专题01 几何最值问题分类训练（4种类型32道）-2025-2026学年八年级数学上册期中复习高频考题专项训练（人教2024版，重庆专用）

弈泓共享数学 专题01 几何最值问题分类训练（4种类型32道） 目录 【题型1三角形相关最值问题】 1 【题型2 全等三角形相关最值问题】 3 【题型3等腰三角形相关最值问题】 5 【题型4等边三角形相关最值问题】 7 【题型1三角形相关最值问题】 1．如图，中，，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（   ） A．2.4 B．5 C．3 D．4 2．如图，在中，，点是中点，点是线段上一个动点．若，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，是边上的中线，点是边上的动点，则的最小值为（　　） A． B． C．5 D．6 4．如图，在三角形中，，点P为直线上的一动点，连接，则线段的最小值是 （    ） A．12 B．15 C．20 D．25 5．如图，中，，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（   ） A． B． C． D． 6．如图，中，，点、分别是、上的点，，，连接、交于点，当四边形的面积为7时，则线段长度的最小值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 7．如图，在中，是的两条中线，是线段上的一个动点，则的最小值为（    ） A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 8．如图，是的角平分线，的面积为10，长为5，点，分别是，上的动点，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【题型2 全等三角形相关最值问题】 9．如图，已知，平分，点P在上，于点D，，点E是射线上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 10．如图，，和分别平分和，过点，且与互相垂直，点为线段上一动点，连接．若，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 11．如图，在中，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是（　　） A．2.4 B．4.8 C．4 D．5 12．如图，在四边形中，，点是边上的动点，连接，若平分，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 13．如图，在锐角三角形中，的面积15，平分交于点D，若M、N分别是上的动点，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．8 D．9 14．如图，正的边长为4，过点的直线，且与关于直线对称，为线段上一动点，则的最小值是（   ） A．6 B．12 C．8 D．10 15．如图，在△ABC中，AC＝BC＝8，∠ACB＝120°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E、F分别是线段BD，BC上的动点，则CE+EF的最小值是（　　） A．2 B．4 C．5 D．6 16．如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，连接BD， BD⊥CD，∠ADB=∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为 A．1 B．6 C．3 D．12 【题型3等腰三角形相关最值问题】 17．如图，在中，，是的高线，，分别是，上任意一点，若，的面积为24，则的最小值是 ． 18．如图，在面积为12的中，，，于点，直线垂直平分交于点，交于点，为直线上一动点，则周长的最小值为 ． 19．如图，，于点，点、分别为、上的动点，且，．当取得最小值时，的度数是 ． 20．如图，在中，，是的中点，直线是线段的垂直平分线，是上的一个动点，的面积为，，则的最小值为 ． 21．如图，在中，，平分，交于点D，点M，N分别为，上的动点，若，的面积为6，则的最小值为 ． 22．如图，在等腰中，，垂直平分，为的中点，E为上一动点．若，等腰的面积为8，则的最小值为 ． 23．如图，在中，，O为边的中点，，延长到点D，使得，且，的垂直平分线分别交，于点E，F，P为线段上的一点，连接，，则的最小值为 ． 24．如图，等腰中，，，l是的对称轴，D是上一动点，在l上存在一点P，能使的值最小，这个最小值为 ． 【题型4等边三角形相关最值问题】 25．如图，等边中，于，，点P、Q分别为、上的两个定点且，在上有一动点使最短，则的最小值为 ． 26．如图，是等边三角形的角平分线，点是边的中点，点是上一动点，连接，已知，则最小值为 ． 27．如图，在面积为的锐角中，，，D是内部一点，E，F分别是边上的动点，连接．若的面积为2，则周长的最小值为 ． 28．如图，在等边中，D为中点，点P，Q分别为，上的点，，，在上有一动点E，则的最小值为 ． 29．如图，在等边中，，，D，E分别是边上的点，．若，当取最小值时，线段长为 ． 30．如图，为等边的高，E、F分别为线段上的动点，且，当取得最小值时， ． 31．如图，等边的边长为4，是边上的中线，F是上的动点，E是边上一点，若，当取得最小值时，的度数为 ． 32．如图，将等边折叠，使点B恰好落在AC边上的点D处，折痕为EF，O为折痕EF上的动点，若AD＝2，AC＝6，则的周长最小值为 ． 精选考题才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 $ 弈泓共享数学 专题01 几何最值问题分类训练（4种类型32道） 目录 【题型1三角形相关最值问题】 1 【题型2 全等三角形相关最值问题】 8 【题型3等腰三角形相关最值问题】 15 【题型4等边三角形相关最值问题】 24 【题型1三角形相关最值问题】 1．如图，中，，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（   ） A．2.4 B．5 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂线段最短及三角形的面积公式，解题的关键是学会利用面积法求高．根据当时，的值最小，利用面积法求解即可． 【详解】解：，，，， 当时，的值最小， 此时：的面积， ， ． 故选：A． 2．如图，在中，，点是中点，点是线段上一个动点．若，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中线性质，垂线段最短，由点是中点，则，所以，设到距离为，则，求出，然后根据垂线段最短即可求解，掌握相关知识的应用是解题的关键． 【详解】解：∵点是中点， ∴， ∴， 设到距离为， ∴， ∴， ∴， 根据垂线段最短可知，的最小值是， 故选：． 3．如图，在中，是边上的中线，点是边上的动点，则的最小值为（　　） A． B． C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中线的性质（中点分三角形为面积相等的两部分）、点到直线的最短距离（垂线段）及三角形面积公式的应用，解题的关键是利用中点性质得出的面积，再通过面积公式直接求点D到的垂线段长度． 由D是中点，得利用的面积公式（以为底，点D到的距离为高），列方程求解得该距离；此距离即为的最小值． 【详解】的最小值为点D到边的垂线段长度（垂线段最短）． ∵是边上的中线， ∴D为中点， ∴与的面积相等（等底同高），且均为面积的一半． 已知，则． 又∵，（h为点D到的距离）， 即，解得：， ∴的最小值为． 故选：A． 4．如图，在三角形中，，点P为直线上的一动点，连接，则线段的最小值是 （    ） A．12 B．15 C．20 D．25 【答案】A 【分析】本题考查的是面积法求三角形的高．熟练掌握三角形的面积公式，垂线段最短．是解题的关键． 当时，最小，根据三角形的面积公式即可求出． 【详解】解：当时，最小， ∵三角形中，， ∴， ∴． 故选：A． 5．如图，中，，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂线段最短和三角形的面积公式，当时，的值最小，利用面积法求解即可，解题的关键是学会利用面积法求高． 【详解】解：在中，，，，， 当时，的值最小， 此时：的面积， ， ， 故选：B． 6．如图，中，，点、分别是、上的点，，，连接、交于点，当四边形的面积为7时，则线段长度的最小值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了垂线段最短，三角形的面积，三元一次方程组的应用，过点作于点，连接，根据题意得出，，，设，，，建立方程组，解方程组，进而根据垂线段最短，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，连接， 设，，， ∴， ∵，， ∴，，， ∴，， 联立， ∴， ∵， ∴， ∴当时，最小为． 故选：D． 7．如图，在中，是的两条中线，是线段上的一个动点，则的最小值为（    ） A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 【答案】D 【分析】此题考查了最短路径问题，解题的关键是由题意可得，为等腰三角形，连接，根据等腰三角形三线合一的性质可得，垂直平分，得到，利用三角形三边关系，即可求解． 【详解】解：连接，如下图： ∵ ∴为等腰三角形， 又∵为中线， ∴，即垂直平分， ∴， 则 由三角形三边关系可得， 当三点共线时，最小，为线段的长度， 故选：D 8．如图，是的角平分线，的面积为10，长为5，点，分别是，上的动点，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】作A关于的对称点，由是的角平分线，得到点一定在上，过作于，交于，则此时，的值最小，的最小值，过A作于，根据垂直平分线的性质和三角形的面积即可得到结论． 【详解】解：作A关于的对称点， 是的角平分线， 点一定在上， ∵， ∴， 过作于，交于， ∵垂线段最短， ∴最小， ∴的值最小，的最小值， 过A作于， ∵的面积为10，长为4， ， 垂直平分， ， ， ， 的最小值是5， 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，解题的关键是正确的作出对称点和利用垂直平分线的性质证明的最小值为三角形某一边上的高线． 【题型2 全等三角形相关最值问题】 9．如图，已知，平分，点P在上，于点D，，点E是射线上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质． 过P作于点H，根据角平分线性质，得，根据垂线段最短即可得最小值． 【详解】解：过P作于点H， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的最小值为， 故选：B． 10．如图，，和分别平分和，过点，且与互相垂直，点为线段上一动点，连接．若，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质、垂线段最短，解题关键是恰当的作出辅助线，找到最短线段，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等． 过点E作于P，此时的值最小，得出，根据角平分线的性质求出，求出的长即可． 【详解】解：过点E作于P，此时的值最小， ∵，， ∴， ∵和分别平分和， ∴， ∴， ∵， ∴， 即的最小值是4， 故选：C． 11．如图，在中，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是（　　） A．2.4 B．4.8 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查轴对称——最短路线问题、角平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 作点Q关于的对称点E，连接， ，过点C作于点H，结合角平分线的性质以及轴对称的性质可得点E在上，，根据题意可得， 进而可得答案． 【详解】解：作点Q关于的对称点E，连接， ，过点C作于点H， ∵是的角平分线，Q与E关于对称， 点E在上，， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为4.8， 故选：B． 12．如图，在四边形中，，点是边上的动点，连接，若平分，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质定理、垂线段最短，过A作于，则的长为的最小值，根据角平分线的性质定理求得即可． 【详解】解：过A作于，则的长为的最小值， ∵平分，，，， ∴， 即的最小值为2， 故选：B． 13．如图，在锐角三角形中，的面积15，平分交于点D，若M、N分别是上的动点，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查三角形中的最短路径，角平分线的性质定理，解题的关键是理解的长度即为最小值． 过作于点，交于点，过点作于，则即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出的长，即为的最小值． 【详解】解：过作于点，交于点，过点作于，如图：    ∵平分于点于， ∴， ∴是最小值，此时与重合与重合， ∵三角形的面积为， ∴， ∴， 即的最小值为6． 故选：B． 14．如图，正的边长为4，过点的直线，且与关于直线对称，为线段上一动点，则的最小值是（   ） A．6 B．12 C．8 D．10 【答案】C 【分析】连接，先根据轴对称的性质得出，，证明，得出，由三角形的三边关系定理、两点之间线段最短可得，当点与点重合，即点、、三点共线时，取得最小值，计算即可得解． 【详解】解：如图，连接， ∵与关于直线对称， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由三角形的三边关系定理、两点之间线段最短可得，当点与点重合，即点、、三点共线时，取得最小值，最小值为， ∴的最小值为， 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 15．如图，在△ABC中，AC＝BC＝8，∠ACB＝120°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E、F分别是线段BD，BC上的动点，则CE+EF的最小值是（　　） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】从已知条件结合图形，利用对称性和三角形的三边关系确定线段和的最小值． 【详解】解：作C点关于BD的对称点C'，过C'作C'F⊥BC交BD于点E，交BC于点F， ∴CE+EF＝C'E+EF≥C'F， ∴CE+EF的最小值是C'F的长， ∴CC'⊥BD， ∵BD平分∠ABC， ∴∠C'BG＝∠GBC， 在△C'BG和△CBG中， ， ∴△C'BG≌△CBG（ASA）， ∴BC＝BC'， ∵AC＝BC＝8，∠ACB＝120°， ∴∠ABC＝30°，BC'＝8， 在Rt△BFC'中，C'F＝BC'＝84， ∴CE+EF的最小值为4， 故选：B． 【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线的问题，角平分线的性质，解题关键是学会添加常用的辅助线，利用角平分线的性质解决问题． 16．如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，连接BD， BD⊥CD，∠ADB=∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为 A．1 B．6 C．3 D．12 【答案】C 【分析】由垂线段最短可知DP⊥BC时DP最小，由等角的余角相等推出∠ABD=∠CBD，即BD平分∠ABC，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可知DP =AD=3. 【详解】过D作DP⊥BC于点P，如图所示， 在△ABD中，∠A=90°，∴∠ABP+∠ADB=90° ∵BD⊥CD，∴∠C+∠CBD=90°， 又∵∠ADB=∠C， ∴∠ABD=∠CBD，即BD平分∠ABC， ∴DP=AD=3. ∴DP的最小值为3，故选C. 【点睛】本题主要考查角平分线的性质，熟练掌握性质是解题的关键. 【题型3等腰三角形相关最值问题】 17．如图，在中，，是的高线，，分别是，上任意一点，若，的面积为24，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】连接，，如图所示，由等腰三角形的三线合一性质得到是的垂直平分线，从而确定，再由三角形三边关系及题意得到，将题目中求的最小值，转化为求线段的长，结合垂线段最短确定当时，的值最小，由三角形面积公式代值求解即可得到答案． 【详解】解：连接，，如图所示： ，是的高线， ，， 则是的垂直平分线， ， 在中，由三角形三边关系可得，且三点可以共线，则， 由垂线段最短可知，当时，的值最小，如图所示： 此时的值最小，最小值为线段的长， 的面积为24，， ， 解得， 即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查动点最值问题-垂线段最短，涉及等腰三角形三线合一性质、垂直平分线的判定与性质、三角形三边关系、垂线段最短、三角形面积公式等知识，由三角形三边关系及题意得到，转化为垂线段最短求最值是解决问题的关键． 18．如图，在面积为12的中，，，于点，直线垂直平分交于点，交于点，为直线上一动点，则周长的最小值为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查轴对称-最短问题、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识点，正确作出辅助线、灵活运用相关知识成为解答本题的关键． 如图，连接．利用三角形的面积公式求出，由垂直平分，推出，推出，推出，即可得解． 【详解】解：如图，连接， ， ， ∵的面积为 12 ， ， ， ∵垂直平分， ， ∵为直线上一动点， ， ， ， ∴周长的最小值为8． 故答案为：8． 19．如图，，于点，点、分别为、上的动点，且，．当取得最小值时，的度数是 ． 【答案】 【分析】将绕着点顺时针方向旋转，得，连接，可得，，证（）可得，当、、三点共线时，有最小值，此时，是等腰直角三角形，可求，进一步即可求出答案 【详解】解：将绕着点顺时针方向旋转，得，连接， 则，， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， （）， ∴， ∴， 当、、三点共线时，有最小值， 此时，是等腰直角三角形， ∴， ∵．， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查面积等积式，等腰三角形性质，三角形全等判定与性质，掌握面积等积式，等腰三角形性质，三角形全等判定与性质，关键是当、、三点共线时，有最小值． 20．如图，在中，，是的中点，直线是线段的垂直平分线，是上的一个动点，的面积为，，则的最小值为 ． 【答案】6 【分析】连接，由三线合一及线段中点的定义可得，，由三角形的面积公式可得，由此即可求出的长，由“直线是的垂直平分线”可得点关于直线的对称点为点，由“轴对称的性质——最短路线问题”可知，的长即为的最小值． 【详解】解：如图，连接， ，是的中点， ，， ， ， 直线是的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点，， ∴，当点M在上时取得最小值 的长为的最小值， 的最小值为； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质——最短路线问题，线段垂直平分线的性质，三线合一，三角形的面积公式等知识点，找出点关于直线的对称点为点以及熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是解题的关键． 21．如图，在中，，平分，交于点D，点M，N分别为，上的动点，若，的面积为6，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】此题主要考查了轴对称，最短路线，垂线段的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，首先连接，过点A作于点H，再根据等腰三角形的性质得是线段的垂直平分线，从而得，则，然后根据“垂线段最短”得，据此可得出当点M在线段上时，为最小，最小值为线段的长，最后根据三角形的面积求出即可． 【详解】解：连接，过点A作于点H，如图： ∵，平分， ∴且平分， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， 根据“垂线段最短”得：， 即当点M在线段上时，为最小，最小值为线段的长， ∵的面积为6，， ∴， ∴， ∴的最小值为3． 故答案为：3 22．如图，在等腰中，，垂直平分，为的中点，E为上一动点．若，等腰的面积为8，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】连接，交于点，连接，利用垂直平分线的性质得到，再利用两点之间线段最短得到的和的最小值为的长，根据的面积计算出高，从而得出的最小值． 【详解】解：如图，连接，交于点，连接， ∵直线垂直平分， ∴ ， ∵两点之间线段最短， ∴的最小值为线段， ∵等腰中,点为的中点，，， ∴，， ∴， 即：，解得， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、两点之间线段最短，熟练掌握线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、两点之间线段最短是解题的关键． 23．如图，在中，，O为边的中点，，延长到点D，使得，且，的垂直平分线分别交，于点E，F，P为线段上的一点，连接，，则的最小值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形三边关系，先得出，再结合，，则，根据，则，得出，的垂直平分线分别交，于点E，F，P为线段上的一点，即． 【详解】解：连接，且与交于点，如图所示： 在中，，O为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的垂直平分线分别交，于点E，F，P为线段上的一点， ∴， ∵， ∴， 当P运动到点H时，则， 则的最小值为6， 故答案为：6 24．如图，等腰中，，，l是的对称轴，D是上一动点，在l上存在一点P，能使的值最小，这个最小值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了等腰三角形的性质、轴对称的性质和最短路径问题等知识．过点C作于点D，交直线于点P，设直线交于点E，则，则即为最小值，由求出即可． 【详解】解：过点C作于点D，交直线于点P，设直线交于点E， ∵等腰中，l是的对称轴， ∴，， ∴ ∴即为最小值，当时，的长度最小， ∵，， ∴， 解得， 即的最小值为， 故答案为： 【题型4等边三角形相关最值问题】 25．如图，等边中，于，，点P、Q分别为、上的两个定点且，在上有一动点使最短，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称性质、等边三角形的判定和性质. 先由等边三角形的性质求出，作点Q关于的对称点，连接交于E，连接，此时的值最小．最小值，求得，再证是等边三角形，得到即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴ ∵， ∴， 如图，作点Q关于的对称点，连接交于E，连接，此时的值最小．最小值， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 26．如图，是等边三角形的角平分线，点是边的中点，点是上一动点，连接，已知，则最小值为 ． 【答案】6 【分析】利用等边三角形的性质和轴对称，将转化为，根据两点之间线段最短，确定最小时的情况，进而求解．本题主要考查等边三角形的性质（三线合一）与轴对称 - 最短路径问题及全等三角形的判定及性质，熟练掌握等边三角形三线合一及利用轴对称转化线段是解题的关键． 【详解】解：连接，， ∵是等边三角形的角平分线， ∴垂直平分， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短，当、、共线时，最小，即最小，最小值为的长． 又∵是中点，是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴． 故答案为： ． 27．如图，在面积为的锐角中，，，D是内部一点，E，F分别是边上的动点，连接．若的面积为2，则周长的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】过点D作直线，过点C作于点G，交直线l于点H，求出，推出的最小值为，再作点D关于的对称点，，连接，、，证明出是等边三角形，且边长等于，由此可解决问题． 本题考查了轴对称——最短路线问题，三角形面积计算，等边三角形的判定与性质，垂线段最短，熟练掌握相关知识，证明出是等边三角形，且边长等于，是解题的关键． 【详解】解：过点D作直线，过点C作于点G，交直线l于点H，如图， 由题意，知为的边上的高，等于的边上的高， ∵锐角的面积为，， ∴， ， ∵的面积为2，， ∴，点D是直线l上的动点， ∴， ， ∵， 的最小值为， 作点D关于的对称点，，连接，、，，， 则，，，，， 当共线时，周长最小为， ∵， ∴， ∴是等边三角形， 周长的最小值为， 故答案为：． 28．如图，在等边中，D为中点，点P，Q分别为，上的点，，，在上有一动点E，则的最小值为 ． 【答案】11 【分析】本题考查轴对称—最短路线问题，等边三角形的判定与性质．作点Q关于的对称点，连接，则，则，可得当点P，E，三点共线时，取得最小值，最小值为的长，从而得到的最小值为的长，再证明为等边三角形，即可求解． 【详解】解：∵等边中，D为中点， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图，作点Q关于的对称点，连接，则，则， 当点P，E，三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 即的最小值为的长， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 即的最小值为11． 故答案为：11 29．如图，在等边中，，，D，E分别是边上的点，．若，当取最小值时，线段长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、最短路径问题，添加辅助线构造全等三角形是解答的关键． 过A作，且，连接，，设与交点为， 先证明得到，则，当B、E、P共线时取等号，此时点E与重合，再证明得到 即可求解． 【详解】解：∵在等边中，，， ∴，， 过A作，且，连接，，设与交点为， ∴， ∴，又，， ∴， ∴， ∴，当B、E、P共线时取等号，此时点E与重合， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故当取最小值时，线段长为2． 故答案为：2． 30．如图，为等边的高，E、F分别为线段上的动点，且，当取得最小值时， ． 【答案】105 【分析】此题考查全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质、最短路径问题，关键是作出辅助线，当取得最小值时确定点F的位置，有难度． 作于点C，且，连接交于M，连接，证明，得，根据两点之间线段最短，确定点F的位置，即当点B，F，H三点共线时， 取得最小值，此时取得最小值，即可求解． 【详解】解：如图，作于点C，且，连接交于M，连接， ∵为等边的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当点B，F，H三点共线时， 取得最小值，此时取得最小值， 此时， ∴， 故答案为：105． 31．如图，等边的边长为4，是边上的中线，F是上的动点，E是边上一点，若，当取得最小值时，的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，轴对称的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．过E作，交于N，连接交于F，连接，推出M为中点，求出E和M关于对称，根据等边三角形性质求出，即可求出答案． 【详解】解：过E作，交于N， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵是边上的中线，是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴E和M关于对称， 连接交于F，连接， 此时的值最小， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 故答案为． 32．如图，将等边折叠，使点B恰好落在AC边上的点D处，折痕为EF，O为折痕EF上的动点，若AD＝2，AC＝6，则的周长最小值为 ． 【答案】10 【分析】连接BD、OB，由折叠得OB=OD，根据等边三角形的性质求出BC，CD，当点B、O、C共线时，的周长最小，计算即得． 【详解】解：连接BD、OB， 由折叠得EF是BD的垂直平分线， ∴OB=OD， ∵△ABC是等边三角形，AD＝2，AC＝6， ∴AC=BC=6，CD=AC-AD=6-2=4， ∴的周长=CD+OC+OD=4+OC+OB， ∴当点B、O、C共线时，的周长最小，最小值为4+BC=4+6=10， 故答案为：10． ． 、． 精选考题才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 $