2.3.1两条直线的交点坐标 难点训练微专题-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.3.1两条直线的交点坐标 难点训练微专题(学生版） 突破通法： 1.求两相交直线的交点坐标步骤: (1)求两相交直线的交点坐标，关键是解方程组． (2)解二元一次方程组的常用方法有代入消元法和加减消元法． 2.方程组解的情况与两直线的位置关系： 方程组的解 一组 无数组 无解 两直线的公共点的个数 一个 无数个 零个 两直线的位置关系 相交 重合 平行 3.注意：(1)若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解． 但是，若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线未必相交，还有重合定情况. (2)在两直线斜率都存在的情况下，若斜率不相等，则两直线相交． 微专题训练： 一、单选题 1．已知直线过直线和的交点，且与平行，则的方程是（   ） A． B． C． D． 2．已知矩形的边所在直线的方程为，顶点，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 4．已知三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值集合为（   ） A． B． C． D． 5．已知三条直线，，将平面分为六个部分，则满足条件的m的值共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 6．若直线：与直线：的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．直线上到点距离最近的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 8．若点既是的中点，又是直线与的交点，则线段的垂直平分线的方程是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知，，这三条直线有唯一公共点，则实数的可能取值有（    ） A． B． C． D． 10．已知直线，，把平面分成六个部分，则实数a的取值可能为（    ） A．1 B． C． D． 11．已知三条直线能构成三角形，则实数可能为（   ） A． B． C． D．6 三、填空题 12．过点作直线，使它被两条相交直线和所截得的线段，恰好被点平分，则直线的方程为 . 13．直线和与两坐标轴正半轴围成的四边形的面积为 ． 14．在平面直角坐标系中，点在直线上，当最小时，点的坐标为 . 四、解答题 15．求经过直线的交点，且满足下列条件的直线的方程. (1)与直线平行， (2)与直线垂直. 16．分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点；若不相交，说明它们的位置关系． (1)和； (2)和； (3)和． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3.1两条直线的交点坐标 难点训练微专题(解析版） 突破通法： 1.求两相交直线的交点坐标步骤: (1)求两相交直线的交点坐标，关键是解方程组． (2)解二元一次方程组的常用方法有代入消元法和加减消元法． 2.方程组解的情况与两直线的位置关系： 方程组的解 一组 无数组 无解 两直线的公共点的个数 一个 无数个 零个 两直线的位置关系 相交 重合 平行 3.注意：(1)若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解． 但是，若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线未必相交，还有重合定情况. (2)在两直线斜率都存在的情况下，若斜率不相等，则两直线相交． 微专题训练： 一、单选题 1．已知直线过直线和的交点，且与平行，则的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出直线、的交点坐标，根据题意，设直线的方程为，将交点坐标代入直线的方程，求出实数的值，即可得出直线的方程. 【详解】联立直线、的方程，，解得， 故直线、的交点坐标为， 因为直线与直线平行，设直线的方程为， 将点的坐标代入直线的方程可得，解得. 因此，直线的方程为. 故选：B. 2．已知矩形的边所在直线的方程为，顶点，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，求出边所在的直线方程，再联立直线，组成的方程组，方程组的解即为顶点的坐标. 【详解】因为，边所在直线的方程为， 设所在直线方程为，因为过， 所以，所以所在直线方程为， 由解得，即顶点的坐标为. 故选：A. 3．直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用垂直关系求出，再代入方程联立求解交点. 【详解】直线与互相垂直,可得，即. 把代入直线，得到. 联立方程组 解得.把代入，得. 所以交点坐标为. 故选：C. 4．已知三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出直线的斜率及直线交点坐标，再利用斜率相等及3条直线共点求出值. 【详解】直线的斜率分别为，纵截距分别为 由，解得，即直线的交点为， 由直线不能围成三角形，得直线或或点在直线上， 则或或，解得或或， 所以实数的取值集合为. 故选：C 5．已知三条直线，，将平面分为六个部分，则满足条件的m的值共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】C 【分析】分三条直线交于一点或两条平行线与第三条直线相交两种情况讨论即可求解. 【详解】因为三条直线，，将平面分为六个部分， 所以三条直线交于一点或两条平行线与第三条直线相交， 当三条直线交于一点时，联立可得，此时，即， 当两条平行线与第三条直线相交时，可得或， 所以或 故选：C. 6．若直线：与直线：的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】联立直线方程求出交点坐标，由题意可列出不等式组，即可求得答案. 【详解】由题意联立，解得， 即直线：与直线：的交点为， 由题意可得，解得， 即实数的取值范围是， 故选：A 7．直线上到点距离最近的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据几何意义可知，直线上到点距离最近的点就是过点作直线的垂线，垂足就是所求的点. 【详解】由直线可得：，则该直线的斜率， 所以过点作与该直线垂直的垂线斜率为， 则过点的垂线方程为：，整理得：， 联立方程组，解得：， 故选：C. 8．若点既是的中点，又是直线与的交点，则线段的垂直平分线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将两直线方程相减可得过两直线交点的直线方程，再将代入化简可求出直线的斜率，从而可求出线段的垂直平分线的方程. 【详解】直线与直线的方程相减可得，， 把点代入可得， 所以， 所以线段的垂直平分线的方程是，即， 故选：C 二、多选题 9．已知，，这三条直线有唯一公共点，则实数的可能取值有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】联立直线与，可得两直线交点坐标，代入，可得解. 【详解】由题意可得这三条直线交于同一点，联立， 解得直线和直线的交点坐标为， 把交点坐标代入直线的方程可得， 解得或， 故选：AC． 10．已知直线，，把平面分成六个部分，则实数a的取值可能为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】三条直线中有两条直线的斜率相等，或者三条直线交于一点时，不能构成三角形，可把空间分成6个部分，分类讨论进行求解即可. 【详解】当三条直线中有两条直线的斜率相等时，或者三条直线交于一点时， 不能构成三角形，可把空间分成6个部分， 因为直线的斜率为3，直线的斜率为，所以直线一定相交， 交点坐标是方程组的解，解得， 故交点坐标为， 当时，直线与横轴垂直，方程为，不经过点， 所以三条直线能构成三角形，不合要求； 当时，直线的斜率为， 当直线与直线的斜率相等时，即， 此时这两直线平行，空间被分成6个部分，满足要求； 当直线与直线的斜率相等时，即， 此时这两直线平行，空间被分成6个部分，满足要求； 当直线过直线交点时，三条直线不能构成三角形， 即有，满足要求， 综上，的可能取值为，或. 故选：BCD 11．已知三条直线能构成三角形，则实数可能为（   ） A． B． C． D．6 【答案】AC 【分析】对三条直线的位置关系分三种情况分别讨论，即可得解. 【详解】若三条直线不能构成三角形，则直线存在以下三种情况； ①当与平行（或重合）时，则，解得； ②当与平行（或重合）时，则，解得； ③当三条直线交于同一点时，由，解得， 代入解得. 所以选项中，三条直线能构成三角形的实数可能为，AC正确， 故选：AC. 三、填空题 12．过点作直线，使它被两条相交直线和所截得的线段，恰好被点平分，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】设出直线与直线，的交点坐标、，然后根据中点坐标的相关性质得出，，再然后根据在上以及在上得出，解得的坐标，由直线的两点式方程即得. 【详解】设直线， 设直线夹在直线，之间的线段为（在上，在上）， 设、， 因为被点平分，所以，， 于是，， 由于在上，在上，则， 即解得，， 即的坐标是，则直线的方程是， 即． 故答案为：.    13．直线和与两坐标轴正半轴围成的四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】先分别求解出直线与坐标轴的正半轴交点坐标，然后求解出两直线的交点坐标，结合割补法求解出四边形面积. 【详解】令中，得，所以与轴交于， 令中，得，所以与轴交于， 由可得，所以两直线交于， 所以围成的四边形面积为， 故答案为：. 14．在平面直角坐标系中，点在直线上，当最小时，点的坐标为 . 【答案】 【分析】求出过原点与已知直线垂直的直线方程，联立已知方程求解可得. 【详解】易知，当垂直于直线时，取得最小值， 此时，所在直线方程为， 联立解得，即. 故答案为： 四、解答题 15．求经过直线的交点，且满足下列条件的直线的方程. (1)与直线平行， (2)与直线垂直. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）联立直线方程后可求，利用平行直线系可求直线方程； （2）利用垂直直线系可求直线方程. 【详解】（1）由可得，故， 设所求直线为，代入可得， 故与已知直线平行的直线方程为. （2）设所求直线为，代入可得， 故与已知直线垂直的直线方程为. 16．分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点；若不相交，说明它们的位置关系． (1)和； (2)和； (3)和． 【答案】(1)相交，交点坐标为 (2)不相交，重合 (3)不相交， 【分析】（1）解方程组得到两直线的交点坐标； （2）通过方程组的解判断两直线的位置关系； （3）通过方程组的解判断两直线的位置关系. 【详解】（1）解方程组，得 因此直线和相交，交点坐标为． （2）方程组有无数个解，这表明直线和重合． （3）方程组无解，这表明直线和没有公共点，故． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $