第二章 一元二次函数、方程和不等式单元综合测试-2025-2026学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019必修第一册）

本讲义聚焦一元二次函数、方程与不等式的核心知识体系，以函数建模为起点，串联配方法、判别式、基本不等式及数形结合思想，构建从代数运算到实际应用的完整学习路径，形成由浅入深的知识支架。 该资料紧扣新课标核心素养设计，突出“数学眼光”“数学思维”“数学语言”的融合运用。例如第4题将行李尺寸限制转化为数学约束条件，体现用数学语言表达现实问题的能力；第17题利用基本不等式求最值，强化逻辑推理与运算能力；第19题通过证明与应用层层递进，引导学生发现规律并迁移解决新问题。课中便于教师开展探究式教学，课后助力学生查漏补缺，巩固概念理解与解题策略，提升综合素养。

第二章 一元二次函数、方程和不等式单元综合测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 2．设a，，且，则（    ） A． B． C． D． 3．若，则的最大值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 4．中国国家铁路集团有限公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过．设携带品外部尺寸长、宽、高分别为（单位：），若体积不超过，用数学关系式可表示为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 5．已知，则与大小关系是（    ） A． B． C． D． 6．已知，，，则的最小值为（   ） A．9 B． C．4 D．6 7．若不等式的解集为，则a的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 8．已知对所有正实数都成立，则实数的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，则下列不等式一定成立的有（    ） A． B． C． D． 10．下列结论正确的有（    ） A．当时， B．当时，最小值为 C．当时， D．当时， 11．关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围可能是（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若直角三角形斜边长等于4 cm，则直角三角形面积的最大值为 ． 13．已知，，则的取值范围为 ． 14．若命题“，使得”是假命题，则实数的取值集合是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 求下列关于x的不等式或不等式组的解集. (1) (2) 16．（15分） 已知，. (1)若，，有且只有一个为真，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 17．（15分） 利用基本不等式求下列式子的最值： (1)若，求的最小值，并求此时x的值； (2)已知，且，求xy的最大值； (3)若不等式的解集为，求a，b的值； 18．（17分） 已知函数． (1)当时，求不等式的解集； (2)求不等式的解集； (3)若不等式的解集中恰有三个整数解，求实数的取值范围． 19．（17分） 已知为正实数，利用基本不等式证明（1），确定（2），并指出等号成立的条件，然后解（3）中的问题． (1)请根据基本不等式，证明； (2)请根据（1）中的结论，确定与的大小关系（无须推导）； (3)若，求的最小值． 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 一元二次函数、方程和不等式单元综合测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【解析】解不等式，得， 所以不等式的解集为. 故选：B 2．设a，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，因为，所以，故A错误； 对于B，因为，所以，所以， 又，所以，即，故B错误； 对于C，因为，所以，，所以，故C错误； 对于D，因为，所以，所以， 当且仅当即时，等号成立， 又，所以，故D正确. 故选：D. 3．若，则的最大值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】B 【解析】因为，所以，当且仅当，即时等号成立，故的最大值为1． 故选：B 4．中国国家铁路集团有限公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过．设携带品外部尺寸长、宽、高分别为（单位：），若体积不超过，用数学关系式可表示为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【解析】由长、宽、高之和不超过，得， 由体积不超过，得． 故选：C 5．已知，则与大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以. 故选：C. 6．已知，，，则的最小值为（   ） A．9 B． C．4 D．6 【答案】B 【解析】因为， 所以， 当且仅当，且，即时等号成立， 故的最小值为， 故选：B 7．若不等式的解集为，则a的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【解析】因为不等式的解集为， 所以，解得， 所以a的取值范围是. 故选：A. 8．已知对所有正实数都成立，则实数的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【解析】将不等式变形为，记，则问题转化为求的最大值问题． 中分子、分母同时除以正数，变形得， 令，则，整理得， 将方程看成关于的一元二次方程， 因为，所以方程一定有正实数解， 所以， 由，得，解得， 由，得， 由，得或， 所以， 所以的最大值为9，则，即的最小值为9． 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，则下列不等式一定成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】由，得，则A符合题意； 当时，满足， 此时，则，B不符合题意； 由，得，C符合题意； 当时，满足， 此时，则，D不符合题意. 故选：AC. 10．下列结论正确的有（    ） A．当时， B．当时，最小值为 C．当时， D．当时， 【答案】AD 【解析】对于A，当时，，所以， 当且仅当，即时取等号，故A正确； 对于B，，当且仅当，即时取等号，又因为，故等号取不到，故B错误； 对于C，当时，，所以，当且仅当，即时等号成立，故C错误； 对于D，当时，，当且仅当，即时取等号．故D正确. 故选：AD 11．关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】不等式化为， 当时，不等式解为， 不等式解集中恰有两个整数，则这两个整数为，则； 当时，不等式无解，不符合； 当时，不等式解为， 不等式解集中恰有两个整数，则这两个整数为，则. 综上，满足题意的实数的取值范围可能是或. 故选：AB 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若直角三角形斜边长等于4 cm，则直角三角形面积的最大值为 ． 【答案】8cm2 【解析】设直角三角形的两条直角边的长度分别为，则， 直角三角形的面积，取等条件为， 故直角三角形面积的最大值为. 故答案为： 13．已知，，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由，，得， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的取值范围为. 故答案为： 14．若命题“，使得”是假命题，则实数的取值集合是 . 【答案】 【解析】命题“，使得”是假命题， 等价于“命题"，使得”是真命题. 当时，可化为，解得， 不满足对于恒成立，不符合题意； 当时，若对于恒成立， 则，即，解得. 综上，所以实数的取值集合是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 求下列关于x的不等式或不等式组的解集. (1) (2) 【解析】（1）不等式等价于，得， 故不等式的解集为； （2）不等式等价于，即，得， 得， 则不等式组的解集为. 16．（15分） 已知，. (1)若，，有且只有一个为真，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【解析】（1）由，得； 当时，由，得. 若，有且只有一个为真命题，则真假，或假真， 当真假时，或，得； 当假真时，或，解得， 综上，实数的取值范围为或. （2）由，得. 因为是的充分不必要条件，则，且等号不同时成立，解得， 所以实数的取值范围为. 17．（15分） 利用基本不等式求下列式子的最值： (1)若，求的最小值，并求此时x的值； (2)已知，且，求xy的最大值； (3)若不等式的解集为，求a，b的值； 【解析】（1），，当且仅当，即时取等号， 所以所求最小值为4，此时. （2），，即，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最大值. （3）由不等式的解集为， 得且和3是方程的两个实根， 因此，解得， 所以. 18．（17分） 已知函数． (1)当时，求不等式的解集； (2)求不等式的解集； (3)若不等式的解集中恰有三个整数解，求实数的取值范围． 【解析】（1）当时，， 所以方程的根为或－3， 所以不等式的解集为． （2）若，即，此时二次函数的图象在轴上方， 不等式的解集为； ②若，即，此时方程为， 只有一个根，不等式的解集为； ③若，即， 此时方程的两根分别为，， 不等式的解集为． 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． （3）因为，故抛物线的对称轴为且开口向上， 而不等式的解集中恰有三个整数解， 故且，在不等式的解集中（、关于对称）， ，不在不等式的解集中（、关于对称）， 故， 故. 19．（17分） 已知为正实数，利用基本不等式证明（1），确定（2），并指出等号成立的条件，然后解（3）中的问题． (1)请根据基本不等式，证明； (2)请根据（1）中的结论，确定与的大小关系（无须推导）； (3)若，求的最小值． 【解析】（1）因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立． 又，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立． （2），当且仅当时等号成立． 推导如下： 由于，当且仅当时等号成立， 令， 得， 即，故， 所以，当且仅当时等号成立. （3）因为，所以，当且仅当时等号成立，所以， 因此，当且仅当时等号成立，所以的最小值为3． 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $