21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系（作业课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（人教版）

该初中数学课件聚焦九年级“一元二次方程的根与系数的关系”，通过复习解方程方法导入，衔接方程求解与关系应用，以教材习题变式、条件变式及易错变式为支架，帮助学生逐步理解两根和与积的规律及应用。 其亮点是分层设计（A/B/C三级）与中考题结合，通过变式训练（如已知一根求另一根）和易错点强调（Δ≥0取舍），培养运算能力与推理意识，方法归纳梳理常见变形公式。学生提升解题能力，教师获分层资源与教学指导，便于高效教学。

2025秋季学期 《学练优》·九年级数学上·RJ 第二十一章　一元二次方程 21.2　解一元二次方程 *21.2.4　一元二次方程的根与系数的关系 目 录 CONTENTS 01 A 学习理解 02 B 应用实践 03 C 迁移创新 知识点一　根与系数的关系 1. 教材P17习题T7变式不解方程，求下列各方程的 两根之和与两根之积： (1)x2＋5x－1＝0：x1＋x2＝ ，x1x2＝ ⁠； (2)－x2＋6x－2＝0：x1＋x2＝ ，x1x2＝ ⁠； －5　 － 1 6　 2　 (3)4x2＋1＝7x：x1＋x2＝ 　 　，x1x2＝ 　 　； (4)3x2－1＝0：x1＋x2＝ ，x1x2＝ ⁠. 　 　 0　 － 　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 2. 已知一元二次方程x2－mx＋4＝0的一个根为 x1＝1，则另一个根x2＝ ⁠. 4　 条件变式·已知两根积→已知两根和 (2024·巴中中考)已知关于x的方程x2－2x＋k＝0的 一个根为－2，则方程的另一个根为 ⁠. 4　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 3. 设方程x2－3x－4＝0的两个根分别为x1，x2，不 解方程求下列各式的值： (1) ＋ ； 解：由根与系数的关系得x1＋x2＝3，x1x2＝－4. (1) ＋ ＝ ＝－ . 解：由根与系数的关系得x1＋x2＝3，x1x2＝－4. (1) ＋ ＝ ＝－ . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 (2) x2＋x1 ； 解：由根与系数的关系得x1＋x2＝3，x1x2＝－4. 解：由根与系数的关系得x1＋x2＝3，x1x2＝－4. (2) x2＋x1 ＝x1x2(x1＋x2)＝－4×3＝－12. (3)(x1－3)(x2－3). 解：(x1－3)(x2－3)＝x1x2－3(x1＋x2)＋9＝－4－3×3 ＋9＝－4. (2) x2＋x1 ＝x1x2(x1＋x2)＝－4×3＝－12. 解：(x1－3)(x2－3)＝x1x2－3(x1＋x2)＋9 ＝－4－3×3＋9＝－4. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 知识点二　根与系数的关系的应用 4. 关于x的方程x2＋bx＋c＝0的两根为－2和3，则 b，c的值分别为(　B　) A. b＝1，c＝－6 B. b＝－1，c＝－6 C. b＝5，c＝－6 D. b＝－1，c＝6 5. 改编题 已知m，n是方程2x2－x－1＝0的两根， 则点P(m＋n，mn)在第 象限. 6. 若关于x的方程x2＋(m2－4)x＝0的两根互为相反 数，则m的值为 ⁠. B 四　 ±2　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 易错变式·根据Δ≥0进行取舍 (1)若关于x的方程x2＋(2－k)x＋k2＝0的两根互为 倒数，则k的值为 ⁠. (2)新考向 开放设问　写一个关于x的一元二次方程， 使其两根互为倒数： ⁠ ⁠. －1　 3x2－10x＋3＝0(答案不唯一) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 7. (2025·长沙岳麓区期中)已知关于x的一元二次方 程x2＋(2m－3)x＋m2＋1＝0. (1)当方程有两个不相等的实数根时，求m的取值 范围； 解：(1)∵方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝(2m－3)2－4×1×(m2＋1)＞0. ∴m＜ . 解：(1)∵方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝(2m－3)2－4×1×(m2＋1)＞0. ∴m＜ . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 (2025·长沙岳麓区期中)已知关于x的一元二次方 程x2＋(2m－3)x＋m2＋1＝0. (2)若方程两实根x1，x2满足 ＋ ＝1，求m的值. 解：(2)∵x2＋(2m－3)x＋m2＋1＝0， ∴x1＋x2＝－2m＋3，x1x2＝m2＋1. ∵ ＋ ＝ ＝1， ∴ ＝1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 ∴m2＋4m－5＝0. ∴m1＝1，m2＝－5. ∵方程有两实根， ∴Δ＝(2m－3)2－4×1×(m2＋1)≥0. ∴m≤ . ∴m＝－5. ∴m≤ . ∴m＝－5. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 8. (2024·绥化中考)小影与小冬一起写作业，在解一 道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数 项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过 程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根 是－2和－5.则原来的方程是(　B　) A. x2＋6x＋5＝0 B. x2－7x＋10＝0 C. x2－5x＋2＝0 D. x2－6x－10＝0 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 9. 已知关于x的一元二次方程x2－(k＋1)x－6＝0， k＜0，则该方程的根的情况是(　C　) A. 没有实数根 B. 有两个正实数根 C. 两根之积为－6 D. 两根之和为1 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 10. (2024·德州中考)已知a和b是方程x2＋2024x－4＝0 的两个解，则a2＋2023a－b的值为 ⁠. 11. 若实数a，b满足a2＋3a＝2，b2＋3b＝2，且 a≠b，则 ＋ ＝ 　－ 　. 2028　 － 　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 辅助设问 a，b可以看作是关于x的一元二次方程 ⁠ 的两根. x2＋3x－2＝0 解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式Δ＝b2－4ac＝[－2(k－1)]2－4(k－2)(k ＋1)＝－4k＋12＞0， 则k＜3.∵k－2≠0，∴k≠2. ∴k＜3且k≠2. ∵k为正整数，∴k的值为1. 解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式Δ＝b2－4ac＝[－2(k－1)]2－4(k－2)(k＋1) ＝－4k＋12＞0， 则k＜3.∵k－2≠0，∴k≠2. ∴k＜3且k≠2. ∵k为正整数，∴k的值为1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 12. (2025·宜昌夷陵区期中)已知关于x的一元二次方程 (k－2)x2－2(k－1)x＋k＋1＝0有两个不相等的实数根. (1)若k为正整数，求k的值. (2)新课标 开放探究　设x1，x2是该方程的两个根， 记S＝x1＋x2－2x1x2，S的值能为－1吗？若能，求 k的值；若不能，请说明理由. 解：S的值不能为－1，理由如下： 由题意得x1＋x2＝ ，x1x2＝ . 若S＝x1＋x2－2x1x2＝－1， 则 －2× ＝－1，解得k＝6. ∵k＜3且k≠2，∴S的值不能为－1. 解：S的值不能为－1，理由如下： 由题意得x1＋x2＝ ，x1x2＝ . 若S＝x1＋x2－2x1x2＝－1， 则 －2× ＝－1，解得k＝6. ∵k＜3且k≠2，∴S的值不能为－1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 13. (2024·内江中考)已知关于x的一元二次方程 x2－px＋1＝0(p为常数)有两个不相等的实数根x1和x2. (1)填空：x1＋x2＝ ，x1x2＝ ⁠； p　 1　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 (2)求x1＋ 的值； 解：(2)∵关于x的一元二次方程x2－px＋1＝0(p为 常数)有两个不相等的实数根x1和x2， ∴ －px1＋1＝0. 又∵x1≠0，∴x1－p＋ ＝0， 即x1＋ ＝p. 解：(2)∵关于x的一元二次方程x2－px＋1＝0(p为 常数)有两个不相等的实数根x1和x2， ∴ －px1＋1＝0. 又∵x1≠0，∴x1－p＋ ＝0， 即x1＋ ＝p. (2024·内江中考)已知关于x的一元二次方程 x2－px＋1＝0(p为常数)有两个不相等的实数根x1和x2. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 (2024·内江中考)已知关于x的一元二次方程x2－px＋1＝0 (p为常数)有两个不相等的实数根x1和x2. (3)已知 ＋ ＝2p＋1，求p的值. 解：(3)∵ ＋ ＝2p＋1， ∴(x1＋x2)2－2x1x2＝2p＋1. ∵x1＋x2＝p，x1x2＝1， ∴p2－2＝2p＋1，解得p1＝3，p2＝－1. 当p＝3时，Δ＝p2－4＝9－4＝5＞0； 当p＝－1时，Δ＝p2－4＝－3＜0，不合题意. ∴p＝3. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 方法归纳 　　利用一元二次方程的根与系数的关系求代数式 的值，常见的变形如下： (x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1； ＋ ＝(x1＋x2)2－2x1x2； (x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2； ＋ ＝ . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 $