专题02 几何综合性问题分类训练（5种类型50道）-2025-2026学年八年级数学上册期中复习高频考题专项训练（人教2024版，重庆专用）

弈泓共享数学 专题02 几何综合性问题分类训练 （5种类型50道） 目录 【题型1三角形相关综合题】 1 【题型2全等三角形相关综合题】 4 【题型3 等腰直角三角形相关综合题】 6 【题型4 等腰三角形相关综合题】 10 【题型5等边三角形相关综合题】 13 【题型1三角形相关综合题】 1．如图，和的平分线交于点，连接，的外角的平分线与的延长线交于点，交于点．下列四个结论①；②；③；④．其中所有正确的结论有 ．（填序号） 2．如图，中，、分别是高和角平分线，点F在的延长线上，交于点G，交于点H，已知；下列结论中正确的有 （填序号）． ①；    ②；    ③；    ④． 3．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，下面说法中正确的序号是 ． ①的面积等于的面积；②；③． 4．如图，已知，，，四点共线，，，，四点共线，，，，四点共线，，，．则下列结论正确的有 （写序号）． ①；：平分；． 5．如图，在中，是边上的高，且，平分，交于点，过点作，分别交、于点、，以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 （填序号）． 6．如图，分别平分的外角，内角，外角．以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 ． 7．如图，平分，延长到点，作的角平分线，与的延长线交于点，点是线段上异于点的点，连接交于点，使得，连接交于点，已知，以下结论：①；②∥；③；④，其中正确的有 （请填写序号） 8．如图，在中，、分别是高和角平分线，点F在的延长线上，交于G，交于H，下列结论：①；②；③；④，正确的序号是 ． 9．如图，中，平分的两条高线交于点分别交于两点，平分，下列结论： ①； ②； ③； ④，其中正确的结论有 （只填序号）． 10．如图，，分别平分的内角、外角平分外角交的延长线于点．以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 ．（填序号） 【题型2全等三角形相关综合题】 11．如图，在中，平分于点E，有下列结论：①；②；③平分；④；⑤．其中结论正确的序号为 ． 12．如图，中，，平分，为边上的点，连接，，下列结论：；；；，其中一定正确的结论有 （填写序号即可）． 13．如图，已知：，现有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有 ．（填序号） 14．如图，在与中，，分别交、于点，交于点，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的序号为： ． 15．如图，在中，于点于点为上一点，连结，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有 ．（填序号） 16．如图，在中，以，为腰作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，为边上的高线，延长交于点N，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 （写上序号） 17．如图，在中，，的角平分线，相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论①；②；③；④；⑤，正确的序号是 ． 18．如图，中，，，三条角平分线，，交于点O，于点H．下列结论：①，②，③平分，④，其中正确的结论序号有 ． 19．如图，为的平分线，为上一点，且于点，，给出下列结论：①；②；③；④；⑤四边形的面积是面积的2倍，其中结论正确的个数有 ． 20．如图，在中，，的角平分线交于点，的角平分线分别交和于点，，连接，过点作的垂线分别交和的延长线于点，，连接，则下列结论①；②；③平分；④，其中正确的序号是 ． 【题型3 等腰直角三角形相关综合题】 21．如图，在等腰中，，在边上取一点，连接，点为线段上一点，以为斜边作等腰．连接、，交于，为上一点，连接；在下列结论中： ①；②若垂直平分，则；③若垂直平分，则；④若，则； 其中正确的结论有 ．（填写正确结论的序号） 22．如图，在等腰中，，，是角平分线，过点作，且，连接分别交、于、两点，、分别是线段、线段上的两个动点，连接、，下列四个结论：；；；．其中正确的有 ．（只需填写正确结论的序号）    23．如图，为等腰直角的斜边，为的中点，为延长线上的一个动点（与点不重合），线段的垂直平分线交线段于点，垂足．当点运动时，给出下列四个结论．其中一定正确的结论有 （请填写正确序号）． ①点到三个顶点的距离相等；②；③；④ 24．如图，在等腰直角中， ，的角平分线与的外角平分线交于点，分别交和的延长线于点，过点作交的延长线于点，交的延长线于点，则下列结论:①；②；③为等腰直角三角形:④．其中正确的结论有 ．    25．如图，在中，，点是的中点，且，以为直角顶点作等腰直角，点分别是边延长线上的一点，连接．有如下结论：①为直角三角形，且；②；③；④若点为的中点，连接，则．其中正确的有 （填写正确结论的番号）． 26．如图，点为等腰直角内一点，，，为延长线上一点，且，给出以下结论：①平分；②是等边三角形；③；正确的结论有 ．（请填序号）    27．如图，以的边，为腰分别向外作等腰直角、，连接，，，过点A的直线分别交线段，于点，，以下说法：①当时，；②；③当直线时，点为线段的中点．正确的有 ．（填序号）    28．如图，等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，ADBC于D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，延长AM交BC于点N，连接DM，NE．下列结论：①AE=AF；②AM⊥EF；③△AEF是等边三角形；④DF=DN；⑤ADEN．其中正确的结论有 ． 29．如图，点D为等腰直角△ABC内一点，∠ACB=90°，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上一点，且CE=CA，给出以下结论：①DE平分∠BDC； ②△BCE是等边三角形；③∠AEB=45°；④DE=AD+CD；正确的结论有 ．（请填序号） 30．如图，在等腰中，，D为的中点，将两直角边足够长的三角板的直角顶点放在点D处，绕点D任意旋转三角板，使两直角边分别交，于点E，F（点E，F与点A，B，C不重合），连接，下列结论：①，②与有可能全等，③的周长等于的周长的一半，④四边形的面积等于的面积的一半．其中正确的结论是 ．（填序号） 【题型4 等腰三角形相关综合题】 31．如图，等腰，，，于，点是延长线上一点，点是线段上一点，，下面结论：；；．其中正确的有 ．（填正确结论序号） 32．如图，等腰中，和分别为等边三角形，与相交于点M，与相交于点N，与相交于点F，连接并延长，交于点G．则下列结论：①；②；③；④G为中点．正确的有 （填序号）．    33．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，连接AD，点P在A上，过点D作DE⊥BP，DF⊥CP，则以上结论中：①BD＝CD；②△ABD ≌△ACD；③△BPC是等腰三角形；④DE＝PE．正确的有 ． 34．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D是线段BC上一点，∠ADC=90°，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，下面的结论：①∠APO=∠ACO；②∠APO+∠DCO=30°；③AC=AO+AP；④PO=PC，其中正确的有 ． 35．如图，中，与的平分线交于点F，过点F作交于点D，交于点E，那么下列结论：①；②的周长等于与的和；③；④和都是等腰三角形．其中正确的有 ．（填入序号） 36．如图，已知中，平分，且，点是延长线上一点，且，过点作交于点，则以下结论①，②，③，④，⑤为等腰三角形；其中正确的有 ．(填序号) 37．如图，在中，，点D为线段上一动点（不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E，下列结论： ①； ②若，则； ③当时，则D为中点； ④当为等腰三角形时，． 正确的有 ．（填序号） 38．如图，是的边上的中线，由下列条件中的某一个就能推出是等腰三角形的是 （把所有正确的序号都填在横线上），①；②；③． 39．如图，在中，和的平分线相交于点，过点作分别交，于点，点，过点作于点，下列六个结论： ①若，则；②与为等腰三角形； ③；④点到各边的距离相等； ⑤若周长为，，则面积为； ⑥若，，则．正确的有 ． 40．如图，是等腰三角形，，，过点作于点，过作于点，，相交于点，为的中点，连接，，，则下列结论：①，②，③，④，⑤；其中正确的有 ．（填上正确的序号）．      【题型5等边三角形相关综合题】 41．如图所示，在等边三角形中，D为边的中点，E为边延长线上一点，，垂足为点F．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（填序号） ． 42．如图，在四边形中，，，于点，点、分别在、上，若，，有下列结论：①是等边三角形；②；③；④．其中结论正确的为 ．（填序号） 43．如图，已知，点D是的平分线上的一个定点，点E，F分别在射线和射线上，且．下列结论：①是等边三角形；②四边形的面积是一个定值；③当时，的周长最小；④当时，也平行于．其中正确的结论有 ．（只填序号） 44．如图，在中，是的平分线，的垂直平分线交于点E，交于点G，交的延长线于点F，连结，，有下列结论：①；②；③；④是等边三角形．其中正确的结论有 ． 45．如图，和都是等边三角形，连接、交于点P，、与、分别交于M、N，则下列说法中：①；②；③当A、C、E三点共线时，；④点C在的角平分线上．正确的有 ． 46．如图，是等边三角形，，于Q，交于点P，下列说法：①；②；③；④；⑤．其正确的有 ． 47．如图，在中，分别以、为边在的外部作等边三角形、等边三角形，连接、相交于点F，连接．下列结论：①；②；③平分；④，其中正确的有 （填序号）． 48．如图，，均为等边三角形，平分交于点D，交于点F．下列结论：①；②；③；④；⑤垂直平分．其中正确的有 ． （填序号）    49．如图，在直线的同一侧作两个等边和，连接与交于点，与交于点，与交于点，下列结论：①；②；③是等边三角形；④；⑤平分．其中正确的结论有 ． 50．如图，为等边三角形，F，E分别是上的一动点，且，连接，交于点H，连接．给出下列四个结论： ①；②若，则平分； ③；④若，则． 其中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号）． 精选考题才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 $ 弈泓共享数学 专题02 几何综合性问题分类训练 （5种类型50道） 目录 【题型1三角形相关综合题】 1 【题型2全等三角形相关综合题】 13 【题型3 等腰直角三角形相关综合题】 29 【题型4 等腰三角形相关综合题】 48 【题型5等边三角形相关综合题】 64 【题型1三角形相关综合题】 1．如图，和的平分线交于点，连接，的外角的平分线与的延长线交于点，交于点．下列四个结论①；②；③；④．其中所有正确的结论有 ．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】根据已知推出平分，求出，继而得到，可判断①；根据角平分线和三角形外角的性质求出，得出，可判断②；求出，，可判断③；根据，，可判断④． 【详解】解：∵和的平分线交于点， ∴平分，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故结论①正确； ∵，， 又∵， ∴， ∴， ∵根据题意不能说明， ∴， ∴，故结论②错误； ∵，， ∴， ∵， ∴，故结论③正确； ∵， ， ∴，故结论④正确； 综上所述，所有正确的结论有①③④． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，平行线的判定，解题的关键是掌握三角形角平分线的性质． 2．如图，中，、分别是高和角平分线，点F在的延长线上，交于点G，交于点H，已知；下列结论中正确的有 （填序号）． ①；    ②；    ③；    ④． 【答案】①② 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理，三角形外角性质的应用，三角形的高与角平分线的含义，由三角形的内角和定理可判断①，②；利用三角形的角平分线与高的含义表示，结合，可得，进一步可判断③，由三角形的外角的性质可判断④. 【详解】解：∵，， ∴， ∵是高，即， ∴，即，故①符合题意； ∴，故②符合题意； 平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故③不符合题意； ∵，， ∴， ∵不一定相等， ∴，故④不符合题意； 故答案为：①② 3．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，下面说法中正确的序号是 ． ①的面积等于的面积；②；③． 【答案】①②③ 【分析】根据中线的性质，高线的性质，角的平分线定义，余角的性质，对等角相等解答即可． 【详解】解：∵是中线， ∴的面积等于的面积； 故①正确； ∵，是高， ∴， ∴， 故②正确； ∵，是高， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， 故③正确； 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了中线的性质，高线的性质，角的平分线定义，余角的性质，对等角相等，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握性质是解题的关键． 4．如图，已知，，，四点共线，，，，四点共线，，，，四点共线，，，．则下列结论正确的有 （写序号）． ①；：平分；． 【答案】①④/④① 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，垂直定义等，根据平行线的判定即可判断结论①；利用直角三角形的性质和判定可判断结论④；再由直角三角形性质可得：，，可判断结论②；再根据，，可判断结论③． 【详解】解：∵， ∴， 故结论①正确； ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故结论④正确； ∵，， ∴，， 故结论②错误； ∵，， ∴与不一定相等， 故结论③错误． 综上分析可知：正确的结论有：①④． 故答案为：①④． 5．如图，在中，是边上的高，且，平分，交于点，过点作，分别交、于点、，以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 （填序号）． 【答案】①③④ 【分析】证明即可判断①正确；无法判断，即可判断②错误；利用三角形的外角的性质，角的和差定义即可判断③正确，证明即可判断④正确． 【详解】解：， ， ， ， ， ； 故①正确， 平分， ， ，， ， 故③正确， ， ， ， ， ，， ， 故④正确， 无法判断，故②错误； 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，三角形的外角性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 6．如图，分别平分的外角，内角，外角．以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 ． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了三角形外角性质，角平分线定义，平行线的判定，三角形内角和定理的应用，主要考查学生的推理能力，有一定的难度． 根据角平分线定义得出，根据三角形的内角和定理得出，根据三角形外角性质得出，根据已知结论逐步推理，即可判断各项． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴①正确； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴②正确； ∵平分平分， ∴， ∵， ∴ ， ∴③正确； ∵， ∴， ∴④错误； 故答案为：①②③． 7．如图，平分，延长到点，作的角平分线，与的延长线交于点，点是线段上异于点的点，连接交于点，使得，连接交于点，已知，以下结论：①；②∥；③；④，其中正确的有 （请填写序号） 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查角平分线的意义，平行线的判定与性质，三角形的内角和定理，由角平分线的定义得可得，可判断①正确；由得，可判断②正确；由得，由得，从而可判断③正确；无法判断，从而可判断④错误． 【详解】解：∵平分，平分， ∴ ∵ ∴ ∴，故①正确； ∵， ∴ 又 ∴ ∴，故②正确； ∵ ∴ ∵平分 ∴ 又 ∵ ∴ ∴，故③正确； ∵不是直角， ∴无法得到，故④错误； 综上，正确的结论是①②③， 故答案为：①②③． 8．如图，在中，、分别是高和角平分线，点F在的延长线上，交于G，交于H，下列结论：①；②；③；④，正确的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的定义及性质，找出角度之间的数量关系是解题关键．根据，求出，即可判断①；根据角平分线的定义结合三角形外角的定义及性质即可判断②；证明再结合①的结论即可判断③；根据角平分线的定义结合三角形外角的定义及性质即可判断④，从而得解． 【详解】解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，①正确； ②∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，②错误；     ③∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由①得，， ∴，③正确； ④∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，④正确， 故正确的序号是：①③④． 9．如图，中，平分的两条高线交于点分别交于两点，平分，下列结论： ①； ②； ③； ④，其中正确的结论有 （只填序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的判定，四边形内角和定理等等，由三角形高的定义得到，再由，结合三角形内角和定理可得，据此可判断①；根据角平分线的定义得到，再由三角形内角和定理得到，结合，即可证明，据此可判断②；由四边形内角和定理得到，则由角平分线的定义得到，再由三角形内角和定理得到，据此可判断④；根据现有条件无法证明，据此可判断③． 【详解】解：∵分别是的两条高， ∴， 又∵， ∴，即，故①正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故②正确； 由四边形内角和定理可得， 又∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 根据现有条件无法证明，故③错误， ∴正确的有①②④； 故答案为：①②④． 10．如图，，分别平分的内角、外角平分外角交的延长线于点．以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 ．（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查的是三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，根据各性质并综合分析，理清图中各角度之间的关系即可解题． 【详解】①∵分别平分的内角、外角平分外角交的延长线于点， ∴，， ∵， ∴， ∴，故①正确． ②∵， ∴，故②正确， ③∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确， ④∵， ∴ ∵， ∴， ∴，故④正确， 故答案为：①②③④． 【题型2全等三角形相关综合题】 11．如图，在中，平分于点E，有下列结论：①；②；③平分；④；⑤．其中结论正确的序号为 ． 【答案】①②③④⑤ 【分析】本题考查角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据角平分线的性质即可判断①；证明，即可判断②和③；根据余角的性质即可判断④；，，结合，即可判断⑤． 【详解】在中，平分， ，故①正确； 在和中，， ， ， 平分，故③正确； ， ，故②正确； ， ，故④正确； ，，且， ，故⑤正确； 综上所述，故答案为：①②③④⑤． 12．如图，中，，平分，为边上的点，连接，，下列结论：；；；，其中一定正确的结论有 （填写序号即可）． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线性质，全等三角形的性质和判定，邻补角定义等知识点的应用，判定，即可得到，，，又，得到，从而判断；判定，可得，根据，，再根据，即可得出，从而判断；根据， ，进而得出， ，根据，可得，进而得出 ，从而判断，正确作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于， ∵，是角平分线， ∴，， 又∵， ∴， ∴，，， 又∵， ∴，故正确； ∵，， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故错误； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，故正确； ∴一定正确的结论有， 故答案为：． 13．如图，已知：，现有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有 ．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 先证，进而证明，据此可判断①；由全等推出，，可判断③；由，推出，进而可得，可判断②；延长交于点F，可证，可判断④． 【详解】解：， ， ， 在和中， ， ，故①正确； ，，故③正确； ， ， ， ， ，故②错误； 如图，延长交于点F， ，， ，故④正确； 综上可知，正确的有， 故答案为：①③④． 14．如图，在与中，，分别交、于点，交于点，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的序号为： ． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，可证明得到，则可证明，进一步可证明，根据现有条件无法证明，据此可得答案． 【详解】解：在与中， ， ∴， ∴，故②正确， ∴，即，故①正确； ∵， ∴，故④正确； 根据现有条件无法证明，故③错误； 故答案为：①②④． 15．如图，在中，于点于点为上一点，连结，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有 ．（填序号） 【答案】①② 【分析】本题主要考查了垂直的定义，直角三角形的判定和性质，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 根据条件证明，然后根据全等三角形的性质得出①正确，再利用平行线的判定定理可得②正确，根据条件无法证明③④． 【详解】解：①∵，， ∴， 在与中， ∴， ∴，，故①正确，符合题意； ②∵，， ∴， ∴，故②正确，符合题意； ③根据现有条件无法证明， 故③错误，不符合题意； ④根据现有条件无法证明， 故④错误，不符合题意； 故答案为：①②． 16．如图，在中，以，为腰作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，为边上的高线，延长交于点N，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 （写上序号） 【答案】①③④ 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质的应用，先作，交于点H，，交延长线于点K，构造三对全等三角形：，，，根据全等三角形的面积相等，即可得出，，，根据，即可得出结论③；最后根据，得出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，故①正确； ∵与不一定相等， ∴与不一定全等，故②错误； 作，交于点H，，交延长线于点K， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 同理可得：， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ， 即，故③正确； ∵， ∴，故④正确． 故答案为：①③④． 17．如图，在中，，的角平分线，相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论①；②；③；④；⑤，正确的序号是 ． 【答案】①②④⑤ 【分析】根据直角三角形两锐角互余可得，再根据角平分线的定义可得，根据三角形内角和定理则可判断结论①；证明，可判断结论②；无法得出结论③；证明，可判断结论④；连接，，证明，结合全等的性质可得，，，最后根据进行恒等变换后即可判断结论⑤． 【详解】解：在中，， ∴， 又∵、分别平分、， ∴， ，， ∴，故结论①正确； ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，，故结论②正确； ∴， 无法得出，故结论③错误； 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，故结论④正确； 连接，， ∵，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ，故结论⑤正确． 故答案为：①②④⑤． 【点睛】本题考查直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，等边对等角，平行线的判定等知识点．证明三角形全等是解题的关键． 18．如图，中，，，三条角平分线，，交于点O，于点H．下列结论：①，②，③平分，④，其中正确的结论序号有 ． 【答案】①②④ 【分析】由得，即可求得，可判断①正确； 由，而，可推导出，可判断②正确； 由，得，再由推导出，即可证明，可判断③错误； 过点O作于点M，于点N，证明，得出，可判断④正确． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，故①正确； ∵于H， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，故③错误； 如图，过点O作于点M，于点N， ∵平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，故④正确； 综上分析可知，正确的有①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，与角平分线有关的三角形内角和问题，角平分线的性质，直角三角形两锐角互余，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 19．如图，为的平分线，为上一点，且于点，，给出下列结论：①；②；③；④；⑤四边形的面积是面积的2倍，其中结论正确的个数有 ． 【答案】3 【分析】过点作，垂足为点．证明、，最后利用全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为点． ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∵， ∴ 故①错误， 在△PAK和△PCD中， ， ∴△PAK≌△PCD（ASA）， ∴AK＝CD，PA＝PC， 故②正确， ∵ ∴， ∵， ∴，故③正确， ∵， ∴， ∴．故④正确． 故答案为3． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质等知识，正确添加常用辅助线、构造全等三角形是解题的关键． 20．如图，在中，，的角平分线交于点，的角平分线分别交和于点，，连接，过点作的垂线分别交和的延长线于点，，连接，则下列结论①；②；③平分；④，其中正确的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】根据直角三角形两个锐角互余可得，再根据角平分线的定义和三角形的外角定理即可判断①； 通过证明从而得出，即可判断②； 由②得：为等腰直角三角形，可得，从而得出，，则不一定平分，当时，平分，即可判断③； 根据，得出，进而得出，即可判断④． 【详解】解：∵， ∴， ∵，为的角平分线，为的角平分线 ∴，， ∴， 故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵为的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故②正确； 由②得：为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，， ∵不一定平行， ∴， ∴， ∴不一定平分，当时，平分， 故③不正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故④正确． 故答案为∶①②④． 【题型3 等腰直角三角形相关综合题】 21．如图，在等腰中，，在边上取一点，连接，点为线段上一点，以为斜边作等腰．连接、，交于，为上一点，连接；在下列结论中： ①；②若垂直平分，则；③若垂直平分，则；④若，则； 其中正确的结论有 ．（填写正确结论的序号） 【答案】②③④ 【分析】对于①，由于点的位置不确定，无法说明，故①错误；对于② ，过点作于点，由，知，显然，由得到，故，显然，故，故②正确；对于③，先证明，则，故，即，故③正确；对于④，过点作的垂线交延长线于点，连接，先证明，则，再证明，则，继而，故④正确． 【详解】解：对于①，由于点的位置不确定，无法说明，故①错误； 对于② ，过点作于点， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵等腰，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵等腰， ∴， ∵ ∴， ∴，故②正确； 对于③，如图： ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵ ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； 对于④，过点作的垂线交延长线于点，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确， 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，垂直平分线的性质，解题的关键在于添加辅助线构造全等三角形，难度较大． 22．如图，在等腰中，，，是角平分线，过点作，且，连接分别交、于、两点，、分别是线段、线段上的两个动点，连接、，下列四个结论：；；；．其中正确的有 ．（只需填写正确结论的序号）    【答案】 【分析】由“”可证，可得，由余角的性质可证，故正确；由角平分线的定义和余角的性质可求，，故正确；由线段数量关系可证，可得，故正确；由三角形的三边关系可得，即可求解． 【详解】∵ ∴， ∴， 又∵, ， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， ∴, 故正确； ∵平分 ∴ ∴， ∴， ∴，， 故正确； ∴， ∴，故正确； 如图，连接，，过点作于，    ∵，，， ∴， ∵，， ∴是的中垂线， ∴， ∴， ∵点是线段上的动点， ∴， ∴， 综上可知：正确， 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的定义等知识，证明三角形全等是解题的关键． 23．如图，为等腰直角的斜边，为的中点，为延长线上的一个动点（与点不重合），线段的垂直平分线交线段于点，垂足．当点运动时，给出下列四个结论．其中一定正确的结论有 （请填写正确序号）． ①点到三个顶点的距离相等；②；③；④ 【答案】①②④ 【分析】如图，连接AO，根据等腰三角形的性质得到CE⊥AB，求得OA＝OB，根据线段垂直平分线的性质得到OF＝OB，得到点O到△ABF三个顶点的距离相等，故①正确；设BC交OF于J，根据全等三角形的性质得到∠CAO＝∠CBO，求得∠CAO＝∠CFJ，得到∠JOB＝∠JCF＝90°，根据垂直的定义得到OF⊥OB，故②正确；由于CE＝AC，AC＋CF＝AF，显然AF不一定等于AB、故③错误；根据等腰直角三角形的性质得到AE＝CE＝BE＝AB，CE⊥AB，求得△ACE面积为AE•CE＝BE2，得到△BOF面积为OF•OB＝OB2，于是得到S△AEC＜S△BOF，故④正确． 【详解】解：如图，连接AO， ∵CA＝CB，AE＝EB， ∴CE⊥AB， ∴OA＝OB， ∵OD垂直平分线段BF， ∴OF＝OB， ∴OA＝OF＝OB， ∴点O到△ABF三个顶点的距离相等，故①正确； 设BC交OF于J， 在△ACO与△BCO中， , ∴△ACO≌△BCO（SSS）， ∴∠CAO＝∠CBO， ∵OA＝OF， ∴∠CAO＝∠CFJ， ∴∠CFJ＝∠OBJ， ∵∠CJF＝∠OJB， ∴∠JOB＝∠JCF＝90°， ∴OF⊥OB，故②正确； ∵CE＝AC，AC＋CF＝AF， 显然AF不一定等于AB、故③错误； ∵△ABC为等腰直角三角形，E为AB中点， ∴AE＝CE＝BE＝AB，CE⊥AB， ∴△ACE面积为AE•CE＝BE2， ∵OF⊥OB，OF＝OB， ∴△BOF面积为OF•OB＝OB2， 在Rt△OBE中，OB为斜边，BE为直角边， ∴OB＞BE， ∴BE2＜OB2， ∴S△AEC＜S△BOF，故④正确． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的面积公式，正确的识别图形是解题的关键． 24．如图，在等腰直角中， ，的角平分线与的外角平分线交于点，分别交和的延长线于点，过点作交的延长线于点，交的延长线于点，则下列结论:①；②；③为等腰直角三角形:④．其中正确的结论有 ．    【答案】①②③ 【分析】利用等腰直角三角形的内外角平分线的性质得到∠AFB=45°，再利用FH⊥AD易证△FAB≌△FGB，△DFG≌△HFA，从而进行判定． 【详解】∵BE是∠ABC的角平分线，AD是∠BAC外角平分线， ∴∠AFB=∠ACB=45°，故①正确； ∵FH⊥AD， ∴∠AFB=∠BFG=45°， 又∵FB=FB，∠ABF=∠FBG， ∴△FAB≌△FGB， ∴FG=FA， 利用角的计算可知，∠FAE=∠FEA=67.5°， ∴FA=FE， ∴FE=FG，故②正确； ∵∠DFG=∠HFA=90°， FG=FA，易证∠FGD=∠FAH， ∴△DFG≌△HFA， ∴DF=FH， ∴△DFH为等腰直角三角形，故③正确； 由△DFG≌△HFA可得DG=AH， 由△FAB≌△FGB可得BG=AB， ∵BD=DG+GB，BD=AH+AB，故④错误， 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的内外角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，掌握三角形的角平分线的性质是解题的关键． 25．如图，在中，，点是的中点，且，以为直角顶点作等腰直角，点分别是边延长线上的一点，连接．有如下结论：①为直角三角形，且；②；③；④若点为的中点，连接，则．其中正确的有 （填写正确结论的番号）． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，先根据三线合一定理得到，进而可证明是等腰直角三角形，得到，同理可得，据此可判断①；利用即可证明，据此可判断②；由全等三角形的性质得到，；由三角形中线平分三角形面积得到，， 过点D作于H，则，，，可证明与不一定相等，据此可判断③；如图所示，延长到T使得，连接，证明，得到，进而证明，得到，则，据此可判断④． 【详解】解：∵，点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 同理可证明是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴为直角三角形，且，故①正确； ∵是等腰直角三角形，且为直角顶点， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∴，； ∵， ∴， ∵， ∴， 过点D作于H，则， ∴， ∵为定长，而的长是变化的， ∴与不一定相等， ∴与不一定相等，故③错误； 如图所示，延长到T使得，连接， ∵点为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； 故答案为：①②④． 26．如图，点为等腰直角内一点，，，为延长线上一点，且，给出以下结论：①平分；②是等边三角形；③；正确的结论有 ．（请填序号）    【答案】①②③ 【分析】①先根据等腰直角三角形的性质及已知条件得出，则，再证明，得出，然后根据三角形外角的性质求出即可； ②先利用等角对等边证，再推得可得结论； ③截取，证明是等边三角形，再证明，利用线段的和与等量代换可得结论． 【详解】解：①∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵； ∴， 即平分； 所以①正确； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形； 所以②正确； ③在上取一点G，使，连接，    ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 所以③正确； 正确的结论有：①②③； 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了等腰三角形、全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形、等边三角形等特殊三角形的性质和判定，熟练掌握有一个角是的等腰三角形是等边三角形这一判定等边三角形的方法，在几何证明中经常运用，要熟练掌握． 27．如图，以的边，为腰分别向外作等腰直角、，连接，，，过点A的直线分别交线段，于点，，以下说法：①当时，；②；③当直线时，点为线段的中点．正确的有 ．（填序号）    【答案】①②③ 【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等角的余角相等、等角的补角相等等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．由，得，因为，，，所以，，则，可判断①正确；由，推导出，可证明，得，可判断②正确；当直线时，作直线于点，过点作于点，过点E作于点，证明及， 再求解可判断③正确，于是得到问题的答案． 【详解】①当时，是等边三角形， ∴， ∴， ∵等腰直角、， ∴， ∴， ∴． 故①正确． ②∵等腰直角、， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故②正确． ③如图所示，作直线于点，过点作于点，过点E作于点，      ∵，， ∴， 又， ∴， 又∵， ∴， 同理得， ∴，，， ∵，， ∴， ∴，即是的中点， 故③正确， 故答案为：①②③． 28．如图，等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，ADBC于D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，延长AM交BC于点N，连接DM，NE．下列结论：①AE=AF；②AM⊥EF；③△AEF是等边三角形；④DF=DN；⑤ADEN．其中正确的结论有 ． 【答案】①②④⑤ 【分析】根据等腰直角三角形的性质及角平分线的定义求得，继而可得，即可判断①③；由为的中点且可判断②；作，证可判断④，证明，推出，即可判断⑤． 【详解】解：，，， ，，， ， 平分， ， ， ，故①正确；③错误， 为的中点， ，故②正确； ， ， ， 在和中， ， （ASA）， ，故④正确； ， ， ，， （SAS）， ， ， ．故⑤正确， 故答案为①②④⑤． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，等腰直角三角形的性质与判定，能正确证明推出两个三角形全等是解此题的关键． 29．如图，点D为等腰直角△ABC内一点，∠ACB=90°，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上一点，且CE=CA，给出以下结论：①DE平分∠BDC； ②△BCE是等边三角形；③∠AEB=45°；④DE=AD+CD；正确的结论有 ．（请填序号） 【答案】①②③④． 【分析】①先根据等腰直角三角形的性质及已知条件得出∠DAB=∠DBA=30°，则AD=BD，再证明CD是边AB的垂直平分线，得出∠ACD=∠BCD=45°，然后根据三角形外角的性质求出∠CDE=∠BDE=60°即可； ②先利用等角对等边证BC=CE，再推得∠BCE=60°可得结论； ③利用差可求得结论：∠AEB=∠BEC-∠AEC； ④截取DG=DC，证明△DCG是等边三角形，再证明△ACD≌△ECG，利用线段的和与等量代换可得结论． 【详解】解：①∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°， ∴∠BAC=∠ABC=45°， ∵∠CAD=∠CBD=15°， ∴∠BAD=∠ABD=45°-15°=30°， ∴BD=AD， ∴D在AB的垂直平分线上， ∵AC=BC， ∴C也在AB的垂直平分线上， 即直线CD是AB的垂直平分线， ∴∠ACD=∠BCD=45°， ∴∠CDE=∠CAD+∠ACD=15°+45°=60°， ∵∠BDE=∠DBA+∠BAD=60°； ∴∠CDE=∠BDE， 即DE平分∠BDC； 所以①正确； ②∵CA=CB，CA=CE， ∴CB=CE， ∵∠CAD=∠AEC=15°， ∴∠ACE=180°-15°-15°=150°， ∵∠ACB=90°， ∴∠BCE=150°-90°=60°， ∴△BCE是等边三角形； 所以②正确； ③∵△BCE是等边三角形， ∴∠BEC=60°， ∵∠AEC=15°， ∴∠AEB=60°-15°=45°， 所以③正确； ④在DE上取一点G，使DC=DG，连接CG，    ∵∠EDC=60°， ∴△DCG是等边三角形， ∴DC=DG=CG，∠DCG=60°， ∴∠GCE=150°-60°-45°=45°， ∴∠ACD=∠GCE=45°， ∵AC=CE， ∴△ACD≌△ECG， ∴EG=AD， ∴DE=EG+DG=AD+DC， 所以④正确； 正确的结论有：①②③④； 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了等腰三角形、全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形、等边三角形等特殊三角形的性质和判定，熟练掌握有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形这一判定等边三角形的方法，在几何证明中经常运用，要熟练掌握． 30．如图，在等腰中，，D为的中点，将两直角边足够长的三角板的直角顶点放在点D处，绕点D任意旋转三角板，使两直角边分别交，于点E，F（点E，F与点A，B，C不重合），连接，下列结论：①，②与有可能全等，③的周长等于的周长的一半，④四边形的面积等于的面积的一半．其中正确的结论是 ．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，连接，先证明，根据全等三角形的性质得到，，进而逐项求解判断即可． 【详解】解：如图，连接，       ∵在等腰中，，D为的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，，故①正确； ∴的周长 ∵的周长 ∵不一定相等， ∴的周长不一定等于的周长的一半，故③错误； ∵ ∴是直角三角形 ∵，点E，F与点A，B，C不重合 ∴ ∴当时， ∵是等腰直角三角形 ∴ ∴，故②正确； ∵ ∴， ∴，故④正确； 综上所述，其中正确的结论是①②④． 故答案为：①②④． 【题型4 等腰三角形相关综合题】 31．如图，等腰，，，于，点是延长线上一点，点是线段上一点，，下面结论：；；．其中正确的有 ．（填正确结论序号） 【答案】 【分析】连接，由线段垂直平分线的性质定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，角的和差求出，，由三角形的内角和定理，角的和差求出 ，再由等边三角的判定证明是等边三角形，得出，从而求解． 【详解】如图，连接， ∵，， ∴， ∴垂直平分， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵在等腰中，， ∴， ∴， ∴， ∴，故正确； 又∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，，故正确； ∴， 即:，故正确； 综上可知：正确， 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质定理、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，角的和差，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 32．如图，等腰中，和分别为等边三角形，与相交于点M，与相交于点N，与相交于点F，连接并延长，交于点G．则下列结论：①；②；③；④G为中点．正确的有 （填序号）．    【答案】①②④ 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质、等边三角形的性质．利用等腰三角形的性质推出，结合等边三角形的性质，再利用角的和差，即可证明；证明，利用证明；由，，可得是线段的垂直平分线；据此即可解题． 【详解】解：∵， ∴， ∵和为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴；②正确； ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，①正确； ∵为等边三角形， 若， ∴， 而不一定是，故不一定成立，③错误； ∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴G为的中点．④正确； 综上，正确的有①②④； 故答案为：①②④． 33．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，连接AD，点P在A上，过点D作DE⊥BP，DF⊥CP，则以上结论中：①BD＝CD；②△ABD ≌△ACD；③△BPC是等腰三角形；④DE＝PE．正确的有 ． 【答案】①②③ 【分析】根据等腰三角形的性质、垂直平分线的性质、角平分线的性质即可依次判断． 【详解】∵在等腰△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点， ∴BD=CD，①正确；AD⊥BC ∴∠ADB=∠ADC=90°， 又BD=CD，AD=AD ∴△ABD ≌△ACD（SAS），②正确； ∵BD=CD，AD⊥BC ∴AD垂直平分BC ∴BP=CP，③正确； ∴△BPC是等腰三角形 ∵PD⊥BC ∴DP平分∠BPC ∵DE⊥BP，DF⊥CP， ∴DE=DF ∵DF≠PE，∴DE≠PE．④错误 故答案为：①②③． 【点睛】此题主要考查等腰三角形的判定与性质、垂直平分线与角平分线的性质，解题的关键是熟知其各自的性质特点． 34．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D是线段BC上一点，∠ADC=90°，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，下面的结论：①∠APO=∠ACO；②∠APO+∠DCO=30°；③AC=AO+AP；④PO=PC，其中正确的有 ． 【答案】①②③④ 【分析】连接BO，由线段垂直平分线的性质定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，角的和差求出∠APO=∠ACO，∠APO+∠DCO=30°，由三角形的内角和定理，角的和差求出∠POC=60°，再由等边三角的判定证明△OPC是等边三角形，得出PC=PO，∠PCO=60°，由角的和差，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段的和差和等量代换求出AO+AP=AC，即可得出结果． 【详解】解：连接BO，如图1所示： ∵AB=AC，AD⊥BC， ∴BO=CO， ∴∠OBC=∠OCB， 又∵OP=OC， ∴OP=OB， ∴∠OBP=∠OPB， 又∵在等腰△ABC中∠BAC=120°， ∴∠ABC=∠ACB=30°， ∴∠OBC+∠OBP=∠OCB+∠ACO， ∴∠OBP=∠ACO， ∴∠APO=∠ACO，故①正确； 又∵∠ABC=∠PBO+∠CBO=30°， ∴∠APO+∠DCO=30°，故②正确； ∵∠PBC+∠BPC+∠BCP=180°，∠PBC=30°， ∴∠BPC+∠BCP=150°， 又∵∠BPC=∠APO+∠CPO， ∠BCP=∠BCO+∠PCO， ∠APO+∠DCO=30°， ∴∠OPC+∠OCP=120°， 又∵∠POC+∠OPC+∠OCP=180°， ∴∠POC=60°， 又∵OP=OC， ∴△OPC是等边三角形， ∴PC=PO，∠PCO=60°，故④正确； 在线段AC上截取AE=AP，连接PE，如图2所示： ∵∠BAC+∠CAP=180°，∠BAC=120°， ∴∠CAP=60°， ∴△APE是等边三角形， ∴AP=EP， 又∵△OPC是等边三角形， ∴OP=CP， 又∵∠APE=∠APO+∠OPE=60°， ∠CPO=∠CPE+∠OPE=60°， ∴∠APO=∠EPC， 在△APO和△EPC中， ， ∴△APO≌△EPC（SAS）， ∴AO=EC， 又∵AC=AE+EC，AE=AP， ∴AO+AP=AC，故③正确； 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质定理、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、角的和差、线段的和差、等量代换等相关知识点；作辅助线构建等腰三角形、等边三角形、全等三角形是解题的关键． 35．如图，中，与的平分线交于点F，过点F作交于点D，交于点E，那么下列结论：①；②的周长等于与的和；③；④和都是等腰三角形．其中正确的有 ．（填入序号） 【答案】②③④ 【分析】本题考查角平分线定义，等腰三角形判定及性质，三角形周长，平行线性质等．根据题意利用平行线性质可得，后由角平分线定义得，继而判断④和③正确，由三角形周长可得边长相加即，可得②正确，后由角度推出边不一定等，得到①错误，继而得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵与的平分线交于点F， ∴， ∴， ∴， ∴和都是等腰三角形，故④正确； ∴，故③正确； ∴的周长为：，故②正确； ∵不一定等于， ∴不一定等于， ∴与不一定相等，故①错误． 故答案为：②③④． 36．如图，已知中，平分，且，点是延长线上一点，且，过点作交于点，则以下结论①，②，③，④，⑤为等腰三角形；其中正确的有 ．(填序号) 【答案】①②④⑤ 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识；证明三角形全等是解题的关键．由证明，得出，，①正确；由等腰三角形的性质得出，，得出，证出，证出，，得出是等腰三角形，⑤正确；证出，②正确；当时，，③不正确；作于，由角平分线的性质得出，证明，得出，同理：，得出，得出，④正确；即可得出答案． 【详解】解：平分， ， 在和中， ， ， ，，①正确； ，， ，， ， ， ， ， ，， 是等腰三角形，⑤正确； ， ，②正确； 当时，， ， ， ， 而不一定成立，故③不正确； 作于，如图所示： 平分，， ， 在和中， ， ， ， 同理：， ， ， ，④正确； 故答案为：①②④⑤． 37．如图，在中，，点D为线段上一动点（不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E，下列结论： ①； ②若，则； ③当时，则D为中点； ④当为等腰三角形时，． 正确的有 ．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理和外角性质，计算各角的度数是解题的关键． ①根据三角形外角的性质即可得到； ②当时，； ③根据，得，根据等腰三角形的性质得到为中点； ④根据三角形外角的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到或． 【详解】解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∴由三角形内角和定理知：，故①正确； ②∵， ∴， 由①知：， ∵， ∴， ∴，故②正确； ③∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴D为中点，故③正确； ④∵， ∴， ∴， ∵为等腰三角形， ∴或， 当时，， ∵， ∴， 当时，， ∴， 故④不正确． ∴正确的有①②③， 故答案为：①②③． 38．如图，是的边上的中线，由下列条件中的某一个就能推出是等腰三角形的是 （把所有正确的序号都填在横线上），①；②；③． 【答案】①② 【分析】选①由垂直平分线的判定与性质即可判定是等腰三角形；选②由线段和差即可判定是等腰三角形；选③无法判断即可得到答案． 【详解】解：选①， ， ，即， 是的边上的中线， 是线段的垂直平分线，则， 是等腰三角形； 选②， 是的边上的中线， ， ， ， 是等腰三角形； 选③，无法判断是等腰三角形； 故答案为：①②． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定，涉及垂直平分线的判定与性质、线段和差及线段中线性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定是解决问题的关键． 39．如图，在中，和的平分线相交于点，过点作分别交，于点，点，过点作于点，下列六个结论： ①若，则；②与为等腰三角形； ③；④点到各边的距离相等； ⑤若周长为，，则面积为； ⑥若，，则．正确的有 ． 【答案】①②③④⑤⑥ 【分析】本题考查了角平分线，三角形内角和定理，三角形的面积，角的平分线的性质定理，等腰三角形的判定，平行线的性质，根据知识综合解答即可． 【详解】解：∵和的平分线相交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； 当，则， 故①正确； ∵ 和的平分线相交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与为等腰三角形， 故②正确； ∵， ∴， ∴， 即， 故③正确； 过点作于点，过点作于点， ∵和的平分线相交于点， ∴， ∴， ∴点到各边的距离相等 故④正确； ∵周长为，， ∴， 连接， ∴ ， 故⑤正确； ∵，， 连接， ∴ ， 故⑥正确． 故答案为：①②③④⑤⑥． 40．如图，是等腰三角形，，，过点作于点，过作于点，，相交于点，为的中点，连接，，，则下列结论：①，②，③，④，⑤；其中正确的有 ．（填上正确的序号）．      【答案】个 【分析】由等腰三角形的性质可得，，由余角的性质可得故①正确；通过证明是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得，故②正确；由可证，可得，由，可得，故③错误；由线段垂直平分线的性质可得，可求可得，可得，故④正确；通过证明，可得，故⑤正确，即可求解． 【详解】解：，， ，， ，， ， ， 故①正确； ∵，， ， ， 是等腰直角三角形， 为的中点， ，故②正确； 在和中， ， ， ， ， ， ，故③错误； ，， ， ， ， ， ， ，故④正确； 是等腰直角三角形，为的中点， ， ， ，故⑤正确 综上所述①②④⑤正确，正确的有个． 故答案为：个． 【题型5等边三角形相关综合题】 41．如图所示，在等边三角形中，D为边的中点，E为边延长线上一点，，垂足为点F．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（填序号） ． 【答案】①②③④⑤ 【分析】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形角的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，首先证明，可知①②③正确，再证明，可得④正确，证明，可得⑤正确． 【详解】解：如图，是等边三角形，， 平分， ， ， ， ， ， ， ，故①正确， ， ，故②正确，， ，故③正确， ， ， ， ， ，故④正确， ， ， ， ， ，故⑤正确 综上所述正确的有：①②③④⑤， 故答案为：①②③④⑤． 42．如图，在四边形中，，，于点，点、分别在、上，若，，有下列结论：①是等边三角形；②；③；④．其中结论正确的为 ．（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，由等腰三角形的性质可得，，求出结合即可得出是等边三角形，即可判断①；证明，得出即可判断②；证明即可判断③；根据并结合即可判断④；熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：，， ，， ， ， ． ， 是等边三角形，故①正确； 是等边三角形， ，． ， ∴， ． 在和中， ， ∴， ， ，故②正确； 同理可得为等边三角形， ∴， ∴， ． 又，， ，故③正确； ，，， ． ， ，故④正确， 综上所述，正确的有①②③④， 故答案为：①②③④． 43．如图，已知，点D是的平分线上的一个定点，点E，F分别在射线和射线上，且．下列结论：①是等边三角形；②四边形的面积是一个定值；③当时，的周长最小；④当时，也平行于．其中正确的结论有 ．（只填序号） 【答案】①②③ 【分析】如图1，连接，作于，于，由角平分线的性质定理可得，证明，则，是等边三角形；进而可判断①的正误；由，可知，进而可判断②的正误；由的周长为，可知当时，最短， 的周长最小，进而可判断③的正误；如图2，当时，，则是等边三角形，则与重合，与交于点；进而可判断④的正误． 【详解】解：如图1，连接，作于，于， ∵点D是的平分线上的一个定点， ∴， ∴， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴是等边三角形；①正确，故符合要求； ∵， ∴， ∵点D是的平分线上的一个定点， ∴四边形的面积是一个定值；②正确，故符合要求； ∵的周长为， 当时，最短，即等边的周长最小，③正确，故符合要求； 如图2，当时， ∴， ∴是等边三角形， ∵是等边三角形， ∴与重合，与交于点；④错误，故不符合要求； 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，多边形内角和定理，等边三角形的判定与性质，垂线段最短，平行线的性质等知识．熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键． 44．如图，在中，是的平分线，的垂直平分线交于点E，交于点G，交的延长线于点F，连结，，有下列结论：①；②；③；④是等边三角形．其中正确的结论有 ． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，角平分线，平行的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由垂直平分线的性质可求得，，则可证得，可判断①；由①可得，则可判断②；由角平分线和①的结论，可证，可判断③；利用题目条件无法判断④正确；从而得出答案． 【详解】解：垂直平分， ，， 又， ，故①正确； ， ，故②正确； 平分， ， ， ， ， ，故③正确； ， ， ， ， ， ， 为等腰三角形， 由题目条件无法得出为等边三角形，故④不正确； 综上可知正确的结论有①②③； 故答案为：①②③． 45．如图，和都是等边三角形，连接、交于点P，、与、分别交于M、N，则下列说法中：①；②；③当A、C、E三点共线时，；④点C在的角平分线上．正确的有 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理、三角形外角的定义及性质，证明即可判断①；由三角形外角的定义及性质即可判断②；证明即可判断③；根据全等三角形的性质结合三角形面积公式得出，再由角平分线的判定定理即可判断④，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∴， ∴，，故①正确； ∴，故②正确； 当A、C、E三点共线时，， ∵，， ∴， ∴，故③正确； 如图：作于，于， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴点C在的角平分线上，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④； 故答案为：①②③④． 46．如图，是等边三角形，，于Q，交于点P，下列说法：①；②；③；④；⑤．其正确的有 ． 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，直角三角形中所对的直角边是斜边的一半，等边三角形的判定和性质．熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．根据等边三角形的性质证明，即可得到①正确；根据直角三角形中所对的直角边是斜边的一半即可判断③正确，根据线段的和差关系即可证明④正确，无法证明，以及． 【详解】解：是等边三角形， ， 在和中， ， ， ， ， ，故①正确； ， ， ， ， ，③正确； ， ， ，故④正确； 无法证明，以及，故②和⑤错误； 故答案为：①③④． 47．如图，在中，分别以、为边在的外部作等边三角形、等边三角形，连接、相交于点F，连接．下列结论：①；②；③平分；④，其中正确的有 （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，角平分线的判断等知识，证明，即可判断①；由①中，得出，然后结合三角形外角的性质即可判断②；过A作于M，于N，根据等面积法证明，然后根据角平分线的判定即可判断③；根据三角形的三边关系即可判断④． 【详解】解：∵、都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∴， ∴，故①正确； 设和相交于O， ∵， ∴， 又， ∴，故②正确； 过A作于M，于N， ∵， ∴，即， 又， ∴， ∴平分，故③正确； ∵， ∴，即， ∵， ∴， 又， ∴， 又， ∴，即 ，故④错误， 故答案为：①②③． 48．如图，，均为等边三角形，平分交于点D，交于点F．下列结论：①；②；③；④；⑤垂直平分．其中正确的有 ． （填序号）    【答案】①②③④ 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质的应用．结合等边三角形的性质推出，，结合全等三角形的性质求出，根据线段垂直平分线的判定推出垂直平分，根据平行线的判定定理求出． 【详解】解：∵是等边三角形，是的平分线， ∴，， ∴， ∵，是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即①②③④都正确，符合题意；⑤错误，不符合题意； 故答案为：①②③④． 49．如图，在直线的同一侧作两个等边和，连接与交于点，与交于点，与交于点，下列结论：①；②；③是等边三角形；④；⑤平分．其中正确的结论有 ． 【答案】①②③⑤ 【分析】连接，过点作于，于；结合题意，利用等边三角形、全等三角形的性质，推导得，；再根据等边三角形、角平分线的性质分析，即可得到答案． 【详解】连接，过点作于，于 ，都是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ，故①正确； ， ， ， ，故②正确； 在和中， ， ， ， 是等边三角形，故③正确；， ，，， ， 平分，，故⑤正确； 根据题意，无法判断，故④错误． 故答案为：①②③⑤． 50．如图，为等边三角形，F，E分别是上的一动点，且，连接，交于点H，连接．给出下列四个结论： ①；②若，则平分； ③；④若，则． 其中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质和等腰三角形的性质，证明，利用全等三角形的性质可以判断①③，利用垂直平分线的判定可以判断②，利用等腰三角形和全等三角形可以判断④． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴是的垂直平分线， ∴平分，故②正确； ∵， ∴， ∴， 即，故③不正确； 如图，在上截取，连接， ∵， ∴， ∴，   又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故④正确； 故答案为：①②④． 精选考题才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 $