专题01 反比例函数（期中知识清单，知识导图+5个考点清单+6个题型解读）九年级数学上学期湘教版

清单01 反比例函数（9个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】反比例函数的概念 定义：形如 (k为常数，k≠0) 的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数，k是比例 系数． 三种表达式方法： 、、(k≠0) 防错提醒：(1)k≠0；(2)自变量x≠0；(3)函数y≠0. 【清单02】反比例函数的图象和性质 (1) 反比例函数的图象：反比例函数 (k≠0)的图象是双曲线，它既是轴对称图形又是中心对称图形. 反比例函数的两条对称轴为直线y=x和y=-x；对称中心是:原点. . (2) 反比例函数的性质 【清单03】反比例函数比例系数 k 的几何意义 k 的几何意义：反比例函数图象上的点 (x，y) 具有两坐标之积 (xy＝k) 为常数这一特点，即过双曲线 上任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为常数. 规律：过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，一条垂线与坐标轴、原点所围成的三角形的面积为常数． 【清单04】求反比例函数解析式 利用待定系数法确定反比例函数： ① 根据两变量之间的反比例关系，设 ； ② 代入图象上一个点的坐标，即 x、y 的一对对应值，求出 k 的值； ③ 写出解析式. 【清单05】反比例函数的应用 过程：分析实际情境→建立函数模型→数学问题 注意：实际问题中的两个变量往往都只能非负值. 【考点题型一】反比例函数概念 【例1】有下列函数：①；②；③ ；④；⑤ ；⑥，其中是的反比例函数的有（　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-1】下列关系式中，是关于的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】用电器的输出功率P与通过的电流I、用电器的电阻R之间的关系是，下面说法正确的是（   ） A．P为定值，I与R成反比例 B．P为定值，与R成反比例 C．P为定值，I与R成正比例 D．P为定值，与R成正比例 【变式1-3】邮局准备把一批《百科全书》打包寄给山区的小朋友，每包的本数和包数如下表： 每包的本数/本 10 20 40 包数/包 60 30 15 用表示包数，用表示每包的本数，用式子表示与的关系为 ，y与x成 比例关系． 【变式1-4】已知，并且与x成正比例与成反比例，当时，；当时，． (1)求y关于x的函数解析式； (2)求当时的函数值． 【考点题型二】求反比例函数解析式 【例2】一个反比例函数图象经过点，那 么k 的值等于 ． 【变式2-1】已知点在函数的图象上，则经过点的反比例函数的解析式为 ． 【变式2-2】已知反比例函数常数，． (1)若点在这个函数的图象上，求的值； (2)若，试判断点是否在这个函数的图象上，并说明理由． 【变式2-3】已知是的反比例函数，是的正比例函数． (1)当时，．当时，．求与之间的函数关系式； (2)证明：是的反比例函数． 【考点题型三】反比例函数的图象和性质 【例3】若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】在平面直角坐标系中，点，，分别在三个不同的象限．若反比例函数的图象经过其中两点，则m的值为（    ） A． B． C． D．1 【变式3-2】已知反比例函数，则下列结论正确的是（    ） A．点在它的图象上 B．其图象分别位于第一、三象限 C．y随x的增大而增大 D．如果点在它的图象上，则点也在它的图象上 【变式3-3】数轴上点A表示的数是，将点A在数轴上平移7个单位长度得到点B，则点B表示的数是 ． 【变式3-4】关于反比例函数的说法正确的是（    ） A． B．随的增大而减小 C．其图象关于轴对称 D．若点在其图象上，则 【变式3-5】关于反比例函数，下列说法正确的是（    ） A．该函数图象在一、三象限 B．当时，随增大而减小 C．若在该函数图象上，则 D．若点和点在该函数图象上，且，则有且仅有 6．在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【变式3-6】已知一次函数与反比例函数，则其图像可能是（    ） A． B． C． D． 【变式3-7】在函数（k是常数，且）的图象上有三点，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式3-8】小明利用学习函数获得的经验研究函数的性质，得到如下结论： ①该函数自变量的取值范围为；②该函数与y轴交于点； ③该函数图象不经过第四象限；④该函数图象关于y轴对称； ⑤若，是该函数上两点，当时，一定有． 其中说法正确的有 ．（填序号） 【变式3-9】已知点，，都在函数的图象上，则a、b、c的大小关系是 ．（用“”号连接） 【变式3-10】已知点在反比例函数的图象上． （1）求反比例函数的表达式； （2）点，，都在反比例函数的图象上，比较，，的大小，并说明理由． （变式1）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A．    B．    C．    D． （变式2）反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（    ） A．当时，    B．当时， C．当时，    D．当时， 【考点题型四】比例系数k的几何意义 【例4】如图，反比例函数在第一象限，的面积是，则反比例函数中，是（   ） A． B． C．3 D． 【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，点是反比例函数图象上的一点，过点作轴于点，点是轴负半轴上一点，连接交轴于点，若是的中位线，的面积为12，则的值是（   ）    A． B． C．6 D．12 【变式4-2】如图，反比例函数的图象与矩形在第一家限相交于题图点，，，连接．记的面积分别为． （1）比较大小： （填“”、“”、“”）； （2）若，则的面积为 ． 【变式4-3】在反比例函数的图象上任取一点P，过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别是N、M，则四边形的面积是 ． 【变式4-4】如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且轴，则的面积等于 ． 【变式4-5】如图，矩形与反比例函数（是非零常数，）的图象交于点，反比例函数（是非零常数，）的图象交于点，连接．若四边形的面积为3，则 ． 【变式4-6】在平面直角坐标系中，，两点在函数的图象上，其中，轴于点，轴于点，且． (1)若，则的长为________，的面积为________； (2)若点的横坐标为，且，当时，求的值． 【考点题型五】反比例函数与一次函数的综合运用 【例5】如图，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，过点作轴，垂足为，连接，．    (1)求反比例函数的表达式． (2)若，以，为边作平行四边形，点在第三象限内，求点的坐标． 【变式5-1】已知正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点坐标为，则不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D．或 【变式5-2】如图直线与双曲线交于A，B两点，点A的坐标为． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求的面积． 【变式5-3】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，B两点，与x轴交于点，与y轴交于点E． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)F为反比例函数第四象限上一点，过点F作轴于点Q，使与相似，求满足条件的F点坐标； (3)将直线平移，与反比例函数图象交于M，N两点，若，求直线的解析式． 【变式5-4】如图，一次函数与反比例函数在第一象限内的图象交于点，与轴交于点B，与轴交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)点P是轴上的一个动点，当的面积为4时，求点P的坐标． 【变式5-5】如图，在矩形中，，，点D是边的中点，反比例函数的图象经过点D，交于点E．    (1)求k的值及直线的解析式； (2)在x轴上找一点P，使的周长最小，求此时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，求的面积． 【考点题型六】反比例函数的应用 【例6】饮水机接通电源会自动加热，加热时水温每分钟上升，温度到停止加热．然后水温开始下降，此时水温与时间成反比例函数关系，水温降至时，饮水机重复上述程序开始加热，加热时水温与时间的关系如图所示．水温从开始加热至，然后下降至这一过程中，水温不低于的时间为 ．    【变式6-1】如图1是某种呼气式酒精测试仪的电路原理图，电源电压保持不变，为气敏可变电阻，定值电阻．检测时，可通过电压表显示的读数换算为酒精气体浓度，设，电压表显示的读数与之间的反比例函数图象如图2所示，与酒精气体浓度的关系式为，当电压表示数为时，酒精气体浓度为 ． 【变式6-2】如图，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度是体积的反比例函数，它的图象如图所示．当时，气体的密度是 kg/m3 .    【变式6-3】为了预防甲型流感，某校对教室采取喷洒药物消毒，在对某教室进行消毒的过程中，先经过分钟的集中药物喷洒，再封闭教室分钟，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量与药物在空气中的持续时间（分钟）之间的函数关系，在药物喷洒和封闭教室期间，与均满足一次函数的关系，在打开门窗通风后与满足反比例函数的关系，如图所示． (1)研究表明，室内空气中的含药量低于时方可进入教室，从封闭教室开始，至少经过多少分钟后学生方可返回教室？ (2)当室内空气中的含药量不低于且持续时间不低于分钟时，才能完全有效杀灭流感病毒．试通过分析判断此次消毒是否完全有效？ 【变式6-4】已知汽车匀速从A市行驶到B市，设汽车行驶的时间为t小时，速度为v千米/时，且速度限定为不超过120千米/时．若从A市到B市汽车的行驶里程为480千米． (1)求关于的函数表达式； (2)若汽车从上午从市出发，如果汽车在当天到之间到达市，求汽车行驶速度的范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01 反比例函数（9个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】反比例函数的概念 定义：形如 (k为常数，k≠0) 的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数，k是比例 系数． 三种表达式方法： 、、(k≠0) 防错提醒：(1)k≠0；(2)自变量x≠0；(3)函数y≠0. 【清单02】反比例函数的图象和性质 (1) 反比例函数的图象：反比例函数 (k≠0)的图象是双曲线，它既是轴对称图形又是中心对称图形. 反比例函数的两条对称轴为直线y=x和y=-x；对称中心是:原点. . (2) 反比例函数的性质 【清单03】反比例函数比例系数 k 的几何意义 k 的几何意义：反比例函数图象上的点 (x，y) 具有两坐标之积 (xy＝k) 为常数这一特点，即过双曲线 上任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为常数. 规律：过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，一条垂线与坐标轴、原点所围成的三角形的面积为常数． 【清单04】求反比例函数解析式 利用待定系数法确定反比例函数： ① 根据两变量之间的反比例关系，设 ； ② 代入图象上一个点的坐标，即 x、y 的一对对应值，求出 k 的值； ③ 写出解析式. 【清单05】反比例函数的应用 过程：分析实际情境→建立函数模型→数学问题 注意：实际问题中的两个变量往往都只能非负值. 【考点题型一】反比例函数概念 【例1】有下列函数：①；②；③ ；④；⑤ ；⑥，其中是的反比例函数的有（　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，利用反比例函数的定义，一般地，形如，的函数是反比例函数，对每个式子逐一判断即可得出结论． 【详解】解：反比例函数形式为：， 则①是反比例函数，②不是反比例函数，③是反比例函数， ④是反比例函数，⑤不是反比例函数，⑥不是反比例函数， 故①③④是反比例函数， 故选：C． 【变式1-1】下列关系式中，是关于的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数定义．根据题意形如“”形式称为是关于的反比例函数，逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：是反比例函数，B选项符合题意， 中是关于的正比例函数，A选项不符合题意， 和中也不是关于的反比例函数，C，D不符合题意， 故选：B． 【变式1-2】用电器的输出功率P与通过的电流I、用电器的电阻R之间的关系是，下面说法正确的是（   ） A．P为定值，I与R成反比例 B．P为定值，与R成反比例 C．P为定值，I与R成正比例 D．P为定值，与R成正比例 【答案】B 【分析】本题考查的是反比例函数的定义，直接根据定义可得答案． 【详解】解：当为定值时，2与的乘积是定值，所以 2与成反比例． 故选：B． 【变式1-3】邮局准备把一批《百科全书》打包寄给山区的小朋友，每包的本数和包数如下表： 每包的本数/本 10 20 40 包数/包 60 30 15 用表示包数，用表示每包的本数，用式子表示与的关系为 ，y与x成 比例关系． 【答案】 反 【分析】本题考查由表格求反比例函数的解析式，解题的关键是掌握反比例函数的定义． 总本数=每包的本数×包数，总本数一定，即乘积一定，那么每包的本数和包数成反比例． 【详解】解：由表格可知：， ， y与x成反比例关系． 故答案为：，反． 【变式1-4】已知，并且与x成正比例与成反比例，当时，；当时，． (1)求y关于x的函数解析式； (2)求当时的函数值． 【答案】(1) (2) 【分析】该题主要考查了正反比例函数的定义，解题的关键是正确理解正反比例函数． （1）设，则，然后利用待定系数法即可求得； （2）把代入（1）求得函数解析式求解． 【详解】（1）解：设， 则， 根据题意得：， 解得：， 则函数解析式是：； （2）解：当时，． 【考点题型二】求反比例函数解析式 【例2】一个反比例函数图象经过点，那 么k 的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查求反比例函数的解析式，待定系数法求出k 的值即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：． 【变式2-1】已知点在函数的图象上，则经过点的反比例函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式．把点代入，求得的值，再将点代入，求出k，即可求解． 【详解】解：把点代入， ∴， ∴， ∴， 把点代入，得： 解得：， ∴此函数的解析式为． 故答案为：． 【变式2-2】已知反比例函数常数，． (1)若点在这个函数的图象上，求的值； (2)若，试判断点是否在这个函数的图象上，并说明理由． 【答案】(1)； (2)点不在这个函数的图象上，理由见解析． 【分析】（）利用待定系数法求解即可； （）求出当时，的值，再比较即可得出答案； 本题主要考查了求反比例函数解析式，求反比例函数值，熟知反比例函数图象上的点的坐标一定满足其解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴； （2）当时， ∴这个解析式为， 当时，， ∴点不在这个函数的图象上． 【变式2-3】已知是的反比例函数，是的正比例函数． (1)当时，．当时，．求与之间的函数关系式； (2)证明：是的反比例函数． 【答案】(1)与之间的函数关系式为； (2)证明见解析． 【分析】（）利用待定系数法求解即可； （）根据反比例函数的定义即可求证； 本题考查了求正比例函数解析式，反比例函数定义及求解析式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】（1）解：∵是的反比例函数，是的正比例函数， 设，， ∴， ∵时，， ∴，解得：， 当时，， ∴，解得：， ∴， ∴与之间的函数关系式为； （2）∵是的反比例函数，是的正比例函数， 设，， ∴， ∴是的反比例函数． 【考点题型三】反比例函数的图象和性质 【例3】若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数图象与性质求参数范围，当时，反比例函数的图象在第二、四象限，得到求解即可得到答案，熟记反比例函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：若反比例函数的图象分布在第二、四象限， 则， 解得， 故选：A． 【变式3-1】在平面直角坐标系中，点，，分别在三个不同的象限．若反比例函数的图象经过其中两点，则m的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，推出点在第三象限是解题的关键． 根据已知条件得到点在第二象限，求得点一定在第三象限，由于反比例函数的图象经过其中两点，于是得到反比例函数的图象经过，，于是得到结论． 【详解】解：在第二象限，在第一象限，且点、、在三个不同象限， 又点的横坐标为， 在第三象限， 反比例函数的图象经过其中两点， ，两点在该反比例函数图象上， ， 解得． 故选：B． 【变式3-2】已知反比例函数，则下列结论正确的是（    ） A．点在它的图象上 B．其图象分别位于第一、三象限 C．y随x的增大而增大 D．如果点在它的图象上，则点也在它的图象上 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数图象及性质，根据反比例函数知识点逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵反比例函数， ∴点不在它的图象上，故A项不符合题意， ∵ ∴图象分别位于第二、四象限，故B项不符合题意， ∴函数在时，即和时，y随x的增大而增大，故C项不符合题意， ∵如果点在它的图象上，即， ∴点也在它的图象上，故D选项符合题意， 故选：D． 【变式3-3】数轴上点A表示的数是，将点A在数轴上平移7个单位长度得到点B，则点B表示的数是 ． 【答案】4或 【分析】本题主要考查了数轴，数轴上点的平移：向左平移，表示的数减小，向右平移，表示的数增大，平移距离等于增加或减少的数，向右平移7个单位，即增加7，向左平移就减少7．掌握数轴上的点平移法则是解题关键． 【详解】解：如果A向右平移得到，点B表示的数是：， 如果A向左平移得到，点B表示的数是：， ∴点B表示的数是4或． 故答案为：4或． 【变式3-4】关于反比例函数的说法正确的是（    ） A． B．随的增大而减小 C．其图象关于轴对称 D．若点在其图象上，则 【答案】D 【分析】考查反比例函数的图象和性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，掌握受不了函数的图象和性质是解决问题的关键．根据反比例函数的图象与性质解答即可． 【详解】解：，故A错误； ，图象位于一三象限，在每个象限内，随的增大而减小，故B错误； 反比例函数的图象关于直线或成轴对称，不关于轴对称，故C错误； 将代入，得，即，故D正确， 故选：D 【变式3-5】关于反比例函数，下列说法正确的是（    ） A．该函数图象在一、三象限 B．当时，随增大而减小 C．若在该函数图象上，则 D．若点和点在该函数图象上，且，则有且仅有 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质逐一判断即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】、由反比例函数可知，则该函数图象在第二、四象限，故不符合题意； 、当时，随增大而增大，故不符合题意; 、若在该函数图象上，则，故符合题意； 、若点和点在该函数图象上，当或时，，当时，，故不符合题意； 故选：. 6．在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数图象，根据一次函数与反比例函数的性质，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵ 当时，一次函数经过第一、二、三象限， 当时，一次函数经过第一、三、四象限 A.一次函数中，则当时，函数图象在第四象限，不合题意， B.一次函数经过第二、三、四象限，不合题意， 一次函数中，则当时，函数图象在第一象限，故C选项正确，D选项错误， 故选：C． 【变式3-6】已知一次函数与反比例函数，则其图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数，反比例函数图象与系数的关系．解题的关键在于明确系数与函数图象的关系．当时，可知的图象过一二三象限，的图象过一三象限；当时，可知的图象过一二四象限，的图象过二四象限，进而得出答案． 【详解】解：当时，可知的图象过一二三象限，的图象过一三象限； 当时，可知的图象过一二四象限，的图象过二四象限， ∴与D选项中图象一致， 故选：D． 【变式3-7】在函数（k是常数，且）的图象上有三点，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征．根据反比例函数的图象与性质结合三点的横坐标进行判断即可． 【详解】解：∵函数（k为常数，且）中， ∴函数图象的两个分支分别在一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减少， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【变式3-8】小明利用学习函数获得的经验研究函数的性质，得到如下结论： ①该函数自变量的取值范围为；②该函数与y轴交于点； ③该函数图象不经过第四象限；④该函数图象关于y轴对称； ⑤若，是该函数上两点，当时，一定有． 其中说法正确的有 ．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】①根据分式有意义的条件即可判断；②把代入即可；③当时，判断是否大于0即可；④取两个点代入验证即可；⑤取两个点代入验证即可．本题考查了函数的图象、函数自变量的取值范围及对称性，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：①， ， 故①正确； ②当时，， 该函数与轴交于点， 故②正确； ③，， ∴当时， ，， 则，此时该函数图象不经过第四象限； 当时， ，， 则，此时该函数图象不经过第四象限； 当时， ，， 则，此时该函数图象不经过第四象限； 该函数图象不经过第四象限； 故③正确； ④若该函数图象关于轴对称， 则函数图象的每一个点都关于轴对称， 当时，， 当时，， ∵， 而与不关于轴对称， 故④错误； ⑤当时，取，时， ∴，， 则， 故⑤错误， 故答案为：①②③． 【变式3-9】已知点，，都在函数的图象上，则a、b、c的大小关系是 ．（用“”号连接） 【答案】 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，反比例函数的增减性，对于反比例函数，当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，据此求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴反比例函数的图象经过第二、四象限，且个每个象限内y随x增大而增大， ∵点，，都在函数的图象上，且， ∴， 故答案为：． 【变式3-10】已知点在反比例函数的图象上． （1）求反比例函数的表达式； （2）点，，都在反比例函数的图象上，比较，，的大小，并说明理由． （变式1）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A．    B．    C．    D． （变式2）反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（    ） A．当时，    B．当时， C．当时，    D．当时， 【答案】（1）；（2）；（变式1）B；（变式2）A 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的纵坐标比较大小的方法：方法一（利用函数增减性比较）：在同一象限的，根据，随的增大而减小，，随的增大而增大比较；在不同象限时，轴上方图象上点的纵坐标大，反之则小．方法二（数形结合法）：画出草图，大致标出各点，从图象中比较大小．（此方法为最简单的方法）方法三（特殊值法）给和要比较的点的横坐标取满足条件的数，算出对应的纵坐标，再进行比较． （1）把点代入即可求解； （2）利用反比例函数的增减性比较即可； 变式1：利用反比例函数的增减性比较即可； 变式2：利用反比例函数的增减性比较即可； 【详解】解：（1）将点代入，得， 反比例函数的表达式为； （2）， 反比例函数的图象在第一，三象限，且在每个象限内随的增大而减小， 点，，都在反比例函数的图像上， 在第三象限，和在第一象限， ，，， 又， ． 变式1： ， 反比例函数的图象分布在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∵点，，都在反比例函数 的图象上， 点分布在第三象限，，分布在第一象限，且， ，， ． 故选B； 变式2： 在反比例函数中，， 此函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，在每一象限内随的增大而减小， 当时，， ，均在第三象限， ， ，A正确，符合题意； 当时，， 点在第三象限，点在第一象限， ，， ，B，C错误，不符合题意；当时，， ，在第一象限， ， ，D错误，不符合题意． 故选A． 【考点题型四】比例系数k的几何意义 【例4】如图，反比例函数在第一象限，的面积是，则反比例函数中，是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数中与几何图形面积的计算，根据题意，，由此即可求解． 【详解】解：根据反比例函数图象与几何图形的面积的关系可得，，且反比例函数图象在第一象限，即， ∴， 解得，， 故选：C ． 【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，点是反比例函数图象上的一点，过点作轴于点，点是轴负半轴上一点，连接交轴于点，若是的中位线，的面积为12，则的值是（   ）    A． B． C．6 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数、三角形的中位线，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．设点的坐标为，则，先根据三角形的中位线可得，从而可得，再根据三角形的面积公式可得的值，由此即可得． 【详解】解：设点的坐标为，则， ∵是的中位线， ∴， ∴， ∵的面积为12，轴， ∴，即， 又∵点是反比例函数图象上的一点， ∴， 故选：B． 【变式4-2】如图，反比例函数的图象与矩形在第一家限相交于题图点，，，连接．记的面积分别为． （1）比较大小： （填“”、“”、“”）； （2）若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数系数的几何意义是解题的关键． （1）根据反比例系数的几何意义知的面积分别为进行解答即可； （2）根据的面积矩形的面积的面积的面积的面积进行解答即可． 【详解】（1）根据反比例系数的几何意义知的面积分别为， 故答案为： （2） ， 的面积矩形的面积的面积的面积的面积． 故答案为： 【变式4-3】在反比例函数的图象上任取一点P，过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别是N、M，则四边形的面积是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，熟知反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键．根据反比例函数比例系数的几何意义进行求解即可． 【详解】解：∵点P为反比例函数上任意一点，过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别是N、M， ∴四边形的面积是． 故答案为：3． 【变式4-4】如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且轴，则的面积等于 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了反比例函数中的几何意义，理解的几何意义是解题的关键． 延长交轴于，连接、，可求，，即可求解． 【详解】解：如图，延长交轴于，连接、， 轴， ， ， ， 故答案：． 【变式4-5】如图，矩形与反比例函数（是非零常数，）的图象交于点，反比例函数（是非零常数，）的图象交于点，连接．若四边形的面积为3，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查反比例函数中的几何意义的应用，读懂题意，数形结合，将所求代数式准确用的几何意义对应的图形面积表示出来是解决问题的关键． 根据反比例函数中的几何意义：反比例函数图象上点向坐标轴作垂线，与原点构成的直角三角形面积等于，数形结合可以得到，根据图象均在第一象限可知，再由四边形的面积为3，得到，即可得到答案． 【详解】解：矩形与反比例函数（是非零常数，）的图象交于点， 由反比例函数中的几何意义知，， 矩形与反比例函数（是非零常数，）的图象交于点， 由反比例函数中的几何意义知，， 四边形的面积为3， 由图可知，， 即，解得， ， 故答案为：6． 【变式4-6】在平面直角坐标系中，，两点在函数的图象上，其中，轴于点，轴于点，且． (1)若，则的长为________，的面积为________； (2)若点的横坐标为，且，当时，求的值． 【答案】(1)；1 (2) 【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征、反比例函数系数k的几何意义以及两点间的距离公式， （1）由和的值可得出点A的坐标，利用勾股定理即可求出的长度，由点B在反比例函数图像上，利用反比例函数系数k的几何意义即可得出的面积； （2）根据反比例函数图像上点的坐标特征可找出点A、B的坐标，利用两点间的距离公式即可求出、的长度，由即可得出关于的方程，解之即可求出值，再根据即可确定值． 【详解】（1）解：∵，， ∴点， ∴， ． ∵点B在反比例函数的图像上， ∴． 故答案为；1． （2）解：∵A，B两点在函数的图像上， ∴，， ∴，． ∵， ∴， 解得：或． ∵， ∴． 【考点题型五】反比例函数与一次函数的综合运用 【例5】如图，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，过点作轴，垂足为，连接，．    (1)求反比例函数的表达式． (2)若，以，为边作平行四边形，点在第三象限内，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立正比例函数与反比例函数，解方程组可得，图形结合分析，再根据，由此即可求解； （2）把点代入反比例函数解析式可得，则，根据点关于原点对称可得，再根据平行四边形的性质可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵正比例函数与反比例函数的图象交于点， ∴， 解得，，， 根据图形可得，， ∴， ∵轴， ∴，点到的距离为， ∵， ∴， ∴反比例函数解析式为：； （2）解：由（1）可知，反比例函数解析式为，且点在反比例函数图象上， ∴，即， ∵轴， ∴， ∵正比例函数与反比例函数交于点， ∴点关于原点对称， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，掌握一次函数与反比例函数交点的计算，解一元二次方程的方法，几何图形面积的计算方法，平行四边形的性质是解题的关键． 【变式5-1】已知正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点坐标为，则不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求出正比例函数，反比例函数，画出函数图象，结合函数图象即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点坐标为， ∴，， ∴正比例函数，反比例函数， 画出函数图象如图所示：    由图象可得：不等式的解集为或， 故选：B． 【变式5-2】如图直线与双曲线交于A，B两点，点A的坐标为． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，一次函数与反比例函数综合面积问题： （1）将点代入两个函数求解即可得到答案； （2）求出一次函数与x轴的交点坐标及B点坐标，根据求解即可得到答案 【详解】（1）解：∵直线与双曲线交于点， ∴，， 解得：，， ∴解析式为：，； （2）联立两个函数得， ，解得：，， 当时，， ∴， 当时，，解得：， 当时，， ∴，， ∴． 【变式5-3】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，B两点，与x轴交于点，与y轴交于点E． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)F为反比例函数第四象限上一点，过点F作轴于点Q，使与相似，求满足条件的F点坐标； (3)将直线平移，与反比例函数图象交于M，N两点，若，求直线的解析式． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为； (2)或 (3)或 【分析】本题考查待反比例函数与一次函数的综合应用，待定系数法求解析式，相似三角形的应用，一次函数与反比例函数交点问题； （1）将点代入求解即可得到答案； （2）设出点的坐标，分类讨论直角的两对应边成比例求解即可得到答案； （3）设出平移后的解析式，根据两交点距离列式求解即可得到答案； 【详解】（1）解：将，代入得， ，， 解得：，， ∴反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为； （2）解：∵轴， ∴， 设， 当时，， ∴， 当时， ， 解得：，（不符合题意舍去）， ∴， 当时， ， 解得：，（不符合题意舍去）， ∴， 综上所述：满足的坐标为：或； （3）解：设平移后的解析式为：， 联立反比例函数得， ， 即：， 设两个交点为，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 即：， ， 解得：或， ∴或． 【变式5-4】如图，一次函数与反比例函数在第一象限内的图象交于点，与轴交于点B，与轴交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)点P是轴上的一个动点，当的面积为4时，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2)， 【分析】本题考考查反比例函数与一次函数的综合，掌握函数图像性质，利用数形结合思想解题是关键； （1）利用待定系数法求解函数解析式； （2）设，然后根据三角形面积公式列方程求得C点坐标，从而利用待定系数法求解函数解析式． 【详解】（1）把代入中 得：， 解得：， 一次函数的解析式为； 把代入中 ， ， 设反比例函数的解析式为， 把代入中 得， 反比例函数的解析式为； （2）设 当时，， ， ， ， ， ， ， ， ，， 【变式5-5】如图，在矩形中，，，点D是边的中点，反比例函数的图象经过点D，交于点E．    (1)求k的值及直线的解析式； (2)在x轴上找一点P，使的周长最小，求此时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，求的面积． 【答案】(1)，直线的关系式为 (2)点 (3) 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点坐标，理解一次函数、反比例图象上点的坐标特征以及图形面积之间的和差关系是正确解答的前提． （1）根据矩形的性质可求出点B，点D的坐标，将点D的坐标代入反比例函数关系式可求出k的值，进而确定点E的坐标，再根据待定系数法求出直线的关系式即可; （2）求出点D关于轴的对称点的坐标，求出直线与x轴的交点即可满足的周长最小; （3）进行计算即可 【详解】（1）解：1.在矩形中，，， 点， 点D是边的中点， 点， 反比例函数的图象经过点D， ， 反比例函数的关系式为， 当时，即， 解得， 点 ， 设直线的关系式为，则， 解得， 直线的关系式为 （2）点关于x轴的对称点的坐标为， 直线与x轴的交点即为所求的点P，此时的周长最小， 设直线的关系式为，则 解得， 直线的关系式为 ， 当时，即， 解得， 直线与x轴的交点， 当的周长最小时，点， （3）如图，   由（1）（2）知 ，，，， ，，，， 1 的面积为． 【考点题型六】反比例函数的应用 【例6】饮水机接通电源会自动加热，加热时水温每分钟上升，温度到停止加热．然后水温开始下降，此时水温与时间成反比例函数关系，水温降至时，饮水机重复上述程序开始加热，加热时水温与时间的关系如图所示．水温从开始加热至，然后下降至这一过程中，水温不低于的时间为 ．    【答案】12 【分析】本题考查了一次函数，反比例函数的应用．首先求得两个函数的解析式，然后将代入两个函数求得两个时间相减即可确定答案． 【详解】解：设一次函数关系式为：， 将，代入，得， 解得， ， 设反比例函数关系式为：， 将代入，得， ， 中， 令，解得； 反比例函数中，令，解得：， （min）， 水温不低于的时间为min． 故答案为：． 【变式6-1】如图1是某种呼气式酒精测试仪的电路原理图，电源电压保持不变，为气敏可变电阻，定值电阻．检测时，可通过电压表显示的读数换算为酒精气体浓度，设，电压表显示的读数与之间的反比例函数图象如图2所示，与酒精气体浓度的关系式为，当电压表示数为时，酒精气体浓度为 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的实际应用等知识．先求出与之间的反比例函数为，再根据求出，代入即可求出． 【详解】解：设电压表显示的读数与之间的反比例函数为， ∵反比例函数图象经过点， ∴， ∴与之间的反比例函数为， 当时，, ∵，， ∴， 把代入得， 解得． 故答案为： 【变式6-2】如图，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度是体积的反比例函数，它的图象如图所示．当时，气体的密度是 kg/m3 .    【答案】2 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用以及从函数图像中获取信息．能够从函数图像中获取信息是解题的关键. 观察图像直接获取信息即可求解. 【详解】解：由图像可知，当时，气体的密度为2， 故答案为：2. 【变式6-3】为了预防甲型流感，某校对教室采取喷洒药物消毒，在对某教室进行消毒的过程中，先经过分钟的集中药物喷洒，再封闭教室分钟，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量与药物在空气中的持续时间（分钟）之间的函数关系，在药物喷洒和封闭教室期间，与均满足一次函数的关系，在打开门窗通风后与满足反比例函数的关系，如图所示． (1)研究表明，室内空气中的含药量低于时方可进入教室，从封闭教室开始，至少经过多少分钟后学生方可返回教室？ (2)当室内空气中的含药量不低于且持续时间不低于分钟时，才能完全有效杀灭流感病毒．试通过分析判断此次消毒是否完全有效？ 【答案】(1)分钟 (2)完全有效，见解析 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的实际应用，是一个分段函数，涉及待定系数法等知识点．掌握自变量、函数值等知识是解题的关键． （1）当时，设与的函数关系式为：，代入图中点的坐标求出，令，求出时间，再减去分钟即可得结果． （2）当时，设与的函数关系式为：，代入图中点的坐标求出，令，求出，对于，令，求出时间，用两时间之差与作比较，即可得结果． 【详解】（1）解：由题意可得，故当时，设与的函数关系式为：， 把代入上式得，， ， ， 当时，， ， （分钟）． 答：至少经过分钟后学生方可返回教室． （2）当时，设与的函数关系式为：， 把代入上式得，， ， ， 当时，， ， 对于，当时，， ， ， 此次消毒是完全有效， 答：此次消毒完全有效． 【变式6-4】已知汽车匀速从A市行驶到B市，设汽车行驶的时间为t小时，速度为v千米/时，且速度限定为不超过120千米/时．若从A市到B市汽车的行驶里程为480千米． (1)求关于的函数表达式； (2)若汽车从上午从市出发，如果汽车在当天到之间到达市，求汽车行驶速度的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题是反比例函数在行程问题中的应用，根据时间速度和路程的关系可以求解． （1）由速度乘以时间等于路程，变形即可得速度等于路程比时间，从而得解； （2）至时间长为小时，至时间长为6小时，将它们分别代入关于的函数表达式，即可得汽车行驶的速度范围． 【详解】（1）解：，且全程速度限定为不超过120千米/小时， ∴v关于的函数表达式为； （2）解：至时间长为小时，至时间长为6小时， 将代入得； 将代入得． ∴汽车行驶速度的范围为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$