3.4.2 第1课时 相似三角形对应高、角平分线、中线的性质（作业课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（湘教版）

2025秋季学期 《学练优》·九年级数学上·XJ 第3章　图形的相似 3.4　相似三角形的判定与性质 3.4.2　相似三角形的性质　 第1课时　相似三角形对应高、角平分线、中线的性质 目 录 CONTENTS 01 A 学习理解 02 B 应用实践 03 C 迁移创新 知识点一　相似三角形对应高的比等于相似比 1. 如图，已知△ABC∽△A1B1C1，AB∶A1B1＝ 3∶2，AD⊥BC，A1D1⊥B1C1，则AD∶A1D1等 于(　D　) A. 5∶3 B. 5∶2 C. 2∶3 D. 3∶2 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 2. 如图，已知△ADE∽△ABC，且AF∶AG＝ 1∶2，则△ADE与△ABC的相似比等于 ⁠. 第2题图 　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 3. 跨学科 物理 (2024·扬州中考)如图是小孔成像的示意图，燃烧的蜡烛(竖直放置)AB经小孔O在屏幕(竖直放置)上成像A'B'，若AB＝36cm，A'B'＝24cm，小孔O到AB的距离为30cm，则小孔O到A'B'的 距离为 cm. 20　 第3题图 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 4. 如图，光源P在横杆AB的正上方，AB在灯光下 的影子为CD，AB∥CD，AB＝2m，CD＝6m， 点P到CD的距离是2.7m，求AB与CD间的距离. 解：∵AB∥CD， ∴△PAB∽△PCD. 设CD与AB间的距离为xm，则 ＝ . 又∵AB＝2m，CD＝6m， ∴ ＝ . ∴x＝1.8，即AB与CD间的距离为1.8m. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 知识点二 相似三角形对应的角平分线的比等于 相似比 5. 若两个相似三角形的对应边分别为8和6，则它们 对应的角平分线的比为(　B　) A. 3∶4 B. 4∶3 C. 2∶1 D. 1∶2 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 6. 如图，已知△ABC∽△DEF，BG，EH分别是 △ABC和△DEF的角平分线，BC＝6cm，EF＝ 4cm，BG＝4.8cm.求EH的长. 解：∵△ABC∽△DEF， ∴ ＝ ， 即 ＝ . 解得EH＝3.2cm. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 知识点三　相似三角形对应边上的中线的比等于相 似比 7. 若△ABC∽△DEF，对应角平分线之比为 3∶2，则对应边的中线比为(　A　) A. 3∶2 B. 3∶5 C. 9∶4 D. 4∶9 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 8. 教材P87练习T1变式 如图，AC＝4，BC＝6，AE＝EC，BF＝FC，△ABC∽△DAC. 求 的值. 解：∵AE＝EC，BF＝FC， ∴DE是AC边上的中线，AF是BC边上的中线. ∵△ABC∽△DAC， ∴ ＝ ＝ ＝ . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 9. 图①是装了液体的高脚杯示意图(数据如图)，用 去一部分液体后如图②所示，此时图②中三角形(阴 影部分)的面积是(　B　) A. 5cm2 B. 6cm2 C. 7cm2 D. 8cm2 第9题图 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 10. 如图，在△ABC中，D，E分别是△ABC的 AB，AC边上的点，DE∥BC，CF，EG分别是 △ABC与△ADE的中线.已知AD∶DB＝4∶3， EG＝4cm，则CF的长为 ⁠. 第10题图 7cm　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 11. 已知梯形两底边长分别为36cm，60cm，高为 32cm，则这个梯形两腰延长后的交点到下底的距离 为 cm. 80　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 12. 新情境 吸管 有一个侧面为梯形的容器，高为8cm，内部倒入高为6cm的水.将一根长为18cm的吸管如图放置，若有2cm露出容器外，求吸管在水中部分的长度. 解：如图，∵DF∥CE， ∴∠BDF＝∠ACE. ∵∠DBF＝∠CBE， ∴△BDF∽△BCE. 由题意知BC＝AC－AB＝18－2＝16(cm). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 设CD＝xcm，则BD＝(16－x)cm. ∵△BDF的高为8－6＝2(cm)，△BCE的对应高为8cm， ∴ ＝ ，即 ＝ ，解得x＝12. ∴吸管在水中部分的长度为12cm. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 13. 如图，△ABC∽△DEF，AM，DN分别是两 个三角形的角平分线，GH，PQ分别是这两个三角 形的中位线.求证：AM·PQ＝DN·GH. 证明：∵△ABC∽△DEF，且AM， DN分别是两个三角形的角平分线， ∴ ＝ . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 ∴ ＝ . ∴ ＝ ， 即AM·PQ＝DN·GH. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 ∵GH，PQ分别是这两个三角形的中位线， ∴GH＝ BC，PQ＝ EF. 14. 新考向 方案设计 △ABC表示一块直角三角形空地，已知∠ACB＝90°，边AC＝4米，BC＝3米.现在根据需要在空地内画出一个正方形区域建造水池，现有方案一、方案二分别如图①、图②所示，请你分别计算两种方案中水池的边长，并比较哪种方案的正方形水池面积更大. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 解：设正方形的边长为x米. 方案一：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ACB. ∴ ＝ . ∴ ＝ ，解得x＝ . 解：设正方形的边长为x米. 方案一：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ACB. ∴ ＝ . ∴ ＝ ，解得x＝ . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 方案二：如图②，作CH⊥AB于H，交DG于点P， 则四边形DPHE是矩形. ∵∠ACB＝90°，AC＝4米，BC＝3米， ∴AB＝ ＝5米. ∵S△ABC＝ AB·CH＝ AC·BC， ∴CH＝ ＝ 米. ∵PH＝DE＝x米， 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 ∴CP＝CH－PH＝(－x)米. ∵DG∥AB， ∴△CDG∽△CAB. ∴ ＝ ，即 ＝ .解得x＝ . ∵ ＜ ＝ ， ∴方案一的正方形水池面积更大. ∴CP＝CH－PH＝(－x)米. ∵DG∥AB， ∴△CDG∽△CAB. ∴ ＝ ，即 ＝ .解得x＝ . ∵ ＜ ＝ ， ∴方案一的正方形水池面积更大. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 $