2.4 一元二次方程根与系数的关系1（Word教案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（湘教版）

该教案聚焦一元二次方程根与系数的关系，通过解三个具体方程填表，引导学生观察两根和与积和方程系数的联系，衔接已学的方程解法，搭建从具体到抽象的探究支架。 其亮点在于以情境导入激发数学眼光，合作探究中例题与方法总结培养数学思维，综合应用结合判别式强化严谨性。如求代数式值用整体代入，发展运算能力与推理意识，助力学生养成观察分析习惯，为教师提供清晰教学路径与易错提醒。

*2.4　一元二次方程根与系数的关系 1．掌握一元二次方程的根与系数的关系；(重点) 2．会利用根与系数的关系解有关的问题．(难点) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、情境导入 解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，你发现表格中两个解的和与积同原来的方程有什么联系？ (1)x2－2x＝0； (2)x2＋3x－4＝0； (3)x2－5x＋6＝0. 方程 x1 x2 x1＋x2 x1·x2 二、合作探究 探究点一：一元二次方程的根与系数的关系 利用根与系数的关系，求方程3x2＋6x－1＝0的两根之和、两根之积． 解：这里a＝3，b＝6，c＝－1， Δ＝b2－4ac＝62－4×3×(－1)＝36＋12＝48＞0， ∴方程有两个实数根． 设方程的两个实数根为x1，x2， 那么x1＋x2＝－2，x1·x2＝－. 方法总结：由一元二次方程根与系数的关系可求得．如果方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根x1，x2，那么x1＋x2＝－，x1x2＝. 探究点二：一元二次方程的根与系数的关系的应用 【类型一】 利用根与系数的关系求代数式的值 设x1，x2是方程2x2＋4x－3＝0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值． (1)(x1＋2)(x2＋2)；　　(2)＋. 解：根据根与系数的关系，得x1＋x2＝－2，x1x2＝－. (1)(x1＋2)(x2＋2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＝－＋2×(－2)＋4＝－. (2)＋＝＝＝＝－. 方法总结：先确定a，b，c的值，再求出x1＋x2与x1x2的值，最后将所求式子做适当的变形，把x1＋x2与x1x2的值整体代入求解即可． 【类型二】 利用根与系数的关系求方程的根或字母系数的值 已知方程5x2＋kx－6＝0的一个根为2，求它的另一根及k的值． 解：设方程的另一个根是x1，则2x1＝－， ∴x1＝－.又∵x1＋2＝－， ∴－＋2＝－，∴k＝－7. 方法总结：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)，当已知二次项系数和常数项时，可求得方程的两根之积；当已知二次项系数和一次项系数时，可求得方程的两根之和． 【类型三】 判别式及根与系数关系的综合应用 已知α、β是关于x的一元二次方程x2＋(2m＋3)x＋m2＝0的两个不相等的实数根，且满足＋＝－1，求m的值． 解：∵α、β是方程的两个不相等的实数根， ∴α＋β＝－(2m＋3)，αβ＝m2. 又∵＋＝＝＝－1， 化简整理，得m2－2m－3＝0. 解得m＝3或m＝－1. 当m＝－1时，方程为x2＋x＋1＝0， 此时Δ＝12－4＜0，方程无解， ∴m＝－1应舍去． 当m＝3时，方程为x2＋9x＋9＝0， 此时Δ＝92－4×9＞0， 方程有两个不相等的实数根， 综上所述，m＝3. 易错提醒：本题由根与系数的关系求出字母m的值，但一定要代入判别式验算，字母m的取值必须使判别式大于0，这一点很容易被忽略． 三、板书设计 引导学生经历探索，尝试发现根与系数的关系，感受不完全归纳验证以及演绎证明．通过观察、实践、讨论等活动，经历发现问题、发现关系的过程，养成独立思考的习惯，培养学生观察、分析和综合、判断的能力，激发学生发现规律的积极性，激励学生勇于探索的精神．通过交流互动，逐步养成合作的意识及严谨的治学精神． 学科网（北京）股份有限公司 $