专题3.1 立体图形与平面图形（举一反三讲义）数学华东师大版2024七年级上册

专题3.1 立体图形与平面图形（举一反三讲义） 【华东师大版2024】 【题型1 几何体及其构成】 4 【题型2 几何体中的点、棱、面】 5 【题型3 点、线、面、体间的关系】 6 【题型4 平行投影】 7 【题型5 中心投影】 7 【题型6 正投影】 8 【题型7 立体图形的视图】 9 【题型8 由视图确定几何体】 10 【题型9 几何体的展开图】 11 【题型10 正方体的展开图】 12 【题型11 截一个几何体】 13 知识点1 立体图形的相关概念 1.定义：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形． 立体图形除了按照柱体、锥体、球分类，也可以按照围成几何体的面是否有曲面划分：①有曲面：圆柱、圆锥、球等；②没有曲面：棱柱、棱锥等. 2.棱柱的有关概念及其特征: ①在棱柱中，相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱，棱柱所有侧棱长都相等，棱柱的上下底面的形状、大小相同，并且都是多边形；棱柱的侧面形状都是平行四边形． ②棱柱的顶点数、棱数和面数之间的关系：底面多边形的边数n确定该棱柱是n棱柱，它有2n个顶点，3n条棱，n条侧棱，有n+2个面，n个侧面． 知识点2 点、线、面、体的关系 定义：①体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点． ②点动成线，线动成面，面动成体． ③点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界． 知识点3 投影、中心投影 1. 投影：物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是投影现象．影子所在的平面称为投影面． 2.中心投影：手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一个点发出的，这样的光线所形成的投影称为中心投影．中心投影的投影线相交于一点，这一点称为投影中心． 3.中心投影的特征 （1）等高物体垂直于地面放置：离点光源越近，影子越短； 离点光源越远，影子越长 （2）等长物体平行于地面放置： 离点光源越近，影子越长； 离点光源越远，影子越短，但不会小于物体本身的长度 （3）点光源、物体边缘的点以及其在物体的影子上的对应点在同一条直线上． 知识点4 平行投影 1. 平行投影：太阳光线可以看成平行光线，平行光线所形成的投影称为平行投影．常见的平行光源：太阳光、X光． 2. 正投影：平行光线与投影面垂直，这种投影称为正投影．正投影是特殊的平行投影（例：夏至日北回归线上中午12点时的投影）． 线段、平面图形相对于投影面的位置不同时的正投影： 图形 物体平行于投影面 物体倾斜于投影面 物体垂直于投影面 线段 一条与它本身等长的线段 与它本身不等长的线段 一个点 平面图形 形状大小不变（全等）的平面图形 与它本身不全等的平面图形 一条线段 3. 平行投影的特点 （1）在同一时刻，不同物体的物高和影长的比相等； （2）平行投影物体上的点与影子上的对应点的连线平行或在同一条直线上． 知识点5 三种视图 1. 视图：用正投影的方法绘制的物体在投影面上的图形，称为物体的视图． 2. 三种视图：通常我们把从正面得到的视图叫做主视图；从左面得到的视图叫做左视图；从上面得到的视图叫做俯视图． 3. 常见几何体的三种视图 几何体 主视图 左视图 俯视图 知识点6 三种视图之间的关系及画法 1. 位置关系：三种视图的位置是有规定的，主视图要在左上方，它的下方应是俯视图，左视图在右上方．主视图反映物体的长和高，俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽． 2. 大小关系：主视图与俯视图的长相等，俯视图与左视图的宽相等，主视图与左视图的高相等． 3. 三种视图的画法 （1）确定视图方向； （2）将复杂几何体分解为简单几何体的组合（拼接、截取或挖取）； （3）根据三种视图的定义及相互之间的位置关系画出三种视图． 知识点7 由三种视图还原几何体 1. 由三种视图还原几何体的步骤 （1）分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的正面、上面和左面； （2)根据实线和虚线综合考虑整体图形； （3)画出图形后验证. 2. 还原简单组合体示例 知识点8 正方体的展开图 定义：正方体是特殊的棱柱，它的六个面都是大小相同的正方形，将一个正方体的表面展开，可以得到11种不同的展开图，把它归为四类：一四一型有6种；二三一型有3种；二二二型有一种；三三型有1种． 拓展： 正方体展开图口诀：  ①一线不过四;田凹应弃之；  ②找相对面：相间，“Z”端是对面； ③找邻面：间二，拐角邻面知． 【题型1 几何体及其构成】 【例1】（24-25七年级上·宁夏银川·阶段练习）将下图中的立体图形分类． 柱体 ；锥体 ；球体 ． 【变式1-1】（24-25七年级上·福建漳州·期末）谜语是我国民间文学的一种特殊形式，古时称“度辞”或“隐语”．谜语：“正看三条边；侧看三条边；上看圆圈圈，就是没直边．” ．（打一几何体） 【变式1-2】（24-25七年级上·广东深圳·期中）如图，模块①由15个棱长为1的小正方体构成，模块②﹣⑥均由4个棱长为1的小正方体构成．现在从模块②﹣⑥中选出三个模块放到模块①上，与模块①组成一个棱长为3的大正方体．下列四个方案中，符合上述要求的是（    ） A．模块②，④，⑤ B．模块③，④，⑥ C．模块②，③，⑥ D．模块③，⑤，⑥ 【变式1-3】（24-25七年级·福建漳州·期末）如图，指出图中物体分别是由哪些几何体组成的． 【题型2 几何体中的点、棱、面】 【例2】（24-25七年级上·山西晋中·期中）小华新买了一个如图所示的笔筒，下列关于这个笔筒的描述错误的是（    ） A．笔简可以近似的看成六棱柱 B．它的所有侧棱长都相等 C．它有10个顶点 D．侧面的形状都是长方形 【变式2-1】（24-25六年级上·山东威海·期中）一个棱柱有个面，且所有的侧棱长的和为，底面边长都为，它的侧面积是 ． 【变式2-2】（24-25六年级上·山东淄博·期中）一个n棱柱共有15条棱，则这个棱柱共有 个面． 【变式2-3】（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，从一个棱长为的正方体的一顶点处挖去一个棱长为的正方体，则第二个几何体有（　　）个面． A．6 B．7 C．8 D．9 【题型3 点、线、面、体间的关系】 【例3】（24-25七年级上·广东深圳·期中）直升飞机螺旋桨一般由4片桨叶组成，直升飞机起飞时，螺旋桨旋转时向下推动空气，即向下施加一个作用力，直升飞机获得竖直向上的力，使得飞机能悬浮在空中．若把螺旋桨看作一条线段，旋转形成的痕迹体现了（    ） A．面动成体 B．线动成面 C．点动成线 D．面面相交成线 【变式3-1】（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）笔尖在纸上快速滑动写出了一个字母w，用数学知识解释为 ． 【变式3-2】（24-25九年级上·广西南宁·期中）如图下面的图形绕直线l旋转一周后得到的立体图形是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25七年级上·河南郑州·期中）如图，某酒店大堂的旋转门内部由四块宽2m、高3m的长方形玻璃隔板组成． (1)每扇旋转门旋转一周，能形成的几何体是 ，这体现了 动成体； (2)求每扇旋转门旋转一周形成的几何体的体积（结果保留π）． 【题型4 平行投影】 【例4】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）下列四幅图形中，表示同一时刻、同一地点的两棵小树在阳光下的影子的图形可能是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25九年级下·湖南长沙·期末）下列光源所形成的投影不是中心投影的是（    ） A．手电筒 B．蜡烛 C．太阳 D．台灯 【变式4-2】（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）在太阳光的照射下，一个矩形框在水平地面上形成的投影形状不可能是（    ） A．矩形 B．正方形 C．平行四边形 D．圆 【变式4-3】如图所示是小红在某天四个时刻看到一个棒及其影子的情况，那么她看到的先后顺序是 ． 【题型5 中心投影】 【例5】（24-25九年级上·福建·期中）如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处走到B处的过程中他在该路灯下的影子（    ） A．始终不变 B．由长逐渐变短 C．由短逐渐变长 D．先变短后变长 【变式5-1】（24-25九年级下·湖南长沙·期末）下列光源所形成的投影不是中心投影的是（    ） A．手电筒 B．蜡烛 C．太阳 D．台灯 【变式5-2】（24-25七年级上·四川眉山·期末）用发光的手电筒由远及近去照射吊在空中的小球，如图，那么小球落在竖直墙面上的影子会（   ） A．先变大后变小 B．逐渐变小 C．逐渐变大 D．先变小后变大 【变式5-3】一个立方体框架，用一支手电筒照上去，影子可能是 种样子． 【题型6 正投影】 【例6】（2025·贵州六盘水·二模）正午时候，将一个足球踢到空中，在地面形成的影子是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25九年级下·全国·期末）下列关于正投影的说法正确的是（  ） A．如果一个物体的正投影是圆，那么这个物体是球 B．不同物体的正投影可以相同 C．圆锥的正投影是等腰三角形 D．圆纸片的正投影是圆 【变式6-2】（24-25九年级上·江西九江·阶段练习）正六棱柱如图放置，一束水平方向的平行光线照射此正六棱柱时的正投影是（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（24-25九年级下·全国·随堂练习）把一块正方形硬纸板P放在三个不同位置： （1）当纸板P平行于投影面时，P的正投影与P的形状、大小 ．（填“相同”或“不相同”） （2）当纸板P倾斜于投影面时，P的正投影与P的形状、大小 ．（填“相同”或“不相同”） （3）当纸板P垂直于投影面时，P的正投影成为 ． 【题型7 立体图形的视图】 【例7】（24-25九年级下·湖南长沙·期中）鲁班锁起源于我国古代建筑中的榫卯结构． 图（2）是六根鲁班锁图（1）中的一个构件，这个图形的主视图是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）由五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，这个几何体的俯视图是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】如图，是由6个棱长都为1的小立方体块搭建的几何体． (1)请在边长为1的小正方形组成的网格中画出这个几何体的左视图和俯视图； (2)这个几何体的表面积（包括底部）是__________． 【变式7-3】按要求完成下列视图问题．（其中的棱长为1） (1)如图1，它是由几个相同的小正方体搭成的几何体，若在①的上面添加一个同样大小的小正方体，请在网格图中画出添加后所得的新几何体的主视图； (2)如图1，无论是在①的上面添加一个同样大小的小正方体或是将①取走，新几何体的______视图不变； (3)如图2，它是由几个相同的小正方体组成的几何体的俯视图，正方形中的数字表示该位置上小正方体的个数，请在网格图中画出这个几何体的左视图； (4)如图2，若将数字1去掉，该几何体的______视图不变． 【题型8 由视图确定几何体】 【例8】（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图是小静画的一个几何体的三视图． (1)这个几何体是由__________和__________这两个立体图形组成的； (2)求这个几何体的体积．（结果保留） 【变式8-1】（2025·河南郑州·三模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】如图是一个几何体的三种视图，选项中箭头方向为主视方向，则这个几何体是（　　） A．B． C．D． 【变式8-3】（24-25九年级上·河南焦作·期末）某几何体是由大小相同的正方体木块堆成，主视图、俯视图如图所示，则该几何体木块数量是_____块． 【题型9 几何体的展开图】 【例9】（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）下面的图形经过折叠可以围成的几何体名称是 ． 【变式9-1】（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）可以围成一个棱柱的是（    ）． A． B． C． D． 【变式9-2】（24-25七年级下·山东临沂·期中）如图是一个直三棱柱的展开图，其中三个面被标示为甲、乙、丙．将此展开图折成直三棱柱后，判断下列叙述正确的是（    ） A．甲与乙平行，甲与丙垂直 B．甲与乙平行，甲与丙平行 C．甲与乙垂直，甲与丙垂直 D．甲与乙垂直，甲与丙平行 【变式9-3】（24-25七年级上·宁夏中卫·期中）如图是一个底面为正方形的四棱柱的展开图，图上的数字代表棱柱各条棱的长度（单位：cm），则该棱柱的表面积是 cm2．         【题型10 正方体的展开图】 【例10】（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）下图中，经过折叠能围成如图所示的几何体的是（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】（24-25七年级上·四川成都·期中）一个正方体盒子的展开图如图所示．如果要把它粘成一个正方体，那么与点重合的点是 ． 【变式10-2】（24-25七年级上·广东深圳·期中）如图的四个平面图形中，不是正方体的展开图的是（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】（24-25七年级上·山西晋中·期中）如图，A、B、C、D四个位置中的某个正方形与实线部分的五个正方形组成的平面图形，其平面图形能拼成正方体的位置有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【题型11 截一个几何体】 【例11】（24-25七年级上·福建三明·期中）一物体外形是正方体，其内部构造不详，用一个竖直的平面截这个物体，截了七次，得到一组自左向右的截面（如图），则这个正方体的内部构造可能是空了一个 体． 【变式11-1】（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）玲玲用两种不同的方法分别去截同一个几何体，分别得到了如图所示的图形，这个几何体可能是（    ） A．球 B．圆柱 C．长方体 D．圆锥 【变式11-2】（24-25七年级上·宁夏银川·期中）用一平面去截下列几何体，其截面可能是长方形的有 个． 【变式11-3】（24-25七年级上·江苏苏州·期中）用平面截一个n棱柱，得到的截面边数最多是8条边，且这个n棱柱的每个侧面都是正方形，正方形的面积为，则这个n棱柱的棱长之和为 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1 立体图形与平面图形（举一反三讲义） 【华东师大版2024】 【题型1 几何体及其构成】 4 【题型2 几何体中的点、棱、面】 6 【题型3 点、线、面、体间的关系】 8 【题型4 平行投影】 9 【题型5 中心投影】 11 【题型6 正投影】 13 【题型7 立体图形的视图】 15 【题型8 由视图确定几何体】 17 【题型9 几何体的展开图】 20 【题型10 正方体的展开图】 21 【题型11 截一个几何体】 23 知识点1 立体图形的相关概念 1.定义：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形． 立体图形除了按照柱体、锥体、球分类，也可以按照围成几何体的面是否有曲面划分：①有曲面：圆柱、圆锥、球等；②没有曲面：棱柱、棱锥等. 2.棱柱的有关概念及其特征: ①在棱柱中，相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱，棱柱所有侧棱长都相等，棱柱的上下底面的形状、大小相同，并且都是多边形；棱柱的侧面形状都是平行四边形. ②棱柱的顶点数、棱数和面数之间的关系：底面多边形的边数n确定该棱柱是n棱柱，它有2n个顶点，3n条棱，n条侧棱，有n+2个面，n个侧面. 知识点2 点、线、面、体的关系 定义：①体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点． ②点动成线，线动成面，面动成体． ③点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界． 知识点3 投影、中心投影 1. 投影：物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是投影现象．影子所在的平面称为投影面． 2.中心投影：手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一个点发出的，这样的光线所形成的投影称为中心投影．中心投影的投影线相交于一点，这一点称为投影中心． 3.中心投影的特征 （1）等高物体垂直于地面放置：离点光源越近，影子越短； 离点光源越远，影子越长 （2）等长物体平行于地面放置： 离点光源越近，影子越长； 离点光源越远，影子越短，但不会小于物体本身的长度 （3）点光源、物体边缘的点以及其在物体的影子上的对应点在同一条直线上． 知识点4 平行投影 1. 平行投影：太阳光线可以看成平行光线，平行光线所形成的投影称为平行投影．常见的平行光源：太阳光、X光． 2. 正投影：平行光线与投影面垂直，这种投影称为正投影．正投影是特殊的平行投影（例：夏至日北回归线上中午12点时的投影）． 线段、平面图形相对于投影面的位置不同时的正投影： 图形 物体平行于投影面 物体倾斜于投影面 物体垂直于投影面 线段 一条与它本身等长的线段 与它本身不等长的线段 一个点 平面图形 形状大小不变（全等）的平面图形 与它本身不全等的平面图形 一条线段 3. 平行投影的特点 （1）在同一时刻，不同物体的物高和影长的比相等； （2）平行投影物体上的点与影子上的对应点的连线平行或在同一条直线上． 知识点5 三种视图 1. 视图：用正投影的方法绘制的物体在投影面上的图形，称为物体的视图． 2. 三种视图：通常我们把从正面得到的视图叫做主视图；从左面得到的视图叫做左视图；从上面得到的视图叫做俯视图． 3. 常见几何体的三种视图 几何体 主视图 左视图 俯视图 知识点6 三种视图之间的关系及画法 1. 位置关系：三种视图的位置是有规定的，主视图要在左上方，它的下方应是俯视图，左视图在右上方．主视图反映物体的长和高，俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽． 2. 大小关系：主视图与俯视图的长相等，俯视图与左视图的宽相等，主视图与左视图的高相等． 3. 三种视图的画法 （1）确定视图方向； （2）将复杂几何体分解为简单几何体的组合（拼接、截取或挖取）； （3）根据三种视图的定义及相互之间的位置关系画出三种视图． 知识点7 由三种视图还原几何体 1. 由三种视图还原几何体的步骤 （1）分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的正面、上面和左面； （2)根据实线和虚线综合考虑整体图形； （3)画出图形后验证. 2. 还原简单组合体示例 知识点8 正方体的展开图 定义：正方体是特殊的棱柱，它的六个面都是大小相同的正方形，将一个正方体的表面展开，可以得到11种不同的展开图，把它归为四类：一四一型有6种；二三一型有3种；二二二型有一种；三三型有1种． 拓展： 正方体展开图口诀：  ①一线不过四;田凹应弃之；  ②找相对面：相间，“Z”端是对面； ③找邻面：间二，拐角邻面知． 【题型1 几何体及其构成】 【例1】（24-25七年级上·宁夏银川·阶段练习）将下图中的立体图形分类． 柱体 ；锥体 ；球体 ． 【答案】 ①②⑤⑦⑧ ④⑥/⑥④ ③ 【分析】本题主要考查立体图形的分类，解题的关键掌握立体图形的特征．据此可得答案． 【详解】解：柱体：①②⑤⑦⑧；锥体：④⑥；球体：③． 故答案为：①②⑤⑦⑧；④⑥；③． 【变式1-1】（24-25七年级上·福建漳州·期末）谜语是我国民间文学的一种特殊形式，古时称“度辞”或“隐语”．谜语：“正看三条边；侧看三条边；上看圆圈圈，就是没直边．” ．（打一几何体） 【答案】圆锥 【分析】本题主要考查了生活中简单的几何体，解题的关键是熟练掌握圆锥的特点，根据圆锥特点即可解答． 【详解】解：这个几何体为圆锥． 故答案为：圆锥． 【变式1-2】（24-25七年级上·广东深圳·期中）如图，模块①由15个棱长为1的小正方体构成，模块②﹣⑥均由4个棱长为1的小正方体构成．现在从模块②﹣⑥中选出三个模块放到模块①上，与模块①组成一个棱长为3的大正方体．下列四个方案中，符合上述要求的是（    ） A．模块②，④，⑤ B．模块③，④，⑥ C．模块②，③，⑥ D．模块③，⑤，⑥ 【答案】C 【分析】根据正方体的结构特征进行选择即可． 【详解】解：根据正方体的结构特征，可选择模块⑥放在模块①上的右下角，再将模块③放在模块①上在右上角，最后将模块②放在模块①上在左边，就使得模块①组成一个棱长为3的正方体， 故选：C． 【点睛】本题考查正方体的结构特征，主要培养学生的空间想象能力和动手拼接图形的能力． 【变式1-3】（24-25七年级·福建漳州·期末）如图，指出图中物体分别是由哪些几何体组成的． 【答案】见解析 【分析】本题考查了组合几何体的构成．熟练掌握常见的几何体是解题的关键． 根据常见的几何体的特征作答即可． 【详解】解：由题意知，①是由一个正方体、一个圆柱体、一个圆锥体组成的组合体； ②是由一个圆柱体、一个长方体、一个三棱柱组成的组合体； ③是由一个五棱柱、一个球体组成的组合体． 【题型2 几何体中的点、棱、面】 【例2】（24-25七年级上·山西晋中·期中）小华新买了一个如图所示的笔筒，下列关于这个笔筒的描述错误的是（    ） A．笔简可以近似的看成六棱柱 B．它的所有侧棱长都相等 C．它有10个顶点 D．侧面的形状都是长方形 【答案】C 【分析】本题主要考查了六棱柱的相关知识，根据六棱柱所有侧棱长都相等，有12个顶点，侧面的形状都是长方形一一判断即可． 【详解】解：．笔简可以近似的看成六棱柱，说法正确，故该选项不符合题意； ．它的所有侧棱长都相等，说法正确，故该选项不符合题意； ．它有12个顶点，原说法错误，故该选项符合题意； ．侧面的形状都是长方形，说法正确，故该选项不符合题意； 故选：C． 【变式2-1】（24-25六年级上·山东威海·期中）一个棱柱有个面，且所有的侧棱长的和为，底面边长都为，它的侧面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了棱柱的侧面积计算，先求出棱柱的棱数，再求出侧棱长，然后求侧面积即可，正确理解棱柱的有关定义是解题的关键． 【详解】解：∵棱柱有个面， ∴是棱柱， ∴侧棱长为， ∵底面边长都是， ∴底面周长是， ∴侧面积， 故答案为：． 【变式2-2】（24-25六年级上·山东淄博·期中）一个n棱柱共有15条棱，则这个棱柱共有 个面． 【答案】 【分析】本题主要考查立体几何的认识，掌握立体几何中点、棱、面的关系是解题的关键．棱柱的上，下棱的和是中间棱的2倍，由此即可求解． 【详解】解：，即上、中、下各有5条棱， ∴中间有5个面，上下各一个面，共7个面， 故答案为：7． 【变式2-3】（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，从一个棱长为的正方体的一顶点处挖去一个棱长为的正方体，则第二个几何体有（　　）个面． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查截一个几何体，根据挖去一个棱长为的正方体，增加了三个边长为的正方形面，进行求解即可． 【详解】解：因为从一个棱长为的正方体的一顶点处挖去一个棱长为的正方体，增加了三个边长为的正方形面， 所以第二个几何体有9个面． 故选：D． 【题型3 点、线、面、体间的关系】 【例3】（24-25七年级上·广东深圳·期中）直升飞机螺旋桨一般由4片桨叶组成，直升飞机起飞时，螺旋桨旋转时向下推动空气，即向下施加一个作用力，直升飞机获得竖直向上的力，使得飞机能悬浮在空中．若把螺旋桨看作一条线段，旋转形成的痕迹体现了（    ） A．面动成体 B．线动成面 C．点动成线 D．面面相交成线 【答案】B 【分析】本题考查了点、线、面、体的关系，明确点动成线，线动成面，面动成体．根据点、线、面、体的关系解答即可． 【详解】解：若把螺旋桨看作一条线段，旋转形成的痕迹体现了线动成面． 故选：B． 【变式3-1】（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）笔尖在纸上快速滑动写出了一个字母w，用数学知识解释为 ． 【答案】点动成线 【分析】本题考查了点、线、面、体的关系，熟练掌握点、线、面、体四者之间的关系是解题的关键．根据点动成线的性质即可解答． 【详解】解：笔尖在纸上快速滑动写出了一个字母w，用数学知识解释为“点动成线”． 故答案为：点动成线． 【变式3-2】（24-25九年级上·广西南宁·期中）如图下面的图形绕直线l旋转一周后得到的立体图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题题考查点、线、面、体的问题，解决本题的关键是把旋转的图形分为上下两个部分，根据面动成体分别求出上下两部分旋转后的图形即可得到答案． 【详解】解：由题意得，该图形旋转后上部分得到的几何体是一个圆锥，下部分得到的几何体是一个圆台， ∴四个选项中，只有B选项符合题意， 故选：B． 【变式3-3】（24-25七年级上·河南郑州·期中）如图，某酒店大堂的旋转门内部由四块宽2m、高3m的长方形玻璃隔板组成． (1)每扇旋转门旋转一周，能形成的几何体是 ，这体现了 动成体； (2)求每扇旋转门旋转一周形成的几何体的体积（结果保留π）． 【答案】(1)圆柱；面； (2)． 【分析】本题考查了点、线、面、体，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据圆柱的特征，以及点、线、面、体的关系，即可解答； （2）利用圆柱的体积公式进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：每扇旋转门旋转一周，能形成的几何体是圆柱，这体现了面动成体， 故答案为：圆柱；面； （2）解：由题意得：， ∴每扇旋转门旋转一周形成的几何体的体积． 【题型4 平行投影】 【例4】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）下列四幅图形中，表示同一时刻、同一地点的两棵小树在阳光下的影子的图形可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行投影，同一地点同一时刻树高与影长的比是一样的，影子的方向也应相同，据此可得答案． 【详解】解：由平行投影的特点可知，四幅图中只有A选项中的图形符合题意， 故选：A． 【变式4-1】（24-25九年级下·湖南长沙·期末）下列光源所形成的投影不是中心投影的是（    ） A．手电筒 B．蜡烛 C．太阳 D．台灯 【答案】C 【分析】本题考查了中心投影的定义，解题的关键是理解中心投影的形成光源是灯光．利用中心投影和平行投影的定义判断即可． 【详解】解：中心投影的光源为灯光，平行投影的光源为阳光与月光， 在各选项中只有C选项得到的投影为平行投影． 故选：C． 【变式4-2】（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）在太阳光的照射下，一个矩形框在水平地面上形成的投影形状不可能是（    ） A．矩形 B．正方形 C．平行四边形 D．圆 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行投影， 根据平行形的投影是平行或重合，即可得出几何图形，并逐个判断即可． 【详解】解：矩形框在水平地面上形成的投影形状可能是矩形，正方形，平行四边形，线段，所以不可能是圆． 故选：D． 【变式4-3】如图所示是小红在某天四个时刻看到一个棒及其影子的情况，那么她看到的先后顺序是 ． 【答案】②①④③ 【分析】本题考查了平行投影的特点和规律，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据平行投影中影子的变化规律可知先后顺序． 【详解】解：根据平行投影的特点以及北半球影长的规律可知：影长由长变短再变长． 故答案为：②①④③ ． 【题型5 中心投影】 【例5】（24-25九年级上·福建·期中）如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处走到B处的过程中他在该路灯下的影子（    ） A．始终不变 B．由长逐渐变短 C．由短逐渐变长 D．先变短后变长 【答案】D 【分析】本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．熟练掌握中心投影的特征是解题关键．根据中心投影的特征可得小亮在地上的影子先变短后变长． 【详解】解：因为小亮由A处走到B处这一过程中离光源是由远到近再到远的过程， 所以他在地上的影子先变短后变长． 故选：D． 【变式5-1】（24-25九年级下·湖南长沙·期末）下列光源所形成的投影不是中心投影的是（    ） A．手电筒 B．蜡烛 C．太阳 D．台灯 【答案】C 【分析】本题考查了中心投影的定义，解题的关键是理解中心投影的形成光源是灯光．利用中心投影和平行投影的定义判断即可． 【详解】解：中心投影的光源为灯光，平行投影的光源为阳光与月光， 在各选项中只有C选项得到的投影为平行投影． 故选：C． 【变式5-2】（24-25七年级上·四川眉山·期末）用发光的手电筒由远及近去照射吊在空中的小球，如图，那么小球落在竖直墙面上的影子会（   ） A．先变大后变小 B．逐渐变小 C．逐渐变大 D．先变小后变大 【答案】C 【分析】本题考查中心投影，在灯光下，离点光源越近，影子越长，离点光源越远，影子越短；接下来根据发光的手电筒由远及近，并结合上述知识，即可解答． 【详解】解：当发光的手电筒由远及近时，落在竖直墙面上的球影子会逐渐变大． 故选：C． 【变式5-3】一个立方体框架，用一支手电筒照上去，影子可能是 种样子． 【答案】/六 【分析】本题考查中心投影． 先判断投影类型，根据题意，列出投影形状的种数即可． 【详解】解：用手电筒照立方体，形成的投影为中心投影， 当投影面与正方体面不平行时，中心投影可能呈现平行四边形； 当投影面与正方体面呈一定角度时，中心投影可能呈现五边形； 当投影面与正方体面存在特定倾斜角度时，中心投影可能呈现六边形； 当投影面与正方体面垂直时，中心投影可能呈现菱形； 当投影面与正方体面平行时，中心投影可能呈现矩形； 当投影面与正方体面完全垂直时，中心投影呈现正方形。 ∴影子可能是种样子． 故答案为： ． 【题型6 正投影】 【例6】（2025·贵州六盘水·二模）正午时候，将一个足球踢到空中，在地面形成的影子是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正投影，根据正午时候，足球的投影为正投影，进行判断即可． 【详解】解：由题意，足球在地面形成的影子是 故选A． 【变式6-1】（24-25九年级下·全国·期末）下列关于正投影的说法正确的是（  ） A．如果一个物体的正投影是圆，那么这个物体是球 B．不同物体的正投影可以相同 C．圆锥的正投影是等腰三角形 D．圆纸片的正投影是圆 【答案】B 【分析】本题考查正投影，根据正投影的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、如果一个物体的正投影是圆，那么这个物体不一定是球，比如圆柱体的正投影可能是圆，原说法错误，不符合题意； B、不同物体的正投影可以相同，比如圆柱体和球（底面圆的半径和球的半径相同）的正投影都可以是圆，原说法正确，符合题意； C、圆锥的正投影可能是等腰三角形，也可能是圆，原说法错误，不符合题意； D、圆纸片的正投影可能是圆，也可能是椭圆，原说法错误，不符合题意； 故选B． 【变式6-2】（24-25九年级上·江西九江·阶段练习）正六棱柱如图放置，一束水平方向的平行光线照射此正六棱柱时的正投影是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行投影特点，根据平行投影特点以及图中正六棱柱的摆放位置即可求解，熟练掌握投影随着物体不同位置，不同时间，影子的大小、形状可能不同，具体形状应按照物体的外形即光线情况而定是解决此题的关键． 【详解】解：把一个正六棱柱如图摆放，一束水平方向的平行光线照射此正六棱柱时的正投影是 图形， 故选：B． 【变式6-3】（24-25九年级下·全国·随堂练习）把一块正方形硬纸板P放在三个不同位置： （1）当纸板P平行于投影面时，P的正投影与P的形状、大小 ．（填“相同”或“不相同”） （2）当纸板P倾斜于投影面时，P的正投影与P的形状、大小 ．（填“相同”或“不相同”） （3）当纸板P垂直于投影面时，P的正投影成为 ． 【答案】 相同 不相同 一条线段 【分析】本题考查正投影，理解正投影的定义是解答的关键．根据光线照射角度不同，得到投影形状不同分析解答即可． （1）根据投影面与物体平行时，正投影与物体大小、形状相同求解即可； （2）根据投影面与物体不平行时，正投影与物体大小、形状不相同求解即可； （3）根据投影面与物体垂直时，正投影是一条线段求解即可． 【详解】解：（1）当纸板P平行于投影面时，P的正投影与P的形状、大小相同， 故答案为：相同； （2）当纸板P倾斜于投影面时，P的正投影与P的形状、大小不相同， 故答案为：不相同； （3）当纸板P垂直于投影面时，P的正投影成为一条线段， 故答案为：一条线段． 【题型7 立体图形的视图】 【例7】（24-25九年级下·湖南长沙·期中）鲁班锁起源于我国古代建筑中的榫卯结构． 图（2）是六根鲁班锁图（1）中的一个构件，这个图形的主视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了立体图形的视图．找到从前面看到的图形即可． 【详解】 解：从前面看这个构件，可以得到的图形是， 故选：C． 【变式7-1】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）由五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，这个几何体的俯视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了立体图形的视图，解题关键是掌握从上面看得到的图形的特征．从上面看有2行，上面一行有3个正方形，下面一行最左侧有1个正方形，据此判断即可． 【详解】 解：从上面看这个几何体得到的平面图形是 ， 故选：B． 【变式7-2】如图，是由6个棱长都为1的小立方体块搭建的几何体． (1)请在边长为1的小正方形组成的网格中画出这个几何体的左视图和俯视图； (2)这个几何体的表面积（包括底部）是__________． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】本题考查作图-从不同方向看几何体，几何体的表面积等知识，良好的空间想象能力是解答本题的关键，属于中考常考题型． （1）根据从左边，上边方向看到的结果画出图形即可； （2）根据几何体的特征表面积的计算方法求解即可． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：这个几何体的表面积． 【变式7-3】按要求完成下列视图问题．（其中的棱长为1） (1)如图1，它是由几个相同的小正方体搭成的几何体，若在①的上面添加一个同样大小的小正方体，请在网格图中画出添加后所得的新几何体的主视图； (2)如图1，无论是在①的上面添加一个同样大小的小正方体或是将①取走，新几何体的______视图不变； (3)如图2，它是由几个相同的小正方体组成的几何体的俯视图，正方形中的数字表示该位置上小正方体的个数，请在网格图中画出这个几何体的左视图； (4)如图2，若将数字1去掉，该几何体的______视图不变． 【答案】(1)见解析 (2)俯 (3)见解析 (4)主视图和左 【分析】根据三视图的定义并采用数形结合的方法解答即可； 本题主要考查了三视图的画法，根据题意正确掌握三视图的观察角度是解题的关键． 【详解】（1）若在①的上面添加一个同样大小的小正方体，所得的新几何体的主视图如下图： （2）无论是在①的上面添加一个同样大小的小正方体或是将①取走，新几何体的俯视图不变， 故答案为：俯 （3）根据图2几何体的俯视图和正方形中的数字得出这个几何体的左视图，如下图： （4）若将数字1去掉，该几何体从正面和左面看不变，所以主视图和左视图不变， 故答案为：主视图和左． 【题型8 由视图确定几何体】 【例8】（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图是小静画的一个几何体的三视图． (1)这个几何体是由__________和__________这两个立体图形组成的； (2)求这个几何体的体积．（结果保留） 【答案】(1)正方体，圆柱 (2) 【分析】本题考查了几何体的三视图，正方体和圆柱的体积公式，利用几何体的三视图还原几何图形是解题关键． （1）由主视图和左视图可得到这两个物体都是柱体，由俯视图可得下面的是长方体，上面的是圆柱； （2）根据几何体的体积长方体的体积圆柱的体积，进行计算即可． 【详解】（1）解：这个几何体是由正方体和圆柱这两个立体图形组成的． 故答案为：正方体，圆柱． （2）解：几何体的体积为：． 故这个几何体的体积为． 【变式8-1】（2025·河南郑州·三模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三视图，主视图是在物体正面从前向后观察物体得到的图形；俯视图是站在物体的正面从上向下观察物体得到的图形；左视图是在物体正面从左向右观察到的图形，掌握三视图的定义是解题关键．根据三视图中的信息特征得到该几何体，即可解题． 【详解】解：由几何体的三视图看， 主视图是直角三角形，左视图是矩形，俯视图是矩形， 不难看出这个几何体是C选项． 故选：C． 【变式8-2】如图是一个几何体的三种视图，选项中箭头方向为主视方向，则这个几何体是（　　） A．B． C．D． 【答案】B 【详解】此题考查了简单几何体的三视图，根据三视图还原几何体的形状即可． 解：这个几何体是： ． 故选：B． 【变式8-3】（24-25九年级上·河南焦作·期末）某几何体是由大小相同的正方体木块堆成，主视图、俯视图如图所示，则该几何体木块数量是_____块． 【答案】 【分析】本题考查由三视图还原几何体，注意结合图形解答是关键．由三视图可知这个几何体木块有两层，由主视图和俯视图可知底层有三个小正方体，上层只在最左边有一个小正方体，加起来得到结果数． 【详解】解：由主视图、俯视图可知这个几何体木块有两层， 底层有块，由主视图和俯视图知上层只在最左边有一个小正方体， 综上可知共有块正方体， 故答案为：． 【题型9 几何体的展开图】 【例9】（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）下面的图形经过折叠可以围成的几何体名称是 ． 【答案】三棱柱 【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题． 考查了展开图折叠成几何体，解题时勿忘记三棱柱的特征及正方体展开图的各种情形． 【详解】根据题意得，有2个三角形的面，3个长方形的面， ∴围成的几何体名称是三棱柱． 故答案为：三棱柱． 【变式9-1】（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）可以围成一个棱柱的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几何体展开图的认识，结合四棱柱的展开图，即可作答． 【详解】解：依题意，观察四个选项，可以围成一个棱柱的是 ， 故选：B． 【变式9-2】（24-25七年级下·山东临沂·期中）如图是一个直三棱柱的展开图，其中三个面被标示为甲、乙、丙．将此展开图折成直三棱柱后，判断下列叙述正确的是（    ） A．甲与乙平行，甲与丙垂直 B．甲与乙平行，甲与丙平行 C．甲与乙垂直，甲与丙垂直 D．甲与乙垂直，甲与丙平行 【答案】A 【分析】本题考查了几何体的认识，因为题干的图是一个直三棱柱的展开图，结合直三棱柱的相对面是平行的，相邻面是垂直的，据此进行作答即可． 【详解】解：依题意，在折成的直三棱柱中，甲与乙是相对面，甲与丙是相邻面， ∴甲与乙平行，甲与丙垂直， 故选：A 【变式9-3】（24-25七年级上·宁夏中卫·期中）如图是一个底面为正方形的四棱柱的展开图，图上的数字代表棱柱各条棱的长度（单位：cm），则该棱柱的表面积是 cm2．         【答案】66 【分析】本题主要考查简单几何体的展开与折叠，根据棱柱展开图的特征来计算表面积即可． 【详解】解：由题图可知，该棱柱的底面是边长为的正方形，侧面由四个长，宽的长方形组成，所以侧面积为：，底面积为：表面积为． 故答案为：66． 【题型10 正方体的展开图】 【例10】（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）下图中，经过折叠能围成如图所示的几何体的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查正方体的展开图，熟练掌握正方体的展开图是解题的关键；因此此题可根据正方体的展开图进行求解． 【详解】解：由图可知：能围成该几何体的只有C选项符合； 故选C． 【变式10-1】（24-25七年级上·四川成都·期中）一个正方体盒子的展开图如图所示．如果要把它粘成一个正方体，那么与点重合的点是 ． 【答案】点、点 【分析】本题考查了正方体的展开图，根据正方体表面展开图的特征即可得出答案，熟练掌握正方体表面展开图的特征是解此题的关键． 【详解】解：根据正方体表面展开图的特征可知，折叠后与点重合的点是点、点， 故答案为：点、点． 【变式10-2】（24-25七年级上·广东深圳·期中）如图的四个平面图形中，不是正方体的展开图的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方体的展开图，正方体展开图中，相对的面中间一定隔着一个面，且正方体展开图有“141”型，“132”型，“33”型，“222”型，没有“411”型，据此可得答案． 【详解】解：由正方体展开图的特点可知，四个选项中只有D选项中的展开图不是正方体的展开图， 故选：D． 【变式10-3】（24-25七年级上·山西晋中·期中）如图，A、B、C、D四个位置中的某个正方形与实线部分的五个正方形组成的平面图形，其平面图形能拼成正方体的位置有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了展开图折叠成几何体，解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．注意：只要有“田”字格的展开图都不是正方体的表面展开图． 由平面图形的折叠及正方体的表面展开图的特点解题． 【详解】解：正方形A与实线部分的五个正方形组成的图形出现重叠的面，所以不能围成正方体．正方形B、C、D与实线部分的五个正方形组成的图形能围成正方体． 故其平面图形能拼成正方体的位置有3个． 故选：C． 【题型11 截一个几何体】 【例11】（24-25七年级上·福建三明·期中）一物体外形是正方体，其内部构造不详，用一个竖直的平面截这个物体，截了七次，得到一组自左向右的截面（如图），则这个正方体的内部构造可能是空了一个 体． 【答案】圆锥 【分析】本题考查了几何体的认识，熟练掌握几何体的特征是解题的关键．观察图形，除第四个图形外都是一条曲线，可以判断几何体内部是由曲面围成的，而且上小下大；再由第四个图形内部是一个三角形，可推断这个几何体是圆锥，即可得出结论． 【详解】解：由题意得，这个正方体的内部构造可能是空了一个圆锥体． 故答案为：圆锥． 【变式11-1】（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）玲玲用两种不同的方法分别去截同一个几何体，分别得到了如图所示的图形，这个几何体可能是（    ） A．球 B．圆柱 C．长方体 D．圆锥 【答案】B 【分析】本题考查了几何体的截面，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关，根据圆锥、圆柱、球体，长方体的几何特征，分别分析出用一个平面去截该几何体时，可能得到的截面的形状，逐一比照后，即可得到答案． 【详解】解：A、用不同的方法截球体，不能得到长方形，故该选项不符合题意； B、用不同的方法截圆柱，能得到以上各种图形，故该选项符合题意； C、用不同的方法截长方体，不能得到圆形，故该选项不符合题意； D、用不同的方法截圆锥，不能得到长方形，故该选项不符合题意； 故选：B． 【变式11-2】（24-25七年级上·宁夏银川·期中）用一平面去截下列几何体，其截面可能是长方形的有 个． 【答案】 【分析】本题考查几何体的截面，根据圆柱、长方体、圆锥、四棱柱的形状判断即可，可用排除法，关键要理解面与面相交得到线，注意：截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关． 【详解】解：圆锥不可能得到长方形截面， ∴能得到长方形截面的几何体有：圆柱、长方体、四棱柱，一共有3个， 故答案为：3． 【变式11-3】（24-25七年级上·江苏苏州·期中）用平面截一个n棱柱，得到的截面边数最多是8条边，且这个n棱柱的每个侧面都是正方形，正方形的面积为，则这个n棱柱的棱长之和为 ． 【答案】27 【分析】本题考查截一个几何体，求棱长，根据截面最多是8边形，得到几何体为6棱柱，根据每个侧面都是正方形，求出一条棱长，进而求出棱长和即可． 【详解】解：由题意，可知：， ∵每个侧面都是正方形，正方形的面积为， ∴每条棱长为， ∴棱长之和为：； 故答案为：27． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $