21.1 一元二次方程（作业课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（人教版）

该初中数学课件聚焦第二十一章一元二次方程，系统覆盖概念及一般形式、解（根）、实际问题列方程等核心知识点，通过世运会赛事安排、快递店揽件增长等现实情境导入，以A学习理解打基础、B应用实践强能力、C迁移创新促提升的递进支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于以数学眼光观察现实（如用14cm铁丝围矩形列方程），用数学思维分析问题（如易错变式强调二次项系数不为0的推理），借数学语言表达关系（如整体思想求代数式值）。分层设计适配学情，教师可直接用于教学，学生能提升应用与创新能力。

2025秋季学期 《学练优》·九年级数学上·RJ 第二十一章　一元二次方程 21.1　一元二次方程 目 录 CONTENTS 01 A 学习理解 02 B 应用实践 03 C 迁移创新 知识点一　一元二次方程的概念及一般形式 1. 下列方程中，是一元二次方程的是(　B　) A. x－3＝2 B. x2＋3x＝6 C. x2－ ＝4 D. xy＋2x＝1 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 2. 已知3xm－mx＝1是关于x的一元二次方程，当常 数项为－1时，该方程的一次项系数是(　D　) A. 2或－2 B. 2 C. 0 D. －2 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 3. 将下列一元二次方程化为一般形式(使二次项系数 为正)，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常 数项： (1)(x－2)2＝6x2＋3； 解：5x2＋4x－1＝0，二次项系数为5， 一次项系数为4，常数项为－1. (2)2(t＋2)＝(t＋1)2. 解：t2－3＝0，二次项系数为1，一次项系数为0， 常数项为－3. 解：5x2＋4x－1＝0，二次项系数为5， 一次项系数为4，常数项为－1. 解：t2－3＝0，二次项系数为1，一次项系数为0， 常数项为－3. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 知识点二　一元二次方程的解(根) 4. 下列是方程5x2－4x－1＝0的解的是(　B　) A. x＝－1 B. x＝1 C. x＝2 D. x＝3 5. (1)(2024·深圳中考)一元二次方程x2－4x＋a＝0 的一个解为x＝1，则a＝ ⁠. (2)(2024·南充中考)已知m是方程x2＋4x－1＝0的一 个根，则(m＋5)(m－1)的值为 ⁠. B 3　 －4　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 易错变式·忽略二次项系数不为0 (2025·石家庄月考)已知关于x的一元二次方程 (a－1)x2－2x＋a2－1＝0有一个根为x＝0， 则a＝ ⁠ ⁠. －1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 知识点三　根据实际问题列一元二次方程 6. 新情境 世运会　第十二届世界运动会于2025年8 月7日至8月17日在中国四川成都举行，其中的棍网 球项目采取双循环赛制(即每两队之间都要比赛两 场)，若邀请x个球队参加棍网球比赛，共安排56场 比赛，则可列方程为(　B　) A. x(x＋1)＝56 B. x(x－1)＝56 C. x(x＋1)＝56 D. x(x－1)＝56 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 7. 新考向 模块综合　小区新增了一家快递店，前三 天的揽件数如图所示，若该快递店前三天的揽件数 均匀增长，设日增长率为x， 则可列方程为 ⁠ ⁠. 200(1＋x)2＝242 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 8. 新考向 一材多问　数学活动课上，同学们各自用 一根铁丝围成一个图形(铁丝刚好用完).根据下列情 形列出关于x的方程，并将所列方程化为一般形式. (1)小优用14cm的铁丝围成了一个面积为12cm2的矩 形，设矩形的长为xcm. 解：(1)根据题意可得x(7－x)＝12， 即x2－7x＋12＝0. 解：(1)根据题意可得x(7－x)＝12， 即x2－7x＋12＝0. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 数学活动课上，同学们各自用一根铁丝围成一个图形(铁丝刚好用完).根据下列情形列出关于x的方程，并将所列方程化为一般形式. (2)小翼用30cm的铁丝围成一个斜边长为13cm的直角 三角形，设该直角三角形的一条直角边长为xcm. 解：(2)根据题意可得x2＋(30－13－x)2＝132， 即x2－17x＋60＝0. 解：(2)根据题意可得x2＋(30－13－x)2＝132， 即x2－17x＋60＝0. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 9. T5逆向变式　若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0满 足a－b＋c＝0，则方程必有一根为(　C　) A. 0 B. 1 C. －1 D. 2 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 10. (2025·宿迁期中)若关于x的一元二次方程 (m＋3)x2－4x＋mx＝｜m｜的常数项是－3，则其一次项是(　A　) A. －x B. －1 C. x D. 1或－1 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 11. 新情境 生活应用　如图，有一张长方形桌子的桌面长130cm，宽60cm.有一块长方形台布的面积是这张桌子桌面面积的2倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相等.若设台布垂下的长度为xcm，则可列出x满足的方程为 ⁠ ⁠. (130＋2x)(60＋2x)＝2×130×60 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 12. 已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)，如果a，b，c满足3a＋2b＋c＝0，我们 就称这个一元二次方程为波浪方程. (1)方程2x2－x－4＝0 波浪方程(填“是”或 “不是”)； 是　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，如果a，b，c满足3a＋2b＋c＝0，我们就称这个一元二次方程为波浪方程. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 解：(2)将x＝－1代入原方程， 得a＋2＋c＝0①. ∵此方程为波浪方程， ∴3a＋(－4)＋c＝0②. 由①②，解得 ∴这个波浪方程为3x2－2x－5＝0. 由①②，解得 ∴这个波浪方程为3x2－2x－5＝0. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 (2)已知关于x的波浪方程ax2－2x＋c＝0(a≠0)的一 个根是－1，求这个波浪方程； 已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，如果a，b，c满足3a＋2b＋c＝0，我们就称这个一元二次方程为波浪方程. (3)新考向 结论开放题　请任意写一个新的波浪 方程. 解：(3)答案不唯一，如x2＋x－5＝0. 解：(3)答案不唯一，如x2＋x－5＝0. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 13. 易错题　已知关于x的方程 (m＋1)x｜m｜＋1＋3x＋1＝0. (1)当m为何值时，它是一元二次方程？ 解：(1)∵原方程为一元二次方程， ∴ 解得m＝1. 解：(1)∵原方程为一元二次方程， ∴ 解得m＝1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 已知关于x的方程(m＋1)x｜m｜＋1＋3x＋1＝0. 解：(1)∵原方程为一元二次方程， ∴ 解得m＝1. (2)当m为何值时，它是一元一次方程？ 解：(2)∵原方程为一元一次方程， ∴m＋1＝0或 解得m＝－1或0. 解：(2)∵原方程为一元一次方程， ∴m＋1＝0或 解得m＝－1或0. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 14. 一课一得 整体思想　已知m是方程x2－2x－1＝0 的一个根，求下列代数式的值： (1)－2m2＋4m＝ ⁠； (2)m－ ； 解：∵m是方程x2－2x－1＝0的一个根， ∴m≠0，m2－2m－1＝0，即m2－1＝2m. ∴m－ ＝ ＝2. －2　 解：∵m是方程x2－2x－1＝0的一个根， ∴m≠0，m2－2m－1＝0，即m2－1＝2m. ∴m－ ＝ ＝2. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 已知m是方程x2－2x－1＝0的一个根，求下列代数式的值： 解：∵m是方程x2－2x－1＝0的一个根， ∴m≠0，m2－2m－1＝0，即m2－1＝2m. ∴m－ ＝ ＝2. (3)m3－5m＋2024. 解：∵m是方程x2－2x－1＝0的一个根， ∴m2－2m－1＝0， 即m2＝2m＋1，m2－2m＝1. ∴m3－5m＋2024＝m·m2－5m＋2024＝m(2m＋1) －5m＋2024＝2m2－4m＋2024＝2(m2－2m)＋2024 ＝2＋2024＝2026. 解：∵m是方程x2－2x－1＝0的一个根， ∴m2－2m－1＝0， 即m2＝2m＋1，m2－2m＝1. ∴m3－5m＋2024＝m·m2－5m＋2024 ＝m(2m＋1)－5m＋2024＝2m2－4m＋2024 ＝2(m2－2m)＋2024＝2＋2024＝2026. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 辅助设问 [降次转化]m3＝m· ⁠； [整体思想]将m2＝2m＋1整体代入后化简即可. m2　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 $