2.2 30°，45°，60°角的三角比 课件 2025-2026学年青岛版（2012）数学九年级上册

该初中数学课件聚焦30°，45°，60°角的三角比，课堂导入先回顾直角三角形两锐角互余、勾股定理等旧知，再结合三角比定义提出“已知锐角能否求三角比”的问题，构建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于通过构造等腰直角三角形、等边三角形分割等几何直观手段推导三角比，结合推理意识引导学生自主探究，用表格清晰呈现规律。例题和练习覆盖基础求值、已知三角比求角度及综合应用，培养学生数学思维和符号意识，教师可借助系统流程提升教学效率，学生能在探究中深化理解。

第2章 解直角三角形 2.2 30°,45°,60°角的 三角比 情 境 导 入 2.2 30°，45°，60°角的 三角比 直角三角形的特殊性质： （1）两锐角的关系： 直角三角形的两锐角互余。 （2）边的关系： ①勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。 ②直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。 A C B ┏ 情 境 导 入 ①正弦： ②余弦： ③正切： （3）角、边的关系： A C B ┏ 当已知一个锐角的度数时,能否知道它的锐角三角比呢？ 新 课 探 究 2.2 30°，45°，60°角的 三角比 1 1 2 A B C （ 45° tan45°= ． AC BC 1 1 1 = = cos45°= ； AB AC 2 2 2 1 = = sin45°= ； AB BC 2 2 2 1 = = AB= BC AC 2 1 1 2 2 2 2 = + = + 在Rt△ABC中，∠C=90°， ∠A=45° ． 设AC=1，那么BC=AC=1，所以 探究一 sin45°,cos45 °,tan45 °的值分别是多少？ 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 探究二 sin30°,cos30 °,tan30°的值分别是多少？ 已知:△ABD是边长为2的等边三角形，过点B作BC⊥AD, 垂足为C. 1 3 2 A B D C ┏ 问:（1）△ABC是什么形状的三角形？ （2）△ABC的三边长度分别为多少？ （3）△ABC的三内角度数分别为多少？ （4）sin∠ABC,cos∠ABC,tan∠ABC的值分别是多少？ （5）sin30°,cos30°,tan30°的值分别是多少？ 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 A C B ┏ 1 3 2 在Rt△ABC中， ∠ACB=90°， ∠B=30° ∴sin30°= 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 A C B ┏ 1 3 2 在Rt△ABC中， ∠ACB=90°， ∠A=60° ∴sin60°= 探究三 利用此图，你会求出sin60°,cos60°,tan60°的值吗？ 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 30° 45° 60° sin α cosα tanα 从填写的表格中，你发现了哪些规律？ 知识小结 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 例1：求下列各式的值： （1）sin30°·cos45° （2）tan45°－cos60°. 解： 例题讲解 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 提示: sin260°表示(sin 60°)2, cos260°表示(cos 60°)2,其余类推. (3) sin260°+cos260°-tan 45° 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 求下列各式的值 跟踪练习 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 例2：在Rt△ABC中，已知sinA= ,求锐角A的度数． 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 1.已知ɑ是锐角，当ɑ= 时，cosɑ= ，这时tanɑ= 2.已知ɑ是锐角，当ɑ= 时，tanɑ=1，这时cosɑ= 跟踪练习 30° 45° 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 如图，作等腰三角形ABC，∠C=90°.延长边CA到D，使AD=AB，连接DB.你能利用图求出22.5°角的正切值吗？试一试. C A B D 解：能.在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC， 所以∠CAB=∠CBA=45°. 因为AD=AB，所以∠D=∠ABD. 因为∠BAC=∠D+∠ABD， 所以∠D=22.5°. 设AC=BC=1，则AB==， 所以CD=AD+AC=+1， 所以tan22.5°===-1. 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 1.求下列各式的值： 2.在Rt△ABC中，已知sin(α+10°)= ,求锐角α的度数． 达标检测 课 堂 小 结 2.2 30°，45°，60°角的 三角比 30° 45° 60° sinα cosα tanα α 30°，45°，60°角的三角比： 1．(人教9下P65、北师9下P8)(1)填空： sin 45°＝ 　；    cos 45°＝ 　；    tan 45°＝　　；    1 课后练习 (2)填空：  (2022广东)sin 30°＝  ； cos 30°＝  ；   tan 30°＝ 　 ；   sin 60°＝  ；   (2023无锡)cos 60°＝  　；   tan 60°＝ 　 ．  　 　 　 2．求下列各式的值： (1)2sin 30°＋3tan 30°＝　 　；  (2)(人教9下P66、北师9下P8)sin260°＋cos260°＝　 　；  (3)2sin 45°＋3tan 45°＝  　．  1＋ 1 ＋3 3．在Rt△ABC中，∠C＝90°． (1)若sin A＝，则∠A＝　 　；  (2)若tan A＝，则∠A＝　 　；  (3)若cos A＝，则∠A＝　 　．  　60°　 　30°　 　60°　 4．【例1】(人教9下P69改编、北师9下P10改编)计算： (1)cos 60°＋sin245°－3tan230°；   (2)sin 45°－tan 60°． －2 0 小结：将一些特殊角的三角函数值代入计算即可，应熟记它们. 5．【例2】已知菱形ABCD的边长为6，∠B为锐角且tan B＝，求此菱形的面积． 答案图 解：如图，连接AC，BD，交于点O， 由tan∠ABC＝，得∠ABC＝60°， ∵四边形ABCD是菱形，∴BA＝BC，AC⊥BD， ∴∠AOB＝90°，∴∠ABO＝30°，∴在Rt△AOB中，OA＝AB＝3， ∴OB＝＝3 ，∴BD＝6 ，AC＝6， ∴AC·BD＝18 ． 小结：特殊角的三角函数值常作为解决几何、代数问题的一个条件.   6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，延长CA至点D，使AD＝AB． (1)求∠D及∠DBC的度数； (2)求tan D及tan∠DBC的值． 解：(1)∵AB＝AD， ∴∠D＝∠ABD， ∵∠BAC＝∠D＋∠ABD＝30°，∴∠D＝15°． ∴∠DBC＝90°－∠D＝75°． 7．(人教9下P66－67改编、北师9下P24改编)计算： (1)2sin 60°＋2cos 30°＋3tan 45°；   (2)－tan 30°． 2＋3 1－ 8．在△ABC中，若＝0，∠A，∠B都是锐角，求∠C的度数． 解：∵＝0， ∴sin A－＝0，－cos B＝0， ∴sin A＝，cos B＝， ∴∠A＝30°，∠B＝45°， ∴∠C＝180°－30°－45°＝105°． (2)设BC＝x，在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°， ∴AD＝AB＝2BC＝2x，AC＝BC＝x， ∴DC＝AD＋AC＝(2＋)x， 在Rt△BCD中，tan D＝＝2－， tan∠DBC＝＝2＋． 小结：把非特殊角的三角函数值转化为30°，45°，60°角的三角函数值计算.请注意15°与30°、22.5°与45°角之间的关系.  ★9． 0.45 (2024江苏一模改编)类比例3，用类似方法，自主构造图形，求tan 22.5°的值． 解：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝45°，延长CA至D点，使AD＝AB，则∠D＝22.5°， 设BC＝a，∵△ABC为等腰直角三角形， ∴AC＝a，AB＝a， ∴AD＝a，∴CD＝DA＋AC＝(＋1)a， 在Rt△BCD中，tan D＝－1， 即tan 22.5°＝－1． 答案图 THANK YOU $