21.2.2 公式法（作业课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（人教版）

该初中数学课件聚焦一元二次方程的根的判别式及公式法解法，从基础概念辨析（判别式计算、a,b,c确定）过渡到应用（判断根的情况、解方程），通过A学习理解（基础题）、B应用实践（中考题、变式题）、C迁移创新（综合题）的分层设计搭建学习支架。 其特色在于融合中考真题与跨学科情境，如物理小球悬浮问题引导学生用数学眼光观察现实世界，迁移创新中平行四边形边长与方程结合的数形结合题培养推理能力与几何直观的数学思维，规范的解题步骤（如判别式推导、求根公式应用）强化数学语言表达。学生能巩固基础并提升综合应用能力，教师可借助分层资源实现高效教学。

2025秋季学期 《学练优》·九年级数学上·RJ 第二十一章　一元二次方程 21.2　解一元二次方程 21.2.2　公式法 目 录 CONTENTS 01 A 学习理解 02 B 应用实践 03 C 迁移创新 知识点一　一元二次方程根的判别式 1. 一元二次方程x2－5x＋2＝0根的判别式的值是 (　C　) A. 33 B. 23 C. 17 D. C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 2. 下列一元二次方程中无实数根的是(　C　) A. x2＋x－2＝0 B. x2－2x＝0 C. x2＋x＋5＝0 D. x2－2x＋1＝0 3. (2024·自贡中考)关于x的方程x2＋mx－2＝0根的 情况是(　A　) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 C A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 4. (2024·北京中考)若关于x的一元二次方程 x2－4x＋c＝0有两个相等的实数根， 则实数c的值为(　C　) A. －16 B. －4 C. 4 D. 16 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 5. (2024·南通中考)已知关于x的一元二次方程 x2－2x＋k＝0有两个不相等的实数根. 请写出一个满足题意的k的值： ⁠. －1(答案不唯一)　 6. (2025·张家口月考)已知关于x的一元二次方程x2 x－6＝0，其中方程的一次项系数被遮挡. (1)若这个方程的一个根为－2，请直接写出该方程的 一次项系数； (1)解：一次项系数为－1. (1)解：一次项系数为－1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 (2)求证：这个方程总有两个不相等的实数根. (2)证明：设一次项系数为b， 则方程为x2＋bx－6＝0. ∵Δ＝b2－4×(－6)＝b2＋24＞0， ∴无论一次项系数为何值，这个方程总有两个不相 等的实数根. (2)证明：设一次项系数为b， 则方程为x2＋bx－6＝0. ∵Δ＝b2－4×(－6)＝b2＋24＞0， ∴无论一次项系数为何值， 这个方程总有两个不相等的实数根. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 (2025·张家口月考)已知关于x的一元二次方程x2 x－6＝0，其中方程的一次项系数被遮挡. 知识点二　用公式法解一元二次方程 7. 用求根公式解方程2x2－3＝x时，a，b，c的值 分别是(　B　) A. a＝2，b＝1，c＝－3 B. a＝2，b＝－1，c＝－3 C. a＝2，b＝－1，c＝3 D. a＝2，b＝1，c＝3 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 8. 用公式法解一元二次方程，得x＝ ， 则该一元二次方程是 ⁠. 3x2＋5x＋1＝0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 9. 用公式法解下列方程： (1)x2－3x＋3＝0； 解：这里a＝1，b＝－3，c＝3. ∵Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×1×3＝－3＜0， ∴原方程无实数根. 解：这里a＝1，b＝－3，c＝3. ∵Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×1×3＝－3＜0， ∴原方程无实数根. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 (2)2x2＋x－2＝0； 解：这里a＝2，b＝1，c＝－2. ∵Δ＝b2－4ac＝12－4×2×(－2)＝17， ∴x＝ ， 即x1＝ ，x2＝ . 解：这里a＝2，b＝1，c＝－2. ∵Δ＝b2－4ac＝12－4×2×(－2)＝17， ∴x＝ ， 即x1＝ ，x2＝ . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 (3)x2－2 x＋1＝0. 解：这里a＝1，b＝－2 ，c＝1. ∵Δ＝b2－4ac＝(－2 )2－4×1×1＝4， ∴x＝ ，即x1＝ ＋1，x2＝ －1. 解：这里a＝1，b＝－2 ，c＝1. ∵Δ＝b2－4ac＝(－2 )2－4×1×1＝4， ∴x＝ ，即x1＝ ＋1，x2＝ －1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 10. (2024·黑龙江中考)关于x的一元二次方程 (m－2)x2＋4x＋2＝0有两个实数根， 则m的取值范围是(　D　) A. m≤4 B. m≥4 C. m≥－4且m≠2 D. m≤4且m≠2 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 变式设问 若关于x的方程(m－2)x2＋4x＋2＝0有实数根，则 m的取值范围是 ⁠. m≤4　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 11. 跨学科 物理　(2025·芜湖期中)如图，小球悬浮 于液体中(即F浮＝G)，若F浮＝20N，小球质量 m＝(x2＋x)kg，g＝10N/kg，已知G＝mg，则x的值为(　C　) A. 1 B. 4 C. －2或1 D. －5或4 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 12. (2025·衡水期中)定义：如果一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)满足b＝a＋1，那么称这个方程为“奇妙方程”.已知ax2＋bx＋1＝0(a≠0)是“奇妙 方程”，且有两个相等的实数根，则b的值为 ⁠. 2　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 13. 解方程： (1)3x2＋5(2x＋1)＝0； 解：x1＝ ，x2＝ . (2)x(2x－5)＝4x－5. 解：x1＝ ，x2＝ . 解：x1＝ ，x2＝ . 解：x1＝ ，x2＝ . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 14. 已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0. (1)当b＝a＋2时，利用根的判别式判断方程根的 情况； 解：(1)∵a≠0，b＝a＋2，c＝1， ∴Δ＝b2－4a＝(a＋2)2－4a＝a2＋4a＋4－4a＝a2 ＋4. ∵a2＞0，∴Δ＞0. ∴方程有两个不相等的实数根. 解：(1)∵a≠0，b＝a＋2，c＝1， ∴Δ＝b2－4a＝(a＋2)2－4a＝a2＋4a＋4－4a＝a2＋4. ∵a2＞0，∴Δ＞0. ∴方程有两个不相等的实数根. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0. (2)若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件 的a，b的值，并求此时方程的根. 解：(2)∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝b2－4a＝0. 若b＝2，a＝1， 则方程变形为x2＋2x＋1＝0， 解得x1＝x2＝－1(a，b取值不唯一). 解：(2)∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝b2－4a＝0. 若b＝2，a＝1， 则方程变形为x2＋2x＋1＝0， 解得x1＝x2＝－1(a，b取值不唯一). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 15. 通性通法 数形结合思想　已知▱ABCD的两边 AB，BC的长是关于x的方程x2－mx＋ － ＝0的 两个实数根. (1)求证：无论m取何值时，方程总有两个实数根. (1)证明：关于x的方程x2－mx＋ － ＝0，Δ＝m2 －2m＋1＝(m－1)2. ∵无论m取何值，(m－1)2≥0，即Δ≥0. ∴无论m取何值，方程总有两个实数根. (1)证明：关于x的方程x2－mx＋ － ＝0， Δ＝m2－2m＋1＝(m－1)2. ∵无论m取何值，(m－1)2≥0，即Δ≥0. ∴无论m取何值，方程总有两个实数根. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 (2)解：若四边形ABCD是菱形，则AB＝BC， 即方程有两个相等的实数根. ∴(m－1)2＝0.∴m1＝m2＝1. 将m＝1代入方程得x2－x＋ ＝0， ∴x1＝x2＝ .∴此时菱形的边长为 . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 (2)当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出此时 菱形的边长. ( (3)解：根据题意，将x＝2代入方程x2－mx＋ － ＝0，解得m＝ . 将m＝ 代入方程x2－mx＋ － ＝0， 解得x1＝2，x2＝ .∴BC＝ . 故▱ABCD的周长为2×(＋2)＝5. (3)解：根据题意，将x＝2代入方程x2－mx＋ － ＝0， 解得m＝ . 将m＝ 代入方程x2－mx＋ － ＝0， 解得x1＝2，x2＝ .∴BC＝ . 故▱ABCD的周长为2×(＋2)＝5. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 (3)如果AB的长为2，那么▱ABCD的周长是多少？ $