专题3.4 相似三角形的性质（高效培优讲义）数学湘教版九年级上册

专题3.4 相似三角形的性质 教学目标 1. 知识掌握：理解并牢记相似三角形对应角相等、对应边成比例这一基本性质，明晰相似比概念，掌握相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线、周长、面积与相似比的关系 。 2. 能力提升：通过对相似三角形性质的推导证明过程，锻炼逻辑推理、归纳总结能力，学会运用性质解决有关计算、证明问题，提高分析和解决几何问题的能力。 3. 思维培养：体会从特殊到一般、类比等数学思想方法，在探究性质过程中，养成独立思考、合作交流的学习习惯，激发对数学的探索兴趣 。 教学重难点 1.重点 （1）掌握相似三角形对应线段（高、中线、角平分线）的比等于相似比，以及相似三角形周长比等于相似比 ，面积比等于相似比的平方这些性质，并能运用性质进行简单计算和证明。 （2）理解相似三角形性质的推导过程，熟悉从相似三角形基本定义出发，逐步推导其他性质的思路 。 2.难点 （1）相似三角形性质中面积比等于相似比平方的证明，涉及到三角形面积公式及对应边、对应高的关系，推理过程复杂，学生较难理解 。 （2）在复杂的几何图形中准确识别相似三角形，并灵活运用相似三角形性质解决综合问题，需要学生具备较强的观察能力和知识迁移能力 ，对学生来说有一定挑战。 知识点01 相似三角形的性质 1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 要点：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 3. 相似三角形周长的比等于相似比. ∽，则 由比例性质可得： 4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方. ∽，则分别作出与的高和，则 要点：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 【即学即练1-1】若，，的周长为，则的周长为 ． 【答案】 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形周长的比等于相似比即可求解，熟练掌握相似三角形周长的比等于相似比是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵的周长为， ∴的周长为， 故答案为：． 【即学即练1-2】如图，在中，，且，若的面积为，则四边形的面积为 ． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，先证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解题． 【详解】解： ， ， ， ， 四边形的面积 故答案为：． 【即学即练1-3】如图，在中，，，的平分线交于点，交的延长线于点，过点作，垂足为点，． (1)求证：； (2)求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)18 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，推导出是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得，因为点F在的延长线上，所以，则； （2）由，得，而，所以，则，因为，所以，由于点H，得，则，由相似三角形的性质得，则，，即可求得的周长为18． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点F在的延长线上， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，于点H，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴的周长为18． 题型01 利用相似三角形对应角相等求角 【典例1】如图，已知A，C，E三点在一条直线上，，，则的度数是 ． 【答案】60 【知识点】利用相似三角形的性质求解、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的对应角相等，结合三角形的内角和定理，平角的定义，推出即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵A，C，E三点在一条直线上， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：60 【变式1】已知，，，则的度数为 °． 【答案】70 【知识点】利用相似三角形的性质求解、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形内角和定理，相似三角形性质的应用，掌握其性质定理是解决此题的关键． 在中利用三角形内角和定理计算出的度数，再根据相似三角形对应角相等得，可得答案． 【详解】， ， ， 故答案为： 70 ． 【变式2】如图，如果，，，那么的度数是 ． 【答案】/60度 【知识点】利用相似三角形的性质求解、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查相似三角形性质，三角形内角和定理．根据题意利用可得，再利用内角和定理即可得到本题答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式3】如图，在正方形网格中，，则的度数为 ． 【答案】/135度 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了相似三角形的性质，由正方形网格可得，进而得到，再根据相似三角形的性质即可得出答案，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，取格点， 由网格可知， ， ， 故答案为：． 题型02 利用相似三角形对应边成比例求边 【典例2】如图，在中，为边的中点，连接，交对角线于点，已知，则的值为 【答案】2 【知识点】利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据平行四边形的性质得，，再证明，结合线段的中点得出，即可作答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， 则 ∵为边的中点， ∴， ∴， 则， 故答案为：2． 【变式1】如图，在中，，于点，，，，则线段的长为 ． 【答案】/ 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理. 先证明，得到，再根据勾股定理求出，即可求出的长. 【详解】解：， ． ， ． ， ． ． ． ， 故答案为：． 【变式2】如图，在中 ，，，点 P 在边上（点P 不与点A、B 重合），连接，作，与边交于点E，当是等腰三角形时，的长是 ． 【答案】2或 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，分，，三种情况讨论即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 当时， ∵，， ∴， ∴， 又， ∴； 当时，则， 又是的外角， ∴， ∴此种情况不符合题意，舍去； 当时，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 综上，的长为2或． 故答案为：2或． 【变式3】在矩形中，，E是的中点，在直线上或边上有一点F，使是直角三角形，则的长为 ． 【答案】6或或8 【知识点】根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了矩形的性质与判定，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据四边形是矩形，得，，再结合是直角三角形，进行分类讨论，根据相似三角形的判定与性质，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵在矩形中，， ∴，， ∵E是的中点， ∴， 如图所示： 当时， 则， ∴ 四边形是矩形， ∴； 如图所示： 当时， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 则 ∴ 则． 如图所示： 当时， ∵ 则 即 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， 综上：或或8， 故答案为：6或或8， 题型03 利用相似三角形对应中线、高线、角平分线成比例 【典例3】两个相似三角形一组对应高的长分别是和，若在这两个三角形的一组对应中线中，较短的中线是，那么较长的中线是 ． 【答案】 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，根据题意求出两个三角形的相似比，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可． 【详解】解：∵两个相似三角形一组对应高的长分别是和， ∴两个相似三角形的相似比为， ∴两个相似三角形的对应中线的为， 设较长的中线是， 则， 解得，， 经检验，符合题意． 故答案为：． 【变式1】已知 ，的周长与的周长的比值是，、分别是它们对应边上的中线，且，则 ． 【答案】9 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查相似三角形的性质，利用相似三角形的性质对应中线的比等于相似比解决问题． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：9． 【变式2】已知 和是它们的对应高线．若．则与的相似比是 ． 【答案】 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键；根据相似比等于对应边的比，即高的比求解即可． 【详解】解：∵和是它们的对应高线， ∴与的相似比是， 故答案为：． 【变式3】如图，点是的角平分线的中点，点、分别在、边上，线段过点，且，则 ． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似比等于对应角平分线比是解题的关键．先证明，再由相似比等于对应角平分线比即可求解． 【详解】解：∵点是的角平分线的中点， ∴, ∵，， ∴， ∵平分， ∴， 故答案为：． 题型04 利用相似三角形对应周长的比成比例 【典例4】已知，它们对应中线的比，那么它们的周长比是 ． 【答案】/ 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，利用相似三角形的对应中线的比等于相似比即可确定正确的答案． 【详解】解：∵，它们对应中线的比， ∴它们的周长比是， 故答案为：． 【变式1】已知中，，分别是，的中点，连接，则与的周长比是 ． 【答案】/1:2 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题主要考查三角形中位线，相似三角形的判定和性质，熟练掌握三角形中位线是解题的关键． 根据三角形中位线得到，则，根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：如图， ∵D、E分别是、的中点， ∴， ∴， ∴与的周长比 故答案为． 【变式2】已知且相似比为，若的周长为20，则的周长是 ． 【答案】15 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，能熟记相似三角形的周长之比等于相似比是解此题的关键．设的周长为，根据相似三角形的性质得出，再求出即可． 【详解】解：设的周长为， ∵且相似比为，若的周长为20， ， 解得：， 所以的周长是15， 故答案为：15． 【变式3】如果两个相似三角形的面积之比为，较小的三角形的周长是，那么另一个的三角形的周长为 ． 【答案】150 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题主要考查了相似图形的性质， 根据这两个三角形的面积比求出相似比，再根据相似比等于周长比可得答案． 【详解】解：因为两个相似三角形的面积比为， 所以两个相似三角形的相似比为， 所以两个三角形的周长比等于． 因为较小的三角形的周长是， 所以另一个三角形的周长为． 故答案为：150． 题型05 利用相似三角形对应面积的比成比例 【典例5】如图，在中，点、分别是边，上的点，，且，若的面积是，则四边形的面积为 ． 【答案】24 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是理解并掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方．首先证明，结合题意可知两三角形的相似比为，进而可得，然后求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即两三角形的相似比为， ∵的面积是， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 故答案为：24． 【变式1】如图，已知是斜边上的高线，是斜边上的高线，如果，，那么等于 ． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，设，先证明，根据相似三角形的性质可得，再证明，根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可得出结论． 【详解】解：∵， 设，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 【变式2】如图，等腰中，，，将沿其底边中线向下平移，使的对应点满足，则平移前后两三角形重叠部分的面积是 ． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用平移的性质求解、三线合一、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查平移的性质，相似三角形的判定和性质，三线合一，根据平移的性质，推出，根据对应边上的中线比等于相似比，求出的长，三线合一求出的长，利用面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵等腰中，，， ∴， ∵为中线， ∴，， ∴，， ∴， ∵将沿其底边中线向下平移， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式3】如图，已知在中，是上一点，且的面积与的面积比是，，则四边形的面积为 ． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键． 先根据平行四边形的性质得到，证明，利用相似三角形的性质求出，根据同高，求出，进而求出四边形的面积． 【详解】四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， 和分别以为底，它们高相同， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 四边形的面积为： ， 故答案为：． 题型06 相似三角形的性质与判定综合问题 【典例6】如图，在与中，，，连接，． (1)求证：； (2)若，求与的周长比． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）首先证明，由相似三角形的性质证明，，进而可得，然后利用“两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似”证明即可； （2）首先利用勾股定理解得，再利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：，， ， ，， ，即， ， ， ； （2）解：， ， ， ， 由（1）可知，， 与的周长比为：． 【变式1】如图1，点、分别是边、上的中点，将绕着点A逆时针旋转角度，得到图2，其中，连结、．    (1)求证：； (2)当，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，证得是解题的关键． （1）由，推导出，由旋转得，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明结论； （2）由相似三角形的性质得，由，求得，再根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵点、分别是边、上的中点， ∴， ∴， 由旋转得， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2】【初步探究】 （1）如图，在中，点，，分别在，，边上，迬接，．已知四边形是平行四边形，． ①若，求的长； ②若的面积为，求的面积； 【拓展提开】 （2）若的面积为，求的面积． 【答案】（1）①为；②的面积为；（2）的面积为 【知识点】利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握利用相似三角形的性质得到线段之间的关系是解题关键． （1）①根据平行四边形的性质可证得，利用相似三角形的性质即可求解； ②利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解； （2）根据平行四边形的性质可得，可证得，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求得，通过的面积即可求解． 【详解】解：（1）①四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ，解得：， 为2； ②由①知，，， 和的相似比为1：4， ． 的面积为16， ， 的面积为1． （2）由②，知． 的面积为2， ， ． 四边形是平行四边形，， ，， ，，， ，， 和的相似比为， ． ， ， ， 的面积， 的面积为12． 【变式3】锐角中，，为边上的高线，， 两动点分别在边上滑动，且，以为边向下作正方形（如图1），设其边长为．    (1)当恰好落在边上(如图2)，时，求的值； (2)正方形与公共部分的面积为时，求的值． 【答案】(1) (2)正方形与的公共部分的面积为时，为或4 【知识点】根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）先根据，求得，设交于，由得到，推出，设正方形边长为，则，，得到，求出的值即可得到答案； （2）分两种情况：：当在的内部时，正方形与的公共部分的面积即为正方形的面积；当在的外部时，如图，交于点，交于点，交于点，重叠部分为矩形，分别计算即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，，为边上的高线，， ， ， 设交于，   ， ， ， ， 正方形边长为，则，， ， 解得：， 当恰好落在边上时，； （2）解：当在的内部时，正方形与的公共部分的面积即为正方形的面积， ， 解得：， ，符合题意， ， 当在的外部时，如图，交于点，交于点，交于点，重叠部分为矩形，   ， 设，则， 由得， 解得：， 矩形的面积为： ，即， 解得：，（舍去）， 综上所述，正方形与的公共部分的面积为时，为或4． 【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积等知识，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想解题，是解此题的关键． 一、单选题 1．已知，相似比为，那么和的周长比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的周长之比等于相似比是解题的关键．根据相似三角形的性质：相似三角形的周长之比等于相似比进行求解即可． 【详解】解：∵，相似比为， ∴和的周长比为． 故选：A． 2．如图，，，分别是，的角平分线，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键．根据相似三角形的对应角的角平分线之比等于相似比，即可求解． 【详解】解：∵，，分别是，的角平分线，， ∴， 故选：C． 3．如图，中，点D、E分别在AB、AC上，且，下列结论正确的是（   ） A． B．与的面积比为 C．与的周长比为 D．连接，则与的面积比为 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，根据题意得到，证明，通过相似三角形的性质判定A、B、C，再利用，即可判定D． 【详解】解：， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选项A错误； 与的面积比为，周长比为， 故选项B正确，选项C错误； 连接， ∵， ∴与的面积比为， 故选：B． 4．如图，在中，，，平分交于，交延长线于，则的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，灵活运用相关知识成为解题的关键． 由平行四边形的性质可得，进而得到再结合得到，即；再由线段的和差可得；然后根据可得，然后根据相似三角形的性质列比例式求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 5．在中，是高，矩形的顶点P、N分别在、上，在边上，若，，且，则矩形的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质确定平行线，证明，根据矩形性质，相似三角形的性质列比例式计算解答即可． 本题考查了三角形相似的判定和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：如图所示， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，四边形是矩形， ∴， 设， 则． ∴， 解得． ∴矩形的周长为， 故选：A． 6．如图，在正方形中，点E在边上，且，连接，过点E作，交于点F，连接并延长交的延长线于点G，若，则正方形的边长为（  ） A．14 B．13 C．12 D．11 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握正方形的性质，相似三角形的判定与性质． 根据正方形的性质可得，由，可设，则，证明，根据相似三角形的性质表示出，证明得到，求出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ， ， 设，则， ， ， ， 由 ∵， ， ，即， ， ， ， ，即， 解得：， ， 故选：B． 二、填空题 7．已知，且，，则 ． 【答案】/50度 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 利用三角形内角和定理求出，再利用相似三角形对应角相等即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 8．如图，在中，E在上，交于F，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，证明是解题的关键．由平行四边形的性质得出，证明，由相似三角形的性质可得出答案． 【详解】解：， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ． 故答案为：． 9．如图，在中，点D，E分别是边上的点，且，，的面积是18，则四边形的面积是 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方． 根据条件证明，得到相似比，然后利用三角形的面积比等于相似比的平方求出的面积，最后利用面积的和差即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵ ∴相似比为， , ∴四边形的面积为， 故答案为：10． 10．如图，已知，，是三个全等的等腰三角形，底边，，在同一直线上，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造相似三角形成为解题的关键． 如图：由题意共线，连接，，由全等三角形和等腰三角形的性质可得，，，，证明四边形是平行四边形可得，再证明可得，即；同理可得，，即；由三角形中线的性质可得，再证明可得，进而得到，最后根据三角形等分线的性质即可解答． 【详解】解：如图：由题意共线，连接，， ∵，，是三个全等的等腰三角形， ∴，，，， ∴，，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 同理：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为：． 11．有7个大小完全相同的小正方形，恰好按如图方式放置在中，点D，E在上，点F在上，点G，H在上．若每个小正方形的边长为1，则的周长为 ． 【答案】 【分析】过点E作于点M，利用相似三角形的性质计算长度，即可得到的周长． 本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 【详解】解：过点E作于点M， 由题意得：，，，，， ， ，， 设，则， ， ， 经检验，是原方程的解， ， ， ， ， ， 的周长， 故答案为： 12．如图，在中，，点P是边上一个动点，点D是边的中点，连接，将沿DP翻折，使点A落在点处，当平行于其中一条直角边时，的长为 ． 【答案】1或3或9 【分析】本题考查轴对称性质，相似三角形的判定和性质，平行的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据题意平行于其中一条直角边，分类讨论进行计算求解． 【详解】解：， ， ∵D为的中点， ， 如图（1），当时，， 由折叠可知，， ， ， 如图（2），当时，点在点P左侧时，， ， ， ， ， ∴， ∴，即， 解得， 由折叠可知， ， ， ， ∴， ∴， 即， 解得， ； 如图（3），当，点在点P右侧时，取的中点E， 连接，则，． ， ， ，， ∴， ， 由折叠可知， ， ， ． 综上所述，的长为1，3或9， 故答案为：1或3或9． 三、解答题 13．如图，在平行四边形中，连接，是边上一点，连接并延长，交的延长线于，且． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （）由四边形是平行四边形，则，所以，然后通过相似三角形的判定方法即可求证； （）由，则，求出，然后通过线段和差即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 14．如图，四边形为菱形，点E在的延长线上，． (1)求证：； (2)当时，求 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理． （1）证明，可得，即可求证； （2）连接交于点O，根据菱形的性质以及勾股定理可得，再由，可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形为菱形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，连接交于点O， ∵四边形为菱形，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 15．如图，在中，点E在的延长线上，与交于点F． (1)求证：； (2)若的面积为4，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)25 【分析】本题考查平行四边形的性质与相似三角形的判定及性质．熟练掌握相似三角形的判定定理和性质是解题关键． （1）通过平行四边形对边平行、对角相等的性质，找到两组对应角相等，证明三角形相似； （2）利用平行关系确定相似三角形，结合相似三角形面积比与相似比的平方关系，逐步推导面积． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ， ， ； （2）解：∵四边形是平行四边形， ， ， ∵ ∴， ， ， ． 16．如图，、是的两条高，过点作，垂足为，交于，、的延长线交于点． (1)求证：； (2)试探究线段、、之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等量代换等知识，属于相似形综合题，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键 （1）由与垂直，、为高，利用垂直的定义得到直角相等，利用等式的性质得到一对角相等，利用两对角相等的三角形相似即可得证； （2），理由为：由（1）中相似三角形，得比例，再利用两角相等的三角形相似得到，得比例，等量代换即可得证； 【详解】（1）证明∶、是的高， ， ，， ， ， ． （2）解：，理由如下： ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 17．已知：如图，四边形，，，，为对角线，是上一点，连接并延长交的延长线于点．设四边形的面积为． (1)若为的中点，则与的关系为 ； (2)若，则与的关系为 ； (3)若，则与的关系为 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形面积比是解题的关键． （1）利用平行线得出相似三角形，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行计算即可； （2）利用平行线得出相似三角形，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行计算即可； （3）利用平行线得出相似三角形，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行计算即可． 【详解】（1）解：， ∽， ， ； ∵为中点， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：∵，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：∵，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 18．（1）如图，在矩形中，为边上一点，连接，过点作交于点． 【探究证明】求证：； 【特例分析】若，，为的中点，求的长． 【衍生拓展】（2）如图，在中，，，，是的中点，射线，分别交，于点，，且，求的值． 【答案】（）见解析；；（）． 【分析】（）四边形是矩形，，，再利用同角的余角相等得，根据相似三角形的判定即可求证； 根据相似三角形的性质即可求解； （）过点分别作于点，于点，由勾股定理求出，由，，，则四边形为矩形，，，则是的中位线，是的中位线，故有，，再同（）理证明，得即可． 【详解】（）证明：∵四边形是矩形，， ∴， ∴， ∴， ∴； 解：∵， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴； （）解：如图，过点分别作于点，于点， 在中，，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵，，， ∴四边形为矩形，，， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，中位线定理，矩形的判定与性质，同角的余角相等，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 19．已知，，，E为直线上一点，过E作的垂线交直线于点F． (1)若E、D重合时，，，求证：F为的中点； (2)若E为线段BD上一点，，，， ，求的长； (3)若F为线段AB的延长线上一点，，求 ． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】（1）过D点作于G点．证明四边形是正方形，则，，．再根据证明，则可得，则，进而可得． （2）作于M点，于N点．先证，则可得，设，，易得四边形是矩形，则，根据，可求出，进而可得． （3）作于M点，于N点．由（2）知，则可得．设，，易得四边形是矩形，则，，．再证，则可得，，，，，再求得，代入即可得解． 【详解】（1）证明：如图，过D点作于G点． ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴F为的中点． （2）解：如图，作于M点，于N点． ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． （3）解：如图，作于M点，于N点． 由（2）得， ∴， 设，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质以及勾股定理．熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 20．四边形是平行四边形，连接，于点E，交边于点F． (1)如图1，，，求的长． (2)如图2，，，猜想线段与的数量关系，并说明理由． (3)如图3，，． ①求证：； ②将沿直线翻折得到，连接交边于点P，连接，求的长． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)①见解析；② 【分析】（1）根据题意证明出，得到，代数求出，然后利用勾股定理求解即可； （2）证明出，得到，设，则，勾股定理求出，进而得到，，然后代入求解即可； （3）①证明出，得到，然后结合，得到，进而求解即可； ②如图，连接，证明出B，E，F，在一条直线上，过P作于H，证明出，得到，，求出，，证明出，得到，代数求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，， ，， ， ∴，即， 解得． ， ， ， ； （2）解：． 理由：四边形是平行四边形，， ，， ， ， 设，则． ， ． ， ， ， ， ． ， ， ； （3）①证明：四边形是平行四边形， ，， ， ∴， ， ， ， ； ②解：如图，连接， 由折叠得， ∵于点E， ∴B，E，F，在一条直线上，过P作于H． 由折叠得，， 四边形是平行四边形， ， ， ． ，， ，， ， ． ，， ， ，即， ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.4 相似三角形的性质 教学目标 1. 知识掌握：理解并牢记相似三角形对应角相等、对应边成比例这一基本性质，明晰相似比概念，掌握相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线、周长、面积与相似比的关系 。 2. 能力提升：通过对相似三角形性质的推导证明过程，锻炼逻辑推理、归纳总结能力，学会运用性质解决有关计算、证明问题，提高分析和解决几何问题的能力。 3. 思维培养：体会从特殊到一般、类比等数学思想方法，在探究性质过程中，养成独立思考、合作交流的学习习惯，激发对数学的探索兴趣 。 教学重难点 1.重点 （1）掌握相似三角形对应线段（高、中线、角平分线）的比等于相似比，以及相似三角形周长比等于相似比 ，面积比等于相似比的平方这些性质，并能运用性质进行简单计算和证明。 （2）理解相似三角形性质的推导过程，熟悉从相似三角形基本定义出发，逐步推导其他性质的思路 。 2.难点 （1）相似三角形性质中面积比等于相似比平方的证明，涉及到三角形面积公式及对应边、对应高的关系，推理过程复杂，学生较难理解 。 （2）在复杂的几何图形中准确识别相似三角形，并灵活运用相似三角形性质解决综合问题，需要学生具备较强的观察能力和知识迁移能力 ，对学生来说有一定挑战。 知识点01 相似三角形的性质 1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 要点：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 3. 相似三角形周长的比等于相似比. ∽，则 由比例性质可得： 4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方. ∽，则分别作出与的高和，则 要点：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 【即学即练1-1】若，，的周长为，则的周长为 ． 【即学即练1-2】如图，在中，，且，若的面积为，则四边形的面积为 ． 【即学即练1-3】如图，在中，，，的平分线交于点，交的延长线于点，过点作，垂足为点，． (1)求证：； (2)求的周长． 题型01 利用相似三角形对应角相等求角 【典例1】如图，已知A，C，E三点在一条直线上，，，则的度数是 ． 【变式1】已知，，，则的度数为 °． 【变式2】如图，如果，，，那么的度数是 ． 【变式3】如图，在正方形网格中，，则的度数为 ． 题型02 利用相似三角形对应边成比例求边 【典例2】如图，在中，为边的中点，连接，交对角线于点，已知，则的值为 【变式1】如图，在中，，于点，，，，则线段的长为 ． 【变式2】如图，在中 ，，，点 P 在边上（点P 不与点A、B 重合），连接，作，与边交于点E，当是等腰三角形时，的长是 ． 【变式3】在矩形中，，E是的中点，在直线上或边上有一点F，使是直角三角形，则的长为 ． 题型03 利用相似三角形对应中线、高线、角平分线成比例 【典例3】两个相似三角形一组对应高的长分别是和，若在这两个三角形的一组对应中线中，较短的中线是，那么较长的中线是 ． 【变式1】已知 ，的周长与的周长的比值是，、分别是它们对应边上的中线，且，则 ． 【变式2】已知 和是它们的对应高线．若．则与的相似比是 ． 【变式3】如图，点是的角平分线的中点，点、分别在、边上，线段过点，且，则 ． 题型04 利用相似三角形对应周长的比成比例 【典例4】已知，它们对应中线的比，那么它们的周长比是 ． 【变式1】已知中，，分别是，的中点，连接，则与的周长比是 ． 【变式2】已知且相似比为，若的周长为20，则的周长是 ． 【变式3】如果两个相似三角形的面积之比为，较小的三角形的周长是，那么另一个的三角形的周长为 ． 题型05 利用相似三角形对应面积的比成比例 【典例5】如图，在中，点、分别是边，上的点，，且，若的面积是，则四边形的面积为 ． 【变式1】如图，已知是斜边上的高线，是斜边上的高线，如果，，那么等于 ． 【变式2】如图，等腰中，，，将沿其底边中线向下平移，使的对应点满足，则平移前后两三角形重叠部分的面积是 ． 【变式3】如图，已知在中，是上一点，且的面积与的面积比是，，则四边形的面积为 ． 题型06 相似三角形的性质与判定综合问题 【典例6】如图，在与中，，，连接，． (1)求证：； (2)若，求与的周长比． 【变式1】如图1，点、分别是边、上的中点，将绕着点A逆时针旋转角度，得到图2，其中，连结、．    (1)求证：； (2)当，时，求的长． 【变式2】【初步探究】 （1）如图，在中，点，，分别在，，边上，迬接，．已知四边形是平行四边形，． ①若，求的长； ②若的面积为，求的面积； 【拓展提开】 （2）若的面积为，求的面积． 【变式3】锐角中，，为边上的高线，， 两动点分别在边上滑动，且，以为边向下作正方形（如图1），设其边长为．    (1)当恰好落在边上(如图2)，时，求的值； (2)正方形与公共部分的面积为时，求的值． 一、单选题 1．已知，相似比为，那么和的周长比为（   ） A． B． C． D． 2．如图，，，分别是，的角平分线，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 3．如图，中，点D、E分别在AB、AC上，且，下列结论正确的是（   ） A． B．与的面积比为 C．与的周长比为 D．连接，则与的面积比为 4．如图，在中，，，平分交于，交延长线于，则的值为（   ） A． B． C． D．2 5．在中，是高，矩形的顶点P、N分别在、上，在边上，若，，且，则矩形的周长为（　　） A． B． C． D． 6．如图，在正方形中，点E在边上，且，连接，过点E作，交于点F，连接并延长交的延长线于点G，若，则正方形的边长为（  ） A．14 B．13 C．12 D．11 二、填空题 7．已知，且，，则 ． 8．如图，在中，E在上，交于F，若，则 ． 9．如图，在中，点D，E分别是边上的点，且，，的面积是18，则四边形的面积是 ． 10．如图，已知，，是三个全等的等腰三角形，底边，，在同一直线上，若，则 ． 11．有7个大小完全相同的小正方形，恰好按如图方式放置在中，点D，E在上，点F在上，点G，H在上．若每个小正方形的边长为1，则的周长为 ． 12．如图，在中，，点P是边上一个动点，点D是边的中点，连接，将沿DP翻折，使点A落在点处，当平行于其中一条直角边时，的长为 ． 三、解答题 13．如图，在平行四边形中，连接，是边上一点，连接并延长，交的延长线于，且． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 14．如图，四边形为菱形，点E在的延长线上，． (1)求证：； (2)当时，求 15．如图，在中，点E在的延长线上，与交于点F． (1)求证：； (2)若的面积为4，，求的面积． 16．如图，、是的两条高，过点作，垂足为，交于，、的延长线交于点． (1)求证：； (2)试探究线段、、之间的数量关系，并证明你的结论． 17．已知：如图，四边形，，，，为对角线，是上一点，连接并延长交的延长线于点．设四边形的面积为． (1)若为的中点，则与的关系为 ； (2)若，则与的关系为 ； (3)若，则与的关系为 ． 18．（1）如图，在矩形中，为边上一点，连接，过点作交于点． 【探究证明】求证：； 【特例分析】若，，为的中点，求的长． 【衍生拓展】（2）如图，在中，，，，是的中点，射线，分别交，于点，，且，求的值． 19．已知，，，E为直线上一点，过E作的垂线交直线于点F． (1)若E、D重合时，，，求证：F为的中点； (2)若E为线段BD上一点，，，， ，求的长； (3)若F为线段AB的延长线上一点，，求 ． 20．四边形是平行四边形，连接，于点E，交边于点F． (1)如图1，，，求的长． (2)如图2，，，猜想线段与的数量关系，并说明理由． (3)如图3，，． ①求证：； ②将沿直线翻折得到，连接交边于点P，连接，求的长． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$