2．3二次函数与一元二次方程、不等式（7大题型）（精练）-2025-2026学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019必修第一册）

2．3二次函数与一元二次方程、不等式 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：一元二次不等式的解法 2 题型二：一元二次不等式求参 2 题型三：含有参数的一元二次不等式的解法 3 题型四：不等式恒成立问题 3 题型五：一次分式不等式的解法 4 题型六：实际应用问题 4 题型七：一元二次方程根的分布问题 5 02 重难点拓展 6 题型一：一元二次不等式的解法 1．不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 2．（24-25高一上·全国·周测）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·内蒙古乌兰察布·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D． 题型二：一元二次不等式求参 4．已知关于的不等式的解集为或，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．不等式的解集是，则的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 6．（23-24高一上·云南昭通·期中）已知不等式的解集为或，则的解集为（   ） A． B． C． D． 题型三：含有参数的一元二次不等式的解法 7．（23-24高一上·甘肃白银·期中）解下列不等式. (1)； (2). 8．（24-25高一下·黑龙江大庆·开学考试）已知关于的不等式的解集为，其中． (1)若，求的值； (2)求不等式的解集. 9．（24-25高一下·湖南长沙·开学考试）已知函数. (1)若对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式. 题型四：不等式恒成立问题 10．若关于x的不等式组没有实数解，则实数a的取值范围是 . 11．（23-24高一上·甘肃白银·期中）若不等式有解，则实数的取值集合是 . 12．设为实数， (1)若方程有实数根，求的取值范围； (2)若不等式的解集为，求的取值范围． 题型五：一次分式不等式的解法 13．（24-25高二下·上海杨浦·期末）不等式的解集是 ． 14．（2025·上海杨浦·三模）不等式的解集为 ． 15．不等式的解集为 ． 题型六：实际应用问题 16．某花卉店售卖一种多肉植物，若每株多肉植物的售价为30元，则每天可卖出25株；若每株多肉植物的售价每降低1元，则日销售量增加5株．为了使这种多肉植物每天的总销售额不低于1250元，则每株这种多肉植物的最低售价为（   ） A．25元 B．20元 C．15元 D．10元 17．某公司的笔记本电脑的生产成本（万元）与产量（台）之间的关系为，每台电脑的售价为5000元，则最少售出多少台笔记本电脑才能使公司盈利（    ） A．141 B．151 C．161 D．171 18．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入.则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型七：一元二次方程根的分布问题 19．若一元二次方程（）有一个正根和一个负根，则有（    ）． A． B． C． D． 20．已知一元二次方程的一根比1大，另一根比1小，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 21．（24-25高一上·重庆·期中）“”是“一元二次方程有两个正实根”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1．（24-25高一上·陕西西安·开学考试）如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点．则下列说法正确的是：①；②；③；④．（    ） A．①② B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 2．（25-26高一上·河北石家庄·开学考试）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为m，n，则点在平面直角坐标系中位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 4．已知关于的不等式的解集为A，则下列结论错误的是（    ） A．A中可能只有一个元素 B．若，则A中的元素为负数 C．若，则 D．A可能为空集 5．已知对所有正实数都成立，则实数的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 6．“”是“关于x的一元二次不等式的解集为R”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．“不等式在R上恒成立”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·山西长治·期中），不等式恒成立，则的最小值为（   ） A．6 B． C． D． 9．（多选题）关于的不等式的解集可能为（    ） A． B． C． D． 10．（多选题）（25-26高一上·河南南阳·开学考试）关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围可能是（    ） A． B． C． D． 11．（多选题）已知关于的不等式，下列关于此不等式的解集结论正确的是（    ） A．解集可以是 B．解集可以是 C．解集可以是 D．解集可以是 12．（25-26高一上·上海杨浦·开学考试）已知集合，若中至多有一个元素，则实数的取值范围是 . 13．（25-26高一上·湖北武汉·开学考试）已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为 ． 14．若命题“，使得”是假命题，则实数的取值集合是 . 15．（24-25高一上·辽宁大连·期中）已知是一元二次方程的两个不等实数根． (1)若均为正根，求实数的取值范围； (2)求使的值为整数的的整数值； 16．（25-26高一上·全国·单元测试）已知. (1)若，求x的取值范围； (2)求y的最小值. 17．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数． (1)当时，求不等式的解集； (2)求不等式的解集； (3)若不等式的解集中恰有三个整数解，求实数的取值范围． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2．3二次函数与一元二次方程、不等式 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：一元二次不等式的解法 2 题型二：一元二次不等式求参 3 题型三：含有参数的一元二次不等式的解法 4 题型四：不等式恒成立问题 6 题型五：一次分式不等式的解法 7 题型六：实际应用问题 7 题型七：一元二次方程根的分布问题 8 02 重难点拓展 10 题型一：一元二次不等式的解法 1．不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】由题意有，方程有两个根，即和1， 则的解集为或， 即不等式的解集为或. 故选：C. 2．（24-25高一上·全国·周测）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 所以， 原不等式的解集为． 故选：D． 3．（24-25高一下·内蒙古乌兰察布·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【解析】不等式即不等式， 故，即不等式的解集为， 故选：B 题型二：一元二次不等式求参 4．已知关于的不等式的解集为或，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题知，方程的两个根分别为，且， 则， 又，即， 所以的解集为. 故选：A. 5．不等式的解集是，则的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【解析】因为不等式的解集是， 所以是方程的两个根. 所以，解得. 所以不等式化简得. 所以. 故选：B. 6．（23-24高一上·云南昭通·期中）已知不等式的解集为或，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵不等式的解集为或， 可得,是方程的两根， 由韦达定理可得： ，，且， 所以的解集，即， 所以解集为， 故选：A. 题型三：含有参数的一元二次不等式的解法 7．（23-24高一上·甘肃白银·期中）解下列不等式. (1)； (2). 【解析】（1）不等式可化为， ∴ 不等式的解集是. （2）原不等式可化为， 若时，解为, 若时，解为， 若时，解为. 8．（24-25高一下·黑龙江大庆·开学考试）已知关于的不等式的解集为，其中． (1)若，求的值； (2)求不等式的解集. 【解析】（1）当时，关于的方程的两根为， 由韦达定理可得，解得. （2）原不等式可化为. 当时，原不等式为，解得，； 当时，方程的根为，， 当时，不等式可化为，解得或， ； 当，即时，原不等式为，； 当，即时，不等式可化为，解得，； 当，即时，不等式可化为，解得，. 综上所述，当时，；当时，； 当时，；当时，；当时，. 9．（24-25高一下·湖南长沙·开学考试）已知函数. (1)若对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式. 【解析】（1）由题意，对一切实数恒成立， 当时，不等式可化为，不满足题意； 当时，则有，解得； 故实数的取值范围是. （2）不等式等价于，即， 当时，不等式可化为，解集为； 当时，与不等式对应的一元二次方程的两根为. 当时，，此时不等式解集为； 当时，，此时不等式解集为或； 当时，，此时不等式解集为； 当时，，此时不等式解集为或. 综上所述， 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或. 题型四：不等式恒成立问题 10．若关于x的不等式组没有实数解，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【解析】解不等式可得， 由可得， 若关于的不等式组没有实数解， 则. 故答案为：. 11．（23-24高一上·甘肃白银·期中）若不等式有解，则实数的取值集合是 . 【答案】 【解析】由题意，可得，即， 则实数的取值集合是. 故答案为：. 12．设为实数， (1)若方程有实数根，求的取值范围； (2)若不等式的解集为，求的取值范围． 【解析】（1）依题意，一元二次方程有实根，， 即，解得或， 所以的取值范围是或. （2）不等式的解集为，即的解集为， 则，解得， 所以的取值范围是. 题型五：一次分式不等式的解法 13．（24-25高二下·上海杨浦·期末）不等式的解集是 ． 【答案】 【解析】， 等价于，解得， 解集为. 故答案为； 14．（2025·上海杨浦·三模）不等式的解集为 ． 【答案】或. 【解析】等价于，即， 解得或，即原不等式的解集为：或. 故答案为：或. 15．不等式的解集为 ． 【答案】，或 【解析】由得，，通分得， 此不等式等价于，解得或， 故不等式的解集为，或 故答案为：，或 题型六：实际应用问题 16．某花卉店售卖一种多肉植物，若每株多肉植物的售价为30元，则每天可卖出25株；若每株多肉植物的售价每降低1元，则日销售量增加5株．为了使这种多肉植物每天的总销售额不低于1250元，则每株这种多肉植物的最低售价为（   ） A．25元 B．20元 C．15元 D．10元 【答案】D 【解析】设售价为元， 则销售量为， 销售额，整理可得， 解得， 所以最低售价为10元， 故选：D. 17．某公司的笔记本电脑的生产成本（万元）与产量（台）之间的关系为，每台电脑的售价为5000元，则最少售出多少台笔记本电脑才能使公司盈利（    ） A．141 B．151 C．161 D．171 【答案】B 【解析】由题意，每台电脑的售价为0.5万元， 则， 解得， 故最少售出151台才能盈利. 故选：B. 18．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入.则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设这批台灯的销售单价为x元，由题意得，， 即，解得，又因为，所以， 这批台灯的销售单价的取值范围是. 故选：C 题型七：一元二次方程根的分布问题 19．若一元二次方程（）有一个正根和一个负根，则有（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意：设方程的两根为，，（）. 则. 故选：A 20．已知一元二次方程的一根比1大，另一根比1小，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】记，则函数为开口向上的二次函数， 要使方程的根一个大于1一个小于1，则只需要时，即可， 即，解得，所以实数a的取值范围是. 故选：C. 21．（24-25高一上·重庆·期中）“”是“一元二次方程有两个正实根”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】设一元二次方程的两个正实根分别为、， 由题意可得，解得， 因为， 所以，“”是“一元二次方程有两个正实根”的必要不充分条件. 故选：B. 1．（24-25高一上·陕西西安·开学考试）如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点．则下列说法正确的是：①；②；③；④．（    ） A．①② B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【解析】由图象可知二次函数图象开口向下，则， 图象与轴交点为，所以， 顶点在第一象限，对称轴，又，所以， 所以，①说法正确； 因为图象经过、两个点，所以，解得， 因为，，所以，②说法正确； 由得，即，③说法正确； 因为图象顶点在第一象限，且经过， 由二次函数的对称性可知与轴另一个交点的横坐标在上， 所以当时，， 又，，，所以，即，④说法正确； 综上①②③④正确； 故选：D 2．（25-26高一上·河北石家庄·开学考试）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为m，n，则点在平面直角坐标系中位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】方程，即，设方程的两根分别为， 由韦达定理可得，， 即点在第三象限. 故选：C 3．已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【解析】当时，不等式化为恒成立， 当时，不等式不能恒成立， 当时，要使不等式恒成立，需， 解得， 综上所述，不等式对任意恒成立，的取值范围是， 故选：A. 4．已知关于的不等式的解集为A，则下列结论错误的是（    ） A．A中可能只有一个元素 B．若，则A中的元素为负数 C．若，则 D．A可能为空集 【答案】D 【解析】A选项，由，得， 当，即时，，得，则，A正确； B选项，当，即时，， 此时与均为负值，所以A中元素均为负数，B正确； C选项，由AB知，时，不满足， 当，即时，， 因为，所以，得，C正确； D选项，由题意得，则A不可能为空集，D错误． 故选：D 5．已知对所有正实数都成立，则实数的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【解析】将不等式变形为，记，则问题转化为求的最大值问题． 中分子、分母同时除以正数，变形得， 令，则，整理得， 将方程看成关于的一元二次方程， 因为，所以方程一定有正实数解， 所以， 由，得，解得， 由，得， 由，得或， 所以， 所以的最大值为9，则，即的最小值为9． 故选：B 6．“”是“关于x的一元二次不等式的解集为R”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】充分性：若，，一元二次不等式的解集为，即充分性不成立； 必要性：若一元二次不等式的解集为，则，即必要性成立. 因此，“”是“一元二次不等式的解集为”的必要不充分条件. 故选：B. 7．“不等式在R上恒成立”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】不等式在R上恒成立， ∴，解得，这是其充要条件， 是的真子集，其充分不必要条件可以是. 故选：D. 8．（24-25高二下·山西长治·期中），不等式恒成立，则的最小值为（   ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，不等式恒成立， 当时，不恒成立，不合题意； 当时，满足且， 即，所以，所以， 所以，， 当且仅当即，取的最小值为. 故选：B. 9．（多选题）关于的不等式的解集可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】当时，不等式可化为，则不等式的解集为，故B正确． 当时，为一元二次不等式， 且可因式分解为．二次项系数影响不等式是否变号，因此再分两种情况． 当时，． 当，即时，不等式的解集为，故C正确． 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为． 当时，，此时显然， 不等式的解集为，故D正确． 故选：BCD 10．（多选题）（25-26高一上·河南南阳·开学考试）关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】不等式化为， 当时，不等式解为， 不等式解集中恰有两个整数，则这两个整数为，则； 当时，不等式无解，不符合； 当时，不等式解为， 不等式解集中恰有两个整数，则这两个整数为，则. 综上，满足题意的实数的取值范围可能是或. 故选：AB 11．（多选题）已知关于的不等式，下列关于此不等式的解集结论正确的是（    ） A．解集可以是 B．解集可以是 C．解集可以是 D．解集可以是 【答案】BD 【解析】对于A，当时，，不等式成立，因此解集至少含有0，所以不等式的解集不可能为，故A错误； 对于B，当且时，不等式的解集为；当时，，不等式的解集也为，故B正确； 对于C，因为当时，，不等式成立，因此解集至少含有0，而解集不包含0，故C错误； 若该结论正确，显然，且，是一元二次方程的两个实数根， 由，解得，此时不等式为，即，解集为，故D正确. 故选：BD. 12．（25-26高一上·上海杨浦·开学考试）已知集合，若中至多有一个元素，则实数的取值范围是 . 【答案】或 【解析】当时，，只有一个元素，符合题意； 当时，若中至多有一个元素，则关于的一元二次方程有两个相等的实数根或无实数根， 则，解得， 所以实数的取值范围是或， 故答案为：或. 13．（25-26高一上·湖北武汉·开学考试）已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】已知不等式的解集为,所以，且方程的两根为， 根据韦达定理，，所以，. 不等式可化为，两边同时除以， 得，即，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 14．若命题“，使得”是假命题，则实数的取值集合是 . 【答案】 【解析】命题“，使得”是假命题， 等价于“命题"，使得”是真命题. 当时，可化为，解得， 不满足对于恒成立，不符合题意； 当时，若对于恒成立， 则，即，解得. 综上，所以实数的取值集合是. 故答案为： 15．（24-25高一上·辽宁大连·期中）已知是一元二次方程的两个不等实数根． (1)若均为正根，求实数的取值范围； (2)求使的值为整数的的整数值； 【解析】（1）由题意，一元二次方程有两个正根， 故，得， 且，解得：. （2）由题意，， 又当，即时，且， 故， 由于为整数，故只能取，又， 故整数的值为. 16．（25-26高一上·全国·单元测试）已知. (1)若，求x的取值范围； (2)求y的最小值. 【解析】（1）由可得，由可得，即， 解得或， 由于，因此，x的取值范围为. （2）由可得，， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时取等号. 因此y的最小值为. 17．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数． (1)当时，求不等式的解集； (2)求不等式的解集； (3)若不等式的解集中恰有三个整数解，求实数的取值范围． 【解析】（1）当时，， 所以方程的根为或－3， 所以不等式的解集为． （2）若，即，此时二次函数的图象在轴上方， 不等式的解集为； ②若，即，此时方程为， 只有一个根，不等式的解集为； ③若，即， 此时方程的两根分别为，， 不等式的解集为． 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． （3）因为，故抛物线的对称轴为且开口向上， 而不等式的解集中恰有三个整数解， 故且，在不等式的解集中（、关于对称）， ，不在不等式的解集中（、关于对称）， 故， 故. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $