21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系（Word教案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（人教版）

该教案聚焦初中数学“一元二次方程的根与系数的关系”，课堂导入通过填表让学生观察具体方程根的规律，从x²-6x-15=0等实例到一般形式x²+px+q=0，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接求根公式知识，梳理前后脉络。 特色在于以核心素养为导向，通过“观察-猜想-证明-应用”流程发展数学眼光（符号意识）、思维（推理能力）和语言（规范表述）。如从具体方程到字母表达规律，用因式分解、求根公式多法证明拓展思维，例题含中考真题并配当堂练习。含课件、思维导图小结及规范板书，助学生提升抽象与推理能力，为教师提供清晰流程与丰富资源。

21.2 解一元二次方程 *21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 教学内容 *21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 课时 1 核心素养目标 1. 会用数学的眼光观察世界：让学生对一元二次方程的根与系数的关系有直观感悟，强化学生符号意识与抽象能力. 2. 会用数学的思维思考问题：通过规律的应用解决问题，形成规范化思考问题的品质，通过简单的类比发现结论，发展推理能力. 3. 会用数学的语言表达思想：让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系，并学会用数学语言表述关系. 知识目标 1.探索一元二次方程的根与系数的关系. 2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题. 教学重点 探索一元二次方程的根与系数的关系. 教学难点 不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题. 教学准备 课件 教学过程 主要师生活动 设计意图 一、新课导入 二、探究新知 3、 当堂练习 一、新课导入 (1) 填一填，然后用语言叙述你发现的规律； 师生活动：学生先独立思考，然后学生代表回答，教师教师给予恰当评析，预测前两个方程学生能正确回答，第三个可能会有疑问，教师可引导学生将方程转化为 x2 + x + = 0的形式再进行作答. (2) x2 + px + q = 0 的两根 x1，x2 用式子表示你发现的规律. 教师强调：根与系数之间的规律. 学生小组讨论，小组代表发言. 二、探究新知 知识点1：探索一元二次方程的根与系数的关系 猜一猜 (1) 一元二次方程 (x - x1)(x - x2) = 0 (x1，x2为已知数) 的两根是什么？若将此方程化为 x2 + px + q = 0 的形式，你能看出 x1，x2 与 p，q 之间的关系吗？ 师生活动：学生先独立思考，由学生代表发言，教师整理板书： 教师引导学生归纳： 重要发现：方程 x2 + px + q = 0 的两根 x1，x2 满足上面两个关系式. (2) 如果方程二次项系数不为1，对于一般的一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a≠0) 的两根分别是 x1，x2，它的两根之和、积与系数又有怎样的关系呢？ 师生活动：学生类比上述过程独立思考，学生代表板书： 教师追问：还有没有其他方法，证一证. 学生独立思考，同桌合作证明，教师请同学板书，并从旁引导完善板书： 定义总结： 一元二次方程的根与系数的关系： 如果 ax2 + bx + c = 0 (a≠0) 的两个根为 x1，x2，那么 注意：满足上述关系的前提条件是b2 - 4ac≥0. 例题精析 例1 利用一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积. (1) x2–6x–15 = 0；(2) 3x2 + 7x - 9 = 0； (3) 5x–1 = 4x2. 师生活动：学生先独立思考 (1)，学生代表回答，教师给予恰当评析，然后出示完整的解答过程. 解： a = 1，b =–6， c =–15. Δ = b2 - 4ac = (–6 )2–4×1×(–15 ) = 96 > 0. ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1，x2，那么 x1 + x2 = –(–6 ) = 6， x1 x2 = -15. 学生仿照规范过程完成后面两问，学生代表上台板书，教师与其余学生评价并完善板书： 教师引导学生总结求两根之和、两根之积的步骤： 化为一般式 → 判断 Δ≥0 → 代入 a、b、c 例2 不解方程，求方程 2x2 + 3x - 1 = 0 的两根的平方和、倒数和. 师生活动：学生先独立解答，然后请学生回答，教师给予恰当评析并完善板书. 知识拓展 常见的求值式子如下： 师生活动：教师出示常见的求值式子，学生依要求做好笔记. 链接中考 1. (呼和浩特) 已知 x1，x2 是方程 x2 - x - 2022 = 0 的两个实数根，则代数式 x13 - 2022x1 + x22 的值是 ( ) A. 4045 B. 4044 C. 2022 D. 1 师生活动：学生先独立思考，然后请学生代表发言，教师适时指导并完善板书. 三、当堂练习 基础练习 1. 如果 -1 是方程 2x2 - x + m = 0 的一个根，那么另一个根是 ，m = ____. 2. 已知关于 x 的方程 3x2 - 19x + m = 0 的一个根是1，求它的另一个根及 m 的值. 能力提升 3. 设 x1，x2 是方程 3x2 + 4x - 3 = 0 的两个根. 利用根与系数之间的关系，求下列各式的值. (1) (x1 + 1)(x2 + 1)； (2) 设计意图：让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系，通过表格的形式让学生直观感受规律. 设计意图：通用字母表述数进行推理运算，发展学生推理能力，培养学生大胆假设，小心求证的探究精神. 设计意图：让学生用不同的方式证明，拓展学生的思维方式，将本章知识串联形成体系，最终得出结论，助于学生理解记忆. 设计意图：教师讲解示范规范过程，学生举一反三，强化用数学语言表达思路的能力. 应用一元二次方程的根与系数的关系解题，增强应用能力. 设计意图：通过练习巩固学生对一元二次方程的根与系数的关系的掌握，综合提高学生的计算能力与应用能力. 设计意图：教师补充常见的求值式子，学生留有印象有助于提高解题效率. 设计意图：通过真题让学生明晰考察方式，强化知识点的应用，提高解题技巧. 设计意图：通过练习巩固一元二次方程的根与系数的关系的应用. 设计意图：强化学生对代数式的变形与利用一元二次方程的根与系数的关系求值的掌握. 板书设计 一元二次方程的根与系数的关系 如果 ax2 + bx + c = 0 (a≠0) 的两个根为 x1，x2，那么 注意：b2 - 4ac≥0. 课后小结 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图。 教学反思 本部分内容为选学内容，供有能力的学生学习，一元二次方程根与系数的关系的知识内容主要是以前一单元中的求根公式为基础的. 学习了本节内容后可以使学生更加灵活的运用这一关系解题. 本课的教学对象是初中三年级学生，已学习用求根公式法解一元二次方程，学生对事物的认识多是直观、形象的，他们所注意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征，所以在教学初始，出示一些学生所熟悉和感兴趣的东西，结合一元二次方程求根公式使他们在现代化的教学模式和传统的教学模式相结合的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系. 部分学生在学习了这一关系后感觉到了它的强大的解题的作用，可以激发学生进一步去探索其他规律的欲望. 学科网（北京）股份有限公司 $