专题03 含参数不等式问题4题型（期中专项训练）高一数学上学期沪教版必修第一册

专题03 含参不等式问题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 含参数一元二次不等式（因式分解型） 1．（24-25高一上·北京·期中）解关于的不等式． 【答案】答案见解析 【分析】利用分解因式整理不等式，结合分类讨论思想，可得答案. 【详解】由不等式，则， 当，即时，解得或； 当，即时，解得； 当，即时，解得或. 综上，当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. 2．（24-25高一上·全国·课前预习）解关于的不等式． 【答案】答案见解析 【分析】根据一元二次不等式的解法分类讨论即可得解. 【详解】当，或时，原不等式无解； 当，或时，有，此时，不等式的解集为； 当时，有，此时，不等式的解集为. 综上，当，或时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当，或时，解集为． 3．（2024高三·全国·专题练习）解关于的不等式：（其中）． 【答案】答案见解析 【分析】因式分解，结合分类讨论，根据一元二次不等式的解的性质即可求解. 【详解】因为，不等式可化为，下面分类讨论： ①当，即时，不等式化为，此时不等式无解； ②当，即时，解得； ③当，即时，解得； 综上：当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为 4．（24-25高一下·安徽亳州·开学考试）已知，． (1)若不等式的解集为或，求的值； (2)若，解不等式． 【答案】(1)； (2)答案见详解. 【分析】（1）根据不等式的解集以及根与系数关系即可求；. （2）对进行分类讨论，由此求得不等式的解集. 【详解】（1）由题意不等式的解集为或， 所以，解得. （2）由题意，可化为， 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为， 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 5．（24-25高一上·陕西商洛·阶段练习）已知函数 (1)若不等式的解集是，求的取值范围； (2)，解不等式． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）时，，可得的取值范围； （2）对分类讨论，可求不等式的解集. 【详解】（1）因为当时，， 所以的解集不可能是， 所以不等式的解集是，的取值范围为； （2）当时，不等式变形为，不等式的解集为， 当时，不等式可变形为，又， 所以不等式的解集为； 当时，不等式可变形为， 若，则，则不等式的解集为， 若，，则不等式的解集为， 若，则，则不等式的解集为； 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【点睛】方法点睛：本题考查一元二次不等式的解集问题，解题关键是掌握三个二次之间的关系，一般解一元二次不等式，我们都是把二次项系数化为正数，然后求解，而在二次项系数含有参数时，应分类讨论再结合二次函数的图象与性质求得不等式的解. 6．（24-25高一上·上海金山·期末）当时，关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将原不等式转换为，在的前提下，比较的大小即可得解. 【详解】时，，不等式可化为， 因为，且， 所以，， 解原不等式，得， 所以原不等式的解集为. 故选：C. 7．（2025高一·全国·专题练习）解关于的不等式（为常数且）. 【答案】答案见解析 【分析】先因式分解，再分，，，四种情况讨论，分别求出不同情况下的不等式的解集即可. 【详解】. 当时，此时，，则不等式的解为； 当0时，此时，，不等式的解为或； 当时，此时，，不等式的解为； 当时，此时，，不等式的解为或. 综上，当时，不等式的解集为； 当0时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. 8．（24-25高一上·浙江杭州·开学考试）解关于x的不等式. 【答案】答案见解析 【分析】根据一元二次不等式解集的形式，分类讨论，求不等式的解集. 【详解】原不等式可化为：. 若，则不等式的解为：. 若，则，所以或. 若，则. 当，即时，不等式解集为：； 当，即时，不等式无解； 当，即时，不等式解集为：. 综上可知： 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：. 9．（24-25高一上·江西·开学考试）解关于x的不等式： 【答案】答案见解析 【分析】分，，三种情况求解即可. 【详解】当时，不等式为，解得， 当时，由不等式，可得， 所以， 若，则，解不等式得或， 若，则，不等式的解集为若， 若，解得时，解不等式得或， 当时，由不等式，可得， 所以， 解得， 综上所述：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 10．（21-22高一上·北京海淀·期末）求下列关于的不等式的解集： (1)； (2). 【答案】(1)或 (2)答案见解析 【分析】（1）将原不等式变形为，再利用分式不等式的解法可得原不等式的解集； （2）分、、三种情况讨论，利用二次不等式的解法可得原不等式的解集. 【详解】（1）由可得， 即，解得或， 即原不等式的解集为或； （2）当时，原不等式即为，该不等式的解集为； 当时，，原不等式即为. ①若，则，原不等式的解集为或； ②若，则，原不等式的解集为或. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为或. 11．（24-25高一上·上海嘉定·阶段练习）已知一元二次不等式 (1)若不等式的解集为，求不等式的解集； (2)当时，求不等式的解集； 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）依据题意可知是方程的根可得，然后代入利用一元二次不等式解法计算即可. （2）将代入不等式，然后对的范围进行讨论计算即可. 【详解】（1），所以， 所以不等式为，所以解集为. （2）当时，不等式，即 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 【点睛】方法点睛： 利用根的性质建立方程：通过已知不等式的解集，推断出方程的根，从而得到系数关系. 不等式的因式分解法：通过将不等式分解为两个因式形式并讨论符号，能够清晰地得出解集. 题型二 含参数一元二次不等式（不能因式分解型） 12．（21-22高一上·全国·课后作业）解关于x的不等式. 【答案】答案见解析 【分析】分类讨论判别式，确定一元二次不等式对应方程解的情况，即可求得答案. 【详解】不等式对应方程的判别式， （1）当，即或时， 由于方程的根是， 所以不等式的解集是或}； （2）当，即时，不等式的解集为且； （3）当，即时，不等式的解集为R， 故或时，不等式的解集是或}； 时，不等式的解集为且； 时，不等式的解集为R. 13．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）解关于x的不等式： (1)； (2). 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据分式不等式解法运算求解； （2）分类讨论和判别式的符号，结合一元二次不等式运算求解. 【详解】（1）不等式，移项得，通分得， 可转化为且，解得， 故原不等式解集为． （2）当时，，解得； 当时，则， ①时，则，解得； ②时，则有： 若，即时，则； 若，即时，则且； 若，即时，解得或； 综上所述： 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为． 14．（24-25高一上·广东梅州·期末）已知函数． (1)若关于x的不等式的解集为，求实数k，b的值； (2)对于参数，解关于x的不等式． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集确定方程的根，利用韦达定理列方程求解即可； （2）结合二次函数的图象与性质，按照判别式的符号分类讨论求解一元二次不等式即可. 【详解】（1）因为关于的不等式的解集为， 可知方程的两根为，． 由韦达定理，可知，解得． （2）令， ①当，即时， 函数图像与轴至多只有1个交点，且开口向上． 因此，不等式的解集为． ②当，即或时， 函数图像与轴有两个交点，且开口向上． 令，则方程有两个不等实根， 为：，. 可知，不等式的解集为： 或. 综上所述，①当时，不等式的解集为； ②当或时，不等式的解集为 或. 15．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）已知关于的不等式 (1)当不等式的解集为，求实数a，c的值； (2)当时，不等式恒成立，求此时a的取值范围； (3)当，时，求解关于的不等式. 【答案】(1) (2) (3)答案见详解 【分析】（1）分析可知的两根为，且，利用韦达定理分析求解； （2）由题意可得：恒成立，分和，结合判别式列式求解； （3）分类讨论判别式的符号，结合二次不等式运算求解. 【详解】（1）由题意可知：的两根为，且， 则，解得. （2）由题意可得：恒成立， 若，则不恒成立，不合题意； 若，则，解得； 综上所述：a的取值范围为. （3）当，时，可得， 若，即时，由（2）可知：不等式解集为； 若，即时，则，解得； 若，即时，令，解得， 且， 由解得或； 综上所述：若时，不等式解集为； 若时，不等式解集为； 若时，不等式解集为. 题型三 分式含参数不等式问题 16．（24-25高二下·上海·期中）设关于x的不等式的解集为A，若，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据得到或，然后计算即可. 【详解】由题意得或， 等价于，解得， 解得， 所以的取值范围为. 故答案为：. 17．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知关于的不等式的解集为，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】若，则将代入不等式求解即可得到的范围，根据题意求其补集即可. 【详解】关于的不等式的解集为， 若，则有，即，所以， 解得或． 因此若，则 故答案为： 18．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知不等式的解集为，若，则实数的取值范围为 【答案】或 【分析】根据条件，利用分式不等式的解法，得到，再结合，从而得到，即可求解. 【详解】由，得到，等价于， 因为，则有，即，解得或， 故答案为：或. 19．（24-25高一上·河南·阶段练习）已知为常数，若不等式的解集为，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据方程的根、函数的定义域与不等式的解集区间端点间的关系，可得满足的方程，代入求解新不等式即可. 【详解】因为不等式的解集为， 所以，且. 由可得，即， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 20．（24-25高一上·上海普陀·期末）设集合 (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）解分式不等式、一元二次不等式求集合，再应用集合的并补运算求集合； （2）讨论参数a求对应集合，结合集合的包含关系确定参数范围. 【详解】（1）由题设，则，可得， 所以， 或， 所以，则； （2）由或， 由， 当，则，满足； 当，则，满足； 当，则，不满足； 综上，. 21．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知全集，集合. (1)当时，求集合； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解分式不等式得集合； （2）根据集合的定义确定不等式求解后可得． 【详解】（1）当时，则， 集合. （2）若，则或， 则若. 题型四 绝对值含参不等式问题 22．（24-25高一上·上海普陀·期中）已知集合，集合，若，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】求出集合、，根据可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】解：由可得，解得或，即或， 由可得，解得，即， 因为，则，解得， 因此，实数的取值范围是. 23．（2024高三·全国·专题练习）设集合，，若，则实数的取值范围是 . 【答案】或 【分析】解二次不等式和绝对值不等式化简集合，再由集合交集的结果得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】因为， =或， 又，则， 如图1，图2，有或，解得或. 综上，所求的取值范围为或. 故答案为：或. 24．（2020·上海奉贤·二模）集合，，若，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】先分别求出集合，再由列不等式可求出的取值范围 【详解】解：由得，且， 解得，所以集合， 由得，，所以集合， 因为， 所以或， 解得或 故答案为： 【点睛】此题考查的是解分式不等式，解绝对值不等式，集合的交集运算，属于中档题 25．（20-21高一上·上海·课后作业）解关于x的不等式：. 【答案】见解析 【分析】将不等式两边平方，转化为一元一次不等式，对与的大小分类讨论，即可得出结论. 【详解】两边平方，得， 即. 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 【点睛】本题考查绝对值不等式，等价转化为一元一次不等式，考查分类讨论思想和计算求解能力，属于基础题. 26．（2025高三·全国·专题练习）解不等式． 【答案】答案见解析 【分析】本题先分离参数，将不等式变形为，再对的符号进行讨论，从而去掉绝对值符号，再利用函数图像对参数a进行讨论，从而得出不等式的解集. 【详解】原不等式可化为，设，． ①当时，得，即， 显然，解得， 如图1，由函数和的图像可得不等式的解集为：； ②当时，得，即， 原不等式化为， 又， 当，即时， 均满足原不等式要求； 当，即时， 得，． 如图2所示，由函数和的图像可得不等式的解集为： ，    综上得原不等式的解集为： 当时，； 当时， ． 【点睛】方法点睛：本题关键是将不等式转化为函数，，然后对x的符号进行讨论，再结合函数图像求解. 27．（2025高三·全国·专题练习）解不等式． 【答案】答案见解析 【分析】令，应用分类讨论并结合的函数图象研究的解集即可. 【详解】令， ①当时， 当，即时，如图1，有或， 得或，所以； 当，即时，有或， 得或，所以， 当，即时，如图2，有或， 得或， 所以， ②当时，如图3，有或，故，      综上得： 当时，； 当时，； 当时，. 28．（2025高三·全国·专题练习）解不等式． 【答案】答案见解析 【分析】设，，应用分类讨论及二次函数性质，数形结合求解集. 【详解】设，，函数图象如下， 由，得，， 由，得，， 综上： 当时，， 当时，， 当时，. 29．（22-23高二下·河南焦作·阶段练习）已知函数，若时，恒成立，则实数 . 【答案】1 【分析】先根据范围去掉一个绝对值，再结合恒成立问题求参即可. 【详解】∵，且，∴； 又∵，∴，即， ∴对恒成立， 当时，的最大值2，的最小值为2，∴. 故答案为：1. 30．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知关于x的不等式的解集为，其中a为实数. (1)解不等式； (2)解不等式. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）利用绝对值不等式的解集，分类讨论的取值范围求得，再代入分式不等式即可得解； （2）将的值代入绝对值不等式，利用平方法即可得解. 【详解】（1）由，得，则， 因为的解集为， 当时，由，得，所以，解得； 当时，无解，舍去； 当时，由，得，所以，无解； 综上，， 所以可化为，整理得， 所以，解得或， 则的解集为或. （2）由（1）知，可化为， 即，两边平方得， 即，整理得， 所以，解得， 则的解集为. 31．（2024·四川攀枝花·三模）已知函数． (1)当时，解不等式； (2)若的解集包含，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分绝对值内的正负去掉绝对值符号讨论求出即可； （2）由绝对值不等式的解法得到，再令为其一个子集即可. 【详解】（1）当时，不等式可化为 ①当时，不等式为，解得，故； ②当时，不等式为，解得，故； ③当时，不等式为，解得，故； 综上，原不等式的解集为. （2）因为的解集包含 不等式可化为， 解得， 所以， 解得． 32．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）分类讨论解绝对值不等式即可求解； （2）由初步得的一个范围，进一步对分类讨论即可求解. 【详解】（1）当时，. 若，则当时，，故， 当时，，故， 又因为当时，， 所以不等式的解集为. （2）由题设可得， 所以或. 当时，，故. 当时，，故. 综上，的取值范围是. 33．（2024·四川自贡·一模）设. (1)求的解集； (2)若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先去绝对值；再对讨论得到不等式组，求解即可. （2）先利用绝对值不等式的性质，得；再根据恒成立思想，得；最后对讨论得到不等式组，求解即可. 【详解】（1）. 由，得： ，或，或， 解得： . 所以的解集为. （2）由绝对值不等式的性质可得：，当且仅当时等号成立. 则由不等式对任意实数恒成立可得：. 因为， 所以，或，或 解得： 或. 所以当不等式对任意实数恒成立时，实数的取值范围为. $专题03 含参不等式问题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 含参数一元二次不等式（因式分解型） 1．（24-25高一上·北京·期中）解关于的不等式． 2．（24-25高一上·全国·课前预习）解关于的不等式． 3．（2024高三·全国·专题练习）解关于的不等式：（其中）． 4．（24-25高一下·安徽亳州·开学考试）已知，． (1)若不等式的解集为或，求的值； (2)若，解不等式． 5．（24-25高一上·陕西商洛·阶段练习）已知函数 (1)若不等式的解集是，求的取值范围； (2)，解不等式． 6．（24-25高一上·上海金山·期末）当时，关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 7．（2025高一·全国·专题练习）解关于的不等式（为常数且）. 8．（24-25高一上·浙江杭州·开学考试）解关于x的不等式. 9．（24-25高一上·江西·开学考试）解关于x的不等式： 10．（21-22高一上·北京海淀·期末）求下列关于的不等式的解集： (1)； (2). 11．（24-25高一上·上海嘉定·阶段练习）已知一元二次不等式 (1)若不等式的解集为，求不等式的解集； (2)当时，求不等式的解集； 题型二 含参数一元二次不等式（不能因式分解型） 12．（21-22高一上·全国·课后作业）解关于x的不等式. 13．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）解关于x的不等式： (1)； (2). 14．（24-25高一上·广东梅州·期末）已知函数． (1)若关于x的不等式的解集为，求实数k，b的值； (2)对于参数，解关于x的不等式． 15．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）已知关于的不等式 (1)当不等式的解集为，求实数a，c的值； (2)当时，不等式恒成立，求此时a的取值范围； (3)当，时，求解关于的不等式. 题型三 分式含参数不等式问题 16．（24-25高二下·上海·期中）设关于x的不等式的解集为A，若，则实数m的取值范围是 . 17．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知关于的不等式的解集为，若，则实数的取值范围是 ． 18．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知不等式的解集为，若，则实数的取值范围为 19．（24-25高一上·河南·阶段练习）已知为常数，若不等式的解集为，则不等式的解集为 . 20．（24-25高一上·上海普陀·期末）设集合 (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 21．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知全集，集合. (1)当时，求集合； (2)若，求实数的取值范围. 题型四 绝对值含参不等式问题 22．（24-25高一上·上海普陀·期中）已知集合，集合，若，求实数的取值范围． 23．（2024高三·全国·专题练习）设集合，，若，则实数的取值范围是 . 24．（2020·上海奉贤·二模）集合，，若，则实数的取值范围是 25．（20-21高一上·上海·课后作业）解关于x的不等式：. 26．（2025高三·全国·专题练习）解不等式． 27．（2025高三·全国·专题练习）解不等式． 28．（2025高三·全国·专题练习）解不等式． 29．（22-23高二下·河南焦作·阶段练习）已知函数，若时，恒成立，则实数 . 30．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知关于x的不等式的解集为，其中a为实数. (1)解不等式； (2)解不等式. 31．（2024·四川攀枝花·三模）已知函数． (1)当时，解不等式； (2)若的解集包含，求的取值范围． 32．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若，求的取值范围. 33．（2024·四川自贡·一模）设. (1)求的解集； (2)若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围. $