专题8：数轴上的动点问题 学案 2025-2026学年苏科版数学七年级上册

2025-2026学年苏科版数学七年级上册 第2章有理数专题8：数轴上的动点问题 【典型例题】 【例1】已知数轴上两点A、B对应的数分别为，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．当P到点A、B的距离之和为7时，则对应的数x的值为（　　） A. B. 和 C. 和 D. 和 【例2】一只跳蚤在数轴上从原点开始，第1次向右跳2个单位长度，第2次向左跳4个单位长度，第3次向右跳6个单位长度，第4次向左跳8个单位长度，依此规律跳下去，当它第2025次落下时，落点表示的数是（ ） A. 2025 B. 2026 C. -2025 D. -2026 【例3】点A表示数轴上的一个点，将点A向左移动5个单位，再向右移动4个单位，终点恰好是原点，则点A表示的数是___________． 【例4】如图，已知A，B两点在数轴上，点A表示的数为10，点B表示的数为30．点M以每秒4个单位长度的速度从点A向右移动，点N以每秒1个单位长度的速度从点O向右运动，且点M，点N同时出发，经过_______秒，点M、点N分别到点O的距离相等． 【例5】如图，数轴上两点A、B对应的数分别是a、b，a、b满足．点P为数轴上的一动点，其对应的数为Q． （1） ， ，并在数轴上面标出A、B两点； （2）若，求Q的值。 【例6】如图A在数轴上所对应的数为． （1）点B在点A右边距A点6个单位长度，求点B所对应的数； （2）在（1）的条件下，点A以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，点B以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，当点A运动到所在的点处时，求A，B两点间距离． （3）在（2）的条件下，现A点静止不动，B点以原来的速度沿数轴向左运动时，经过多长时间A、B两点相距4个单位长度． 【举一反三】 【变式1】如图，直径为1的圆上有一点，且点与数轴上表示的点重合，将这个圆在数轴上无滑动的滚动，当点再次与数轴上的某个点重合，那么这个点的位置可能是（ ） A. 3与4之间 B. 6与7之间 C. 与之间 D. 与之间 【变式2】一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动，设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长，表示第秒时机器人在数轴上的位置所对应的数，给出下列结论（1）；（2）；（3）；（4）．其中，正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【变式3】如图所示，将圆的周长分为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数1所对应的点重合，再让圆沿着数轴按逆时针方向滚动，那么数轴上的数将与圆周上的数字___重合． 【变式4】 如图所示，数轴被折成，圆的周长为4个单位长度，在圆的四等分点处标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字2所对应的点与数轴上的数3所对应的点重合，数轴固定，圆紧贴数轴沿着数轴的正方向滚动，那么数轴上的数2024将与圆周上的数字________重合． 【变式5】问题探索：如图，将一根木棒放在数轴（单位长度为1cm）上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合． （1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得这根木棒的长为 cm． （2）图中点A所表示的数是 ，点B所表示的数是 ． 实际应用：由（1）（2）启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题： （3）一天，妙妙去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要35年才出生；你若是我现在这么大，我就115岁啦! ”请问妙妙现在多少岁了？ 【变式6】数学实验室： 点A、B在数轴上分别表示有理数a、b， A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a﹣b|． 利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是_________，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是 ； （2）数轴上若点A表示的数是x，点B表示的数是－2，则点A和B之间的距离是 ，若AB＝2，那么x为 ； （3）当x是 时，代数式； （4）若点A表示的数－1，点B与点A的距离是10，且点B在点A的右侧，动点P、Q同时从A、B出发沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，则运动_________ 秒后，PQ=1？ 【巩固练习】 1.如图，圆的直径为个单位长度，该圆上的点与数轴上的原点重合，将该圆沿数轴负方向滚动周，点到达点的位置，点表示的数为（ ） A. B. C. D. 或 2.正方形在数轴上的位置如图所示，点D、A对应的数分别为和0，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1；则翻转2024次后，数轴上数2024所对应的点是（    ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 3.如图1，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上字母m，n，p，q，如图2，先让圆周上表示m的点与数轴原点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上，则数轴上表示的点与圆周上重合的点对应的字母是（　　） A. m B. n C. p D. q 4.如图，分别为数轴上的两点，点对应的数为点对应的数为100．现有一只电子蚂蚁从点出发，以5个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，设运动秒时，若两只蚂蚁的距离为8个单位，则运动时间为______秒 5.如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1厘米）．若数轴上点A和点B刚好对着刻度尺上的刻度2和刻度8，且这两点到原点的距离相等．则数轴上原点对着直尺上的刻度是______；现有动点P、Q分别从A、B两点向右沿正半轴运动，速度分别为4和2（单位长度/秒），当P、Q两点相距2个单位长度时，时间为______． 6. 点A、B、C、D在数轴上对应的数分别是、、8、16，动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动．同时点Q从点D出发，以1个单位/秒速度向左运动，B、C两点之间为“变速区”，规则为从点B运动到点C期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点C运动到点B期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，运动时间为 _____秒时，P、Q两点到点C的距离相等． 7.一只小球落在数轴上的某点，第一次从向左跳个单位到，第二次从向右跳2个单位到，第三次从向左跳3个单位到，第四次从向右跳4个单位到若按以上规律跳了100次时，它落在数轴上的点所表示的数恰好是2024，则这只小球的初始位置点所表示的数是__________． 8.已知数轴上三点M，O，N对应的数分别为，点为数轴上任意点，其对应的数为， （1）如果点到点、点的距离相等，那么的值是：______； （2）如果点以每分钟2个单位长度的速度从点向左运动，同时点和点分别以每分钟2个单位长度和每分钟3个单位长度的速度也向左运动．设分钟时点到点、点的距离相等，求的值． 9.已知数轴上有A，B，C三点，分别表示数，，10．甲、乙两人分别从A，C两点同时相向而行，甲的速度为4个单位/秒，乙的速度为6个单位/秒 （1）问甲、乙在数轴上表示有理数________的点相遇； （2）________秒后甲到A，B，C三点的距离之和为40个单位． （3）若甲、乙两人（用P表示甲、Q表示乙）分别从A，C两点同时相向而行，甲的速度变为原来的3倍，乙的速度不变，直接写出多少时间后，原点O、P与Q三点中，有一点恰好是另两点所连线段的中点． 10.如图在数轴上A点表示数，点表示数，、满足； （1）点A表示的数为______；点表示的数为______； （2）若在原点处放一挡板，一小球甲从点A处以个单位秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点处以个单位秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为秒， 当时，甲小球到原点的距离______；乙小球到原点的距离______； 当时，甲小球到原点的距离______；乙小球到原点的距离______； 试探究：甲，乙两小球到原点的距离可能相等吗？若不能，请说明理由．若能，请直接写出甲，乙两小球到原点的距离相等时经历的时间． 11.已知，如图、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为90． （1）与、两点距离相等的点对应的数是 ___________； （2）现在有一只电子蚂蚁从点出发时，以3个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以2个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，则点对应的数是 ___________； （3）若当电子蚂蚁从点出发，以8个单位/秒的速度向左运动，当点到达点时，立即返回向右运动，到达点停止．同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以2个单位/秒的速度向右运动到达点停止，直接写出经过多长的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距10个单位长度？ 12.已知数轴上三点，若点在点之间且，则称点是的和谐点．例如，图1中，点表示的数分别为，1,0，，此时，，则点是的和谐点，点是的和谐点． （1）如图，数轴上点，表示的数分别为，5，若点是的和谐点，则点表示的数是 ；若点是的和谐点，则点表示的数是 ； （2）已知点A、B、C、D在数轴上，它们表示的数分别为数a， b， c， d， 且a，b满足，点C在点B的右侧且到点B的距离为8个单位长度，点D表示的数是12；动点P从点A出发以4单位/秒的速度向右运动．同时点Q从点D出发，以2个单位/秒速度向左运动，B、C两点之间为“变速区”，规则为从点B运动到点C期间速度变为原来的2倍，之后立刻恢复原速，从点C运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，假设运动时间为秒， ①从B运动到C的过程中，点P表示的数是 ，从C运动到B的过程中，点Q 表示的数是 ；（用含t的代数式表示） ②求使得点C是的和谐点的值；若不存在，请说明理由． 答案解析 【典型例题】 【例1】已知数轴上两点A、B对应的数分别为，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．当P到点A、B的距离之和为7时，则对应的数x的值为（　　） A. B. 和 C. 和 D. 和 【答案】C 【例2】一只跳蚤在数轴上从原点开始，第1次向右跳2个单位长度，第2次向左跳4个单位长度，第3次向右跳6个单位长度，第4次向左跳8个单位长度，依此规律跳下去，当它第2025次落下时，落点表示的数是（ ） A. 2025 B. 2026 C. -2025 D. -2026 【答案】B 【例3】点A表示数轴上的一个点，将点A向左移动5个单位，再向右移动4个单位，终点恰好是原点，则点A表示的数是___________． 【答案】1 【例4】如图，已知A，B两点在数轴上，点A表示的数为10，点B表示的数为30．点M以每秒4个单位长度的速度从点A向右移动，点N以每秒1个单位长度的速度从点O向右运动，且点M，点N同时出发，经过_______秒，点M、点N分别到点O的距离相等． 【答案】2或 【例5】如图，数轴上两点A、B对应的数分别是a、b，a、b满足．点P为数轴上的一动点，其对应的数为Q． （1） ， ，并在数轴上面标出A、B两点； （2）若，求Q的值。 【答案】（1）解：∵，，， ∴且， ∴且， 解得，且， 故答案为：，． 【小问2详解】 解：①当P点在A点左侧时，，不合题意，舍去． ②当P点位于A、B两点之间时， ∵， ∴， 解得； ③当P点位于B点右侧时， ∵， ∴， 解得， 故x的值为2或5． 【例6】如图A在数轴上所对应的数为． （1）点B在点A右边距A点6个单位长度，求点B所对应的数； （2）在（1）的条件下，点A以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，点B以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，当点A运动到所在的点处时，求A，B两点间距离． （3）在（2）的条件下，现A点静止不动，B点以原来的速度沿数轴向左运动时，经过多长时间A、B两点相距4个单位长度． 【答案】（1）解：， 故点B所对应的数是4； 【小问2详解】 解：（秒）， 6+（2+2）×2=14（个单位长度）， 故A，B两点间的距离是14个单位长度； 【小问3详解】 解：①运动后的B点在A右边4个单位长度， （秒）； ②运动后的B点在A左边4个单位长度， （秒）， 故经过5秒或9秒A、B两点相距4个单位长度． 【举一反三】 【变式1】如图，直径为1的圆上有一点，且点与数轴上表示的点重合，将这个圆在数轴上无滑动的滚动，当点再次与数轴上的某个点重合，那么这个点的位置可能是（ ） A. 3与4之间 B. 6与7之间 C. 与之间 D. 与之间 【答案】D 【变式2】一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动，设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长，表示第秒时机器人在数轴上的位置所对应的数，给出下列结论（1）；（2）；（3）；（4）．其中，正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【变式3】如图所示，将圆的周长分为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数1所对应的点重合，再让圆沿着数轴按逆时针方向滚动，那么数轴上的数将与圆周上的数字___重合． 【答案】1 【变式4】 如图所示，数轴被折成，圆的周长为4个单位长度，在圆的四等分点处标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字2所对应的点与数轴上的数3所对应的点重合，数轴固定，圆紧贴数轴沿着数轴的正方向滚动，那么数轴上的数2024将与圆周上的数字________重合． 【答案】1 【变式5】问题探索：如图，将一根木棒放在数轴（单位长度为1cm）上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合． （1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得这根木棒的长为 cm． （2）图中点A所表示的数是 ，点B所表示的数是 ． 实际应用：由（1）（2）启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题： （3）一天，妙妙去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要35年才出生；你若是我现在这么大，我就115岁啦! ”请问妙妙现在多少岁了？ 【答案】（1）观察数轴可知三根木棒长为30−6＝24（cm），则这根木棒的长为24÷3＝8（cm）； 故答案为8． （2）6＋8＝14， 14＋8＝22． 所以图中A点所表示的数为14，B点所表示的数为22． 故答案为：14，22． （3）当奶奶像妙妙这样大时，妙妙为岁， 所以奶奶与妙妙的年龄差为（岁）， 所以妙妙现在的年龄为（岁）. 【变式6】数学实验室： 点A、B在数轴上分别表示有理数a、b， A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a﹣b|． 利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是_________，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是 ； （2）数轴上若点A表示的数是x，点B表示的数是－2，则点A和B之间的距离是 ，若AB＝2，那么x为 ； （3）当x是 时，代数式； （4）若点A表示的数－1，点B与点A的距离是10，且点B在点A的右侧，动点P、Q同时从A、B出发沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，则运动_________ 秒后，PQ=1？ 【答案】（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是5-2=3， 数轴上表示1和-3的两点之间的距离是1-（-3）=4； 故答案为：3，4； （2）数轴上若点A表示的数是x，点B表示的数是-2，则点A和B之间的距离是|x+2|， 若AB=2，即|x+2|=2， 得：x+2=2或x+2=-2， 解得x=0或x=-4； 故答案为：|x+2|，0或-4； （3）当x＜-2时，-x-2-x+1=5，解得x=-3， 当-2≤x＜1时，x+2+1-x=5，方程无解， 当x≥1时，x+2+x-1=5，解得x=2， 故答案为：-3或2； （4）设运动x秒后，点Q与点P 相距1个单位，由题意，得： ①P超过Q，3x-x=10+1， 解得x=， ②P在Q的后边，3x-x=10-1， 解得x=， 答：运动或秒后，点Q与点P 相距1个单位， 故答案为：秒或． 【巩固练习】 1.如图，圆的直径为个单位长度，该圆上的点与数轴上的原点重合，将该圆沿数轴负方向滚动周，点到达点的位置，点表示的数为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 2.正方形在数轴上的位置如图所示，点D、A对应的数分别为和0，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1；则翻转2024次后，数轴上数2024所对应的点是（    ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 【答案】A 3.如图1，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上字母m，n，p，q，如图2，先让圆周上表示m的点与数轴原点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上，则数轴上表示的点与圆周上重合的点对应的字母是（　　） A. m B. n C. p D. q 【答案】A 4.如图，分别为数轴上的两点，点对应的数为点对应的数为100．现有一只电子蚂蚁从点出发，以5个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，设运动秒时，若两只蚂蚁的距离为8个单位，则运动时间为______秒 【答案】秒或秒 5.如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1厘米）．若数轴上点A和点B刚好对着刻度尺上的刻度2和刻度8，且这两点到原点的距离相等．则数轴上原点对着直尺上的刻度是______；现有动点P、Q分别从A、B两点向右沿正半轴运动，速度分别为4和2（单位长度/秒），当P、Q两点相距2个单位长度时，时间为______． 【答案】 ① ②秒或秒 6. 点A、B、C、D在数轴上对应的数分别是、、8、16，动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动．同时点Q从点D出发，以1个单位/秒速度向左运动，B、C两点之间为“变速区”，规则为从点B运动到点C期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点C运动到点B期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，运动时间为 _____秒时，P、Q两点到点C的距离相等． 【答案】11或40 7.一只小球落在数轴上的某点，第一次从向左跳个单位到，第二次从向右跳2个单位到，第三次从向左跳3个单位到，第四次从向右跳4个单位到若按以上规律跳了100次时，它落在数轴上的点所表示的数恰好是2024，则这只小球的初始位置点所表示的数是__________． 【答案】 8.已知数轴上三点M，O，N对应的数分别为，点为数轴上任意点，其对应的数为， （1）如果点到点、点的距离相等，那么的值是：______； （2）如果点以每分钟2个单位长度的速度从点向左运动，同时点和点分别以每分钟2个单位长度和每分钟3个单位长度的速度也向左运动．设分钟时点到点、点的距离相等，求的值． 【答案】（1）． 故答案为：1； 【小问2详解】 解：①点是点和点的中点． 根据题意得：， 解得：； ②点和点相遇． 根据题意得：， 解得：． 故值为2或4． 9.已知数轴上有A，B，C三点，分别表示数，，10．甲、乙两人分别从A，C两点同时相向而行，甲的速度为4个单位/秒，乙的速度为6个单位/秒 （1）问甲、乙在数轴上表示有理数________的点相遇； （2）________秒后甲到A，B，C三点的距离之和为40个单位． （3）若甲、乙两人（用P表示甲、Q表示乙）分别从A，C两点同时相向而行，甲的速度变为原来的3倍，乙的速度不变，直接写出多少时间后，原点O、P与Q三点中，有一点恰好是另两点所连线段的中点． 【答案】（1）解：秒， ， ∴甲、乙在数轴上表示有理数的点相遇， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设秒后甲到，，三点的距离之和为40个单位， ∵点距，两点的距离为，点距、两点的距离为，点距、的距离为， ∴甲应在或之间． ①当甲在之间时，则 解得； ②当甲在之间时：， 解得； 综上所述，2秒或5秒后，甲到A，B，C三点的距离之和为40个单位； 故答案为：2或5； 【小问3详解】 ∵甲的速度变为原来的3倍， ∴甲的新速度变为12个单位/秒， 设运动时间为x秒 ①当原点是与两点的中点时， 依题意得：， 解得， ②当是与原点两点的中点时， 依题意得：， 解得； ③当是与原点两点的中点时， 则依题意得：， 解得， 综上所述，秒或秒或秒后，原点、与三点中，有一点恰好是另两点所连线段的中点． 10.如图在数轴上A点表示数，点表示数，、满足； （1）点A表示的数为______；点表示的数为______； （2）若在原点处放一挡板，一小球甲从点A处以个单位秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点处以个单位秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为秒， 当时，甲小球到原点的距离______；乙小球到原点的距离______； 当时，甲小球到原点的距离______；乙小球到原点的距离______； 试探究：甲，乙两小球到原点的距离可能相等吗？若不能，请说明理由．若能，请直接写出甲，乙两小球到原点的距离相等时经历的时间． 【答案】（1）∵， ∴，， 解得：，， ∴点A表示的数为，点表示的数为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：当时， ∵小球甲从点处以个单位秒的速度向左运动， ∴甲小球秒钟向左运动个单位，此时，甲小球到原点的距离， ∵小球乙从点处以个单位秒速度也向左运动， ∴乙小球秒钟向左运动个单位，此时，乙小球到原点的距离， 当时， ∵小球甲从点处以个单位秒的速度向左运动， ∴甲小球秒钟向左运动个单位，此时，甲小球到原点的距离， ∵小球乙从点处以个单位秒的速度也向左运动， ∴乙小球秒钟向左运动个单位，此时，刚好碰到挡板，改变方向向右运动，再向右运动秒钟，运动个单位， ∴乙小球到原点的距离． 故答案为；；；； 当时，得， 解得； 当时，得， 解得． 故当秒或秒时，甲乙两小球到原点的距离相等． 11.已知，如图、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为90． （1）与、两点距离相等的点对应的数是 ___________； （2）现在有一只电子蚂蚁从点出发时，以3个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以2个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，则点对应的数是 ___________； （3）若当电子蚂蚁从点出发，以8个单位/秒的速度向左运动，当点到达点时，立即返回向右运动，到达点停止．同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以2个单位/秒的速度向右运动到达点停止，直接写出经过多长的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距10个单位长度？ 【答案】（1）解：， 点表示的数为． 故答案为：40； 【小问2详解】 、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为90， ， 设秒后、相遇， ，解得； 此时点走过的路程， 此时点表示的数为． 答：点对应数是30． 故答案为：30； 【小问3详解】 相遇前：（秒， 相遇后：（秒， 追上前：（秒， 追上后：（秒． 故经过9秒或11秒或15秒或秒长的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距10个单位长度． 12.已知数轴上三点，若点在点之间且，则称点是的和谐点．例如，图1中，点表示的数分别为，1,0，，此时，，则点是的和谐点，点是的和谐点． （1）如图，数轴上点，表示的数分别为，5，若点是的和谐点，则点表示的数是 ；若点是的和谐点，则点表示的数是 ； （2）已知点A、B、C、D在数轴上，它们表示的数分别为数a， b， c， d， 且a，b满足，点C在点B的右侧且到点B的距离为8个单位长度，点D表示的数是12；动点P从点A出发以4单位/秒的速度向右运动．同时点Q从点D出发，以2个单位/秒速度向左运动，B、C两点之间为“变速区”，规则为从点B运动到点C期间速度变为原来的2倍，之后立刻恢复原速，从点C运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，假设运动时间为秒， ①从B运动到C的过程中，点P表示的数是 ，从C运动到B的过程中，点Q 表示的数是 ；（用含t的代数式表示） ②求使得点C是的和谐点的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）∵数轴上点M，N表示的数分别为，点P是的和谐点， ∴， 设点P所表示的数为p,则, ∴，解得：， ∴点P所表示的数为3； ∵点Q是的和谐点， ∴， 设点Q所表示的数为q,则， ∴，解得， ∴点Q所表示的数为． 故答案为：3；． 【小问2详解】 解：∵， ∴解得：， ∴点A所表示的数为，点B所表示的数为， ∵点C在点B的右侧且到点B的距离为8个单位长度， ∴点C所表示的数为4， 又∵点D所表示的数为12， ∴点A，B，C，D在数轴上为位置如下图所示： ∵点C在点B的右侧且到点B的距离为8个单位长度， ∴点C所表示的数，点B，C之间的距离， ①∵动点P从点A出发以4单位/秒的速度向右运动， ∴点P从点A运动到点B所用的时间为：（秒）， 又∵点P在线段上的运动速度为（个单位/秒）， ∴点P从点B运动到点C所用的时间为（秒）， ∴点P从B运动到C的过程中，点P表示的数是：，其中； ∴点Q从点D运动到点C所用的时间为：（秒）， ∵点Q从点C运动到点B期间速度变为原来的一半， ∴点Q从点C运动到点B期间的速度为：（个单位/秒）， ∴点Q从点C运动到点B所用的时间为：秒）， ∴点Q从C运动到B的过程中，点Q表示的数是：,其中． 故答案为：． ②存在； ∵点C是的和谐点， ∴，且点C在点P，Q之间， ∴有以下三种情况： a.当点P在点A，B之间时，此时，点P所表示的数为， 此时点Q在点C，D之间，点Q所表示的为：， ∴, ∴，解得：； b.当点Q在点C，B之间时，此时，点P已过C点， ∴点P所表示的数为，点Q所表示的数为， ∴， ∴，解得：， 当时，点Q正好到达点C，即点Q于点C重合，不合题意，舍去； c.当点Q在点A，B之间时，此时，点P已过C点， ∴点P所表示的数为，点Q所表示的数为， ∴， ∴，解得：． 综上所述：t的值为2或16秒． ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $