第1章 专题1 反比例函数与一次函数综合[湖南热点]（作业课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（湘教版）

该初中数学课件聚焦九年级反比例函数与一次函数综合，通过判断函数图象、交点问题等典型例题导入，从基础图象辨析到交点坐标、面积计算逐步递进，设置方法点拨、辅助设问等学习支架衔接知识脉络。 其亮点在于紧扣湖南中考热点，融合原创题与中考真题，通过整体思想、通性通法培养学生推理意识和运算能力。如交点问题中用中心对称性求坐标，面积计算结合几何直观分析图形关系，助力学生用数学思维解决问题，教师可借助分层题型和方法总结提升教学效果。

2025秋季学期 《学练优》·九年级数学上·XJ 第1章　反比例函数 专题1　反比例函数与一次函数综合[湖南热点] 类型一　判断函数图象问题 1. 函数y＝x－1与y＝ 在同一坐标系内的图象可 能是(　D　) D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2. 反比例函数y＝ 的图象分别位于第二、四象 限，则直线y＝kx＋k不经过的象限是(　A　) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 3. 若ab＜0，则一次函数y＝ax＋b与反比例函数y ＝ 在同一直角坐标系中的大致图象可能是(　C　) C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 4. (2025·怀化期中)已知关于x的函数y＝k(x＋1)和 y＝－ (k≠0)，它们在同一坐标系中的大致图象可 能是(　A　) A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 类型二　交点问题 方法点拨 ①求坐标：正比例函数与反比例函数图象的交点为 A，B，已知A点坐标为(x，y)，则根据中心对称性 可得B点坐标为(－x，－y). ②求代数式的值：已知正比例函数与反比例函数图 象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，利用x1＝－x2，y1 ＝－y2进行转化求值. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 5. 原创题 如图①，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝－ 的图象交于A，B两点，已知A，B两点的横坐标分别为－1和2. (1)不等式ax＋b＞－ 的解集为 ⁠； x＜－1或0＜x＜ 2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 5. 原创题 如图①，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝－ 的图象交于A，B两点，已知A，B两点的横坐标分别为－1和2. (2)如图②，将一次函数y＝ax＋b的图象向下平移 得到正比例函数y＝ax的图象，此正比例函数与反 比例函数y＝－ 的图象交于C，D两点，若点C的 横坐标为－2，则不等式－ ＞ax 的解集为 ⁠ ⁠. －2＜ x＜0或x＞2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 拓展设问 若C(x1，y1)，D(x2，y2)，则y1＋y2＝ ，x1y2 ＝ ⁠. 6. 通性通法 整体思想 在平面直角坐标系中，函数y＝ (x＞0)与y＝x＋5的图象交于点P(a，b)，则代数式 － 的值为 　 　. 0　 2　 　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 辅助设问 将P(a，b)代入y＝ 中，得ab＝ 　 　，代入y ＝x＋5中，得b－a＝ ⁠. 　 5　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 7. (2024·山东中考)列表法、表达式法、图象法是三 种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量 与函数值之间的对应关系.下表是函数y＝2x＋b与 y＝ 部分自变量与函数值的对应关系： x － a 1 2x＋b a 1 ⁠ ⁠ ⁠ 7 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 (1)求a，b的值，并补全表格； 解：(1)当x＝－ 时，2x＋b＝a，即－7＋b＝a； 当x＝a时， 2x＋b＝1， 即2a＋b＝1，由解得 ∴一次函数的表达式为y＝2x＋5. ∵当x＝1时，y＝ ＝7， 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 即k＝7， (1)求a，b的值，并补全表格； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 ∴反比例函数的表达式为y＝ .补全表格如表. x － a 1 2x＋b a 1 ⁠ ⁠ ⁠ 7 7 －2 － (2)结合表格，当y＝2x＋b的图象在y＝ 的图象上 方时，直接写出x的取值范围. 解：(2)－ ＜x＜0或x＞1. 解：(2)－ ＜x＜0或x＞1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 8. (2024·湖北中考)如图，一次函数y＝x＋m的图 象与x轴交于点A(－3，0)，与反比例 函数y＝ (k为常数，k≠0)的图象在 第一象限的部分交于点B(n，4). (1)求m，n，k的值； 解：(1)由题意得－3＋m＝ 0，n＋m＝4，k＝4n， 解得m＝3，n＝1，k＝4. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 (2)若C是反比例函数y＝ 的图象在第一象限部分上 的点，且S△AOC＜S△AOB，直接写出点C的横坐标a 的取值范围. 解：(2)a＞1. 解：(2)a＞1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 类型三　与线段长度或面积有关的综合题 9. (2024·岳阳一模)如图，直线y＝kx＋b 与反比例函数y＝ (x＜0)的图象相交于A (－3，1)，B两点，与x轴相交于点C (－4，0). (1)求反比例函数的解析式； 解：(1)把A(－3，1)代入y＝ (x＜0)中，得1＝ ， ∴m＝－3. ∴反比例函数的解析式为y＝－ (x＜0). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 (2)求一次函数的解析式； 解：(2)把A(－3，1)，C(－4，0)代入y＝kx＋b中， 得 解得 ∴一次函数的解析式为y＝x＋4. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 类型三　与线段长度或面积有关的综合题 9. (2024·岳阳一模)如图，直线y＝kx＋b与反比例函数y＝ (x＜0)的图象相交于A(－3，1)，B两点，与x轴相交于点C(－4，0). (3)连接OA，OB，若点B的横坐标为－1，求△AOB的面积. 解：(3)在y＝x＋4中，当x＝0时，y＝4， ∴D(0，4). ∴OD＝4. ∴OC＝4. ∴S△AOB＝S△OCD－S△AOC－S△BOD ＝ ×4×4－ ×4×1－ ×4×1＝4. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 ∵C(－4，0)， 10. (2024·遂宁中考)如图，一次函数y1＝kx ＋b(k≠0)的图象与反比例函数y2＝ (m≠0) 的图象相交于A(1，3)，B(n，－1)两点. (1)求一次函数和反比例函数的解析式； 解：(1)将点A(1，3)代入反比例函数的解析式， 得m＝1×3＝3， ∴反比例函数的解析式为y＝ . 将点B(n，－1)代入反比例函数的解析式，得n＝－3， 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 ∴点B的坐标为(－3，－1). 将A，B两点的坐标代入一次函数的解析式， 得解得 ∴一次函数的解析式为y＝x＋2. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 (2)过点B作直线OB，交反比例函数图象于点C， 连接AC，求△ABC的面积. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 10. (2024·遂宁中考)如图，一次函数y1＝kx ＋b(k≠0)的图象与反比例函数y2＝ (m≠0) 的图象相交于A(1，3)，B(n，－1)两点. 解：(2)如图，连接AO， 将y＝0代入y＝x＋2，得x＝－2， ∴点M的坐标为(－2，0). 令直线AB与x轴的交点为M， 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 ∵正比例函数图象与反比例函数图象都是中心对称图形， ∴S△AOB＝S△AOM＋S△BOM＝×2×3＋ ×2×1＝4. 且坐标原点是对称中心， ∴点B和点C关于点O成中心对称. ∴S△ABC＝2S△AOB＝8. ∴BO＝CO. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 $