线段为直径的圆与直线相切，故选项C正确； 对于D：设，， ，则的最小值为，故选项D正确； 故选：CD． 三、填空题 11．(24-25高二上·河北石家庄四十三中·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为点、，若椭圆上顶点为点，且为等边三角形，则是 ． 【答案】3 【分析】先确定，然后根据为等边三角形得到，带入已知计算即可. 【详解】由已知得，则， 又为等边三角形，则，即所以，解得. 故答案为：. 12．(24-25高二上·河北石家庄精英中学·期中)阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知面积为的椭圆（）的左焦点为，为椭圆上任意一点，点的坐标为，则的最大值为 . 【答案】11 【分析】由题意求出的值，设椭圆的右焦点为，则由，求出，问题即可求. 【详解】根据题意可得：，又，解得，， ∴，，，设椭圆的右焦点为， 则，当且仅当，，共线时等号成立， 又，，∴，∴的最大值为. 13．(24-25高二上·河北唐山开滦第一中学·期中)已知圆，椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，为椭圆上一点，直线与圆交于点，，若，则 . 【答案】6 【分析】利用求出，然后将转化为求解即可. 【详解】 设，由于， 而，则， 所以， ． 故答案为：6 14．(24-25高二上·河北武安市第一中学·期中)已知椭圆的左､右焦点分别为，若为椭圆上一点，的内切圆的半径为，则椭圆的离心率为 . 【答案】 【分析】由内切圆半径的计算公式，利用等面积法表示焦点三角形的面积，得到方程，即可得到离心率的方程，计算得到结果. 【详解】由题意，可知为椭圆通径的一半，故，的面积为， 又由于的内切圆的半径为，则的面积也可表示为， 所以，即，整理得：，两边同除以， 得，所以或，又椭圆的离心率，所以椭圆的离心率为.故 四、解答题 15．(24-25高二上·河北衡水武强中学·期中)已知点P是椭圆上一点，点，分别是椭圆的左、右焦点，且，的周长为8． (1)求椭圆的标准方程；(2)若，求点P的坐标． 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据题意，结合椭圆的定义得到，求得，进而求得，即可求得椭圆的标准方程； （2）设点，由，求得，代入椭圆的方程，进而求得点的坐标. 【详解】（1）由椭圆的焦点为，可得，即， 又由椭圆的定义，可得，因为的周长为，可得，解得，所以，所以椭圆的标准方程为. （2）设点，且，，则， 因为，可得，解得，即， 将代入椭圆，可得，即，解得， 所以点的坐标为. 16．设双曲线：，，，分别是的左、右焦点，A是左支上一点，且与轴垂直，直线与的另一个交点为. (1)若直线的倾斜角为，求的离心率； (2)若直线在轴上的截距为2，且，求，. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题可得，则可得AB斜率表达式，据此可得答案； （2）设AB与y轴交点为C，则，据此可得.设，由结合双曲线定义，可得关于的表达式，后由余弦定理可得，即可得答案. 【详解】（1）设，因与轴垂直，设， 代入，得， 又，则 ； （2）设AB与y轴交点为C，则，因O为，中点，， 则为中点，则由中位线定理可得. 因，设，则，. 由双曲线定义，. 因A，B，三点共线，则， 由余弦定理得， 则 .则或. 当时，不合题意，则.则. ，则.综上，. 试卷第1页，共3页 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $