精品解析：北京师范大学附属中学2025--2026学年九年级上学期统练一数学试卷

2025-2026初三上数学统练1 一、选择题 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用一元二次方程的定义：方程两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程(等式),叫做一元二次方程.判断即可． 【详解】解：A．是二元一次方程，不符合题意； B．是二元二次方程，不符合题意； C．是分式方程，不符合题意； D．是一元二次方程，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 2. 关于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 最低点是 C. 可以由向左平移2个单位得到 D. 当时，随的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】已知抛物线的顶点式，根据顶点式反映出的性质，逐一判断． 【详解】解：中，-1＜0， ∴开口向下，顶点坐标为（2，0），是最高点， 可以由向右平移2个单位得到， 当时，y随x的增大而增大， ∴说法正确的是D， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，从抛物线的表达式可知抛物线的开口方向，顶点坐标，对称轴，最高（最低）点坐标，增减性等． 3. 若关于x的一元二次方程有一个根是1，则m的值为（ 　 ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】把x=1代入方程，即可得到关于m的方程，然后再求解即可． 【详解】解：把x=1代入方程得：1-m+2=0，解得：m =3． 故选B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，理解方程的解的定义是解答本题的关键． 4. 下列配方中，变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据配方法解一元二次方程，把方程配成完全平方公式：，即可． 【详解】∵ ∴A不合题意； ∵ ∴B不合题意； ∵ ∴ ∴C符合题意； ∵ ∴D不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，解题是关键熟练掌握配方法解一元二次方程、完全平方公式． 5. 函数是二次函数，则m的值为（ ） A. 1或 B. 1 C. 或3 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义．根据二次函数定义可知最高次项次数为2，且最高次项系数不为零，据此列出方程求解即可． 【详解】解：由题意得，解得， 故选：D． 6. 在同一坐标系中画出的图象，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与系数a的关系，二次函数的系数a为正数时，抛物线开口向上；a为负数时，抛物线开口向下；a的绝对值越大，抛物线开口越小．根据二次函数开口大小和方向与a的关系，分析得出答案． 【详解】解：依题意，开口向下，和开口向上，且开口较小，开口较大， 故选：D． 7. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+6与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线y＝2x2于B、C两点，则BC的长为（　　） A. B. C. 2 D. 2 【答案】D 【解析】 【详解】∵抛物线y=ax2+6与y轴交于点A， ∴A（0，6）， ∵当y=6时，2x2=6， ∴x=， ∴B点坐标（-，6），C点坐标（，6）， ∴BC=-（-）=2， 故选：D. 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，两函数交点坐标的求法，平行于x轴的直线上两点间的距离等，解题的关键是先确定出点A的坐标. 8. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是（　　） ①方程是倍根方程；②是倍根方程，则；③若p，q满足，则关于x的方程是倍根方程；④若方程是倍根方程，则必有． A. ①②③ B. ②③④ C. ③④ D. ②③ 【答案】B 【解析】 【分析】①求出方程的解，再判断是否为倍根方程；②根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m、n之间的关系，而m、n之间的关系正好适合；③当p，q满足，则，求出两个根，再根据代入可得两个根之间的关系，进而判断是否为倍根方程；④用求根公式求出两个根，当，或时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可． 【详解】解：①解方程 ， ∴或， 解得，，，得，， 方程不是倍根方程； 故①不正确； ②若是倍根方程，， 因此或， 当时，， 当时，， ， 故②正确； ③∵，则：， ，， ， 因此是倍根方程， 故③正确； ④方程的根为：，， 若，则， 即， ， ， ， ， ． 若时，则，， 则， ， ， ， ， ． 故④正确， 正确的有：②③④． 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程的求根公式，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键． 二、填空题 9. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的值可以为_____． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是明确当根的判别式大于0时，一元二次方程有两个不相等的实数根．根据一元二次方程根的判别式列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 所以，， 解得， 则实数m的值可以为 故答案为：（答案不唯一）． 10. 已知关于x的一元二次方程的一个根是，则另一个根是_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．根据，即可求解． 【详解】解：方程的两个根之和为， 则另一个根为， 故答案为：1． 11. 已知函数图象上的三个点，则的大小关系是（从小到大排列）________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象性质．二次函数图象为开口向上的抛物线，则点到对称轴的距离越远，对应函数值越大，据此即可判断． 【详解】解：二次函数图象为开口向上的抛物线，其对称轴为， ∵， ∴， 故答案为：． 12. 抛物线向右平移3个单位得到的抛物线解析式为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查根据平移求函数解析式．函数图象左右平移影响自变量“x”，规律是“左加右减”，据此即可解答． 【详解】解：抛物线向右平移3个单位得到的抛物线解析式为： ， 故答案为：． 13. 已知，是方程的两根，则______． 【答案】11 【解析】 【分析】此题考查一元二次方程根与系数的关系，熟记一元二次方程根与系数的关系是解题的关键，根据根与系数的关系得到，再利用完全平方公式变形计算即可得到答案． 【详解】解：∵，是方程的两根， ∴， ∴， 故答案为：11． 14. 如图是一张长6cm，宽5cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形（阴影部分），剩余部分可制成底面积是6cm2的有盖的长方体铁盒．若设剪去的正方形的边长为xcm，则根据题意可列方程 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形铁皮的长与宽、制作的铁盒上底和下底全等、底面面积计算公式即可求解 【详解】解：设剪去的正方形的边长为xcm． 制作的铁盒上底和下底全等，侧面积也全等 底面的宽为（cm） 又由图形可知，底面的长为cm 则列出的方程是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是根据题意得到相等关系． 15. 对于实数，用符号表示，两数中较小的数，例，若，则_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算及一元二次方程的解法，关键是明确题目意思，掌握一元二次方程的解法．由题意知，当时，，计算求出满足要求的解即可；当时，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：由题意知，当时，， 解得，或， ∵时，， ∴，不符合要求，舍去； ∵时，， ∴符合要求； 当时，， 解得，或， ∵时，， ∴符合要求； ∵时，， ∴，不符合要求，舍去； 综上所述， 或， 故答案为：或2． 16. A、B、C三人进行乒乓球比赛赛前训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行．半天训练结束时，发现A共当裁判9局． ①若B，C分别进行了17局，13局比赛，则这半天训练中，三人共进行了_______局比赛； ②三人至少进行了_______局比赛． 【答案】 ①. 21 ②. 17 【解析】 【分析】本题考查推理与论证，解本题关键根据题目提供的特征和数据，分析其存在的规律和方法，并递推出相关的关系式，从而解决问题． ①先确定了B、C之间打了9局，A与B打了8局，A与C打了4局，进而确定三人一共打的局数； ②可推导出A当裁判9局，B当裁判3局，C当裁判5局，A当裁判的局次只能是1，3，5，…15，17，由此能求出结果，即可得到答案． 【详解】解：①∵A当了9局裁判， ∴B、C之间打了9局， 又∵B，C分别进行了17局，13局比赛， ∴A与B打了局，A与C打了局， ∴三人共打了局， 故答案为：21． ②∵A当了9局裁判，而从1到17共9个奇数，8个偶数， ∴A当裁判的局为奇数局， ∴三人至少进行了17局比赛， 故答案为：17． 三、解答题（52分） 17. 解方程 （1） （2）（配方法） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法并灵活运用是解答的关键． （1）先移项，然后利用直接开平方法解一元二次方程即可求解； （2）利用配方法解一元二次方程即可求解； （3）根据公式法解一元二次方程即可求解； （4）利用因式分解法解一元二次方程即可求解； 【小问1详解】 解： 解得： 【小问2详解】 解： ∴ ∴ ∴， 解得： 【小问3详解】 解： ∵， ∴ 解得：； 【小问4详解】 解： ∴ ∴或 解得： 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）设此方程的两个根分别为，，且．若，求m的值． 【答案】（1）证明：依题意，得， 此方程有两个不相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，求出出，即可证明结论成立； （2）首先求出，，然后根据得到，然后求解即可． 本题考查了根的判别式，以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用因式分解法解一元二次方程，求出方程的两个根． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， 解得， ∵， ，， ， ， ． 19. 已知抛物线y＝ax2经过点A(2，1)． (1)求这个函数的解析式； (2)画出函数的图像，写出抛物线上点A关于y 轴的对称点B 的坐标； (3)抛物线上是否存在点C，使△ABC的面积等于△OAB面积的一半，若存在，求出C点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y=x2； （2）B的坐标为（-2，1）； （3）C（，）或（，）或（，）或（，），使△ABC的面积等于△OAB面积的一半 【解析】 【分析】（1）把点A的坐标代入抛物线解析式求解即可得到a的值，从而得解； （2）根据关于y轴对称的点的坐标，横坐标互为相反数，纵坐标相同解答； （3）根据三角形的面积公式求出点C到AB的距离，再分①点C在AB下面，②点C在AB的上面两种情况求出点C的纵坐标，然后代入抛物线解析式求出横坐标，即可得到点C的坐标． 【详解】解：（1））∵抛物线y=ax2经过点A（2，1）， ∴4a=1，解得a=， ∴这个函数的解析式为y=x2； （2）∵点A（2，1），关于y轴对称的点的坐标，横坐标互为相反数，纵坐标相同， ∴点A关于y轴的对称点B的坐标为（-2，1）； （3）如图： ∵点A（2，1），B（-2，1）， ∴AB=2-（-2）=2+2=4，S△OAB=×4×1=2， 假设存在点C，且点C到AB的距离为h， 则S△ABC=•AB•h=×4h， ∵△ABC的面积等于△OAB面积的一半， ∴×4h=×2，解得h=， ①当点C在AB下面时，点C的纵坐标为， 此时，解得，， 则此时C的坐标为（，）或（，）， ②点C在AB的上面时，点C的纵坐标为， 此时，解得，， 则此时C的坐标为（，）或（，）， 综上，存在点C（，）或（，）或（，）或（，），使△ABC的面积等于△OAB面积的一半． 【点睛】本题是对二次函数的综合考查，待定系数法求二次函数解析式，关于y轴对称点的坐标特点，三角形的面积，以及二次函数的对称性，（3）要注意分点C在AB的上面与下面两种情况讨论求解． 20. 已知二次函数． （1）将配方得_____； （2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象（不需要列表）； （3）当x为 时，； （4）时，直接写出y的取值范围是 ； （5）当时，函数y的取值范围为，则a的值为 ． 【答案】（1） （2） 如图所示， （3） （4） （5） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值问题，画二次函数图象； （1）根据配方法化为顶点式，即可求解； （2）根据顶点式确定顶点坐标，以及与轴的交点坐标，根据二次函数图象的对称性画出函数图象，即可求解； （3）根据函数图象可得时，， （4）结合函数图象，当时，得出的范围； （5）根据时，函数y的取值范围为，令，得出，即可求解． 【小问1详解】 解：， 故答案为：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：根据函数图象可得，当时，， 故答案为：． 【小问4详解】 解：根据函数图象可得当时，， 当时，取得最大值为， ∴当，y的取值范围是； 故答案为：． 【小问5详解】 解：∵当时，函数y的取值范围为， 当时，， 当时，， 当时， 解得：或（舍去） 则a的值为， 故答案为：． 21. 直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在直播平台上对一款衬衫进行直播销售，销售信息如下： 购买件数 销售价格 不超过30件 单价40元 超过30件 每多买1件，购买的所有衬衫单价降低0.5元，但单价不得低于30元 小王用1400元恰好购物了若干件此款衬衫，求小王购买该衬衫的件数． 【答案】小王购买该衬衫的件数为40件 【解析】 【分析】先判断购买的件数超过了30，设购买了x件，表示出每件衬衫的价格，进而得出购买衬衫的总钱数，根据总钱数是1400元建立方程求出答案． 【详解】解：∵， ∴衬衫数超过了30件， 设总数为x件，则每件衬衫的价格为：元， 根据题意可得：， 解得：，， ∵时，， ∴不合题意舍去， ∴． 答：小王购买该衬衫的件数为40件． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确表示出每件商品的价格是解题关键． 22. 已知：在中，是边上的动点，将线段绕点D顺时针旋转得到线段． （1）如图1，当点E在线段上时，求证：D是的中点； （2）如图2，连接，取线段的中点M，连接，直接写出的大小并证明； （3）若F是的中点，，直接写出的最小值为 ． 【答案】（1） 证明：由旋转的性质可得， ∴是等边三角形， ， ， ， 又， D是的中点； （2） ， 证明如下：如图所示，延长到，使得，连接， 同（1）可证明是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ∵点为的中点， 是的中位线， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）证明是等边三角形，得到，进而证明，由三线合一定理即可证明结论； （2）如图所示，延长到，使得，连接，同（1）可证明是等边三角形，则，证明，得到，再证明为的中位线，得到，则，即可得到； （3）如图所示，连接，由三线合一定理得到，进而求出，证明是等边三角形，推出，则点在直线上运动；设直线交于，过点作垂直于直线于，则，求出即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，连接， ∵点是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴点在直线上运动， 设直线交于，过点作垂直于直线于， ， ， ， ， ， 由垂线段最短可知，当点运动到点，即时，有最小值，最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，锐角三角函数，三角形中位线定理等等，证明点E的运动轨迹是直线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026初三上数学统练1 一、选择题 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 最低点是 C. 可以由向左平移2个单位得到 D. 当时，随的增大而增大 3. 若关于x的一元二次方程有一个根是1，则m的值为（ 　 ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 4. 下列配方中，变形正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 函数是二次函数，则m的值为（ ） A. 1或 B. 1 C. 或3 D. 3 6. 在同一坐标系中画出的图象，正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+6与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线y＝2x2于B、C两点，则BC的长为（　　） A. B. C. 2 D. 2 8. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是（　　） ①方程是倍根方程；②是倍根方程，则；③若p，q满足，则关于x的方程是倍根方程；④若方程是倍根方程，则必有． A. ①②③ B. ②③④ C. ③④ D. ②③ 二、填空题 9. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的值可以为_____． 10. 已知关于x的一元二次方程的一个根是，则另一个根是_____． 11. 已知函数图象上的三个点，则的大小关系是（从小到大排列）________． 12. 抛物线向右平移3个单位得到的抛物线解析式为_____． 13. 已知，是方程的两根，则______． 14. 如图是一张长6cm，宽5cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形（阴影部分），剩余部分可制成底面积是6cm2的有盖的长方体铁盒．若设剪去的正方形的边长为xcm，则根据题意可列方程 _____． 15. 对于实数，用符号表示，两数中较小的数，例，若，则_____． 16. A、B、C三人进行乒乓球比赛赛前训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行．半天训练结束时，发现A共当裁判9局． ①若B，C分别进行了17局，13局比赛，则这半天训练中，三人共进行了_______局比赛； ②三人至少进行了_______局比赛． 三、解答题（52分） 17. 解方程 （1） （2）（配方法） （3） （4） 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）设此方程的两个根分别为，，且．若，求m的值． 19. 已知抛物线y＝ax2经过点A(2，1)． (1)求这个函数的解析式； (2)画出函数的图像，写出抛物线上点A关于y 轴的对称点B 的坐标； (3)抛物线上是否存在点C，使△ABC的面积等于△OAB面积的一半，若存在，求出C点的坐标；若不存在，请说明理由． 20. 已知二次函数． （1）将配方得_____； （2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象（不需要列表）； （3）当x为 时，； （4）时，直接写出y的取值范围是 ； （5）当时，函数y的取值范围为，则a的值为 ． 21. 直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在直播平台上对一款衬衫进行直播销售，销售信息如下： 购买件数 销售价格 不超过30件 单价40元 超过30件 每多买1件，购买的所有衬衫单价降低0.5元，但单价不得低于30元 小王用1400元恰好购物了若干件此款衬衫，求小王购买该衬衫的件数． 22. 已知：在中，是边上的动点，将线段绕点D顺时针旋转得到线段． （1）如图1，当点E在线段上时，求证：D是的中点； （2）如图2，连接，取线段的中点M，连接，直接写出的大小并证明； （3）若F是的中点，，直接写出的最小值为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $