第十五章 轴对称 冲刺学案 2025-2026学年人教版八年级数学上册

参考答案及解析 1． 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要查了轴对称图形．根据轴对称图形得定义，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，故本选项符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：B 2． 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，根据轴对称图形的定义解答即可．如果一个图形沿着某一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 【详解】解：在四个选项的图形中，只有选项B的图形能找到一条直线，使图形沿这条直线对折后两边能完全重合，故选项B是轴对称图形，选项A、C、D不是轴对称图形． 故选：B． 3． 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，根据轴对称图形的定义解答即可．如果一个图形沿着某一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 【详解】解：在四个选项的图形中，只有选项C的图形能找到一条直线，使图形沿这条直线对折后两边能完全重合，故选项C是轴对称图形，选项A、B、D不是轴对称图形． 故选：C． 4． 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，根据轴对称图形的定义解答即可．如果一个图形沿着某一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 【详解】解：在四个选项的图形中，只有选项A的图形能找到一条直线，使图形沿这条直线对折后两边能完全重合，故选项A是轴对称图形，选项B、C、D不是轴对称图形． 故选：A． 5． 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 6． 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得，，再由三角形的周长公式计算即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴的周长为， 故选：C． 7． 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质可得，据此根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵线段的垂直平分线交于点E，交于点D， ∴， ∴的周长， 故选：C． 8． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角性质，垂直平分线的作法和性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）由角平分线的定义求得，再利用三角形的外角性质求解即可； （2）由作图知是线段的垂直平分线，求得，求得，，再证明，据此求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由作图知是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 9． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称—最短路线问题，直角三角形的性质，角平分线的性质，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，则为所求的最小值，再根据是的平分线可知，再含30度角的直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：如图，作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，则为所求的最小值． 是的平分线， ， 是点到直线的最短距离（垂线段最短）， ， ． 的最小值是， 故答案为：． 10． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质及其尺规作图，三角形中位线定理，由作图方法可得垂直平分，则点D为的中点，据此可证明是△ABC的中位线，则可得到． 【详解】解：由作图方法可得垂直平分， ∴点D为的中点， 又∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：． 11． 【答案】作图见解析 【解析】 【分析】本题考查尺规基本作图—作角的平分线，作一角等于已知角，平行线的性质，熟练掌握尺规基本作图是解题的关键．先作的平分线，再在同侧作，使 ，交于P即可． 【详解】解：如图，点即为所求； 理由如下： 由作图可知：是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴点即为所求． 第1页共12页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十五 章轴对称 一、 轴对称知识体系 2 二、 中考考情分析 3  高频考点 3  命题趋势 4  分值分析 5  考生备考建议 6 三、 知识点精讲​ 7  轴对称的基本概念与性质 7  线段的垂直平分线 8  角的平分线（轴对称应用） 9  等腰三角形与等边三角形 10  最短路径问题（将军饮马模型） 12 四、 易错知识点 13  概念混淆：轴对称与轴对称图形 14  等腰三角形“三线合一”误用 15  线段垂直平分线判定漏条件 15  最短路径问题未找对称点 15 五、 解题方法技巧 16  轴对称性质的应用技巧 16  等腰三角形解题技巧 17  线段垂直平分线与角平分线的综合技巧 18  最短路径问题解题技巧 19 六、 真题精练 20 轴对称知识体系 中考考情分析 · 高频考点 轴对称的性质与轴对称图形识别：★★★★★ 近3年全国中考覆盖率达100%，是几何基础核心考点。主要考查“判断图形是否为轴对称图形”（选择/填空，占分3-4分）和“利用轴对称性质求线段长度、角度”（如对称点连线与对称轴关系），2024-2025年出现“结合坐标系考查对称点坐标”的新形式（如点P(x,y)关于x轴/y轴/原点的对称点），占比约40%。 线段垂直平分线与角平分线：★★★★★ 线段垂直平分线的“性质与判定”（如“已知点在垂直平分线上，求线段相等”）和角平分线的“性质应用”（如“利用角平分线求距离”）是高频考向，近3年单独考查占比超85%，多与三角形、四边形综合。例如：“在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于D，求BD=AD的证明”“角平分线+直角三角形求边长”，2025年部分地区将其与“圆的切线”结合（如“角平分线与圆切线垂直”）。 等腰三角形与等边三角形：★★★★★ 等腰三角形的“等边对等角”“三线合一”和等边三角形的“性质与判定”是中考解答题核心题型，近3年覆盖率达95%。基础题（如“已知等腰三角形顶角求底角”）占分3-4分，中档题（如“利用三线合一证明线段相等”）占分6-8分，压轴题常与“旋转”“动态几何”结合（如“等腰三角形旋转后全等证明”），2025年出现“等腰三角形与二次函数顶点对称”的综合题，难度提升。 最短路径问题（将军饮马模型）：★★★★ 近3年中考中，“将军饮马”及衍生模型（如“两定一动”“两动一定”）占比约70%，多以应用题或几何作图题形式出现（占分6-8分）。典型场景包括“求直线上一点到两定点距离和最小”“求四边形内一点到四顶点距离和最小”，2024-2025年拓展到“结合坐标系求最短路径坐标”，需熟练掌握“找对称点转化线段”的核心思路。 轴对称的实际应用与作图：★★★★ “尺规作轴对称图形”（如“作一个图形关于某直线的对称图形”）和“利用轴对称测量距离”（如“测河宽时构造对称点”）是高频应用题型，近3年占比约35%。作图题需保留痕迹，应用题需建立“对称模型”，2025年中考出现“利用轴对称设计对称LOGO”的开放性题目，考查创新能力。 · 命题趋势 0. 知识融合性增强 单一考查“轴对称识别”的基础题占比下降（从2023年的30%降至2025年的15%），“轴对称+三角形/四边形/圆”的综合题成为主流。例如：“利用轴对称证明菱形的对角线垂直”“结合圆的对称性求弧长”，2025年中考出现“轴对称+二次函数+最短路径”的压轴题，需串联多章节知识。 0. 实际背景更贴近生活与科技 应用题背景从传统“将军饮马”“测量河宽”向“物流路线规划”“无人机巡检路径”“建筑对称设计”拓展，2025年广东中考出现“快递员从仓库出发，到两个小区送货后返回仓库，求最短路线”的题目，要求从实际场景中抽象“两定一动”模型，建模能力要求提升。 0. 动态与开放性题目增多 “动态轴对称”题（如“点在线段上运动，探究对称点形成的图形”）占比从2023年的20%升至2025年的35%，例如：“在平面直角坐标系中，点P沿x轴运动，求其关于直线y=x的对称点Q的轨迹”。同时，开放性题目（如“给出一个三角形，添加条件使其成为轴对称图形，写出3种方案”）增加，考查逆向思维。 0. 跨学科与文化渗透加深 跨学科结合题（如“物理中光的反射路径与轴对称”“美术中对称图案设计”）和文化类题目（如“故宫建筑的轴对称布局”“剪纸艺术中的轴对称”）在2024-2025年中考中占比约25%，例如：“利用光的反射原理（入射角=反射角）证明反射路径符合最短路径模型”，需结合其他学科知识理解轴对称本质。 · 分值分析 选择题/填空题（3-4分/题）：主要考查“轴对称图形识别”“对称点坐标”“等腰三角形角度计算”“线段垂直平分线基础应用”，近3年通常2-3道，累计占分6-12分。 解答题（6-12分/题）：分为“基础证明题”（6-8分，如“证明线段垂直平分线性质”）、“中档应用题”（8-10分，如“将军饮马模型求最短路径”）和“综合压轴题”（10-12分，如“等腰三角形旋转+全等证明”）。全章总分值稳定在15-22分，占中考数学总分的12%-18%，2025年北京、上海等地区分值提升至18-24分，凸显其核心地位。 · 考生备考建议 0. 夯实基础：吃透概念与性质 明确“轴对称”与“轴对称图形”的区别（前者是两图形的位置关系，后者是一图形的特征），通过对比表格记忆； 牢记3个核心性质：对称点连线被对称轴垂直平分、线段垂直平分线上点到两端距离相等、角平分线上点到两边距离相等，每周练习10道基础应用小题，做到“见条件能联想性质”。 0. 突破核心模型：等腰三角形与最短路径 等腰三角形重点掌握“三线合一”的应用场景（仅适用于底边和顶角），总结“遇等腰、想三线”的解题思路，避免误用（如腰上的高不与中线、角平分线重合）； 最短路径问题分类练习“将军饮马”的3种基础模型（两定一动、两动一定、造桥选址），牢记“找对称点转化线段，使折线变直线”的核心方法，结合坐标系练习坐标计算。 0. 强化作图与实际应用 熟练掌握2种关键尺规作图：作线段垂直平分线（以线段两端为圆心画弧，找交点连线）、作角平分线（以角顶点为圆心画弧交两边，再以交点为圆心画弧找角内交点），确保保留作图痕迹； 针对实际应用题，总结“建模三步法”：①提取题干中的“定点、动点、对称轴”；②构造轴对称图形转化未知量；③利用性质计算或证明，避免因场景复杂遗漏关键条件。 0. 攻克综合题：训练逻辑与转化 基础薄弱学生优先掌握“轴对称+三角形/线段垂直平分线”的中档题，重点练习“从结论倒推条件”（如“要证AB=AC，可先证A在BC的垂直平分线上”）； 中等及以上学生需突破“动态轴对称+综合几何”题，重点训练“动态分析”（如点运动时对称点的轨迹变化）和“多步转化”（如将最短路径转化为三角形三边关系），总结“轴对称作为转化工具”的解题逻辑。 0. 重视错题：规避典型错误 建立“轴对称错题本”，按“概念混淆（如轴对称与轴对称图形）、性质误用（如三线合一漏前提）、模型错误（如最短路径未找对称点）”分类； 定期复盘，总结“避坑技巧”：如判断等腰三角形时先明确“腰和底”，用线段垂直平分线判定时需两个点到两端距离相等，避免重复犯错。 1. 知识点精讲​ · 轴对称的基本概念与性质 0. 核心概念 轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点叫做对应点（对称点）。 示例：△ABC与△A'B'C'关于直线L对称，则L是对称轴，A与A'、B与B'、C与C'是对称点。 轴对称图形：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线是它的对称轴。 辨析：轴对称是“两个图形”的关系，轴对称图形是“一个图形”的特征（如圆是轴对称图形，△ABC与△A'B'C'关于L成轴对称）。 0. 轴对称的性质 性质类别 具体内容 示例 对称点关系 对应点的连线被对称轴垂直平分 若A与A'关于L对称，则L⊥AA'且L平分AA'（即L是AA'的垂直平分线） 对应元素相等 对应线段相等、对应角相等 若△ABC与△A'B'C'关于L对称，则AB=A'B'，∠B=∠B' 图形全等 成轴对称的两个图形全等 若△ABC与△A'B'C'关于L对称，则△ABC≌△A'B'C'（周长、面积相等） 对称轴上点的性质 对称轴上任意一点到两个对应点的距离相等 若P在L上，A与A'关于L对称，则PA=PA' 示例：已知点P(3,4)关于x轴的对称点为P'，则P'的坐标为______，PP'与x轴的关系是______。 解析：关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，故P'(3,-4)；PP'垂直于x轴（对称轴）且被x轴平分。 · 线段的垂直平分线 0. 定义与性质 定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（简称中垂线）。 性质：线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等。 几何语言：若直线L是AB的垂直平分线，点P在L上，则PA=PB。 判定：与一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 几何语言：若PA=PB，QA=QB（P、Q为不同点），则直线PQ是AB的垂直平分线（两点确定一条直线）。 0. 尺规作图：作线段的垂直平分线 作法： ①分别以线段AB的两个端点A、B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧分别交于C、D两点； ②连接CD，直线CD即为线段AB的垂直平分线。 依据：SSS（AC=BC=AD=BD，CD为公共边，△ACD≌△BCD），故CD⊥AB且平分AB。 0. 实际应用：证明线段相等 示例：如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，求证BD=AD。 证明：∵CD是AB的垂直平分线（已知）， ∴点D在AB的垂直平分线上（定义）， ∴BD=AD（线段垂直平分线性质）。 · 角的平分线（轴对称应用） 0. 性质与判定 性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何语言：若OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，则PD=PE。 判定：在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上。 几何语言：若PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD=PE，则点P在∠AOB的平分线上（OC平分∠AOB）。 0. 尺规作图：作角的平分线 作法： ①以角的顶点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N两点； ②分别以M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点P； ③连接OP，射线OP即为∠AOB的平分线。 依据：SSS（OM=ON，PM=PN，OP为公共边，△OPM≌△OPN），故∠AOP=∠BOP，且PD=PE（全等对应边）。 0. 易错点：忽略“角的内部”前提 若点P在角的外部，且到角两边距离相等，则P不在角平分线上（如∠AOB的邻补角平分线上的点，到OA、OB距离也相等，但不在∠AOB内部），判定时需强调“角的内部”。 · 等腰三角形与等边三角形 0. 等腰三角形 定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。 性质： ①等边对等角：等腰三角形的两个底角相等（若AB=AC，则∠B=∠C）； ②三线合一：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（若AB=AC，AD平分∠BAC，则AD⊥BC且BD=DC）； ③轴对称图形：有1条对称轴（底边的垂直平分线）。 判定： ①定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形； ②等角对等边：有两个角相等的三角形是等腰三角形（若∠B=∠C，则AB=AC）。 示例：已知等腰△ABC中，顶角∠A=80°，求底角∠B的度数。 解析：∵△ABC是等腰三角形，AB=AC（默认腰为AB、AC），∴∠B=∠C（等边对等角）；又∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B=(180°-80°)÷2=50°。 0. 等边三角形 定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形（特殊的等腰三角形）。 性质： ①三边相等：AB=BC=AC； ②三角相等：每个角都等于60°（∠A=∠B=∠C=60°）； ③三线合一：每条边上的中线、高和对应角的平分线相互重合； ④轴对称图形：有3条对称轴（每条边的垂直平分线）。 判定： ①定义法：三边都相等的三角形是等边三角形； ②三角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形（若AB=AC，∠A=60°，则AB=AC=BC）。 示例：已知△ABC中，AB=AC，∠B=60°，求证△ABC是等边三角形。 证明：∵AB=AC（已知）， ∴∠B=∠C=60°（等边对等角）； 又∵∠A=180°-∠B-∠C=60°， ∴∠A=∠B=∠C，故△ABC是等边三角形（三角相等的三角形是等边三角形）。 · 最短路径问题（将军饮马模型） 0. 基础模型：两定一动（直线上找一点到两定点距离和最小） 问题：如图，点A、B在直线L同侧，在L上找一点P，使PA+PB最小。 解法： ①作点A关于直线L的对称点A'； ②连接A'B，交直线L于点P，点P即为所求； ③依据：PA=PA'（轴对称性质），故PA+PB=PA'+PB=A'B（两点之间，线段最短），此时PA+PB最小。 0. 衍生模型：两动一定（两条直线上各找一点，使三点距离和最小） 问题：如图，点P是∠AOB内部一点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使PM+MN+NP最小。 解法： ①作点P关于OA的对称点P1，关于OB的对称点P2； ②连接P1P2，分别交OA、OB于M、N，点M、N即为所求； ③依据：PM=P1M，PN=P2N，故PM+MN+NP=P1M+MN+P2N=P1P2（线段最短）。 0. 实际应用：造桥选址（两平行线间找最短路径） 问题：如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短?(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.) 解法： 桥应建在如下位置：过点A作，且使AC的长度等于河的宽度，连接BC交b于点N，过点N作交a于点M，则MN就是所求的桥的位置。 步骤： 分析条件与转化问题 已知河的两岸是平行直线a和b，桥MN与河垂直，即，MN的长度为河的宽度（定值）。要使AM + MN + NB 最小，因为MN是定值，所以只需使AM + NB最小。 利用平移变换转化线段 过点A作，且使AC的长度等于河的宽度。此时，将AM沿与MN平行且相等的方向平移，AM可转化为CN（因为且AC = MN，四边形ACNM是平行四边形，所以AM = CN）。 根据线段公理确定最短路径 那么AM + NB = CN + NB。根据 “两点之间，线段最短”，连接BC，BC与b的交点N能使CN + NB最小（因为B、N、C三点共线时，CN + NB = BC，长度最短）。 过点N作交a于点M，此时AM + MN + NB = CN + MN + NB = BC + MN，达到最小。 1. 易错知识点 · 概念混淆：轴对称与轴对称图形 错误示例：认为“轴对称图形就是轴对称”，忽略“一个图形”与“两个图形”的区别。 避坑技巧：记关键词——轴对称图形：“一个图形，自身对称”；轴对称：“两个图形，关于直线对称”。 · 等腰三角形“三线合一”误用 错误示例：在等腰△ABC中，AD是腰AB上的高，误说AD平分∠BAC（三线合一仅适用于“底边”上的高）。 避坑技巧：应用前先明确“底边”和“顶角”，只有“顶角平分线、底边上的中线、底边上的高”才重合。 · 线段垂直平分线判定漏条件 错误示例：已知PA=PB，误说P在AB的垂直平分线上（需两个点到两端距离相等才能确定直线）。 避坑技巧：判定时需找“两个不同点”（如P、Q），均满足PA=PB、QA=QB，才能确定PQ是AB的垂直平分线。 · 最短路径问题未找对称点 错误示例：直接连接两定点A、B交直线L于P，认为PA+PB最小（未考虑A、B在L同侧时需找对称点）。 避坑技巧：先判断两定点与直线的位置关系，同侧则找对称点，异侧则直接连接。 1. 解题方法技巧 · 轴对称性质的应用技巧 0. 求对称点坐标：“坐标变换法” 适用场景：平面直角坐标系中，求点关于x轴、y轴、直线y=x的对称点。 规律总结： 对称轴 点P(x,y)的对称点P'(x',y') 示例 x轴 x'=x，y'=-y P(2,3)→P'(2,-3) y轴 x'=-x，y'=y P(2,3)→P'(-2,3) 直线y=x x'=y，y'=x P(2,3)→P'(3,2) 原点 x'=-x，y'=-y（中心对称，非轴对称） P(2,3)→P'(-2,-3) 示例：已知点A(-1,2)关于直线y=x的对称点为A'，求A'的坐标及AA'的长度。 解析：A'(2,-1)；AA'的长度为。 0. 求线段长度/角度：“对称转化法” 适用场景：已知图形关于某直线对称，求未知线段或角度。 解题步骤： ①确定对称点和对称轴； ②利用“对称点连线被对称轴垂直平分”“对应线段相等”转化未知量； ③结合三角形内角和计算。 示例：如图，△ABC与△A'B'C'关于直线L对称，AB=5，∠A=60°，A'C'=3，求A'B'和∠A'的度数。 解析：由轴对称性质，A'B'=AB=5，∠A'=∠A=60°（对应线段、对应角相等）。 · 等腰三角形解题技巧 0. 分类讨论：“不确定腰底/顶角底角时需分类” 适用场景：已知等腰三角形的一边或一角，求其他边或角（未明确腰、底或顶角、底角）。 分类原则： ①已知边：若边为“腰”，则另一腰相等；若边为“底”，则两腰为另外两边（需满足三角形三边关系）； ②已知角：若角为“顶角”，则底角=(180°-顶角)÷2；若角为“底角”，则顶角=180°-2×底角（底角需小于90°）。 示例：已知等腰△ABC中，一边长为3，另一边长为5，求周长。 解析：①若腰为3，底为5，周长=3+3+5=11（3+3>5，符合三边关系）；②若腰为5，底为3，周长=5+5+3=13；故周长为11或13。 0. 三线合一：“遇等腰，作三线” 适用场景：证明等腰三角形中的线段相等、角相等或垂直关系。 解题思路：若已知等腰三角形，可作“底边的高/中线/顶角平分线”，利用三线合一转化条件。 示例：如图，在△ABC中，AB=AC，BD=DC，求证AD⊥BC。 证明：∵AB=AC（已知），BD=DC（AD是底边BC的中线），∴AD⊥BC（等腰三角形三线合一）。 · 线段垂直平分线与角平分线的综合技巧 0. 线段垂直平分线：“找两点，定直线” 适用场景：证明某直线是线段的垂直平分线（需两个点到线段两端距离相等）。 示例：如图，在△ABC中，AB=AC，DB=DC，求证AD是BC的垂直平分线。 证明：∵AB=AC，∴点A在BC的垂直平分线上（线段垂直平分线判定）；又∵DB=DC，∴点D在BC的垂直平分线上；∵两点确定一条直线，∴AD是BC的垂直平分线。 0. 角平分线：“作垂线，用距离” 适用场景：利用角平分线性质求距离，或证明线段相等。 解题思路：过角平分线上的点作角两边的垂线，利用“距离相等”转化线段。 示例：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，若PD=2，求PE的长度。 解析：∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PE=PD=2（角平分线性质）。 · 最短路径问题解题技巧 0. 将军饮马模型：“同侧找对称，异侧直接连” 判断原则：先看两定点与直线的位置关系： 若两定点在直线同侧：作其中一个点的对称点，连接对称点与另一定点，交直线于动点（最短路径）； 若两定点在直线异侧：直接连接两定点，交直线于动点（最短路径）。 0. 造桥选址模型：“平移定长，转化线段” 核心思路：桥的长度为定值（与两平行线垂直），将其中一个定点沿桥的方向平移桥长，转化为“两点之间线段最短”问题。 1. 真题精练 1． 【2025年天津】在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2． 【2025年重庆】下列图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3． 【2024年江苏省扬州市】“致中和，天地位焉，万物育焉”,对称之关随处可见.下列选项分别是扬州大学、扬州中国大 运河博物馆、扬州五亭桥、扬州志愿服务的标识，其中的轴对称图形是 4． 【2024年内蒙古赤峰市】在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是( ) 5． 【2025年云南】下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 6． 【2025年江苏省连云港市】 如图，在中，，垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 7． 【2025年四川省达州市】如图，在中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，则的周长为（ ） A. 21 B. 14 C. 13 D. 9 8． 【2025年山东】在中，，，的平分线交于点．如图1． （1）求的度数； （2）已知，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线交于点，交的延长线于点F．如图2，求的长． 9． 【2025年山东省东营市】如图，在中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是______． 10． 【2025年湖南】如图，在△ABC中，，点是的中点，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，直线交于点，连接，则的长是______． 11． 【2025年陕西】如图，已知，点在边上．请用尺规作图法，在的内部求作一点，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法） 第1页共12页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $