22.1.4 第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式（Word教案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（人教版）

22.1.4 二次函数 y = ax2 + bx + c 的 图象和性质 第 2 课时 用待定系数法求二次函数的解析式 教学内容 第 2 课时 用待定系数法求二次函数的解析式 课时 1 核心素养目标 1.掌握二次函数解析式的三种形式，理解求二次函数解析式的方法及步骤 2.通过举例—思考—归纳，让学生能结合所给条件恰当选择二次函数解析式的形式，达到简便运算，顺利解决问题的目的，同时提高学生分析、探索、归纳、概括的能力; 3.通过让学生经历观察、比较、归纳、应用以及猜想、验证的学习过程， 使学生掌握类比、转化等学习数学的方法，养成既能自主探索，又能合作探究的良好学习习惯. 知识目标 1．通过对用待定系数法求二次函数解析式的探究，掌握求解析式的方法； 2．能灵活根据条件恰当地选择解析式，体会二次函数解析式之间的转化． 教学重点 通过对用待定系数法求二次函数解析式的探究，掌握求解析式的方法 教学难点 能灵活根据条件恰当地选择解析式，体会二次函数解析式之间的转化 教学准备 课件 教学过程 主要师生活动 设计意图 一、情境导入 二、探究新知 3、 当堂练习，巩固所学 一、创设情境，导入新知 1. 一次函数 y = kx + b (k≠0)有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的表达式？ 答：一次函数 y = kx + b (k≠0)：2 个待定系数，需要 2 个点坐标 2. 求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤是什么？ 答：待定系数法：(1) 设：表达式； (2) 代：坐标代入； (3) 解：方程(组)； (4) 还原：写出解析式. 师生活动：让学生自主回答. （学生积极踊跃发言，问答提出的问题.） 二、小组合作，探究概念和性质 知识点1：用一般式法求二次函数的解析式 问题 (1) 由几个点的坐标可以确定二次函数 y=ax2+bx+c？这几个点应满足什么条件？ 预设：由三点 (不在同一条直线上) 的坐标，可以确定二次函数的解析式. (2) 如果一个二次函数的图象经过 (−1，10)，(1，4)，(2，7) 三点，能求出这个二次函数的解析式吗？如果能，求出这个二次函数的解析式. 师生活动：教师先引导学生自主思考问题，然后小组代表回答问题，教师做好提示、点评． 链接中考 1.(武汉)在一条笔直的滑道上有黑、红两个小球同向运动，黑球在 A 处开始减速，此时红球在黑球前面 70 cm. 小聪测量黑球减速后的运动距离 y (单位：cm) 随运动时间 t (单位：s) 变化的数据，整理得下表. 小聪探究发现运动距离 y 与随运动时间 t 之间成二次函数关系. 求 y 关于 t 的函数解析式(不用写出自变量的取值范围). 师生活动：学生自主解答问题，教师做好提示、点评． 知识点2： 用顶点法求二次函数的解析式 例1 一个二次函数的图象经点 (0，1)，它的顶点坐标为 (8，9)，求这个二次函数的解析式. 师生活动： 1.两名学生板演，其余学生在练习本上做题。 2小组内批阅。 3. 对板演的内容进行评价纠错。 分析：题目中有顶点坐标，则解析式设为顶点式. 1.设：顶点式 解：∵ 这个二次函数的图象的顶点坐标为 (8，9)，∴ 可设其解析式为 y = a(x - 8)2 + 9. 2.代：坐标代入 由其图象经过点 (0，1)， 可得 1 = a(0 - 8)2 + 9. 3.解：方程(组) 4.还原：写出解析式 练一练 1. 已知一个二次函数有最大值 4，当 x＞5 时，y 随 x 的增大而减小；当 x＜5 时，y 随 x 的增大而增大，且该函数图象经过点 (2，1)，求该函数的解析式． 知识点3： 交点法求二次函数的解析式 求二次函数 y = x2 + 2x - 3 的图象与 x 轴的交点坐标？ 例2 选取(-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，试求出这个二次函数的表达式. 师生活动： 要求学生先独立解决，然后同伴交流，相互订正，代表展示成果． 教师及时指导． 预设： 练一练 2. 分别求出满足下列条件的二次函数的解析式． 图象经过点 A(1，0)，B(0，-3)，对称轴是直线 x = 2. 师生活动：让学生尝试解答，并互相交流、总结，归纳解题步骤，教师结合学生的具体活动，加以指导. 解：∵ 图象经过点 A(1，0)，对称轴是直线 x = 2， ∴ 图象经过另一点 (3，0). 故可设该二次函数的解析式为 y = a(x − 1)(x − 3). 将点 (0，−3)代入，得 −3 = a(0 − 1)(0 − 3)， 解得 a = −1. ∴ 该二次函数的解析式为 y = −(x − 1)(x − 3) = −x2 + 4x − 3. 知识点4(补充)：关于对称轴对称的两点坐标求二次函数的解析式 例3 已知二次函数的图象上有 A(1，1)，B(3，1) 两点，且与 y 轴交于点 C (0，4)，求这个二次函数的解析式. 分析：A(1，1)，B(3，1) 两点纵坐标 相同，为 1， ∴这个二次函数可以看作与 x 轴交于 (1，0)，(3，0) 两点的二次函数 y = a(x-1)(x-3)，向上平移 1 个单位得 y = a(x-1)(x-3)+1. 练一练 3. 已知二次函数的图象经过点(-1，3)， (1，3)，(2，6)， 求这个二次函数的解析式. 师生活动：让学生尝试解答，并互相交流、总结，归纳解题步骤，教师结合学生的具体活动，加以指导. 归纳总结 求二次函数解析式的方法： 三、当堂练习，巩固所学 1. 如图，平面直角坐标系中，函数图象的解析式应是 . 2. 若抛物线过点 (2，4)，且当 x = 1 时，y 有最值为 6，则其解析式为 . 3.如图，抛物线 y＝x2＋bx＋c 过点 A(－4，－3)，与 y 轴交于点 B，对称轴是 x＝－3，请解答下列问题： (1) 求抛物线的解析式； (2) 若和 x 轴平行的直线与抛物线交于 C，D 两点，点 C 在对称轴左侧，且 CD＝8，求△BCD 的面积． 设计意图：通过复习一次函数，引导得出函数关系式中有几个独立的系数，需要有相同个数的独立条件才能求出函数关系式，为后文做铺垫. 设计意图：此处设置问题，通过讨论得出确定二次函数解析式的方法，学生得出结论：确定二次函数的关系式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，通常需要3个条件，类比一次函数的方法的方法来求解二次函数. 设计意图：通过中考的例题让学生明白在选取点的时候注意选择整数点. 设计意图：当知道顶点坐标(h，k) 和知道图象上的另一点坐标两个条件，用顶点式y＝a(x－h)2＋k可以确定二次函数的关系式由特殊到一般. 同时规范学生的答题过程. 设计意图：通过一个实例，通过一元二次方程和图象解释交点法是怎样产生的，并且使用交点法的特点是什么. 设计意图：此例求二次函数的解析式，让学生深入探究根据不同的条件灵活选用二次函数的不同形式，可以一般式，顶点式，还可以根据对称轴对称的两点坐标的形式设平移后的交点式. 学生对于对称轴对称的两点坐标的形式设平移后的交点式，这种形式比较陌生，老师可以对其解释，师生一起共同研究过程. 设计意图：考查学生对选取适当的方法求解函数的解析式的运用. 板书设计 用待定系数法求二次函数的解析式 待定系数法确定二次函数表达式的步骤： (设—列—解—答) 用顶点式y＝a(x－h)2＋k确定二次函数关系式; 用一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)确定二次函数; 顶点式 y = a(x－x1)(x－x2) (x1，x2为与x轴交点的横坐标) 课后小结 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图。 教学反思 求函数解析式是初中数学主要内容之一,求二次函数的解析式更是联系高中数学的重要纽带。在求函数的解析式时，应恰当地选用函数解析式的形式，选择得当，解题简捷，若选择不当，解题繁琐，甚至解不出题来。在新课标里，求函数解析式与老教材一样，也是中考与升高中的必考内容，在初中阶段，主要学习了正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数的相关知识。其中，学生在学习二次函数的解析式时感到比较困难。 教学中，我深深地体会到:要想让学生真正掌握求函数解析式的方法，教师应在给出相应的典型例题的条件下，让学生自己去寻找答案，自己去发现规律。最后，教师清楚地向学生总结每一种函数解析式的适用范围，以及一般应告知的条件。在信息社会飞速发展的今天，教师要从以前的教师教、学生学的观念中解放出来，教会学生如何学，让学生自己去探究，自己去学习，去获取知识。在《中学数学课程标准》中明确规定：教师不仅是学生的引导者，也是学生的合作者。 教学中，要让学生通过自主讨论、交流，来探究学习中碰到的问题、难题，教师从中点拨、引导，并和学生一起学习，探讨，才能真正做到教学相长，也才能真正让每一个学生都学有所获。 学科网（北京）股份有限公司 $