专题05 尺规作图（4种类型32道）-2025-2026学年八年级数学上册期中复习高频考题专项训练（人教2024版，重庆专用）

弈泓共享数学 专题05 尺规作图（4种类型32道） 目录 【题型1作已知角相等的角】 1 【题型2作角平分线】 12 【题型3作垂直平分线】 24 【题型4 过已知点作垂直】 36 【题型1作已知角相等的角】 1．如图，是的角平分线，请完成以下作图与填空： (1)用尺规在右侧作，使得，射线交于点．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在中，，，是的角平分线，．求的度数． 解：在中，________①______°， ． 是的角平分线， _________②_________． ， ___________③___________， ． 【答案】(1)见解析 (2)①180，②③ 【详解】（1）如图所示，即为所求； （2）解：在中，， ． 是的角平分线， ． ， ， ． 故答案为：①180，②③. 2．已知：如图，四边形中，连接，，E，F分别是上的点，若，． (1)用尺规作图画出，按题意标上字母E． (2)求证：．将证明过程补充完整． 证明：∵，（已知） ∴ ∴①（②） 又∵（已知） ∴（③） ∴（④） ∴（⑤）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作一个角等于已知角、平行线的判定和性质等知识，熟练掌握上述基础知识是解题的关键； （1）由可得，故只需作即可； （2）根据平行线的判定和性质解答即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）证明：∵，（已知） ∴ ∴（同旁内角互补，两直线平行） 又∵（已知） ∴（内错角相等，两直线平行） ∴（平行于同一条直线的两条直线平行） ∴（两直线平行，同位角相等）． 3．请把下列证明过程及理由补充完整（填在横线上） 已知：如图，、相交于点G，H为上一点．    (1)尺规作图：作，交于F，延长交的延长线于B．（要求保留作痕迹，不写作法．） (2)若，求证：． 证明：（已作）， 且，（ ① ） ．（等量代换） ．（ ② ） ③ ．（两直线平行，同位角相等） ，（已知） ．（等量代换） ．（ ④ ） ．（ ⑤ ） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，作一个角等于已知角，熟练掌握平行线的性质以及基本作图是解题的关键； （1）根据题意作，交于F，延长交的延长线于B． （2）根据平行线的性质与判定完成填空，即可求解． 【详解】（1）解：如图，    （2）证明：（已作）， 且，（对顶角相等） ．（等量代换） ．（同位角相等，两直线平） ．（两直线平行，同位角相等） ，（已知） ．（等量代换） ．（内错角相等，两直线平行） ．（两直线平行，同旁内角互补） 4．如图，在中，，为边上一点，满足，连接． (1)尺规作图：以为边，为顶点作，交线段于点（保留作图痕迹，不写作法）． (2)小明同学准备在（1）问所作图形中，求证，他的思路是借助三角形全等完成线段相等的证明，请根据小明的思路完成下列填空． 证明： 又___________ 且 ___________ 在和中 ___________ 【答案】(1)作图见解析； (2)①；②；③；④ 【分析】本题主要考查了尺规作图作一个角等于已知角、全等三角形的判定与性质． 根据尺规作图作一个角等于已知角作图即可； 由尺规作图可知，从而可证，利用可证，根据全等三角形的性质可证结论成立． 【详解】（1）解：如下图所示， 以点为圆心，任意长度为半径画弧，分别交、于点、， 以点为圆心，为半径画弧，分别交、于点、， 以点为圆心，为半径画弧，交于点， 连接并延长交于点； （2）证明：， 又， 且， ， 在和中 ， ， ． 故答案为：①；②；③；④． 5．如图，已知，． (1)尺规作图：在线段的上方作交射线于点，使（要求：不写作法，不下结论，保留作图痕迹）． (2)在（1）问条件下，试说明：．请将下列解题过程补充完整． 证明：∵（已知）， ∴（①________）， ∵，， ∴②________（③________）， 在与中， ∴（⑤________）， ∴， ∴（⑥________）． 【答案】(1)作图见解析 (2)①两直线平行，内错角相等；②；③同角的补角相等；④；⑤；⑥内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查尺规作图作一个角等于已知角，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟练掌握作图的方法，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质是解题的关键． （1）利用尺规作一个角等于已知角的方法作图即可； （2）利用平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质进行推理即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：∵（已知）， ∴（①两直线平行，内错角相等）， ∵，， ∴②（③同角的补角相等）， 在与中， ， ∴（⑤）， ∴， ∴（⑥内错角相等，两直线平行）． 故答案为：①两直线平行，内错角相等；②；③同角的补角相等；④；⑤；⑥内错角相等，两直线平行． 6．如图，已知． (1)尺规作图：以点D为顶点，在的下方作使得，交AB于点F．（要求：不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求证：． 证明：∵（已知） ∴①________（②________） ∵（已知） ∴③________（④________） ∴（⑤________） 【答案】(1)作图见详解 (2)①；②两直线平行，同位角相等；③；④等量代换；⑤内错角相等，两直线平行 【分析】本题主要考查尺规作角等于已知角，平行线的判定和性质，掌握以上知识，数学结合分析思想是解题的关键． （1）根据尺规作角等于已知角的方法即可； （2）根据平行线的判定和性质即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求点的位置， （2）证明：∵（已知） ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：①；②两直线平行，同位角相等；③；④等量代换；⑤内错角相等，两直线平行 7．如图，已知中，为边上的中线． (1)请用基本尺规作图：在下方作，使射线交的延长线于点．（不写作法，不下结论，保留作图痕迹）： (2)若，，在（1）所作的图形中，求线段的取值范围． 解：为边上的中线， ______． 在和中 ______， ， ． 在中，， ______． ， ______． 【答案】(1)见解析 (2)；；2；1 【分析】本题考查了全等三角形判定与性质，三角形的三边关系，尺规作图，作一个角等于已知角，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）按照作一个角等于已知角的步骤作图即可； （2）先证明，根据全等三角形的性质得到，，然后在由三边关系求出 ，即可求出线段的取值范围． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：为边上的中线， ． 在和中 ， ， ． 在中，， ． ， ． 故答案为：；；2；1． 8．小明想利用三角形全等的知识，再探三角形中位线定理，他的探究思路如下：如图，在中，分别为的中点，连接，过点在的右边作，使得，延长交于点，然后通过证明和来证明三角形中位线定理，请完成下面的作图和填空． (1)用尺规完成以下基本作图：以点为顶点，在的右侧作，延长，交于点；(保留作图痕迹，不写作法，不下结论) (2)求证：，． 证明：∵为的中点， ∴， 又∵， ∴① ． 在和中， ， ∴， ∴③ ，， ∵为的中点， ∴， ∴④ ， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴⑤ ， ∴． 【答案】(1)作图见详解 (2)①；②；③；④；⑤ 【分析】本题主要考查尺规作角等于已知角，平行四边形边的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质是解题的关键． （1）根据尺规作角等于已知角的方法即可求解； （2）根据题意可证，再证四边形是平行四边形，由平行四边形的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， （2）证明：∵为的中点， ∴， 又∵， ∴①， 在和中， ， ∴， ∴③，， ∵为的中点， ∴， ∴④， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴⑤， ∴． 【题型2作角平分线】 9．如图，在中，于点D． (1)尺规作图：作的平分线交于E；（不写作法，保留作图痕迹） (2)求证：． 证明：在中 ∵且 ① ， 在中 ∵ ， ， ， ② ， 又∵平分 ∴ ∵ ③ ， ∴ ④ ． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【分析】本题主要考查尺规作图，角平分线的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键。 （1）以点为圆心，以适当长度为半径作弧，交，于两点，，以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于一点，作射线，交于点，即为所求． （2）先由三角形的内角和定理可求得，，进而得到，再由角平分线定理可得，最后根据， 即可得到结论． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）证明：在中， ∵且， ， 在中， ∵， ， ， ， ， 又∵平分， ∴， ∵， ， ∴， 故答案为：，，，． 10．如图，在中，，，的平分线交于点． (1)尺规作图：作的平分线交于点．（保留作图痕迹，不写作法） (2)求的度数． 解：在中， ， ，， ． 平分，平分， ， ， ． 【答案】(1)见解析 (2)；；； 【分析】本题考查角平分线的作图，三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形的外角的性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． （1）根据角平分线的作图方法进行作图即可． （2）先根据内角和计算出，再利用角平分线的定义得到，，然后根据三角形外角性质得到的度数． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：在中，， ，， ． 平分，平分， ，， ． 故答案为：；；； 11．如图，在中，，，． (1)作的角平分线，交于点F，连接（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：，请将以下推导过程补充完整． 证明：∵平分， ∴， 在和中， （② ） 又∵， ∵ ∴（⑤ ） 【答案】(1)作图见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的是作角平分线，全等三角形的判定与性质； （1）根据作已知角的角平分线的步骤作图即可； （2）根据题干信息的提示逐步完善推理过程与推理依据即可. 【详解】（1）解：如图，作图如下： （2）证明：∵平分， ∴， 在和中， （②） 又∵， ， ， ∵， ， ， ， ∴（⑤同位角相等，两直线平行） 12．如图，在中，是延长线上的一点． (1)利用直尺和圆规作的平分线，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹．不写作法） (2)若，请说明． 证明：， ∴①______（两直线平行，同位角相等）． ②______（③______）． 平分（已知）， ④______． （⑤______）． 【答案】(1)见解析； (2)①∠B；②∠C；③两直线平行，同位角相等；④∠EAC；⑤等量代换． 【分析】此题考查了平行线的性质、角平分线的作图等知识，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）根据角平分线的作图步骤作图即可； （2）利用平行线的性质和角平分线进行证明即可． 【详解】（1）解：如图即为所求， （2）证明：， ∴（两直线平行，同位角相等）． （两直线平行，同位角相等）． 平分（已知）， ． （等量代换）． 13．如图，已知中，． (1)尺规作图：作的平分线交于点D；（不写作法，保留作图痕迹） (2)点E在边上，连接，若，求证：． 证明：过D点作于F点， 为的平分线，，， ①_______， 在和中，， （②______）， ③_______， ，④_______， ， 在和中， ， ， ． 【答案】(1)如图所示； (2)①；②；③；④；⑤． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质及其尺规作图，熟知角平分线的性质和全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据角平分线的尺规作图方法作图即可； （2）先由角平分线的性质得到，再证明得到，接着证明，进一步证明，得到，据此可证明结论． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：过D点作于F点， 为的平分线，，， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ． 14．如图，在中，．      (1)尺规作图：作的角平分线，交边于点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在综合实践学习中，为了说明等腰三角形“三线合一”的性质．小佳同学在（1）所作的图形中，利用三角形全等得到对应角和对应边相等，从而说明了这一性质．请根据小佳的思路完成下列填空． 证明：平分， ． 在和中， ． ；． ， ．即． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的作法和等腰三角形三线合一的证明；灵活利用三角形全等判定和性质证明是解题关键． （1）根据角平分线作法作图即可； （2）由全等三角形判定和性质即可证明结论． 【详解】（1）解：如图，即为所求平分线，    （2）证明∶平分， ． 在和中， ，． ．即． 15．我们知道：在一个三角形中，等边对等角；等角对等边．小丽同学提出问题：一个三角形中，不相等的边和角有没有什么对应关系呢？学习了角平分线后，小丽进行了如下探究．请根据她的思路，完成以下作图与填空： 已知：如图，中，． 求证：． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点，在上截取，连接．（保留作图痕迹） (2)证明：∵平分线， ①__________． 在和中， ∴． ③_____． ④_____， ． 通过探究可以得出结论：在同一个三角形中，⑤________． 【答案】(1)见解析 (2)①；②；③；④；⑤大边所对角比小边所对角大． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质以及三角形外角性质，运用全等三角形判定角相等是解题的关键． （1）根据要求尺规作图即可． （2）根据条件证明，然后通过三角形的外角性质得出结论即可． 【详解】（1）解：如图所示 （2）证明：∵平分线， ． 在和中， ∴． ． ∵， ． 通过探究可以得出结论：在同一个三角形中，大边所对角比小边所对角大． 故答案为：①；②；③；④；⑤大边所对角比小边所对角大 16．如图，已知中，． (1)请用无刻度的直尺与圆规进行基本作图：作的角平分线交于点D，在上取一点E，使，连接．（不写作法，保留作图痕边） (2)在（1）所作的图形中，求证：．完成下面的证明过程： 证明：∵平分，∴． 在与中， ∴ ∴ ，． ∵ ，且， ∴， ∴，∴ ． ∵， ∴． 【答案】(1)见解析 (2)，， 【分析】本题考查了作图−复杂作图，全等三角形的判定与性质．解题的关键是： （1）先利用基本作图作的平分线得到，再在上截取使，然后连接即可； （2）先证明得到，，利用三角形外角性质得到，由于，所以，则，然后利用等线段代换得到结论． 【详解】（1）解：如图，以点A为圆心，任意长为半径画弧，两弧与相交，再分别以两交点为圆心，大于两交点距离的长度为半径画弧，两弧相交于一点，连接该交点与点A，交于点D，再以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点E，连接， 、为所作； （2）证明：∵平分， ∴． 在与中， ∴ ∴，． ∵，且， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：，，． 【题型3作垂直平分线】 17．如图，在中，． (1)用尺规完成以下基本图形：作边的垂直平分线，与边交于点，与边交于点；（保留作图痕迹，不写作法与结论） (2)推理填空： 已知：在（1）所作的图形中，，，垂直平分，证明：． 证明：是边的垂直平分线， ①______°． （②______）； ③______（等式的性质）． ，（已知）， （等量代换）． ④______（等量代换）． （⑤______）． 【答案】(1)见解析 (2)①90；②三角形的内角和等于；③；④；⑤同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了基本作图，熟练掌握5种基本作图是此类问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质． （1）利用基本作图作的垂直平分线即可； （2）先根据线段垂直平分线的性质和三角形内角和定理，求得的度数，再利用平行线的判定定理证明． 【详解】（1）如图： （2）证明：是边的垂直平分线， ． （三角形的内角和等于）； （等式的性质）． ，（已知）， （等量代换）． （等量代换）． （同位角相等，两直线平行）． 18．数学课上，老师布置如下任务：如图，在中，平分交于点． (1)用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交，，于点，，，连接；（不写作法，不下结论，保留清晰的作图痕迹） (2)求证：，请根据下列证明思路完成填空： 证明：∵ ， ∴． ∵是线段的垂直平分线， ∴， ， ∴ （ ） ∴在和△BFO中， ∴． ∴ ∴． 【答案】(1)见解析 (2)平分；；；平角的定义 【分析】本题考查了基本作图——作垂直平分线，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，熟记全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的作法作图即可； （2）证明得出，进而即可得到结论 【详解】（1）解：所求图形，如图所示： （2）证明：∵平分， ∴． ∵是线段的垂直平分线， ∴，， ∴（平角的定义） ∴在和中， ∴． ∴ ∴． 19．如图，在中，平分交于点D． (1)用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交、、于点E、O、F，连接；（不写作法，不下结论，保留清晰的作图痕迹） (2)求证：，请根据下列证明思路完成填空： 证明：① ， ． 是线段的垂直平分线， ， 在和中， ． ③ 是线段的垂直平分线， ④ ． 【答案】(1)图见详解 (2)平分；；；． 【分析】本题考查了垂直平分线的性质和画法，全等三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）按照垂直平分线的画法画，再连接即可． （2）根据垂直平分线的性质可得，，即可证明，得出，即可证明，据此填空即可． 【详解】（1）解：分别以为圆心，以大于为半径画四个圆弧，交于两点，连接两个交点分别交、、于点E、O、F，连接，如图： （2）证明：①平分， ． 是线段的垂直平分线， ， 在和中， ， ． ③， 是线段的垂直平分线， ④， ． 故答案为：平分；；；． 20．如图，在中，，过B作， (1)用尺规求作线段的垂直平分线，交于E，交于F，交于D，连接、（要求：保留作图痕迹，不写作法、不下结论）： (2)求证：，将下面的过程补充完整. 证明：∵垂直平分 ∴， ① 又∵ ∴ ② ， 在和中： ∴（ ③ ） ∴ ④ ∵ ∴． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【分析】此题考查了垂直平分线的作图和性质、全等三角形的判定和性质等知识． （1）按照垂直平分线的作法作图即可； （2）由垂直平分线的性质得到，，证明，则，即可得到结论． 【详解】（1）如图所示，即为所求， （2）证明：∵垂直平分 ∴， 又∵ ∴， 在和中： ∴（） ∴ ∵ ∴． 故答案为：，，， 21．如图，中，，的平分线交于点D． (1)尺规作图：作的垂直平分线，分别交、、于点 E、F、G，连接、；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）中所作的图形中，求证：． 补全下列证明过程： 证明：垂直平分 ，①　　 平分 ②　　 在和中， ， ④　　 【答案】(1)见解析； (2)，，，． 【分析】本题考查基本作图—作已知线段的垂直平分线，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据基本作图—作已知线段的垂直平分线作出图形即可； （2）根据证明，推出，可得结论． 【详解】（1）解：图形如图所示：直线即为所求， （2）解：证明：垂直平分， ，， 平分， ， 在和中， ， ， ， ． 故答案为：，，，． 22．如图，在中，AB＝BC． (1)请用基本尺规作图，作AB的中垂线DE，交AB于点D，交AC于点E，连接BE．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作的图形中，若CE＝BC，求∠ABC的度数． 【答案】(1)见解析 (2)108° 【分析】（1）分别以点A和点B为圆心，以任意长为半径画弧，两弧相交于两点，连接这两点交AB于点D，交AC于点E，连接DE即可求解； （2）根据等腰三角形的性质求得∠A＝∠C，再利用垂直平分线的性质求得AE＝BE，进而得到∠CEB＝2∠A，再利用三角形的内角和定理求解． 【详解】（1）解：如图DE即为所求； （2）解：∵AB＝BC， ∴∠A＝∠C． 又∵DE为AB的中垂线， ∴AE＝BE， ∴∠A＝∠EBA， ∴∠CEB＝2∠A． ∵CE＝CB， ∴∠CEB＝∠CBE＝2∠A． 在△ABC中，∠A＋∠C＋∠ABC＝180°， ∴∠A＝36°，则∠ABC＝3∠A＝108°． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，三角形内角和定理，理解垂直平分线的作法是解答关键． 23．已知：在中，D为边上一点，平分，于点E， 于点F． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点M，交于点N，连接（只保留作图痕迹，不写作法和结论）． (2)若，求证：． 请补全下面的证明过程． 证明：∵平分，，， ∴ ( )， ∵是的垂直平分线， ∴， 又∵ ， ∴ ( )， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴． 【答案】(1)见解析 (2)；角平分线上的点到角两边的距离相等；；等量代换； 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质及其尺规作图，角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键。 （1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可； （2）由角平分线的性质可得，再由线段垂直平分线的性质和已知条件证明，进而利用证明，则可证明． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：∵平分，，， ∴ （角平分线上的点到角两边的距离相等）， ∵是的垂直平分线， ∴， 又∵， ∴（等量代换）， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 24．如图，在中，是的角平分线． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交、、于点E、G、F，连接．（保留作图痕迹，不要求写作法）． (2)在（1）问的条件下，求证：． 证明：是的角平分线， ① 垂直平分， 即，， ② ， ∴③ ， ④ ， ， 在和中， ∴， ∴． 【答案】(1)作图见解析 (2)见解析 【分析】本题考查基本作图—作已知线段的垂直平分线，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据基本作图—作已知线段的垂直平分线作出图形即可； （2）根据证明，推出，可得结论． 【详解】（1）解：如图，作图如下： （2）证明：是的角平分线， ①， 垂直平分， 即，， ②， ∴③， ④， ， 在和中， ∴， ∴． 【题型4 过已知点作垂直】 25．数学活动课上，张晓同学围绕“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”设计一道题．如图，点E是三角形的边延长线上一点，于点D． (1)尺规作图：过点E作于点G，交于点F（保留画图痕迹，不写作法，不写结论）； (2)根据所画图形，若，说明与的大小关系，并将下面的证明过程补充完整． 证明：∵于点D，于点G（已知）， ∴___________． ∴_________（同位角相等，两直线平行） ∴_________， _________． 又∵（已知）， ∴_________． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查作垂线，平行线的判定和性质． （1）按要求作图即可； （2）根据平行线的判定和性质，结合已知过程逐步推导可得答案． 【详解】（1）解：如图所示． （2）证明：∵于点于点（已知）， ∴（垂直的定义）． ∴（同位角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，同位角相等）， （两直线平行，内错角相等）． 又 ∵（已知）， ∴（等量代换）． 26．在学习了全等三角形的知识后，一位同学进行了如下的探究，他发现：在一组对边平行且相等的四边形中，它的一组对角顶点到另一组对角顶点所连线段的距离存在着一定的数量关系．这位同学利用三角形全等证明了他的猜想，请根据他的想法与思路，完成以下作图与填空． (1)如图，在四边形中，，，连接，于点．利用尺规作图，过点作的垂线，垂足为点（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）问所作的图形中，求证：． 证明：， ___________①________ ， 在和中， ． ___________③________ 于是这位同学得到的结论是：在一组对边平行且相等的四边形中，___________④___________． 【答案】(1)见解析 (2)①；②；③；④它的一组对角顶点到另一组对角顶点所连线段的距离相等 【分析】本题考查了尺规作---垂线，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）按照过直线外一点作已知直线的垂线的步骤作图即可； （2）根据垂直的意义和平行线的性质证明即可． 【详解】（1）解：直线即为所求： （2）证明：， ， ， 在和中， ． ， 于是这位同学得到的结论是：在一组对边平行且相等的四边形中，它的一组对角顶点到另一组对角顶点所连线段的距离相等． 故答案为：①；②；③；④它的一组对角顶点到另一组对角顶点所连线段的距离相等． 27．学习了三角形的角平分线和角平分线的性质后，小西进行了拓展性研究．她发现，三角形内角平分线分对边所成的两条线段所成的比例与这个角的两邻边所成比例相等．她的解决思路是通过角平分线的性质与等面积法得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： (1)如图，在中，是的角平分线，垂直，垂足为点．用直尺和圆规，完成以下基本作图：过点作的垂线交于点，垂足为点．（不写作法、不下结论，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求证：． 证明：是的角平分线，，， ① ． 设点A到的距离为， ， ② ． ， ， ， ， ③ ． ④ ． 【答案】(1)图见详解 (2)证明见详解 【分析】本题考查作图—复杂作图、三角形的面积、角平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据垂线的作图方法作图即可． （2）根据角平分线的性质、三角形的面积公式填空即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）证明：是的角平分线，，， 设点A到的距离为， ，， ， ，， ， ， ， ． 28．如图，在中，，平分．小智在刚学完“三角形全等的判定”这节课后，老师给出了一个富有挑战性的题目，利用所学知识推导出和面积的比值与边和长度的比值之间的关系．经过小组讨论他们的总体思路是控制变量法，即过点D作的垂线，垂足为点E，再根据三角形全等来证明和的高相等，从而得到结论，请根据小智他们的思路完成以下作图与填空： (1)尺规作图：过点D作的垂线，交于点E（不写作法，保留作图痕迹）． (2)证明：平分， ① ， 又② ． ③ ，， ． 小智他们再进一步研究发现，只要一个三角形被其任意一内角角平分线分为两个三角形，均有此结论．请你依照题意完成下面命题： 如果一个三角形满足被其任意一内角角平分线分为两个三角形，那么这两个三角形面积的比值与该角对应的两边长度的比值④ ． 【答案】(1)见解析 (2)①；②；③；④相等 【分析】本题主要考查作一条直线的垂线，三角形全等的判定和性质，三角形面积计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）根据过直线外一点作一条直线的垂线的作图方法，进行作图即可； （2）先证明得出，根据，，得出． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）证明：平分， ①， ， 又②， ． ③， ，， ． 已知：任意中，平分，过点D作于点E，于点F，如图所示： 则， 平分， ， ∵， ∴， ， ，， ， ∴如果一个三角形满足被其任意一内角角平分线分为两个三角形，那么这两个三角形面积的比值与该角对应的两边长度的比值④相等． 29．在学习了四边形的相关知识后，奋进组进行了更深入的思考：在对角互补的四边形中，若对角线平分其中一个内角，则被对角线平分所得的两个小角所对的边存在一定的数量关系？通过讨论，奋进组的解决思路是利用构造三角形全等得出结论，根据他们的想法和思路，完成以下作图和填空： （1）如图，用尺规过点C作的垂线，交于点F．（不写作法，保留作图痕迹）； （2）已知：在四边形中，，平分，交的延长线于点E，，求证：． 证明：∵平分，，， ∴①，． ∵， ∴． 又∵， ∴②． ∴（③）． ∴． 通过以上探究，请你帮助奋进组完成下面命题：在对角互补的四边形中，若对角线平分其中一个内角，则被该对角线平分所得的两个相等小角④． 【答案】（1）作答如图；（2）①；②；③；④所对的两条边相等． 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，垂线的尺规作图，四边形内角和定理： （1）根据垂线的尺规作图方法作图即可； （2）先由角平分线的性质得到，再证明，进而证明，则可得到，据此可得结论． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：∵平分，，， ∴，． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴（）． ∴． 通过以上探究，请你帮助奋进组完成下面命题：在对角互补的四边形中，若对角线平分其中一个内角，则被该对角线平分所得的两个相等小角所对的两条边相等． 30．如图，在四边形中，，． (1)若点是边上一点，请你用直尺（没有刻度）和圆规过点作，交于点． (2)在（1）的作图下，若，平分，求的度数．解答过程如下，请你补充完整． 解：∵（已知）， ∴（_____①______） ∵平分（已知） ∴， ∴______②_____（等量代换） ∵，， ∴ ∴ ∵（已知），（作图）， ∴_____③_______（同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等） 【答案】(1)图见解析 (2)见解析 【分析】本题考查尺规作图—作垂线，平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定方法和性质，是解题的关键： （1）以为圆心，任意长为半径画弧，交于两点，以这两点为圆心，以大于两点形成的线段的长为半径画弧，交与一点，连接该点与点形成的直线即为所求； （2）根据平行线的判定和性质，角平分线的定义，等量代换，进行作答即可． 【详解】（1）解：由题意，作图如下： （2）解：∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等） ∵平分（已知） ∴， ∴（等量代换） ∵，， ∴ ∴ ∵（已知），（作图）， ∴（同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等） 31．学习了角平分线性质后，小明进行了拓展研究，他发现的外角和外角的角平分线，交与点F，他猜想平分，他的解决思路是利用角平分线性质．过点F分别向、、作垂线，再证明和这两个角所在的三角形全等得出结论．其中小明已经完成过点F分别向、作垂线，请根据他的思路完成以下作图与填空． (1)用直尺和圆规，过点F作于点K．（保留作图痕迹） (2)已知：如图，的外角和外角的角平分线，交与点F，于点K，于点H，于点G．求证：． 证明：∵平分， 于点H，于点G， ∴①________， ∵平分， 于点K，于点H， ∴ ∴②________， ∵，， ∴，均为直角三角形， 在和中： ③ ∴ ∴． 由此他得出结论：三角形的两（4）________所在直线交点与三角形另一顶点连线平分这个内角． 【答案】(1)图形见解析； (2)①；②；③；④外角角平分线． 【分析】（1）根据垂线的基本尺规作图，规范作图即可K． （2）根据角的平分线的性质定理，，再证明即可得到结论． 本题考查了垂线的基本作图，角的平分线的性质定理，直角三角形的全等判定和性质，熟练掌握作图和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：根据垂线的基本尺规作图，作图如图所示： 则即为所求． （2）证明：∵平分， 于点H，于点G， ∴， ∵平分， 于点K，于点H， ∴ ∴， ∵，， ∴，均为直角三角形， 在和中： , ∴ ∴． 由此他得出结论：三角形的两外角角平分线所在直线交点与三角形另一顶点连线平分这个内角． 故答案为：①；②；③；④外角角平分线． 32．如图，在中，，平分．小明在刚学完“三角形全等的判定”这节课后，想利用所学知识，推导出和面积的比值与，两边比值的关系．他的思路是：过点D作的垂线，垂足为点H，再根据三角形全等来证明和的高相等，进一步得到和的面积之比等于的两邻边边长之比．请根据小明的思路完成以下作图与填空： (1)用直尺和圆规，过点D作的垂线，垂足为点H（只保留作图痕迹）． (2)证明：∵， ∴． ∵ ∴①． 平分， ∴② 在和中， ∴． ∴④ ∵， ， ∴． 小明再进一步研究发现，只要一个三角形被其任意一内角角平分线分为两个三角形，均有此结论．请你依照题意完成下面命题：如果一个三角形满足被其任意一内角角平分线分为两个三角形，那么这两个三角形的面积之比等于________________． 【答案】(1)见解析 (2)；；；这个内角的两条邻边边长之比 【详解】（1）解：如图，直线为所作垂段； （2）证明：， ． ∵∠B=90°， ∴， 平分， ． 在和中， ， ． ． ，， ． 所以：如果一个三角形满足被其任意一内角角平分线分为两个三角形，那么这两个三角形的面积之比，等于这个内角的两条邻边边长之比． 已知：在中，是的内角平分线， 求证：． 证明：过点D作于E，于F，如图， ∵是的角平分线， ∴ ∵，， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴． 精选考题才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 $ 弈泓共享数学 专题05 尺规作图（4种类型32道） 目录 【题型1作已知角相等的角】 1 【题型2作角平分线】 6 【题型3作垂直平分线】 11 【题型4 过已知点作垂直】 16 【题型1作已知角相等的角】 1．如图，是的角平分线，请完成以下作图与填空： (1)用尺规在右侧作，使得，射线交于点．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在中，，，是的角平分线，．求的度数． 解：在中，________①______°， ． 是的角平分线， _________②_________． ， ___________③___________， ． 2．已知：如图，四边形中，连接，，E，F分别是上的点，若，． (1)用尺规作图画出，按题意标上字母E． (2)求证：．将证明过程补充完整． 证明：∵，（已知） ∴ ∴①（②） 又∵（已知） ∴（③） ∴（④） ∴（⑤）． 3．请把下列证明过程及理由补充完整（填在横线上） 已知：如图，、相交于点G，H为上一点．    (1)尺规作图：作，交于F，延长交的延长线于B．（要求保留作痕迹，不写作法．） (2)若，求证：． 证明：（已作）， 且，（ ① ） ．（等量代换） ．（ ② ） ③ ．（两直线平行，同位角相等） ，（已知） ．（等量代换） ．（ ④ ） ．（ ⑤ ） 4．如图，在中，，为边上一点，满足，连接． (1)尺规作图：以为边，为顶点作，交线段于点（保留作图痕迹，不写作法）． (2)小明同学准备在（1）问所作图形中，求证，他的思路是借助三角形全等完成线段相等的证明，请根据小明的思路完成下列填空． 证明： 又___________ 且 ___________ 在和中 ___________ 5．如图，已知，． (1)尺规作图：在线段的上方作交射线于点，使（要求：不写作法，不下结论，保留作图痕迹）． (2)在（1）问条件下，试说明：．请将下列解题过程补充完整． 证明：∵（已知）， ∴（①________）， ∵，， ∴②________（③________）， 在与中， ∴（⑤________）， ∴， ∴（⑥________）． 6．如图，已知． (1)尺规作图：以点D为顶点，在的下方作使得，交AB于点F．（要求：不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求证：． 证明：∵（已知） ∴①________（②________） ∵（已知） ∴③________（④________） ∴（⑤________） 7．如图，已知中，为边上的中线． (1)请用基本尺规作图：在下方作，使射线交的延长线于点．（不写作法，不下结论，保留作图痕迹）： (2)若，，在（1）所作的图形中，求线段的取值范围． 解：为边上的中线， ______． 在和中 ______， ， ． 在中，， ______． ， ______． 8．小明想利用三角形全等的知识，再探三角形中位线定理，他的探究思路如下：如图，在中，分别为的中点，连接，过点在的右边作，使得，延长交于点，然后通过证明和来证明三角形中位线定理，请完成下面的作图和填空． (1)用尺规完成以下基本作图：以点为顶点，在的右侧作，延长，交于点；(保留作图痕迹，不写作法，不下结论) (2)求证：，． 证明：∵为的中点， ∴， 又∵， ∴① ． 在和中， ， ∴， ∴③ ，， ∵为的中点， ∴， ∴④ ， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴⑤ ， ∴． 【题型2作角平分线】 9．如图，在中，于点D． (1)尺规作图：作的平分线交于E；（不写作法，保留作图痕迹） (2)求证：． 证明：在中 ∵且 ① ， 在中 ∵ ， ， ， ② ， 又∵平分 ∴ ∵ ③ ， ∴ ④ ． 10．如图，在中，，，的平分线交于点． (1)尺规作图：作的平分线交于点．（保留作图痕迹，不写作法） (2)求的度数． 解：在中， ， ，， ． 平分，平分， ， ， ． 11．如图，在中，，，． (1)作的角平分线，交于点F，连接（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：，请将以下推导过程补充完整． 证明：∵平分， ∴， 在和中， （② ） 又∵， ∵ ∴（⑤ ） 12．如图，在中，是延长线上的一点． (1)利用直尺和圆规作的平分线，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹．不写作法） (2)若，请说明． 证明：， ∴①______（两直线平行，同位角相等）． ②______（③______）． 平分（已知）， ④______． （⑤______）． 13．如图，已知中，． (1)尺规作图：作的平分线交于点D；（不写作法，保留作图痕迹） (2)点E在边上，连接，若，求证：． 证明：过D点作于F点， 为的平分线，，， ①_______， 在和中，， （②______）， ③_______， ，④_______， ， 在和中， ， ， ． 14．如图，在中，．      (1)尺规作图：作的角平分线，交边于点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在综合实践学习中，为了说明等腰三角形“三线合一”的性质．小佳同学在（1）所作的图形中，利用三角形全等得到对应角和对应边相等，从而说明了这一性质．请根据小佳的思路完成下列填空． 证明：平分， ． 在和中， ． ；． ， ．即． 15．我们知道：在一个三角形中，等边对等角；等角对等边．小丽同学提出问题：一个三角形中，不相等的边和角有没有什么对应关系呢？学习了角平分线后，小丽进行了如下探究．请根据她的思路，完成以下作图与填空： 已知：如图，中，． 求证：． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点，在上截取，连接．（保留作图痕迹） (2)证明：∵平分线， ①__________． 在和中， ∴． ③_____． ④_____， ． 通过探究可以得出结论：在同一个三角形中，⑤________． 16．如图，已知中，． (1)请用无刻度的直尺与圆规进行基本作图：作的角平分线交于点D，在上取一点E，使，连接．（不写作法，保留作图痕边） (2)在（1）所作的图形中，求证：．完成下面的证明过程： 证明：∵平分，∴． 在与中， ∴ ∴ ，． ∵ ，且， ∴， ∴，∴ ． ∵， ∴． 【题型3作垂直平分线】 17．如图，在中，． (1)用尺规完成以下基本图形：作边的垂直平分线，与边交于点，与边交于点；（保留作图痕迹，不写作法与结论） (2)推理填空： 已知：在（1）所作的图形中，，，垂直平分，证明：． 证明：是边的垂直平分线， ①______°． （②______）； ③______（等式的性质）． ，（已知）， （等量代换）． ④______（等量代换）． （⑤______）． 18．数学课上，老师布置如下任务：如图，在中，平分交于点． (1)用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交，，于点，，，连接；（不写作法，不下结论，保留清晰的作图痕迹） (2)求证：，请根据下列证明思路完成填空： 证明：∵ ， ∴． ∵是线段的垂直平分线， ∴， ， ∴ （ ） ∴在和△BFO中， ∴． ∴ ∴． 19．如图，在中，平分交于点D． (1)用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交、、于点E、O、F，连接；（不写作法，不下结论，保留清晰的作图痕迹） (2)求证：，请根据下列证明思路完成填空： 证明：① ， ． 是线段的垂直平分线， ， 在和中， ． ③ 是线段的垂直平分线， ④ ． 20．如图，在中，，过B作， (1)用尺规求作线段的垂直平分线，交于E，交于F，交于D，连接、（要求：保留作图痕迹，不写作法、不下结论）： (2)求证：，将下面的过程补充完整. 证明：∵垂直平分 ∴， ① 又∵ ∴ ② ， 在和中： ∴（ ③ ） ∴ ④ ∵ ∴． 21．如图，中，，的平分线交于点D． (1)尺规作图：作的垂直平分线，分别交、、于点 E、F、G，连接、；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）中所作的图形中，求证：． 补全下列证明过程： 证明：垂直平分 ，①　　 平分 ②　　 在和中， ， ④　　 22．如图，在中，AB＝BC． (1)请用基本尺规作图，作AB的中垂线DE，交AB于点D，交AC于点E，连接BE．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作的图形中，若CE＝BC，求∠ABC的度数． 23．已知：在中，D为边上一点，平分，于点E， 于点F． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点M，交于点N，连接（只保留作图痕迹，不写作法和结论）． (2)若，求证：． 请补全下面的证明过程． 证明：∵平分，，， ∴ ( )， ∵是的垂直平分线， ∴， 又∵ ， ∴ ( )， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴． 24．如图，在中，是的角平分线． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交、、于点E、G、F，连接．（保留作图痕迹，不要求写作法）． (2)在（1）问的条件下，求证：． 证明：是的角平分线， ① 垂直平分， 即，， ② ， ∴③ ， ④ ， ， 在和中， ∴， ∴． 【题型4 过已知点作垂直】 25．数学活动课上，张晓同学围绕“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”设计一道题．如图，点E是三角形的边延长线上一点，于点D． (1)尺规作图：过点E作于点G，交于点F（保留画图痕迹，不写作法，不写结论）； (2)根据所画图形，若，说明与的大小关系，并将下面的证明过程补充完整． 证明：∵于点D，于点G（已知）， ∴___________． ∴_________（同位角相等，两直线平行） ∴_________， _________． 又∵（已知）， ∴_________． 26．在学习了全等三角形的知识后，一位同学进行了如下的探究，他发现：在一组对边平行且相等的四边形中，它的一组对角顶点到另一组对角顶点所连线段的距离存在着一定的数量关系．这位同学利用三角形全等证明了他的猜想，请根据他的想法与思路，完成以下作图与填空． (1)如图，在四边形中，，，连接，于点．利用尺规作图，过点作的垂线，垂足为点（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）问所作的图形中，求证：． 证明：， ___________①________ ， 在和中， ． ___________③________ 于是这位同学得到的结论是：在一组对边平行且相等的四边形中，___________④___________． 27．学习了三角形的角平分线和角平分线的性质后，小西进行了拓展性研究．她发现，三角形内角平分线分对边所成的两条线段所成的比例与这个角的两邻边所成比例相等．她的解决思路是通过角平分线的性质与等面积法得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： (1)如图，在中，是的角平分线，垂直，垂足为点．用直尺和圆规，完成以下基本作图：过点作的垂线交于点，垂足为点．（不写作法、不下结论，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求证：． 证明：是的角平分线，，， ① ． 设点A到的距离为， ， ② ． ， ， ， ， ③ ． ④ ． 28．如图，在中，，平分．小智在刚学完“三角形全等的判定”这节课后，老师给出了一个富有挑战性的题目，利用所学知识推导出和面积的比值与边和长度的比值之间的关系．经过小组讨论他们的总体思路是控制变量法，即过点D作的垂线，垂足为点E，再根据三角形全等来证明和的高相等，从而得到结论，请根据小智他们的思路完成以下作图与填空： (1)尺规作图：过点D作的垂线，交于点E（不写作法，保留作图痕迹）． (2)证明：平分， ① ， 又② ． ③ ，， ． 小智他们再进一步研究发现，只要一个三角形被其任意一内角角平分线分为两个三角形，均有此结论．请你依照题意完成下面命题： 如果一个三角形满足被其任意一内角角平分线分为两个三角形，那么这两个三角形面积的比值与该角对应的两边长度的比值④ ． 29．在学习了四边形的相关知识后，奋进组进行了更深入的思考：在对角互补的四边形中，若对角线平分其中一个内角，则被对角线平分所得的两个小角所对的边存在一定的数量关系？通过讨论，奋进组的解决思路是利用构造三角形全等得出结论，根据他们的想法和思路，完成以下作图和填空： （1）如图，用尺规过点C作的垂线，交于点F．（不写作法，保留作图痕迹）； （2）已知：在四边形中，，平分，交的延长线于点E，，求证：． 证明：∵平分，，， ∴①，． ∵， ∴． 又∵， ∴②． ∴（③）． ∴． 通过以上探究，请你帮助奋进组完成下面命题：在对角互补的四边形中，若对角线平分其中一个内角，则被该对角线平分所得的两个相等小角④． 30．如图，在四边形中，，． (1)若点是边上一点，请你用直尺（没有刻度）和圆规过点作，交于点． (2)在（1）的作图下，若，平分，求的度数．解答过程如下，请你补充完整． 解：∵（已知）， ∴（_____①______） ∵平分（已知） ∴， ∴______②_____（等量代换） ∵，， ∴ ∴ ∵（已知），（作图）， ∴_____③_______（同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等） 31．学习了角平分线性质后，小明进行了拓展研究，他发现的外角和外角的角平分线，交与点F，他猜想平分，他的解决思路是利用角平分线性质．过点F分别向、、作垂线，再证明和这两个角所在的三角形全等得出结论．其中小明已经完成过点F分别向、作垂线，请根据他的思路完成以下作图与填空． (1)用直尺和圆规，过点F作于点K．（保留作图痕迹） (2)已知：如图，的外角和外角的角平分线，交与点F，于点K，于点H，于点G．求证：． 证明：∵平分， 于点H，于点G， ∴①________， ∵平分， 于点K，于点H， ∴ ∴②________， ∵，， ∴，均为直角三角形， 在和中： ③ ∴ ∴． 由此他得出结论：三角形的两（4）________所在直线交点与三角形另一顶点连线平分这个内角． 32．如图，在中，，平分．小明在刚学完“三角形全等的判定”这节课后，想利用所学知识，推导出和面积的比值与，两边比值的关系．他的思路是：过点D作的垂线，垂足为点H，再根据三角形全等来证明和的高相等，进一步得到和的面积之比等于的两邻边边长之比．请根据小明的思路完成以下作图与填空： (1)用直尺和圆规，过点D作的垂线，垂足为点H（只保留作图痕迹）． (2)证明：∵， ∴． ∵ ∴①． 平分， ∴② 在和中， ∴． ∴④ ∵， ， ∴． 小明再进一步研究发现，只要一个三角形被其任意一内角角平分线分为两个三角形，均有此结论．请你依照题意完成下面命题：如果一个三角形满足被其任意一内角角平分线分为两个三角形，那么这两个三角形的面积之比等于________________． 精选考题才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 $